Electrónica /2007

Transcrição

1 6/7 FEUP/DEEC 4º/MIEEC Vítor Grade Tavare Aula 4: Filtro umário: Função de Aroimação: Butterorth. Chebyhev. Beel. Filtro Elítico. Caracterítica marcante do dierente iltro. Tranormação de requência.

2 O Problema da Aroimação. O roblema da aroimação conite em encontrar uma unção cuja caracterítica e encontre dentro da regiõe ermitida ela eeciicaçõe. A olução conite no uo de unçõe racionai cuja raíze ão bem conhecida. ( ( j Para o noo etudo: P ( ( j Atenuação j P D ( j ( j n n ( an an L a a A aroimaçõe mai oulare ão: Butterorth, Chebyhev, Elítico (Cauer e Beel. Filtro de Butterorth. O mai lano na banda de aagem. ( ( j ε ε log ε d ( j d db A ma (db ( log ε BP BT BR A min (db 4

3 Filtro de Butterorth: Ordem. Conidere-e a normalização: j j j A ma ( A ε log ε ma log A log log ( ε A ( ma ε ( Ama log A min log ma Ama ε Atenuação em db 5 Filtro de Butterorth: Pólo de (. Para a determinação do ólo do iltro temo de artir da unção (j, ou de orma equivalente (j, oi é eta que e relaciona com a eeciicaçõe. Ito é equivalente a determinar a unção: ( ( j ( j ( j ou ( ( Que é equivalente à anterior ara j A ingularidade de (- ão a ingularidade de ( relectida em torno da origem. A unção reultante ( irá reeitar (j (e ortanto (j. Obervando ara a ereão normalizada: ( ( ( O número de ólo deta ereão é. Para ( erão aquele ólo que ituam do lado equerdo do eio j. O retante correondem a (- 6

4 4 7 Filtro de Butterorth: (. ( ( ormalizado ( π.... Pólo de ( Pólo de (- e j,,, L π ε ( Pólo da unção normalizada ε e / 8 Filtro de Butterorth. e n é ar, o ólo ão a raíze de n e jπ, elo que e jπ/n. Ecolhem-e o ólo do lado equerdo. e n é ímar, o ólo ão a raíze de n e jπ, elo que e jπ/n E: n4 ( π π 4 8 in 8 in E: n ( ( (

5 Filtro de Butterorth: Caracterítica. Caracterítica batante lana na banda de aagem. Fraca linearidade na ae. Declive moderado na banda de tranição. 9 Filtro de Butterorth: ( normalizado. Ordem, n P( Polinómio do denominador de unçõe de tranerência de Butterorth Ordem, n ( ( 4 (,765 (,848,6,44,6 ( (,68 (,68,6 5,6 5,6,6 4 (,57 ( (,9 Parte real, α,77,5;,,99;,87,89;,9;, (Pólo de iltro Butterorth (aa-baio normalizado,9659;,77;,588,866 5 Parte imaginária, jβ,77,87;,99,5878;,95,588;,77;,9659 5

6 Filtro de Butterorth: ( normalizado. ( n a n n n n an an... a Coeiciente de olinómio do denominador de unçõe de tranerência de Butterorth. Orde m, n a a a a4 a5 a6 a7 a8 a9.444,, Filtro de Butterorth: Eemlo. Eemlo Achar a ereão do ganho de um iltro aa-baio de Butterorth cuja unção de tranerência areenta uma requência uerior de corte de Mz, e a Mz a atenuação é de db. Reolução A requência Mz é tomada como reerência de requência (normalização. Como é a requência de corte, então ε. Amin log log, log log Trata-e oi de um iltro de ordem 4, cuja unção de tranerência é (,765,848 ( ( ( j,765 j j,848 j j 6

7 Filtro de Chebyhev ( ε C ( n ( j ε C ( n ( log ε db A ma (db BP BT BR A min (db C ( co coh ( arcco( ( arccoh( C > C ( ( ( C C ( ( ; C Filtro de Chebyhev: (. A min ε log, Ama ( ε coh [ coh ( ] coh ε coh,amin ( ( ormalizad o ( ( K π π in inh inh j co coh inh ε ε O ólo ditribuem-e ao longo de uma elie no lano 4 7

