Breve apontamento sobre enrolamentos e campos em sistemas trifásicos

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1 Breve aontamento obre enrolamento e camo em itema trifáico. Introdução Nete documento areentam-e o fundamento da criação do camo girante da máquina eléctrica rotativa. Ete aunto é tratado de forma muito rudimentar, não dienando a conulta de outro documento mai arofundado.. Camo criado or um enrolamento concentrado Conidere-e o circuito magnético rereentado na igura. Dua eira criam doi are de ólo. Eta eira encontram-e concentrada na ranhura indicada. A outra ranhura encontram-e vazia. S N N S igura : Circuito magnético com doi are de ólo com enrolamento concentrado. A corrente etão localizada na cava indicada a verde. O camo B radial no entreferro tem o andamento indicado na igura.

2 .3. B.n, Tela Length, cm igura : Andamento do camo B ao longo da eriferia do entreferro Ete andamento oderá er calculado aroximadamente. Circulando or uma linha de força, tem-e: N H. dl = H g g = i (5. ) onde: N - Número de eira or fae número de are de ólo q número de cava or ólo e or fae Definindo força magnetomotriz de entreferro como ( θ ) = gh ( θ ) (5. ) m g tem-e H e g m m ( θ ) ( θ ) = g Ni ( θ ) = (5. 3) O andamento do camo criado or um enrolamento concentrado é aim de forma rectangular como o areentado na figura.

3 3. Camo criado or um enrolamento ditribuído Para e obter um camo de forma inuoidal ao longo da eriferia do entreferro exitem vária técnica. Uma dela conite em dior o enrolamento ditribuído or vária cava. Em vez do enrolamento correondente a um ólo etar todo concentrado na mema cava, como e motra na igura 3, ete erá dividido em q bobina com N/q eira e colocado na cava adjacente. A igura 3 areenta a ditribuição de um enrolamento com q=3 cava or ólo e or fae. A cava que e encontram vazia erão ocuada ela outra fae ao que correonde uma ocuação da eriferia melhor. A igura 4 areenta agora o andamento do camo ao longo do entreferro. A figura (b) areenta ete andamento aena ara um ar de ólo. Note-e que agora o andamento é mai aroximado da inuóide. Contudo ainda e etá longe da ditribuição inuoidal. igura 3: Camo girante com trê condutore fae e or ólo. B.n, Tela B.n, Tela Length, cm - 5 Length, cm igura 4: (a) doi are de ólo (b) um ar de ólo Utilizando vária técnica é oível obter uma ditribuição de camo aroximadamente inuoidal. A igura 5, areenta o camo criado or cada uma da 3

4 trê fae iolada ara o cao em que e tem aena um ar de ólo. Ete cao é etudado como exemlo. A verde etão indicada a cava a que correondem cada uma da fae. Camo criado ela fae a Camo criado ela fae b Camo criado ela fae c igura 5: Camo criado or cada uma da fae ioladamente. Da figura 5 ode concluir-e que cada fae cria um camo magnético com eixo de imetria colocado em ítio diferente. Ete deendem da localização do condutore de cada fae. O eixo de imetria do camo reultante ode er utilizado ara indicar a oição no eaço da fae. Ete eixo de imetria etão defaado de º no eaço. A figura 6. areenta um equema imlificado ara a rereentação do enrolamento. y a+ c- b- θ b+ 3 a- c+ x igura 6: Equema imlificado ara a rereentação do enrolamento. 4

5 Etando o enrolamento defaado de º, o andamento ao longo de θ ara a trê fae ode er aroximado or uma onda inuoidal equivalente e erá dado or: Neq ma ( θ ) = ia co( θ ) (5. 4) Neq π mb ( θ ) = ib θ (5. 5) 3 Neq 4π mc ( θ ) = ic θ (5. 6) 3 Em que N eq é um número equivalente de eira que tem em conta a ditribuição e outro aecto. Aim temo 3 onda de camo defaada no eaço de º. Eta ão roorcionai à reectiva corrente que circulam no enrolamento. 4. Camo criado or um itema trifáico inuoidal Conidere-e agora que a corrente na fae a tem a forma dada ela equação 5.7. ia ( ω = I a co (5. 7) A força magnetomotriz criada or eta fae erá dada or: Neq ma ( θ, = Ia co( θ ) co( ω (5. 8) Definindo, Neq max = Ia (5. 9) e uando a fórmula trigonométrica, α co β = co co + ( α β ) + ( α β ) co (5. ) 5

