Projecto de Filtros Digitais IIR

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1 Sistemas de Processamento Digital Engenharia de Sistemas e Informática Ficha 7 005/006 4.º Ano/.º Semestre Projecto de Filtros Digitais IIR Projecto de Filtros IIR O rojecto de filtros IIR digitais assa ela utilização de rotótios de filtros analógicos já sobejamente estudados. Na obtenção do filtro digital IIR desejado, duas abordagens odem ser seguidas: Abordagem 1: Projectar o filtro assa-baixo segundo um rotótio. Alicar uma transformação na frequência em s Alicar uma transformação de s ara z. Abordagem : Projectar o filtro assa-baixo segundo um rotótio. Alicar uma transformação de s ara z. Alicar uma transformação na frequência em z ara se obter outro filtro a artir da tranformação em z determinada anterirormente. ESCALA LINEAR RELATIVA Esecificação de Ω,, Ω s e A: Relação com R e A s na escala em db: Relação com δ 1 e δ da escala absoluta: Sistemas de Processamento Digital Manuel Batista & Ernesto Afonso 1/7

2 PROTÓTIPOS BUTTER-WORTH Passa Baixo Este filtro é caracterizado or ter uma resosta lana quer na banda de assagem, quer na banda de corte. A sua resosta em frequência é: 1 Ha ( jω ) = N Ω 1+ ( Ω ) c N é a ordem do filtro e Ω c a frequência de corte. Para obter H a (s), determinam-se os ólos k de H a jω, considerando só os ólos que se encontram no semi-lano esquerdo de s: N Ωc j Ha ( jω ) = com N (k N 1) k = Ω ce π + +, k = 0,1,...,N 1 s Polos SPE k Para o caso do filtro Butterworth, esecificam-se os arâmetros Ω, R, Ω s e A s e determina-se a ordem N do filtro e a frequência Ω c de corte da seguinte forma: R log As 10 ( 10 1) ( 10 1) N = arredondado ao menor inteiro acima log Ω Ω 10 ( S) Como N arredondado será maior que o necessário, as esecificações odem exceder Ω ou Ω s elo que, ara satisfazer exactamente as esecificações de Ω ou de Ω s, Ω c deverá ser: Ω Ωs ara Ω : Ω c =, ara Ω s : Ω c = R N 10 1 N As 10 1 EXERCÍCIO 1 1 Dado Ha ( jω ) =, determinar a função H 6 a (s) do filtro Ω EXERCÍCIO Projectar no Matlab um filtro de 3ª ordem do tio Butterworth com Ω c = 0.5. Sistemas de Processamento Digital Manuel Batista & Ernesto Afonso /7

3 EXERCÍCIO 3 Projectar um filtro assa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de assagem: Ω = 0.π Rile: R = 1 db; Limite da banda de corte: Ω s = 0.3π Rile: A s = 16 db; EXERCICIO 4 Projectar o filtro do exercício 3 usando o Matlab CHEBYCHEV Passa Baixo Existem dois tios de filtros Chebychev. Os filtros Chebychev Tio I têm uma resosta lana na banda de corte ao asso que os Chebychev II têm resosta lana na banda de assagem. Chebychev I: em que Chebychev II: Este filtro está relacionado com o Tio I através de uma simles transformação em que: Uma aroximação ao rojecto de um filtro Chebyshev II assa or rojectar rimeiro o corresondente filtro Chebyshev I e deois alicar a transformação ara Chebyshev II. Filtro Chebyshev I Para obter H a (s), determinam-se os ólos k de K=0,, N-1 reresentar os ólos de Filtro Chebyshev II H a jω. Pode ser demonstrado que se k =σ k + jω k, H a jω localizados no semi-lano esquerdo de s, então: em que A função transferência obter H a (s), é dada ela equação: () K Ha s = s k em que se determinando K de modo a que k Sistemas de Processamento Digital Manuel Batista & Ernesto Afonso 3/7

4 Para a esecificação do rojecto de um filtro Chebychev-I, utilizam-se os arâmetros Ω, R, Ω s e A s ara determinar, Ω c e N: a ordem N é dada or:,, e EXERCICIO 5 Projectar um filtro Chebyshev-I assa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de assagem: Ω = 0.π Rile: R = 1 db; Limite da banda de corte: Ω s = 0.3π Rile: A s = 16 db; EXERCÍCIO 6 Projectar o filtro Chebyshev-I assa-baixo do exercício 5 usando o Matlab. EXERCICIO 7 Projectar um filtro Chebyshev-II assa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de assagem: Ω = 0.π Rile: R = 1 db; Limite da banda de corte: Ω s = 0.3π Rile: A s = 16 db; FILTRO ELÍPTICO Os filtros Elíticos têm a articularidade de aresentar rile quer na banda de assagem, quer na banda de corte. A sua resosta em frequência é: onde N é a ordem do filtro, é o rile na banda de assagem e U N (.) é a função jacobiana de ordem N. A ordem N do filtro calcula-se da seguinte forma: onde e Sistemas de Processamento Digital Manuel Batista & Ernesto Afonso 4/7

