FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA

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1 CAPÍTULO FUNÇÕE DE TRANFERÊNCIA INTRODUÇÃO O filtro contínuo roceam inai definido em qualquer intante de temo e que têm qualquer amlitude oível O filtro contínuo odem er realizado com diferente tecnologia e dioitivo Pode, or exemlo, filtrar-e um inal à cuta de vário tio de reonadore: mecânico, iezoeléctrico, magnetoetritivo, etc, ou à cuta de circuito RLC, de linha de tranmião, de circuito activo RC, etc Em qualquer deta oívei realizaçõe é neceário, reviamente, determinar uma função de tranferência ara o filtro, que correonda à exigência de retendida ara o itema FUNÇÃO DE TRANFERÊNCIA A função de tranferência directa de um itema linear e invariante no temo, define-e como endo o cociente entre a tranformada de Lalace, Y, do inal de aída, yt e a tranformada, X, do inal de entrada, xt, ver Fig No etudo do filtro, or veze, é mai conveniente uar o conceito de Moié Piedade, IT, Março de

2 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA função de tranferência invera, H, definida como o cociente entre a tranformada de Lalace da varávei de entrada e de aída do filtro Tem-e, aim: Y T e X X Y H T, Quando o itema é excitado or um inal inuoidal, que correonde a analiar a função de xt yt X Y T Y/X Fig - Entrada e aída num itema linear e invariante no temo tranferência em j, obtém-e, ara a reota em frequência do itema, uma função comlexa da frequência, com arte real, R[Tj] e arte imaginária, I[Tj] que ode er earada no módulo Tj e α, e na fae φ, T j jφ α + jφ R T j + ji T j T j e e, em que o módulo Tj, também e ode rereentar ela exonencial da atenuação α, or Tj e α, vindo T j α + jφ e A reota do filtro ao regime forçado inuoidal cotuma er rereentada elo conhecimento da eguinte funçõe da frequência: G log A G φ arctan dφ τ d T j 8,686 α I T j R T j 3 - A razão é imle O rojecto de filtro aa quae emre or obter um filtro aa-baixo de referência, ara a artir dete, e obterem outro tio de filtro O filtro aa-baixo mai comun ó têm ólo, ou eja, a função de tranferência tem um numerador contante e, or io, é mai cómodo trabalhar com a função invera oi eta ó tem numerador Moié Piedade, IT, Março de

3 FUNÇÃO DE TRANFERÊNCIA 3 em que G é o ganho, A é a atenuação, e τ é o atrao de gruo do itema Para um itema real, o módulo Tj é uma função ar da frequência e φ é uma função ímar Exercício - Cálculo da reota de um itema Conidere um itema com H Calcule o ganho, a atenuação, a fae e o atrao de gruo ara a frequência e rad - Reolução: O itema é um integrador Tj /j /e -jπ/ ara > ; e Tj /j /e +jπ/ ara <, oi a fae é imar de, vindo φ - uπ/, em que u é a função degrau τ δπ/ Para : G, A -, φ- π/ e φ+ -π/; τ Para rad - : G -6 db, A 6 db, φ -π/, τ REPOTA DE UM ITEMA IDEAL Um itema ideal, quando for excitado na ua entrada, com um inal xt, deve originar na ua aída um inal yt que é igual ao inal de entrada Tal itema não exite, oi teria de ter Tj ara toda a frequência, o que não é fiicamente realizável, dado que todo o itema fíico têm uma largura de banda de frequência finita e, no eu funcionamento, todo introduzem um atrao temoral da reota relativamente à entrada Admitindo, contudo, que o inal de aída é igual ao de entrada, a meno de um atrao de temo, τ, ito é: a reota erá y t x t τ Y X e τ, τ jτ dφ T e T j e T j ; φ -τ, τ g τ d Aim, o itema ideal deveria ter atenuação nula ara toda a frequência e ter, também, uma caracterítica de fae linear com a frequência, ou eja, devia ter atrao de gruo contante, igual ao atrao temoral τ τ g Todavia, um filtro detina-e a atenuar ou a aumentar a amlitude de certa comonente eectrai de um inal, elo que, na rática, e tolera a deformação do inai reultante de não er Tj, ou de não er τ g contante O filtro ideal, numa certa banda de frequência, eria aquele que nea banda tivee Tj, e τ g contante Tal filtro não exite, ma ode enar-e em vário modelo teórico que têm um comortamento ideal numa certa banda de frequência, como o que e ilutram na Fig Por exemlo, o filtro aa-baixo ideal, Fig a, não introduz atenuação no inai numa certa banda de frequência deignada or banda de aagem que vai dede até a uma certa frequência máxima, deignada or frequência de corte, C, a artir da qual a atenuação é infinita e Moié Piedade, IT, Março de

