P U C R S PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL CONCRETO ARMADO II FORÇA CORTANTE

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1 P U C R S PONTIFÍCI UNIERSIDDE CTÓLIC DO RIO GRNDE DO SUL FCULDDE DE ENGENHRI CURSO DE ENGENHRI CIIL CONCRETO RMDO II FORÇ CORTNTE Pro. lmir Schäer PORTO LEGRE MRÇO DE 006

2 1 FORÇ CORTNTE 1- Notaçõe principai a = epaçamento da barra da armadura tranveral, medido perpendicularmente ao eixo da barra c = epaçamento da biela de concreto, medido perpendicularmente ao eixo da biela z = braço de alavanca do par interno α = inclinação da barra da armadura tranveral, em relação ao eixo da viga θ = inclinação da biela de concreto, em relação ao eixo da viga w = área da eção da armadura tranveral, num trecho de comprimento w = área da eção da armadura tranveral, por unidade de comprimento da viga ρ w = taxa geométrica de armadura tranveral σ c = tenão de compreão numa biela de concreto σ = tenão de tração na armadura tranveral - Tenõe principai Conidere-e uma viga de concreto, bi-apoiada, ujeita a uma carga uniormemente ditribuída (Fig. 1). baixo da viga etão repreentado o diagrama e M e a direita da eção a épura da tenõe τ e σ produzida por e M repectivamente. Na ace de um elemento de viga localizado junto à ace inerior da viga (Ponto ) atuam apena a tenõe de tração σ 1 produzida pelo momento letor; a tenõe de cialhamento neta ace, produzida pela orça cortante, ão toda nula. Logo, eta ace ão o plano principai no ponto e a tenõe σ 1 ão a tenõe principai de tração nete ponto. Quando eta tenõe ultrapaam a

3 reitência do concreto à tração, o concreto iura e para reitir o eorço de tração que o concreto deixa de reitir é neceário colocar junto à ace inerior da viga e na direção da tenõe σ 1 uma armadura adequada (a armadura longitudinal de lexão). B C 1 D a 1 3 b M FIGUR 1 Na ace de um elemento de viga localizado junto à ace uperior da viga (Ponto B) atuam apena a tenõe de compreão σ produzida pelo momento letor; a tenõe de cialhamento neta ace, produzida pela orça cortante, ão toda nula. Logo, eta ace ão o plano principai no ponto B e a tenõe σ ão a tenõe principai de compreão nete ponto. Como o concreto é uma material que reite bem à compreão, na viga de concreto armado eta tenõe ão uportada normalmente pelo concreto. Na ace de um elemento de viga localizado no eixo da viga (Ponto C) atuam a tenõe de cialhamento τ produzida pela orça cortante; a tenõe normai neta ace, produzida pelo momento letor, ão toda nula. O elemento C etá ampliado no canto inerior direito do deenho (Fig. 1). Para melhor identiicar a tenõe de cialhamento que atuam em ua ace, ela oram numerada de 1 até 4.

4 3 Compondo a reultante da tenõe de cialhamento 1 e obtém-e a reultante 1 e compondo 3 e 4 obtém-e a reultante 34. Eta orça 1 e 34 produzem tração no ponto C na direção a. direção a (inclinada de 45 o em relação ao eixo da viga) é a direção da tenõe principai de tração no ponto C. Quando eta tenõe ultrapaam a reitência do concreto à tração, o concreto iura e para reitir o eorço de tração que o concreto deixa de reitir é neceário colocar na viga uma armadura adequada (a armadura tranveral). tenõe de cialhamento que atuam no elemento C também podem er compota de outra maneira. Compondo a reultante da tenõe de cialhamento 1 e 4 obtém-e a reultante 14 e compondo e 3 obtém-e a reultante 3. Eta orça 14 e 3 produzem compreão no ponto C na direção b. direção b (inclinada de 45 o em relação ao eixo da viga) é a direção da tenõe principai de compreão no ponto C. Eta tenõe de compreão ão uportada pelo concreto. 3- Treliça de Mörch Para veriicar a tenõe principai de compreão no concreto, na altura do eixo da viga, e para calcular a armadura tranveral da viga de concreto armado Mörch imaginou um equema de cálculo que conite eencialmente numa treliça, que paou a er conhecida como treliça de Mörch (Fig. ). Na direção da tenõe principai de compreão oram imaginada barra de concreto (junto à borda uperior da viga um banzo longitudinal comprimido e cruzando o eixo da viga biela comprimida inclinada de 45 o ) já que o concreto reite bem à compreão. Na direção da tenõe principai de tração oram colocada a barra de aço (junto à borda inerior da viga um banzo tracionado contituído da armadura longitudinal de lexão e cruzando o eixo da viga a armadura tranveral para a orça cortante). armadura tranveral é tanto mai eiciente quanto mai próxima ua direção etiver da direção da tenõe principai de tração na altura do eixo da viga. armadura tranveral mai uada é a armadura de etribo verticai. Eventualmente também ão uada barra dobrada, inclinada de 45 o em relação ao eixo da viga.

