Física III. João Francisco Fuzile Rodrigues Garcia Maiara Fernanda Moreno

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Flávio Alencastre Ávila
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1 Física III João Francisco Fuzile Rodrigues Garcia Maiara Fernanda Moreno Eercício Ao longo do eio central de um disco carregado uniformemente, em um onto a 0,60m do centro do disco, o otencial é 80V e a intensidade do camo elétrico é 80V/m. A uma distância de 1,5m, o otencial é de 40V e a intensidade do camo elétrico é de 23,5V/m. Determine a carga total do disco. OBS: Considere que o otencial seja zero quando muito distante do disco ou seja, V = 0 ara = ). Introdução Este eercício trata de um disco uniformemente carregado, e ara obter-se as equações de seu otencial elétrico e de seu camo elétrico, que serão utilizadas ara a resolução do eercício roosto, é necessário o estudo de alguns conceitos fundamentais, que antecedem o cálculo de seu otencial: Potencial elétrico de uma carga untiforme O otencial elétrico a uma distância r de uma carga untiforme q ode ser calculado usando V V = E d l, onde no onto de erência o otencial é igual a V e é um onto arbitrário onde calcula-se o camo. O camo elétrico devido a uma carga untiforme é dado or : E = r 2 r Substituindo E na integral de linha tem-se que: V V = E d l = r 2 r d l = r 2 d r Ou simlificando, V = r r

2 Cálculo do otencial elétrico ara distribuições contínuas de carga O otencial devido a uma distribuição contínua de carga ode ser calculado escolhendose um elemento de carga dq, que é tratado como uma carga untiforme. Desta forma o otencial ode ser calculado ela integral abaio: k dq V = r A integral aresentada acima é onto de artida ara resolver casos eseciais de distribuição, como o de um anel carregado e de um disco carregado caso deste eercício). Potencial elétrico de um anel carregado uniformemente Tem-se um anel de raio r e carga q no lano = 0 e centrado na origem. A distância de um elemento de carga dq ao onto no eio do anel é: r = Como esta distância é a mesma ara todos os elementos de carga do anel, odemos remover este termo da integral. O otencial no onto P devido ao anel é então: ou k dq V = = k r r dq = kq r V = Figura 1 Anel carregado uniformemente

Potencial elétrico de um disco carregado uniformemente Podemos usar o resultado encontrado ara o otencial no eio de um anel de carga ara calcular o otencial no eio de um disco uniformemente

3 Potencial elétrico de um disco carregado uniformemente Podemos usar o resultado encontrado ara o otencial no eio de um anel de carga ara calcular o otencial no eio de um disco uniformemente carregado, ois considera-se que este é comosto or vários aneis carregados. Figura 2 - Esquema de um disco uniformemente carregado O eio do disco é o eio e este é tratado como um conjunto de aneis carregados. O anel de raio a e esessura da na figura acima tem uma área 2πda. A carga do anel é dq = da = r o 2πda, onde = Q/πR 2 ) é a densidade suerficial de carga. O otencial no onto P devido a carga neste anel é dado ela equação no tóico anterior: V = Integramos então de a = 0 até a = R ara determinar o otencial total devido à carga do disco. Aqui tem-se então o otencial V então ara o lano = 0: dv = k dq k2πa da = 2 + a2 V = 0 R k2πa da = kπ 0 R 2a da V = 2πk 1 + R2 2 1) = 2 o 2 + R 2 )

4 Camo elétrico de um disco carregado uniformemente A artir da equação do camo elétrico e da equação do otencial elétrico do disco uniformemente carregado, odemos obter a fórmula do camo de um disco uniformemente carregado: E = dv d = 2πk 1 1 i = 2 + R2) 2 o i 2 + R2) Resolução Dados do eercício: V 1 = 80 V R 1 = 0,60 m E 1 = 80 V/m V 2 = 40 V R 2 = 1,50 m E 2 = 23,5 V/m Baseando-se nos dados do eercício, ara sua resolução oderemos usar as equações do otencial e do camo elétrico ara um disco uniformemente carregado: V) = E = 2 o 2 + R 2 ) I ) 2 o II ) 2 + R2) Onde o = N.m 2 Para obtermos a carga Q nessas equações, teremos que substituir, que é a densidade suerficial de carga. Para um disco uniformemente carregado, cuja suerfície é um círculo, temos: Q = ds S 2π R = r dr dθ 0 0 = πr 2 = Q πr 2 III )

5 Substituindo a equação III ) nas equações I ) e II ), obteremos: V) = Q 2πR 2 o 2 + R 2 ) => Q = 2πR 2 o V) 2 + R 2 ) IV ) E = Q 2πR 2 o 2 + R 2) => Q = 2πR2 o E V ) 2 + R 2) Com isso, ainda temos que calcular o valor do raio do disco, R, o que ode ser feito de várias formas. No caso, oderemos fazer do seguinte modo: V0.60m) = 80V = 2πk 0.60m) 2 + R m) VI ) V1.50m) = 40V = 2πk 1.50m) 2 + R m) VII ) Dividindo a fórmula VI ) ela fórmula VII ): 80V 40V = 2πk 0.60m)2 + R m) 2πk 1.50m) 2 + R m) 2 = 0.60m)2 + R m) 1.50m) 2 + R m) m 2 + R 2 ) 3m = 0.36m 2 + R m m 2 + R 2 ) = 0.36m 2 + R m Elevando-se os dois lados ao quadrado: 9m 2 + 4R 2 = 0.36m 2 + R m m 2 + R 2 ) 0.6m R 2 = 0.36m 2 + R 2 ) Novamente elevando ambos os lados ao quadrado: 0.36m R R 4 = 0.36m 2 + R R 4 = 0.25R 2 R 2 = 0.64 R = 0.80m Logo, o valor do raio do disco é de 0.80m

6 Finalmente, basta substituir os dados do eercício e do raio do disco na equação IV ) ou na equação V ). No caso, utilizaremos a equação V ). Note que é ossível usar tanto os valores E 1, R 1) quanto os valores E 2, R 2) ara resolver o eercício: utilizando o ar E 1, R 1 ): Q = N. m 2) 80 V m ) π 0.80m)2 0.60m 0.60m) m) 2) Q = N. m 2) 80 V m ) π 0.64m2 0.60m = 1m ) V. C2 N. m ) 0.4 Q = V. C2 N. m ) = C 7.12 nc utilizando o ar E 2, R 2 ): Q = N. m 2) 23,5 V ) π 0.80m)2 m 1.50m 1.50m) m) 2) Q = N. m 2) 23,5 V ) π 0.64m2 m 1.50m = 1.70m ) V. C2 N. m ) Q = V. C2 N. m ) = C 7.12 nc Obs: note que V/m) = N/C), e logo: V. C2 C2 ) = N. N. m N. C ) = C Portanto, a carga total do disco é de 7.12 nc.

7 Conclusão Como udemos ver, eistem várias maneiras de se resolver o eercício. Não é necessário se utilizar de todas as equações emregadas nessa resolução, orém dessa forma engloba-se toda a matéria relacionada a otencial elétrica e camo elétrico, e o caso esecial do disco uniformemente carregado. Também é ossível se obter as equações ara o disco sem o uso das equações do anel uniformemente carregado, orém o resultado é o mesmo, eigindo aenas menor número de equações. Bibliografia P. Tiler, Física ara Cientistas e Engenheiros, vol. 2, Eletricidade e Magnetismo, seta edição

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