4 4 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA e entra na chamada banda de atenuação O filtro rejeita-banda ideal, Fig d tem dua banda de aagem: uma que vai dede, até à frequência de corte Cinf e outra que vai dede a frequência de corte Cu até infinito, tendo uma banda de atenuação reciamente entre Cinf e Cu No exemlo referido na Fig reuõe-e que o atrao de gruo é contante idealmente nulo na banda de aagem οο οο a b c d Fig - Atenuaçõe de filtro ideai tíico; a aa-baixo; b- aa-alto, c- aa-banda; d- rejeita-banda REPOTA DE UM ITEMA FIICAMENTE REALIZÁVEL É imoível realizar um itema com a caracterítica abruta de atenuação na frequência, do tio da que foi referida acima ara o filtro ideai Na rática, tolera-e uma certa aroximação a eta caracterítica ideal e admite-e que a atenuação crece gradualmente na chamada banda de tranição, ituada entre a banda de aagem, a P, e a banda de atenuação, a, veja-e a Fig 3 Neta banda de tranição, a caracterítica de atenuação areenta uma derivada em relação à frequência que mede a electividade do filtro na frequência que não é infinita Também a atenuação na banda de aagem não ode er ara toda a frequência e tolera-e uma certa atenuação máxima A máx A ; Fig 3- Atenuaçõe de filtro reai tíico a- filtro aa-baixo; b- filtro aa-banda -, de toband e P, P de aband Moié Piedade, IT, Março de

5 FUNÇÃO DE TRANFERÊNCIA 5 na banda de atenuação também e tolera uma atenuação que não é infinita ma ode imor-e que eja emre maior que um certo valor mínimo A min A, veja-e a Fig 3 3 EFEITO DO ERRO DE FAE E DE AMPLITUDE A deformação de um inal, rovocada or um filtro, manifeta-e tanto na alteração da amlitude como da relação de fae entre a diferente comonente do inal A imortância dete defeito introduzido deende da alicação que e tem em vita, como veremo de eguida O ouvido humano não é enível à defaagem da diferente comonente de um memo inal, elo que a degradação da fae e do atrao de gruo não é entida Aim, o filtro ara inai de áudio odem er rojectado em cuidado eeciai com a caracterítica de fae O itema viual humano é enível ao atrao de gruo 3 e também à amlitude, e, or io, no filtro ara imagem ou vídeo deve-e eecificar a dua caracterítica de amlitude e de fae da reota do filtro, de modo a erem o mai arecida com a caracterítica do filtro ideal No itema de telecomunicaçõe utilizam-e inai digitai e imulo ara tranmitir informação, inai ee que ão roceado or circuito electrónico que muita veze ão enívei ao valor intantâneo do inal, elo que tanto a caracterítica de reota de frequência como a de fae ão muito imortante t Fig 4- Deformação de um inal devida à eliminação de alta frequência e ao atrao de gruo Na Fig 4 ode obervar-e como um inal, com forma de onda quadrada, é roceado or trê filtro aa-baixo com reota em amlitude ideal e que deixam aar toda a frequência até à 7ª harmónica, em introduzir qualquer atenuação, ma cuja caracterítica de atrao de gruo odem ter diferente variaçõe na banda de aagem A curva a traço contínuo eria a reota obtida or um filtro 3 - A rerodução de um inal de vídeo num televior que não tem atrao de gruo contante, fará com que certo detalhe da imagem, que originalmente etavam junto no eaço, não fiquem na mema oição do ecrã Moié Piedade, IT, Março de