5 4 4- Geometria da treliça O epaçamento entre a barra da armadura tranveral (igual ao epaçamento entre a biela comprimida de concreto), medido paralelamente ao eixo da viga, pode er obtido como egue (Fig. ): a c α θ z z θ α m n FIGUR m n = z.cotθ (1) = z.cot α () Somando membro a membro a dua equaçõe anteriore obtém-e m + n = z.(cot θ + cot α ) donde = z.(cot θ + cot α ) (3) Epaçamento entre a barra da armadura tranveral, medido perpendicularmente ao eixo da barra (Fig. ): a =.enα (4) Epaçamento entre a biela de concreto, medido perpendicularmente ao eixo da biela (Fig. ): c =.enθ (5)

6 5 5- Reitência da biela de concreto Reultante da tenõe de compreão numa biela de concreto (Fig. 3): Rcw = σ c. bw. c (6) S cw Rc Rcw z S Ncw θ R FIGUR 3 Subtituindo c dado pela equação (5) na (6) reulta: R = σ. b..en θ (7) cw c w Subtituindo dado pela equação (3) na (7) reulta: R = σ. b. z.(cot θ + cot α).en θ (8) cw c w Fazendo z = 0, 9. d (9) na equação (8) reulta: R = 0, 9. σ. b. d.(cot θ + cot α).enθ (10) cw c w Componente paralela à eção, da reultante R cw (Fig. 3): cw = R.enθ (11) cw Subtituindo R cw dado pela equação (10) na (11) reulta:

7 6 = 0, 9. σ. b. d.(cot θ + cot α).en θ (1) cw c w reitência do concreto, à compreão uniorme, é dada por (Boletim de Inormação número 04, Código Modelo CEB - FIP, 1990): a) na zona não iurada b) na zona iurada onde ck é dado em MPa. cd1 cd ck = 0,85. 1.cd (13) 50 ck = 0,60. 1.cd (14) 50 Fazendo, na equaçõe (13) e (14) ck α v = 1 (15) 50 onde ck é dado em MPa, reulta: = 0,85. α.cd (16) cd1 v = 0,60. α.cd (17) cd v Subtituindo σ c por cd dado pela equação (17) na (1) e trocando a notação de cw por Rd, reulta: = 0,54. α..b.d.(cot θ + cot α). en θ (18) Rd v cd w Eta equação é uada pela norma para calcular a orça cortante reitente de cálculo no etado limite último, proveniente da orça de compreão na biela de concreto. Com relação à inclinação da biela de concreto, a norma prevê doi modelo de cálculo: a) o modelo I (NBR 6118, item ), no qual a inclinação da biela é de θ = 45 o ; e

8 7 b) o modelo II (NBR 6118, item ), no qual a inclinação é ecolhida livremente entre o limite 30 θ 45. o o O modelo de uo corrente na prática é o modelo I. Fazendo θ = 45 o na equação (18) reulta, para ete modelo: Rd = 0,7. α..b.d.(1 + cot α) (19) v cd w egurança em relação à ruína por compreão da biela de concreto é coniderada atiatória quando a orça cortante olicitante de cálculo, Sd, or menor ou igual à orça cortante reitente de cálculo, Rd, ito é, quando Sd (0) Rd 6- Reitência da armadura tranveral Reultante da tenõe de tração na armadura tranveral (Fig. 4): R =.σ (1) w w S Rc z S α Nw θ w Rw B R FIGUR 4 Componente paralela à eção, da reultante R w (Fig. 4): w = R.enα () w Subtituindo R w dado pela equação (1) na () reulta:

9 8 =. σ.enα (3) w w Multiplicando e dividindo o egundo membro da equação anterior por, reulta: w w =. σ..enα (4) Subtituindo dado pela equação (3) na (4) reulta: w w = z. σ..(cotθ + cot α).enα (5) Subtituindo z dado pela equação (9) na (5) reulta: w w = 0, 9.. σ. d.(cot θ + cot α).enα (6) reitência de cálculo da armadura tranveral é dada por (NBR 6118, item , b): a) no cao de etribo: ywk ywd = Menor ; 435MPa (7) γ b) no cao de barra dobrada: ywk ywd = Menor 0,7. ; 435MPa (8) γ Fazendo σ = ywd na equação (6), reulta: w w = 0,9.. ywd.d.(cot θ + cot α). enα (9) Eta equação é uada pela norma (NBR 6118, item , b) para calcular a orça cortante reitente de cálculo no etado limite último, proveniente da orça de tração na armadura tranveral.

