Introdução Funções de aproximação de filtros Transformação de frequências Aproximações de Butterworth, Chebychev, Bessel, elípticas

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Diana Sabala Marreiro
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1 Filtr Electróica 3 5/6 Jé Machad da Silva Vítr Grade Tavare Filtr Sumári Itrduçã Fuçõe de arimaçã de iltr Trarmaçã de requêcia Arimaçõe de Butterwrth, heychev, Beel, elítica Sítee - imlemetaçã de iltr T/A Paiv Activ Imlemetaçã de iltr TD/A Trarmada Z Filtr de caacidade cmutada

2 3 Filtr reta de ª rdem, ccluõe Frma geral equaçã i-quadrática é máim ara O máim é tã mai aertad quat mair r é míim ara O míim é tã mai aertad quat mair r * * K z z K w 4 F arcta arcta F τ d d K Frma geral: Filtr Atra de gru de itema de ª rdem

3 Filtr Atra de gru de itema de ª rdem Fae e atra de gru ara um iltr aa-ai de ª rdem Fae grau / t lg / w -3. w 5 Filtr igualizadre de atra Sã utilizad ara cmear ditrçõe de ae atra. Filtr PT Paa-Tud Uma caracterítica de atra ideal atra ctate τ t t- τ itema de ae ctate -τ Para aálie da liearidade de ae deie-e cm atra, u atra de gru, à eguite igualdade. d Φ τ ; Φ d 6

4 Filtr cmeaçã d atra de gru É eceári um iltr etra que ea la em amlitude ara a requêcia de iteree, ma cm uma ae adequada à cmeaçã. A luçã é um iltr aa-tud i-quadrática. w K F arcta d τ F d 7 Filtr cmeaçã d atra de gru t lg aracterizaçã d atra de gru de um iltr aa-tud de eguda rdem. O úmer de ecçõe e arâmetr d igualizadr iltr aa-tud ã em geral determiad de rma eerimetal via cmutadr. -. /3 / w 8

5 Filtr Trarmaçã de requêcia Trarmaçã dmíi da requêcia Trarmaçã dmíi da requêcia Eeciicaçã: Paa-ai PB Paa-alt PA Paa-ada PB Reeita-ada RB Eeciicaçã: Paa-ai rmalizad PBN PA PB RB Uma vez tida eta equivalêcia/trarmaçã, a uçã de traerêcia d iltr retedid é tida azed a trarmaçã ivera. Dete md, td etud relativ a uçõe que arimam a uçõe de traerêcia da dierete tlgia de iltr, reduz-e a ca articular de um iltr aa-ai rmalizad. Aqui rmalizad idetiica um iltr cm um gah máim a ada aate de db e uma requêcia uerir de crte uitária. 9 Filtr Trarmaçã de requêcia Paa-ai - rcede-e a uma imle mudaça de ecala Paa-ai Paa-ai rmalizad S, S db AM Am N S S c c Paa-ai Paa-ai rmalizad

6 Filtr Trarmaçã de requêcia Paa-alt - rcede-e a uma mudaça e iverã de ecala S a a S N a Sa Paa-alt a Paa-alt rmalizad S a, a a c db AM Am a ca a Paa-alt rmalizad c Paa-alt Filtr Trarmaçã de requêcia Paa-ada - tma-e cm reerêcia a requêcia cetral d iltr c c S S. B S cm B,, e, Paaada, Paa-ai rmalizad S,. B, c c db AM S N S B c c c Paa-ada rmalizad Paa-ada

7 3 Paa-ai rmalizad Reeita-ada Filtr Trarmaçã de requêcia Reeita-ada - tma-e cm reerêcia a requêcia cetral d iltr c c,,,. e B cm S S B S r r Reeiçã-de-ada rmalizad db c c c Reeiçã-de-ada AM B S r N r r S,. B S, r, c c 4 O rlema da arimaçã cite em ectrar uma uçã cua caracterítica e ectre detr da regiõe eigida ela eeciicaçõe requiit de iltragem. A luçã cite u de uçõe raciai cua raíze ã em checida. A arimaçõe mai ulare ã: Butterwrth, heyhev, Elític auer e Beel. P D N Ateuaçã Para etud: P a a a a L Filtr Fuçõe de arimaçã

8 Filtr Arimaçã de Butterwrth A uçã de Butterwrth é a mai laa a ada aate dt S ds, lg BR N lg 3 db S db <, lg N > lg 3 db A mi db BP BT > c, lg N c Am lg ε lg Am Am uea lg Am, el que u A ma db lg ε Am Am lg lg lg lg S N S a N S... u u N N N N 5 Filtr Arimaçã de Butterwrth O ól ectram -e lcalizad re um círcul de rai uitári e eaçad π/ ε N ε N π... A ε lg ε mi, Ama c N ε k. e π k k,, L, Nrmalizad k k 6

9 Filtr Arimaçã de Butterwrth Lcalizaçã d ól Se é ar, ól ã a raíze de e π, el que k e kπ/. E: 4 4 π i 8 3π i 8 Se é ímar, ól ã a raíze de e π, el que k e kπ/. E: Filtr Arimaçã de Butterwrth Prquê raíze ól quad é de rdem? Para a determiaçã d ól d iltr tem de artir da uçã, u de rma equivalete, i é eta que e relacia cm a eeciicaçõe. It é equivalete a determiar a uçã: A igularidade de - ã a igularidade de relectida em tr da rigem. A uçã reultate reeita e rtat. Olhad ara a ereã rmalizada: O úmer de ól deta ereã é. Para erã aquele ól que ituam d lad equerd d ei. O retate crredem a - 8