6 6 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA aa-baixo ideal em atrao de gruo 4, notando-e aena a deformação introduzida ela eliminação da frequência harmónica ueriore à 7ª ordem; a curva a traço interromido, delocada ara a direita, correonde à reota do memo filtro ideal ma que tem um atrao de gruo contante, ou eja com uma caracterítica de fae linear com a frequência, enquanto que a 3ª curva decontínua rereenta a reota do memo filtro ideal com atrao de gruo variável com a frequência fae não linear com a frequência 5 Em qualquer do cao, a otência do inal é a mema cada uma da frequência harmónica do inal tem a mema amlitude; a única diferença etá na relação de fae entre a diferente harmónica O itema auditivo humano ouviria o inai da mema forma, ma o itema viual humano já o ditinguiria, tal como o faria um circuito eléctrico que foe enível à amlitude do inal, como é, or exemlo, um ocilocóio 4 PÓLO E ZERO DE UM ITEMA REAL A função de tranferência de um itema realizado com comonente de arâmetro concentrado 6 ode er emre exrea elo cociente de doi olinómio 7, na eguinte forma, T M M i i αi ai M N α + α + α + + αm i α M i N N N D β + β + β + + βn i βn i βi bi i i, 4 em que a i α i /α M e b i β i /β M A meno de uma contante α M /β N, a função de tranferência ode er rereentada aena elo cociente entre o doi omatório do último termo de 4 em que a M b N Num itema fiicamente realizável, ara, a função de tranferência do itema deve er finita e, or io, tem de er M N Como qualquer olinómio ode er exreo em função da ua raíze ou zero, a artir de um roduto de monómio da forma - z, obtém-e: 4 - O inal foi degradado atravé da ureão da harmónica ueriore à 7ª 5 - Eta reota foi obtida ela adição de um ângulo contante de 45 º em cada uma da harmónica, o que dá uma caracterítica não linear de fae 6 - itema em que o elemento armazenadore de energia etão concentrado, or exemlo num condenador ou numa bobina, em vez de etarem ditribuído, como acontece, or exemlo, num cabo telefónico que tenha / km, nf/ km e µh/ km 7 - No cao do itema er de arâmetro ditribuído, como é, or exemlo, o cao de uma linha de tranmião, a função de tranferência já não é uma função racional de Moié Piedade, IT, Março de

7 FUNÇÃO DE TRANFERÊNCIA 7 T M M i αi N i αm i N N D i βn βi i i 5 A raíze do denominador ão o ólo e a raíze do denominador ão o zero de T É cotume, na rática, aociar a raíze ao are, oi, na maior arte do cao, a raíze ão comlexa conjugada Pode deenvolver-e o roduto de doi monómio da equação anterior, numa função quadrática da frequência, do eguinte modo: zi i z z + ξ +, com z + z z z e ξ, em que é o módulo da frequência do zero, da raíze ólo ou zero, e ϕ é o factor de amortecimento do zero, dea raíze, que etá relacionado com o factor de qualidade, q, or: 6 ξ q Na Fig 5 odem ver-e 3 localizaçõe oívei de um ar de ólo /zero 7 Exercício - Factor de qualidade do ólo Calcule o factor de qualidade e o módulo da frequência do ar de ólo - e -7, e do ar 3 + j e 4 j Reolução: De 6 e 7, vem: z z -/ e q - z + z - e, o que dá ara o rimeiro ar de ólo: 8,37 e q,49 e; e 5 / e q -,, ara o egundo ar de ólo O ólo reai e negativo têm q <,5, oitivo, enquanto que o ólo comlexo conjugado têm q >,5 ; e etiverem no emi-lano comlexo direito q erá negativo j j j ξ ξ > q <,5 ξ < q >,5 ξ q οο Fig 5- Par de ólo zero Moié Piedade, IT, Março de

