Compensadores. Controle 1 - DAELN - UTFPR. Os compensadores são utilizados para alterar alguma característica do sistema em malha fechada.

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1 Compenadore 0.1 Introdução Controle 1 - DAELN - UTFPR Prof. Paulo Roberto Brero de Campo O compenadore ão utilizado para alterar alguma caracterítica do itema em malha fechada. 1. Avanço de fae (lead): a) melhora margem de etabilidade; b) aumenta a faixa de paagem; c) melhora a repota tranitória (itema fica mai rápido); d) fica ujeito a ruído de alta frequência; e) diminui o obre-inal máximo na repota ao degrau. 2. Atrao de fae (lag): a) diminui o ganho do itema em alta frequência, em reduzir o ganho em baixa frequência (melhora a precião em regime etacionário); b) reduz a largura de faixa; c) o itema fica mai lento; d) por caua da diminuição do ganho em alta-frequência o ganho total do itema pode er aumentado, melhorando a precião em regime permanente. 3. Avanço-atrao de fae (lead-lag): a) ganho em baixa frequência pode er aumentado (o que ignifica uma melhoria na precião em regime permanente); b) enquanto ao memo tempo a largura de banda e margem de etabilidade do itema pode er aumentada. 4. PID: cao epecial de Lead-lag. 5. PD - comporta-e como o avanço de fae: a) afeta região de alta frequência; b) aumenta o ângulo de fae; c) melhora etabilidade; d) aumenta a largura de faixa; e) mai rápido. i

2 6. PI - atua como o atrao de fae: a) afeta a região de baixa-frequência; b) aumenta o ganho em baixa frequência; c) melhora a precião em regime. 0.2 Compenadore Controlador PI A equação do compenador PI é dada por: C() = K p + K I O controlador PI adiciona um zero em = Ki/Kp e um pólo em = 0. Ele aumenta a ordem do itema, podendo er meno etável que o itema original, devendo-e ecolher com critério K p e K I. Como ele aumenta o tipo do itema de um (devido ao pólo na origem), o erro em regime para uma entrada degrau é zero. O controlador PI permite uma repota tranitória com pouco ou nenhum obreinal, ma o tempo de ubida pode er um tanto grande Controlador PD A equação do compenador PD é dada por: C() = K p + K d. O controle derivativo equivale à adição de um zero imple em = Kp K d. Em bloco o controlador PD é motrado na figura 1. Figura 1: Compenador PD Explicação de como o derivativo atua O inal de aída tem um overhoot coniderável (em levar em conta o termo derivativo), como motrado na figura 2. O inal de erro é também motrado neta figura. ii

3 Figura 2: Sinal de aída e erro em compenador O que caua o obreinal é o inal de erro er muito grande no intervalo 0 < t < t 1 e er inadequado entre t 1 < t < t 2. O inal da derivada do erro é motrado na figura 3, no memo gráfico que o inai e(t) e c(t). Figura 3: Sinal de aida e erro em compenador e derivada do inal de erro No compenador PD, o inai K p e(t) e K d de dt ão omado e o reultado leva a um inal que irá reduzir a amplitude do inal de entrada e aída. Ito acontece porque e(t) e de(t) dt tem inai opoto em algun intervalo promovendo uma diminuição do obreinal Controlador PID Compenador PID (proporcional integral derivativo): P ID = K P + K I + K d, podendo-e trabalhar com o elemento também de forma iolada, como por exemplo: a) proporcional: K P ; b) proporcional + integral: K P + K I ; c) proporcional + derivativo: K P + K d ; d) integral: K I Ob: exitem divera forma de e repreentar o compenador PID: a) P ID = K P (1+ iii