10 9 Para o cao particular do modelo de cálculo I ( θ = 45 o ), a equação (9) ornece: w w = 0,9.. ywd.d.(en α + coα) (30) De acordo com a norma (NBR 6118, item ), a orça cortante reitente de cálculo relativa à ruína por tração diagonal, Rd3, é dada por onde: = + (31) Rd3 a) w é a parcela de orça cortante reitida pela armadura tranveral; e b) c é a parcela de orça cortante reitida pelo concreto. wd c Para o cao particular do modelo de cálculo I, na lexão imple, a norma (NBR 6118, item , b) ornece onde = 0, 6.. b. d (3) c ctd w ctd ctk, in = (33) γ c egurança em relação à ruína por tração diagonal é coniderada atiatória quando a orça cortante olicitante de cálculo, Sd, or menor ou igual à orça cortante reitente de cálculo, Rd3, ito é, quando Sd 3 (34) Rd 7- Cálculo da armadura (modelo de cálculo I) Subtituindo Rd3 dado pela equação (31) na (34) reulta: + (35) Sd w c Subtituindo w dado pela equação (30) na (35) e iolando w reulta:

11 10 0, 9.. d.(en α + co α) w Sd c ywd (36) Eta equação permite calcular a área da eção mínima neceária para a armadura tranveral, por unidade de comprimento da viga. 8- Taxa geométrica de armadura tranveral taxa geométrica de armadura tranveral é a relação entre a área da eção da armadura tranveral e a área da eção de concreto que a envolve (Fig. ), ito é: w ρ w = (37) b.a w Subtituindo a dado pela equação (4) na (37) reulta: w ρ = w (38) b.enα w Eta equação é uada para calcular a taxa geométrica de armadura tranveral de uma viga. 9- rmadura tranveral mínima taxa geométrica de armadura tranveral contituída por etribo não pode er menor que a mínima dada pela expreão (NBR 6118, item ): ctm ρ w, min = 0,. (39) ywk Portanto, a área mínima de eção de armadura tranveral contituída por etribo, permitida pela norma, é dada por: w min = ρ w min.b w.enα (40)

12 Bitola e epaçamento da barra da armadura Para o cao de etribo, a norma (NBR 6118, item ), etabelece a eguinte limitaçõe : a) para o diâmetro: φ t 5mm (41) b) para o epaçamento: Se então enão b w φ t < 10 (4) Sd 0,67. Rd (43) max = Menor(0,6.d; 30cm) (44) max = Menor(0,3.d; 0cm) (45) ). Para o cao de barra dobrada, conultar a norma (NBR 6118, item 11- rmadura compota de etribo e barra dobrada er a norma (NBR 6118, item ). 1- Carga próxima do apoio er a norma (NBR 6118, item ). 13- rmadura de tração no apoio extremo No apoio extremo da viga (bi-apoiada e contínua) é neceário prever uma armadura longitudinal de tração para ancorar a biela de concreto que chega ao apoio (NBR 6118, item , b).

13 1 orça na armadura, neceária para ancorar a orça na biela de concreto, pode er calculada a partir da condição de equilíbrio do nó do apoio (Fig. 5, a). Para que o nó eteja em equilíbrio é neceário que o polígono da orça que concorrem no memo eja echado (Fig. 5, b). a) S b) Rcw iga θ R Rcw θ R poio FIGUR 5 Força na armadura (ver polígono de orça da igura): R =.cot θ (46) Fazendo θ = 45 o (modelo de cálculo I) na equação anterior reulta: R = (47) De acordo com eta equação a orça de tração na armadura longitudinal, na eção junto ao apoio extremo de uma viga, é igual à orça cortante no apoio. armadura neceária para reitir a eta orça é dada por: Sd = (48) yd O comprimento de ancoragem neceário para ancorar a barra deta armadura deve contado a partir da ace do apoio (NBR 6118, item ).

14 Tranlação do diagrama de momento letore orça R na armadura longitudinal de tração, numa eção tranveral que paa pelo nó da treliça (Fig. 4), é calculada com o momento letor que atua neta eção. Eta orça, no entanto, devido à iuração inclinada do concreto, etende-e na armadura longitudinal até a eção tranveral que paa pelo nó B da treliça. ditância a entre o nó e B, medida na direção do eixo da viga, para biela inclinada de θ = 45 o (modelo de cálculo I), é de: a d (49) o cobrir o diagrama de momento letore com a armadura de lexão é neceário então delocar o diagrama de momento letore, para o lado deavorável, deta ditância a. norma (NBR 6118, item , c), permite uar delocamento menore que o determinado com a equação anterior. 15- rmadura de upenão Na proximidade de carga concentrada tranmitida à viga por outra viga que nela e apoiem (ao longo ou em parte de ua altura) ou nela iquem pendurada, deve er colocada uma armadura de upenão adequada (NBR 6118, item ).