8 8 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA A função de tranferência, em função da funçõe quadrática da frequência, erá, ara o cao de numerador e denominador de ordem ímar, T M M M / i αi zi z N i αm i αm i N N N / D i β N βn βi i i i i + ξ + ξ em que o monómio de ª ordem não exitem, no cao de M ou N erem are Em 8 ode identificar-e o cociente de dua funçõe quadrática da frequência exreo ela eguinte função biquadrática da frequência + ξzi zi + Ti + ξ + A função de tranferência T ode obter-e a artir de um roduto de funçõe biquadrática da frequência, T i, o que ignifica que o itema ode er realizado ela aociação em cadeia de circuito que realizam eta funçõe elementare de ª ordem, que odem rereentar até doi ólo e doi zero, e que ão vulgarmente deignada or ecçõe biquadrática, cujo comortamento erá analiado mai adiante A reota de um itema é obtida elo roduto de funçõe de tranferência de ª ordem e/ou de funçõe de tranferência biquadrática de ª ordem, elo que é intereante conhecer o comortamento deta funçõe elementare A função de tranferência de uma ecção biquadrática é comletamente determinada or uma contante de ganho k, or doi ólo e doi zero, com módulo, e z, e factore de amortecimento ξ e ξ z, reectivamente i i zi i zi i zi i + + zi i, 8 9 Reota em Frequência Para uma excitação inuoidal j, de 8 obter-e-á: N j T j k D j onde e ode alientar o ganho G, exreo em db, a fae φ e o atrao de gruo τ, φ φ τ τ φ τ Moié Piedade, IT, Março de G log k + log N j log N N D D D j

9 FUNÇÃO DE TRANFERÊNCIA 9 A curva de reota em frequência G, φ e τ, ão rereentada no chamado diagrama de Bode Por veze, bata conhecer o valor do ólo e do zero ara e contruírem diagrama aintótico em que a curva decrita or ão aroximada or funçõe lineare recta A reota de um itema com zero e com ólo, obtém-e ela adição da curva arciai obtida coniderando o zero e o ólo ioladamente e tendo em conta que o efeito do ólo é imétrico do do zero FUNÇÕE DE ª ORDEM A função de tranferência de um itema de ª ordem ode emre ôr-e na forma de cociente de doi olinómio de, de rimeira ordem, N α T D β + α + β ou em termo da raíze z e do numerador e do denominador, denominada zero e ólo da função de tranferência, reectivamente, obtém-e: N α z α β T e z D β α β A função de tranferência ode ainda er exrea na forma α + N z α T z z e D β α + β β 3 T α β + + z z α β fbaixo fbaix o z - com 4 fbaixo + 5 Moié Piedade, IT, Março de

10 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA Ito é, a reota de um itema ode er emre exrea em funçõe do tio aa-baixo e do tio aa-alto invera da reota do tio aa-baixo, elo que bata etudar o comortamento do filtro do tio aa-baixo, em função da frequência, ara conhecer toda a reota FUNÇÃO PAA-BAIXO DE ª ORDEM A artir de 5 e definindo a frequência normalizada 8,, or: obtém-e:, 6 F + A reota a uma excitação inuoidal, j, origina: F j + j F j e jϕ j com F j e ϕ arctan Diagrama de Bode da função de tranferência com um ólo G db -5 db/dec 3 db - db/dec , É uual rereentar o ganho do filtro numa ecala logarítmica, com db na ordenada e década, ou oitava, de frequência na abcia Na ecala de frequência, a earação entre dua frequência e, medida em década ou em oitava é, reectivamente, φ º φ º -66 º/dec -45 º/dec -45-9, τ /τº,8 edec log / e eoit log / Fig 6- Reota em frequência de um itema com um ólo Exercício 3- earação de frequência 9 8,6 -,4 A frequência normalizada ermite rereentar o reultado indeendentemente do valor da frequência oi o comortamento do itema aa a er referido em termo de roorcionalidade à frequência de normalização, Moié Piedade, IT, Março de,