8 Filtro de Chebyhev: Caracterítica. Bom declive na banda de tranição. Linearidade de ae e caracterítica na banda de aagem mai obre do que a do Butterorth. a banda aante (<, log (j evolui ao ritmo de co[nϕ]co[n.arco(], e a curva de reota ondula entre e - log(ε db. 5 Filtro Elítico (Cauer. ( log ε db A ma (db BP BT BR A min (db z z A razão de atenuação na banda de atenuação, em ambo Chebyhev e Butterorth, mantém-e a db/dec ara além de. Filtro de Cauer oui zero na banda de atenuação > Função racional com ólo e zero inito (não contém ó ólo como no Chebyhev e Butterorth. 6 8

9 Filtro Elítico (Cauer: Caracterítica z colocado no eio imaginário e róimo de az aumentar o declive na banda de tranição > em geral um iltro de menor ordem. Filtro muito oulare. A análie matemática da aroimação Cauer é comlea e requer o conhecimento da teoria de unçõe elítica. A linearidade de ae é obre. 7 Filtro de Beel db A ma (db BP BT BR A min (db A aroimação de Beel é um olinómio que aroima a -τ caracterítica ideal de um atrao: ( e B ( ( Bn ( ( n Bn ( Bn ( B ( B ( B ( ( 8 9

10 Filtro Beel: Caracterítica O atrao (ou atrao de gruo é o mai lano em DC de todo o iltro. A eeciicação no iltro de Beel é eita normalmente em termo da linearidade de ae. 9 Linearidade de ae e a linearidade de ae é imortante, o uo de iltro de Butterorth, Chebyhev ou Cauer eguido de um iltro aatudo ara comenar a ae (como vimo anteriormente é geralmente mai eiciente. Filtro Butterorth, Chebyhev ou Cauer Equalização da banda de aagem com iltro aa-tudo de ª ordem

11 Comaração da reota: úmula. O iltro elítico areenta a menor ordem, eguido elo Chebyhev, Butterorth e inalmente Beel. O iltro de Butterorth é o mai lano na banda de aagem. O iltro de Chebyhev tem o ior variação de atrao de gruo, eguido elo Butterorth e elo iltro elítico. O melhor é o de Beel. O iltro de Cauer areentam ólo e zero inito. O retante aena ouem zero no ininito. Comaração da reota de dierente iltro. Chebyhev.9 Butterorth Filtro de ordem 5 Beel.5.4. Elítico.. 4 5

12 Comaração da reota de dierente iltro quanto a atrao de gruo. Butterorth Chebyhev Beel Tranormação de requência. Tranormação no domínio da requência Tranormação no domínio da requência Eeciicação: Paa-baio (PB Paa-alto (PA Paa-banda (PB Rejeita-banda (RB Eeciicação: Paa-baio normalizado PB ( PA ( PB ( RB ( Uma vez obtida eta equivalência/tranormação, a unção de tranerência do iltro retendido é obtida azendo a tranormação invera. Dete modo, todo o etudo relativo a unçõe que aroimam a unçõe de tranerência da dierente toologia de iltro, reduz-e ao cao articular de um iltro aabaio normalizado. Aqui normalizado identiica um iltro com um ganho máimo na banda aante de db e uma requência uerior de corte unitária (. 4

13 Tranormação: Paa-baio imle mudança de ecala Paa-baio ( j j C Paa-baio normalizado j j, db ( ( A ma A min / Paa-baio Paa-baio normalizado 5 Tranormação: Paa-Alto mudança e inverão de ecala j j a ( ( Paaalto ( Paa-alto normalizado, C j j db A ma A min / Paa-baio normalizado Paa-alto 6

14 Tranormação: Paa-Banda o j. B com B,, e db ( A min A ma toma-e como reerência a requência central do iltro, j Paabanda (,, Paa-baio normalizado o, j j B ( b ( (. 4 B 4 Paa-banda normalizado Paa-banda 7 Tranormação de requência: úmula / -> / Paa-Alto Paa-Baio Paa-Alto (,A ma, (,A ma, ( PB ( / (, A min ( /, A min ( /B Paa-Banda Paa-Baio (,A ma, ( 4, A min B - ( / (,A ma, [( 4 - / ( -, A min ] ->( /B ->B/( ->B/( Rejeita-Banda Paa-Baio ( 4,A ma, (, A min B - ( / (,A ma, [( - / ( 4 -, A min ] Paa-banda ( PB (( /B Rejeita-Banda ( PB (B/( 8 4