6 obtém-e: θ, = max co( θ ω + co( θ + ω (5. ) ma ( max que e ode interretar como a oma de dua onda uma que circula no entido oitivo e a outra que circula no entido negativo. + = = co ( θ ω max (5. ) co ( θ + ω max (5. 3) Para a outra dua fae ter-e-á: θ, = co ( θ ω + co θ + ω t + mb ( max max (5. 4) π mc ( θ, = max co( θ ω + max θ + ωt (5. 5) 3 A força magnetomotriz reultante erá a oma da equaçõe 5., 5.4 e 5.5. Obtém-e: 3 mt ( θ, = ma + mb + mc = max co( θ ω (5. 6) Que rereenta uma onda que e roaga no entido oitivo. A interretação fíica da equação 5.6, encontra-e na igura 7. π 3 Ia, Ib, Ic Corrente no itema trifáico Ia Ib Ic angulo (º) 6

7 Ia, Ib, Ic Corrente no itema trifáico Ia Ib Ic angulo (º) Ia, Ib, Ic Corrente no itema trifáico Ia Ib Ic angulo (º) igura 7: orma do camo em trê intante uceivo. A eta a azul rereenta a direcção de camo máximo. Para uma máquina com 4 ólo o camo total é dado na igura 8 onde e ode obervar que a ditribuição de camo não anda muito longe da forma inuoidal. igura 8: Ditribuição de camo criado ela trê fae. 7

8 O onto máximo da onda de força magnetomotriz é determinado or θ ω t = (5. 7) ou eja, o ângulo θ Β a que e deloca o onto máximo é dado or: ω θ B = t (5. 8) Que ignifica que a velocidade do camo é dada or: ω ω yn = (5. 9) Em rm tem-e: 6 f N yn = (5. ) 5. Cálculo do camo de indução no entreferro A artir da onda de força magnetomotriz ode calcular-e a onda de camo de indução magnética que é dada or: B θ, = g = B 3 = g ( mt max co ( θ ω co ( θ ω (5. ) igura 9: Definição de fluxo or ólo. 8

9 O fluxo numa ecção em movimento com o eixo de imetria coincidente com a oição de camo máxima, ode er calculado or: π / φ = L B co( θ ) rdθ (5. ) π / φ = BLr (5. 3) 6. luxo ligado com o enrolamento Conideremo um enrolamento com aena uma eira. Por definição, ete enrolamento etá colocado na oição θ a. Calcule-e o fluxo ligado com ete enrolamento no intante em que o camo reultante e encontra na oição θ B. y a+ n B θ Β n θ a x n a- igura : Localização da fae genérica ara a determinação do fluxo ligado. O fluxo ligado, igura, erá dado or: + π θa e = B r Lrdθ (5. 4) π θa 9

10 ou eja, ( ) + π θa e = Lr B co θ θb dθ (5. 5) π θa = φ co ( θ θ ) e a B (5. 6) O fluxo ligado com o enrolamento do etator odem er calculado a artir de = φ co( θ θ ) e a B (5. 6) tendo em conta que a oição do enrolamento da fae é θ a = ara a fae a, θ b =π/3 ara a fae b e θ b =π/3 ara a fae c. Obtém-e: a ( ω N φ co( ω = Neqφ co = eq (5. 7) π π b = Neqφ ωt = Neqφ ωt 3 3 (5. 8) 4π 4π c = Neqφ ωt = Neqφ ωt 3 3 (5. 9) Etando o rotor numa oição θ m, tem-e: ar ( θ ω = N φ ( ω t θ ) = Neqφ co m eq co m (5. 3) br cr π π = N eqφ θm + ωt = Neqφ ωt θm 3 3 (5. 3) 4π 4π = N eqφ θm + ωt = Neqφ ωt θm 3 3 (5. 3) rodando o rotor à velocidade ω m, tem-e θ m =ω m t, ou eja: ar ( ω t ω N φ co( ω = Neqφ co m = eq r (5. 33) A frequência vita no rotor erá: ω r = ω ωm (5. 34)

11 Que relaciona a frequência da grandeza do rotor e do etator com a velocidade de rotação. Ditinguem-e doi tio de máquina eléctrica baeada no rincíio do camo girante: Máquina íncrona, onde ω = ωm ωr =. Neta máquina a velocidade de rotação é determinada ela velocidade do camo girante, endo nula a frequência da grandeza do rotor. Máquina aíncrona Neta máquina é induzida uma força electromotriz no rotor de frequência ω r. Eta é utilizada ara a criação da corrente que circularão nete. Define-e ecorregamento relativo de modo: ω ω = m (5. 35) ω ou eja ω r = ω (5. 36)