11 FUNÇÕE DE ª ORDEM Calcule a earação em década e oitava da eguinte frequência: Hz e 8 35 Hz Reolução: edec,6; como log x log x/log, eoit edec / log 4,9 oitava O ganho em db é dado or: G log F j log log ara + Ù << ; log Ù ara Ù >> A curva da rereentação do módulo da função de tranferência, num gráfico logarítmico, ode er aroximada or dua recta aíntota, que e cruzam na frequência de corte, com a inclinação de db/dec e de 6dB/dec, como e ode obervar na Fig 6 O erro máximo entre o valore dado ela recta aíntota e a curva real do ganho é de 3 db, na frequência do ólo, A curva de fae também ode er aroximada or 3 recta aíntota à curva real, com o declive de º/dec, -45º/dec e º/dec De facto tem-e: arg F j arctan o ara Ù << ; -45º ara ; 9 o ara Ù >> a derivada de φ com a frequência, numa ecala logarítmica, tem um declive máximo, em, de dϕ dlog 66º / dec, ma verdadeira curva de fae ode er aroximada or uma recta com declive de 45º/dec no intervalo de frequência comreendido entre, e, endo o erro cometido inferior a 6º em toda a ecala de frequência Exercício 4- Diagrama de Bode de doi filtro de ª ordem em cadeia Deenhe a caracterítica de Bode de amlitude e de fae, ara um filtro obtido or aociação em cadeia de doi filtro de ª ordem com a função de tranferência T /+ Reolução: A aociação em cadeia reuõe que a funçõe de tranferência e multilicam, obtendo-e: Tj 4[/j+] Virá a amlitude Tj 4/[+/ ] A fae erá: φ -arctan / Uando a curva normalizada da Fig 6, or denormalização ara c, ode obter-e a curva da Fig 7 O ganho etático é de db O módulo da reota em frequência tem um declive aintótico ara alta frequência, de 4 db/dec A caracterítica de fae atinge a fae máxima de 8º trata-e de um filtro de ª ordem Atrao de gruo da função de tranferência com um ólo Derivando a função fae, obtém-e Moié Piedade, IT, Março de

12 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA Moié Piedade, IT, Março de 3 o atrao ara é /, elo que normalizando ao atrao a ete valor, obtém-e: τ τ + 4 Não rereentamo a curva de atrao de gruo orque ela ode obter-e da curva de atrao de gruo de um filtro aa-baixo de ª ordem, T, com ξ, etudo que erá feito na ecção eguinte De facto, T é igual ao roduto de dua funçõe de rimeira ordem T ξ ξ , e endo o atrao uma função aditiva, o atrao do filtro de rimeira ordem é metade do de egunda ordem, com ξ FUNÇÃO PAA-ALTO DE ª ORDEM O ganho e a atenuação, em db, de uma função aa-alto de ª ordem, com um zero e um ólo, ão funçõe imétrica da correondente funçõe aa-baixo 8 e A fae e o atrao de gruo da função aa-alto ão ligeiramente diferente A fae tem um avanço adicional de π/, vindo: [ ] arctan arctan - com ; < + > δ π φ τ π φ π φ ϕ d d e j F j F F j j z z + arctan e ϕ j F 5 τ +

13 FUNÇÕE DE ª ORDEM 3 Exercício 5- Diagrama de Bode de um filtro com um zero e um ólo Deenhe a caracterítica de Bode de amlitude e de fae, ara o filtro de ª ordem com a função de tranferência + F + Reolução: erá: F j + + e Convém lembrar que a reota em amlitude do π φ - + arctan arctan zero é a imétrica da do ólo, Fig 6 De rad - a rad - a inclinação da reota em amlitude é nula, devido ao cancelamento do efeito do ólo elo zero Exercício 6- Atrao de gruo de um filtro de ª ordem Calcule o atrao de gruo do filtro referido no Exercício 4 Reolução: De 3, ara rad-, obtém-e τ //,5 G db db/dec db/dec -5, rad - Fig 7- Diagrama de Bode de filtrodo Exercício 5 φ º -45 º/dec 45 º/dec -45 º/dec -9, rad - 3 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA A função de tranferência biquadrática, mai imle, é a que ó tem ólo, e que, or io, materializa um filtro aa-baixo, cujo ólo têm frequência e factor de amortecimento ξ, tem a eguinte forma geral Moié Piedade, IT, Março de

14 4 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA T k k + ξ + + ξ FUNÇÃO BIQUADRÁTICA PAA-BAIXO Na Fig 8 ode obervar-e a oição do ólo correondente a um ar de ólo comlexo conjugado O módulo do ólo é endo a arte real do ólo ξ É cotume, no etudo do filtro, uar em vez do factor de amortecimento ξ o factor de qualidade, q, do ólo definido or : q ξ 7 Todavia, a exreõe ficam ligeiramente mai imle em termo do arâmetro ξ, elo que aqui vamo uar ete arâmetro Ganho da função biquadrática aa-baixo O ganho do filtro aa-baixo em é G G k O ganho do filtro ode er normalizado em relação ao ganho G, vindo: T j T + ξ + Q 8 Para, o ganho do filtro é Para obtém-e T j T ξ Q Na frequência ξ máx Q 9 obtém- e o valor máximo de Tj, dado or: T T máx ξ ξ Q Q 3 Moié Piedade, IT, Março de