15 Exemplo de cálculo Calcular e detalhar, para a viga da igura: a) a armadura para a lexão; b) a armadura para a orça cortante (modelo de cálculo I e etribo inclinado de α = 90 o ); c) a armadura de tração na eção junto ao apoio mai carregado; e d) a armadura de upenão na região do apoio da viga ecundária (ponto C). Equema P = 115 kn Seção C B 50 0,80 0 1,80 0 3,00,00 5,00 m 0 FIGUR 6 Dado: Concreto C30: ck = 30 MPa ço C-50: yk = 500 MPa (para a lexão e orça cortante) Cobrimento: c = 30 mm ltura útil da eção: d = 45 cm

16 15 Solução: cd Reitência de cálculo: ck 30 = = = 14, MPa γ 14, c = 0, 3. = 0, =, 90 MPa ctm / 3 / 3 ck ctk, in = 0,7.ctm = 0,7.,90 =,03 MPa =,03 = 1,4 ctk, in ctd = γc = Menor( γ 1,45 MPa 500 ; 435 MPa) = Menor( ; 435 MPa) 1,15 ywd ywk = 435 MPa Reaçõe de apoio: = 46, 0 kn B = 69, 0 kn Diagrama e M: C 3,00,00 5,00 m B M FIGUR 7

17 16 a) rmadura para a lexão Eta armadura já oi calculada e detalhada num exercício anterior. Foram encontrado: = 0, m = 11,80 cm 4 φ 0 mm b = 33,4. φ = 33,4.,0 = 66,8 cm b) rmadura para a orça cortante Será calculado apena o trecho CB, que é o mai olicitado. No trecho C pode-e uar igual à do trecho CB. Força cortante olicitante de cálculo: = γ. = 14,. 69, 0 = 96, 6 kn Sd S α eriicação do concreto: ck 30 = 1 = v = Rd = 0,7. α v. cd.b w 0,880.d.(1 + cot α) Rd = 0,7.0,880.(1,4E3).0,0.0,45.(1 + cot(90)) = 457,6 kn Concluão. condição de egurança comprimida de concreto, etá atieita. Sd Rd, relativa à ruína da biela Cálculo da armadura tranveral: c = 0,6. ctd.b w.d = 0,6.(1,45E3).0,0.0,45 = 78,3kN 0, 9.. d.(en α + co α) w Sd c ywd w 96,6 78,3 = 0, ,9.(435E3).0,45.(en(90) + co(90)) m m ρ eriicação da taxa mínima de armadura tranveral: = 0,.,90 = 0,. 500 w, min ctm = ywk 0,00116

18 17 rmadura tranveral mínima: w w min min = ρ w min.b w.enα = 0, ,0.en(90) = 0,0003 m m Concluão. Como w min > w, deve-e uar w min. Portanto: w min = 0,0003 m m cm =,3 m Etribo φ 6.3 c. 6 dete polígrao. eriicação da bitola e do epaçamento da barra da armadura: ver item 10 c) rmadura de tração na eção do apoio mai carregado (apoio B) Cálculo da armadura neceária: Sd 96,6 = = = 0,000m =,cm φ 0 da armadura de lexão (435E3) yd F = Força numa barra φ 0: 96,6 = Sd d = 48,3 kn Comprimento de ancoragem neceário para cada uma da barra levada ao apoio (contado a partir da ace do apoio): b, nec Fd = b. = F yd b Fd.. 1 yd 48,3 = 66,8. = 3,6 cm 4 cm 0, (435E3) b, min eriicação do comprimento de ancoragem mínimo: = Maior(0,3. b ; 10. φ; 10cm) = Maior(0,3.66,8; 10.,0; 10cm) 1 cm Concluão. Como >, deve-e uar 4 cm. b, nec b, min b, nec =

19 18 c) rmadura de upenão na região do apoio da viga ecundária Fd γ.f 14,. 115 = = = = 0, m = 3, 70 cm 435e3 Sei etribo φ 6.3 yd yd Detalhamento da armadura calculada: ver igura eguinte. 4 4 Po 5 - φ 6.3 mm 6 Po 5 c Po 5 c ,80 0 Po 4 - φ 6.3 mm Po 1-1 φ 0 mm Po - 1 φ 0 mm Po 3 - φ 0 mm FIGUR 8

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