4 K I + K d); b) P ID = K P (1 + I + D). Na figura 4 é motrada uma verão do compenador PID. Neta figura qualquer variação no inal de referência é rapidamente paada à planta devido ao compenador derivativo. Ma ito pode er prejudicial para alguma planta indutriai. Figura 4: Compenador PID Aim na figura 5 é motrada uma outra poibilidade de contrução do PID. Aqui o compenador derivativo apena reponde a variaçõe do inal de aída Figura 5: Compenador PID Contrução do bloco derivativo puro D O controlador derivativo puro não pode er implementado fiicamente com elemento paivo R, L, C, poi a função de tranferência tem um zero e nenhum pólo. Ma pode er contruído com amplificadore operacionai. O derivativo puro é um filtro paa alta e devido a ito o itema ficará enível a ruído em alta frequência. iv

5 0.2.5 Implementação prática do bloco derivativo D Um compenador derivativo ideal é difícil de contruir. Como ua magnitude crece quando a frequência tende ao infinito, um diferenciador ideal produz uma amplificação indeejável de ruído em alta frequência que podem etar preente na malha fechada. Além dito, o aumento da banda de paagem aociado com o compenador derivativo ideal poderia cauar intabilidade devido a dinâmica não-modelada de alta frequência. Aim um compenador derivativo real é normalmente implementado pela colocação de um pólo em uma frequência entre trê a dez veze maiore do que a frequência de canto K p K d, ito é, ω = NKp, onde 3 N 10. Aim um compenador PD fíico é caracterizado K d por uma função própria: C P D() = Kp( K D KP +1) ( K D NK P +1) Compenador avanço de fae O compenador lead também é caracterizado por um par pólo-zero ajutável, geralmente colocado longe da origem no eixo real negativo. A compenação por avanço de fae pode er uada para alterar o valor do ganho de malha. Ele é um filtro paa alta (um diferenciador). No compenador avanço de fae o zero etá mai próximo da origem do que o pólo, no emi plano equerdo: z < p. A forma geral do compenador Lead é: Exemplo: C() = C() = K α + 1 T + 1 αt = K T +1 αt +1, com α < 1. Figura 6: Compenador avanço de fae Sendo polo = a e zero = b, o defaamento máximo ocorre na frequência: ω = ab E o valor do defaamento máximo é de: v

6 φ max = (90 2tg 1 b/a) O compenador avanço de fae diminui a curva de módulo total na região de baixa freqüência e aumenta a curva ângulo de fae na região de baixa a media freqüência. O compenador lead é uado para aumentar o ganho ou a margem de fae do itema ou também para aumentar a faixa de paagem. Um método útil para melhorar a etabilidade do itema é tentar cruzar a linha de 0db (ganho 1) com uma inclinação de -20db/decada. Cruzando com uma inclinação de -40db/década, geralmente reulta em um valor muito baixo para a margem de fae Compenador atrao de fae O compenador lag é caracterizado por um par pólo-zero ajutável, geralmente colocado perto da origem no eixo real negativo. A compenação por atrao de fae pode er uada para alterar o valor do ganho de malha. Ele é um filtro paa baixa (um integrador). A forma geral do compenador Lag é: C() = K + 1 T α = K T αt +1, com α > 1. αt No compenador atrao de fae o pólo etá mai próximo da origem do que o zero, no emi-plano equerdo: p < z. A compenação por atrao de fae baeia-e na colocação de um pólo e um zero próximo entre i e próximo da origem. Como ele etão próximo entre i, a contribuiçõe de fae e cancelam e o lugar da raíze original não é alterado. proximidade entre ele, a contribuiçõe de módulo e cancelam. Exemplo: C() = 0, Devido a Figura 7: Compenador atrao de fae Sendo polo = a e zero = b, o defaamento máximo ocorre na frequência: vi

7 ω = ab E o valor do defaamento máximo é de: φ max = ( tg 1 b/a) Compenador atrao-avanço É uma combinação da dua rede anteriore. A forma geral do compenador Lead é: C() = com b 1 > a 1, b 2 > a 2 e a 1 b 2 = b 1 a 2 jω jω a 1 b 2 1+ jω 1+ jω b 1 a 2 A compenação atrao-avanço tem toda a vantagen da compenaçõe de atrao e avanço, e apena um mínimo da ua caracterítica geralmente indeejávei. A atifação de muita epecificaçõe de itema é poível em a carga da largura de faixa exceiva e contante de tempo predominante. vii