15 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA 5 A frequência notávei da reota do filtro aa-baixo deendem do valor de ou de Q, como e oberva na Fig 8 O valore notávei do ganho ara divera frequência encontram-e rereentado na Tab ξ Fae da função biquadrática aabaixo ξ > <,5 ξ < >,5 ξ οο A fae da reota do filtro aa-baixo de ª ordem é dada or : db - -4 W, ,, Q, fw Q, W tw/t Q, Q, Q Q, W Fig 8- Pólo, ganho e fae de um filtro aa-baixo de ª ordem φ ξ arctan 3 Para a fae vale º Para obtém-e uma fae de 9º, enquanto que ara e obtém 8º A frequência que originam uma fae de 45º ou de 35ª, ão a que conduzem a: ξ 45º; 35º φ φ ± que originam φ 45 º φ 35º + ξ mξ 3 Atrao de gruo da função biquadrática aa-baixo Mai imortante do que a curva da fae é a curva de atrao de gruo, oi o filtro ideal fiicamente realizável deve ter atrao de gruo contante ara toda a frequência dφ ξ + τ d + ξ 33 Moié Piedade, IT, Março de

16 6 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA O atrao em é de τ ξ, deoi, quando aumenta, crece muito atingindo um valor máximo, decrecendo deoi ara quando O atrao de gruo deve er exreo em função do valor do atrao ara, obtendo-e o atrao normalizado τ + τ + ξ Tab - Frequência e roriedade notávei dum filtro aa-baixo 34 W T f w t Obervaçõe k / Q - -ξ ξ -45º - - Q T má x Q Q - - G máx Q -/ τ máx - - ξ + ξ Q + 4Q τ máx Q 3 -/ ξ -9º Q - Q +ξ ξ Q -35º Q - -8º - A frequência τmáx, que origina o máximo de valor no atrao de gruo é: endo o valor do atrao máximo, dado or: ξ, ara ξ 3 τ máx, 35 Moié Piedade, IT, Março de

17 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA 7 τ máx τ 4 ξ + ξ 36 Para tem-e τ ξ Na Fig 8 odem obervar-e a curva do atrao de gruo ara diferente arâmetro ξ ou Q de uma função biquadrática aa-baixo 3 FUNÇÃO BIQUADRÁTICA PAA-ALTO A função biquadrática aa-alto tem numerador do tio e areenta, ortanto, além do doi ólo, doi zero em, ver Fig 9 O ganho do filtro ara é k A função de tranferência ode er decrita em termo da frequência ou da frequência normalizada à frequência do ólo, / T k k + ξ + + ξ + 37 Reare-e que a função de tranferência do filtro aa-alto ode obter-e a artir da função de tranferência do filtro aa-baixo correondente, fazendo a eguinte tranformação de frequência De facto, tem-e: a b 38 T a k k + ξ + b b b a a a + ξ 39 A função T a, tem doi ólo com frequência invera da do ólo do filtro aa-baixo correondente, e mai doi zero em a A tranformação de frequência a / b garante, ara a excitação inuoidal no filtro aa-baixo, a frequência b j b, a correondência de reota em b -j/ a ; ito é, o filtro aa-baixo terá na frequência b a mema reota à excitação inuoidal que o filtro aa-alto terá na frequência a / b a + Moié Piedade, IT, Março de