10 Filtr Arimaçã de Butterwrth aracterítica atate laa a ada de aagem. Fraca liearidade a ae. Declive mderad a ada de traiçã. db déc 9 Filtr Arimaçã de Butterwrth Ordem, P S Pliómi d demiadr de uçõe de traerêcia de Butterwrth. S S S 3 S S S S S S 3 4 S,7653S S,848S,63S 3,44S,63S S S S,68S S,68S 3,36S 5,36 5,36 3 3, S S S S S,57S S S S,93S Ordem, Pól de iltr Butterwrth aa-ai rmalizad Parte real, α Parte imagiária, β,77,77,5;,,866,939;,387,387;,939,89;,39;,,5878;,95,9659;,77;,588,588;,77;,9659

11 Filtr Arimaçã de Butterwrth S 3 S a S as a3s... as eiciete de liómi d demiadr de uçõe de traerêcia de Butterwrth. Ordem, a a a3 a4 a5 a6 a7 a8 a ,, Filtr Arimaçã de Butterwrth Eeml Achar a ereã d gah de um iltr aa-ai de Butterwrth cua uçã de traerêcia areeta uma requêcia uerir de crte de Mz, e a Mz a ateuaçã é de db. Reluçã A requêcia Mz é tmada cm reerêcia de requêcia, que cduz a A rdem d iltr terá, etã, de er Am lg lg 3,3 lg lg Trata-e i de um iltr de rdem 4, cua uçã de traerêcia é S S,765S S,848S, u,765,848

12 3 ε ε ar ímar, ; arcch ch arcc c > A mi db c BP BR BT db A ma db lg ε Filtr Arimaçã de heyhev Ereã recrrete 4 Filtr Arimaçã de heyhev ualquer que ea a rdem d iltr lg -lgε -lg ε Na ada aate <, lg evlui a ritm de c[ϕ]c[.arc], e a curva de reta dula etre e -lg ε db. Para > 4 ε ε ε

13 Filtr Arimaçã de heyhev A mi ε lg, Ama c ε ch[ ch ] Nrmalizad k K k ch ε ch, Ami c k π k π k i ih ih c ch ih ε ε O ól ditriuem-e a lg de uma elie la S 5 Filtr Arimaçã de heyhev Bm declive a ada de traiçã. Liearidade de ae e caracterítica a ada de aagem mai re d que a d Butterwrth. A curva lg admite r aímtta egmet de edete db/década aad ela requêcia ε ímar /ε /, ar η ih ih / [ η i kπ / ] k / { [ η iθ η cθ ]} k k, ε k π θk k 6

14 Filtr Arimaçã de Elítica de auer lg ε db A ma db BP BR A mi db BT c z z A razã de ateuaçã a ada de ateuaçã, em am heyhev e Butterwrth, matém-e a db/dec ara além de c. O iltr de auer ui zer a ada de ateuaçã > Fuçã racial cm ól e zer iit ã ctém ó ól cm heyhev e Butterwrth. 7 Filtr Arimaçã de Elítica de auer z clcad ei imagiári e róim de c az aumetar declive a ada de traiçã > em geral um iltr de mer rdem. Filtr muit ulare. A aálie matemática da arimaçã auer é cmlea e requer checimet da teria de uçõe elítica. A liearidade de ae é re. 8

15 Filtr Arimaçã de Beel db A ma db BP BT BR A mi db A arimaçã de Beelé um liómi que arima a caracterítica ideal de um atra: -τ e B B B B B B B 9 Filtr Arimaçã de Beel ; ; O atra u atra de gru é mai la de td iltr a ada aate. 3 3 A eeciicaçã iltr de Beelé eita rmalmete em term da liearidade de ae. 3

16 Filtr Liearidade de ae Se a liearidade de ae é imrtate, u de um iltr de Butterwrth, heyhevu auer, eguid de um iltr aa-tud ara cmear a ae cm vit ate é geralmete mai eiciete. Filtr Butterwrth, heyhev u auer Igualizaçã da ada de aagem cm iltr aa-tud de ª rdem 3 Filtr maraçã da reta Reta que atiazem uma determiada eeciicaçã, A ma, c, A mi O iltr elític areeta a mer rdem, eguid el heyhev, Butterwrth e ialmete Beel. O iltr de Butterwrthé mai la a ada de aagem. O iltr de heyhev tem ir variaçã de atra de gru, eguid el Butterwrth e el iltr elític. O melhr é de Beel. O iltr de auer areetam ól e zer iit. O retate aea uem zer iiit. 3

17 Filtr maraçã da reta Filtr de ªrdem rmalizad u ζ,4,,8,6,4, Butterwrth Beel heychev, Butterwrth Beel heychev ,77 Butterwrth,577 Beel,8 heyhev 33 Filtr maraçã da reta Filtr de 3ªrdem,,,,8,6,4, Butterwrth-md heychev-md Beel-md Butterwrth heychev Beel -6,, ,578-3,46 Butterwrth Beel Fae d iltr de Butterwrth e de Beel -4,74 34

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