5 EXERCICIO 8 Projectar um filtro Elítico assa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de assagem: Ω = 0.π Rile: R = 1 db; Limite da banda de corte: Ω s = 0.3π Rile: A s = 16 db; TRANSFORMAÇÃO ANALÓGICO-DIGITAL Transformação Imulso Invariante Dadas as esecificações de um filtro digital ω, ω s, R, e A s, retende-se determinar H(z) rojectando rimeiro um filtro analógico equivalente e deois fazer o seu maeamento ara o filtro digital retendido. Procedimento de Projecto ara uma Transformação Imulso Invariante: ω ωs 1. Escolher T e determinar as frequências analógicas: Ω = e Ω s = T T. Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elítico) obtendo H a (s) através da utilização das esecificações Ω, Ω s, R, e A s. 3. Utilizando a exansão em fracções arciais, exandir H a (s): T k 4. Transformar os ólos k analógicos em ólos digitais e ara se obter o filtro digital: EXERCÍCIO 9 s + 1 Transforme Ha () s = num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Imulso s + 5s+ 6 Invariante, considerando T = 0.1. EXERCÍCIO 10 Imlemente em MatLab a função im_invr que imlemente a Transformação Imulso Invariante. EXERCICIO 11 Projectar um filtro digital assa-baixo utilizando um rotótio Butterworth de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de corte: ω s = 0.3π Rile: A s = 16 db; EXERCICIO 1 Projectar um filtro digital assa-baixo utilizando um rotótio Chebychev-I de modo a que satisfaça as seguintes condições: Sistemas de Processamento Digital Manuel Batista & Ernesto Afonso 5/7

6 EXERCICIO 13 Projectar um filtro digital assa-baixo utilizando um rotótio Chebychev-II de modo a que satisfaça as seguintes condições: EXERCICIO 14 Projectar um filtro digital assa-baixo utilizando um rotótio Elítico de modo a que satisfaça as seguintes condições: Transformação Bilinear Este é o melhor método ara a transformação de s ara z orque não existe aliasing. A Transformação Bilinear baseia-se na seguinte relação: Resolvendo esta relação em ordem à frequência digital ω e à frequência analógica Ω, obtêm-se as seguintes relações: e que denota a não linearidade destas duas relações. Para calcular Ω é necessário fazer um réwaring de ω. Dadas as esecificações de um filtro digital ω, ω s, R, e A s, retende-se determinar H(z) seguno os seguintes rocedimentos de rojecto ara uma Transformação Bilinear: 1. Escolher o valor ara T. Como ode ser arbitrário, ode-se definir T=1.. Pré-waring das frequências ω e ω s, determinando Ω e Ω s através das funções: 3. Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elítico) obtendo H a (s) através da utilização das esecificações Ω, Ω s, R, e A s. 4. Obter H(z) fazendo a seguinte substituição: EXERCICIO 15 s + 1 Transforme Ha () s = s + 5s+ 6 considerando T = 1. num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Bilinear, EXERCICIO 16 Reita o exercício 15 utilizando o MatLab e a função bilinear. Sistemas de Processamento Digital Manuel Batista & Ernesto Afonso 6/7

7 EXERCICIO 17 Utilizando a Transformação Bilinear, rojectar um filtro digital assa-baixo utilizando um rotótio Butterworth de modo a que satisfaça as seguintes condições: EXERCICIO 18 Utilizando a Transformação Bilinear, rojectar um filtro digital assa-baixo utilizando um rotótio Chebychev-I de modo a que satisfaça as seguintes condições: EXERCICIO 19 Utilizando a Transformação Bilinear, rojectar um filtro digital assa-baixo utilizando um rotótio Chebychev-II de modo a que satisfaça as seguintes condições: Exercício 0 Utilizando a Transformação Bilinear, rojectar um filtro digital assa-baixo utilizando um rotótio Elítico de modo a que satisfaça as seguintes condições: Sistemas de Processamento Digital Manuel Batista & Ernesto Afonso 7/7