18 8 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA Ganho da função biquadrática aa-alto Em face da tranformação de frequência anterior 38, o ganho do filtro aa-alto em é e o ganho ara é k A função de tranferência do filtro ode er normalizada em relação ao eu valor em, T, vindo: T j T + ξ 4 Aim, o ganho em db ode obter-e ela oma do ganho do filtro aa-baixo correondente com o ganho do numerador, ito é: G log T j + log, baixo 4 elo que a curva de ganho e odem obter a artir da do filtro aa-baixo, rereentada na Fig 8, ela adição de uma recta a +4 db/dec, correondente ao º termo da equação anterior O valore notávei de frequência, rereentado na Atrao de gruo da função biquadrática aa-baixo Mai imortante do que a curva da fae é a curva de atrao de gruo, oi o filtro ideal fiicamente realizável deve ter atrao de gruo contante ara toda a frequência dφ ξ + τ d + ξ 33 O atrao em é de τ ξ, deoi, quando aumenta, crece muito atingindo um valor máximo, decrecendo deoi ara quando O atrao de gruo deve er exreo em função do valor do atrao ara, obtendo-e o atrao normalizado τ + τ + ξ 34 Tab, ão igualmente alicávei, ma agora ão obervado na frequência invera /, como e ode ver na Fig 9 Moié Piedade, IT, Março de

19 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA 9 Fae e atrao de gruo da função biquadrática aa-alto A fae do filtro aa-alto é igual à do filtro aa-baixo com o memo ólo, omada com -8º, ara > A fae vale -8º ara + Lembre-e que a fae de um itema linear é uma função ímar da frequência e que, or io, a fae ara - é de +8º Para > a fae é rereentada or uma curva crecente dede 8º em até º em u φ φ + 8º, em que u é a função degrau que vale ara < e vale ara > a b 4 O atrao de gruo, endo obtido ela derivação da fae, na frequência, terá um andamento emelhante ao do atrao de gruo do filtro aa-baixo, ma conterá um termo reultante da decontinuidade de fae obervável em, como acima foi referido, ito é: dφ a τ τ π δ, a b d em que δ é a função de Dirac 43 Na Fig 9 ode obervar-e a curva de fae e de atrao de gruo do filtro aa-alto 33 FUNÇÃO BIQUADRÁTICA PAA- BANDA A fórmula geral da função de tranferência de uma ecção biquadrática do tio aa-banda, com ganho k na frequência, é: T k ξ + ξ + 44 T ode er obtida da função de tranferência do filtro aa-baixo normalizado 7, a artir da chamada tranformação de frequência aa-baixo aa-banda, decrita or: bn +, b em que b ξ é a largura de banda do filtro aa-banda bn 45 Moié Piedade, IT, Março de

20 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA - db ξ > <,5 ξ ξ < >,5 ξ οο -4 W, fw Q,5 Q, W tw/t,,,,, Q,5 Q, Q Q,,, W, Fig 9- Pólo, zero e reota em frequência da ecção biquadrática aaalto A equação 44 ode também er ecrita em termo da frequência, normalizada em relação ao módulo da frequência do ólo, /, T k ξ + ξ + 46 Eta função ode er obtida a artir da função de tranferência aa-baixo de ª ordem, normalizada á frequência c ξ, F b k + b k b + ξ 47 atravé da tranformação de frequência aa-baixo frequência b, ara aa-banda frequência ubtituindo b +, que ermite obter 46 T 48 j T j jφ k + j ξ k e T j k / + ξ / φ arctan ξ 49 Moié Piedade, IT, Março de

21 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA Quer o módulo, quer a fae, da função de tranferencia têm imetria geométrica na frequência 9, em torno de, como e ode obter analiando a fórmula O ganho máximo ocorre ara e a inclinação aintótica é de +db/dec, ara << e de db/dec, ara >> A frequência B ara a quai o ganho cai a 3dB, relativamente ao valor do ganho máximo, ito é, Tj / k -/ ão: ξ + ±ξ B, 5 a diferença entre a dua frequência é a largura de banda, B, normalizada a B ξ B B Q 5 Ganho do filtro aa-banda O ganho do filtro aa-banda ode obter-e a artir do ganho do filtro aa-baixo, or obtendo-e a curva rereentada na Fig G log T j + log ξ baixo 5 Fae e atrao de gruo do filtro aa-banda A fae è igual à do filtro aa-baixo omada com +9º ara > e 9º ara <,ito è: u φ φ + 9º O atrao de gruo é análogo ao do filtro aa-baixo bn b 53 dφ bn τ τ π δ bn b d 54 Na Fig odem obervar-e a curva de ganho normalizado, de fae e de atrao de gruo de filtro aa-banda de ª ordem ara diferente factore de qualidade 9 - A frequência e geometricamente earada da frequência, atifazem a condição: * Moié Piedade, IT, Março de

22 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA , ξ > <,5 fw ξ ξ < >,5, W tw/t Q,5 Q,5 Q,, W Q ξ οο 34 FUNÇÃO BIQUADRÁTICA REJEITA-BANDA A função rejeita-banda, além do doi ólo emelhante ao da função aabaixo, tem doi zero com frequência z e factor de qualidade infinito também deignado or zero de tranmião T br + z + ξ + 55 De acordo com o valor relativo de z e de, aim e têm trê cao oívei de reota do filtro rejeita banda, ver Fig Definindo a frequência normalizada /, e χ z /, vem T + χ + + ξ 56 Fig - Pólo, zero e reota em frequência da ecção biquadrática aa-banda Ganho da função rejeita-banda G log T j + log χ baixo 57 Fae e atrao de gruo do filtro rejeita-banda A fae è igual à do filtro aa-baixo omada com 8º ara > χ e º ara < χ,ito è: φ φ + 8º u χ bn b 58 - Na frequência do zero de tranmião a atenuação é infinita, contratando aim com o zero reai no quai a atenuação introduzida é emre finita Moié Piedade, IT, Março de

23 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA 3 O atrao de gruo é análogo ao do filtro aa-baixo τ dφ bn τ π δ χ bn d b 59 Na Fig odem obervar-e a curva de ganho normalizado, de fae e de atrao de gruo de filtro rejeita-banda de ª ordem ara diferente factore de amortecimento e ara cao χ <, χ< χ ξ > <,5 ξ ξ < >,5 ξ οο ξ > <,5 ξ < >,5 ξ ξ οο db Q db Q - χ db Q,5 - Q,5-4 W, -4 W, fw Q -45 Q,5-9, W fw Q Q,5-9, W tw/t Q Q,5, -π ara χ,, W tw/t Q Q,5, -π ara,, W Fig - Tio de reota da função de tranferência rejeita-banda, χ < Fig - Tio de reota da função de tranferência rejeita-banda χ denominado de filtro rejeita-banda do tio aa-baixo, χ, denominado or filtro rejeita-banda e χ >, Moié Piedade, IT, Março de

24 4 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA denominado or filtro rejeita-banda do tio aa-alto, não e rereenta orque é imilar ao de χ <, com o eixo da frequência invertido O filtro rejeita-banda com z χ, ode obter-e do filtro aa-baixo normalizado 7, a artir da eguinte tranformação de frequência, deignada or tranformação aa-baixo rejeita-banda, db ξ > <,5 ξ ξ < >,5 B, + br br 6 ecrita em termo da frequência normalizada br, ode obter-e a artir da função de tranferência da ecção aa-banda, ecrita em termo da frequência normalizada bn, atravé de uma tranformação de frequência do tio W, fw Q,5 Q Q,5 Q, W bn T br k, br ξ + ξ FUNÇÃO BIQUADRÁTICA IGUALIZADORA DE ATRAO,, tw/t Q,5 Q, W Fig 3- Pólo, zero e reota em frequência da ecção biquadrática igualizadora de atrao A função de tranferência de um igualizador de atrao tem doi zero no emi-lano comlexo equerdo que ão imétrico, relativamente ao eixo imaginário, do ólo Eta função é dada or: T ξ + ξ Moié Piedade, IT, Março de

25 FUNÇÕE BIQUADRÁTICA 5 Ganho, fae e atrao de gruo da função igualizadora de atrao É fácil ver que Tj é unitário e a fae, bem como o atrao de gruo, ão dulo do correondente valore de um filtro aa-baixo com ólo, como e ode ver na Fig 3 τ φ φ ia b dφ bn τ bn d b 63 O igualizador de atrao tem a articularidade de não alterar a reota de amlitude do itema, ma acrecenta atrao que e concentra em determinada frequência, ver figura anterior, de modo que é oível tranformar um itema que não tinha atrao de gruo contante num itema que tem ete atrao contante; or io eta ecçõe biquadrática e deignam or igualizadora Moié Piedade, IT, Março de