Estrutura geral de um sistema com realimentação unitária negativa, com um compensador (G c (s) em série com a planta G p (s).

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1 2 CONTROLADORES PID Introdução Etrutura geral de um itema com realimentação unitária negativa, com um compenador (G c () em érie com a planta G p (). 2 Controladore PID 2. Acção proporcional (P) G c () = k, com k >. Principai caracterítica:. G c (jω)g p (jω) = k G p (jω) 2. (G c (jω)g p (jω)) = G p (jω) 3. localização de pólo em malha fechada obtida directamente do lugar geométrico da raíze 4. a frequência de traveia (ω π )de fae não depende de k (a) a margem de ganho varia inveramente com k MG = k G p(jω π) (b) aumento de k dimuinui margem de ganho 5. controlador proporcional não varia tipo de itema 6. contante de erro em regime permanente varia proporcionalmente com k 7. aumento de k melhora regime permanente Cao G p () tenha apena pólo no SPE ou na origem:. G p (jω) e G p (jω) diminuem com ω 2. aumento de k traduz-e num aumento da frequência de traveia de ganho (ω ) (a) diminuir margem de fae (b) aumenta largura de banda em malha fechada Cao G p () tenha um número de pólo uperior em mai de dua unidade ao número de zero ou tenha zero no SPD:. o itema realiamentado erá intável para valore de k elevado Exemplo 2.. Conideremo uma planta G p () = 6 (+2) 2. Um compenador proporcional G c () = k, permite diminuir o erro em regime permamente para entrada em degrau, que é decrecente com k e, degrau = + k/4 = k

2 2.2 Acção integral (I) 2 CONTROLADORES PID o pólo de malha fechada ão dado por + kg p () = k = endo (para k > ) = 2 ± j k A figura apreenta a repota ao degrau do itema realimentado, para valore de k, repectivamente de 6, 32 e 64. Neta figura é notória a diminuição do erro em regime permanente com o aumento de k, ma também o aumento da obreelongação, uma vez que o coeficiente de amortecimento diminui com o aumento de k, ζ = 2 k + 4. Para o valore de k indicado, o coeficiente de amortecimento ão repectivamente,.45,.33 e.24, correpondente a obreelongaçõe de 2%, 33% e 46% (e a frequência naturai não amortecida de 4.47, 6 e 8.25). Step Repone.4.2 Amplitude Time (ec) Figura : Repota ao degrau. 2.2 Acção integral (I) G c () = k I = T I Principai caracterítica:. G c () tem apena um pólo na origem 2. controlador integral aumenta em uma unidade o tipo de itema (a) e G p () for do tipo a acção integral elimina o erro em regime permanente para entrada em degrau (b) utilizado para melhorar o regime permanente 3. (G c (jω)g p (jω)) = 9 o + G p (jω) 4. G c (jω)g p (jω) G p (jω) para ω pequeno 5. G c (jω)g p (jω) G p (jω) para ω grande 2

3 2.2 Acção integral (I) 2 CONTROLADORES PID 6. a introdução do pólo na origem aumenta o número de aímptota do LGR (fazendo com que para k I elevado mai pólo paem para o SPD) 7. permite eliminar erro em regime permanente devido a perturbaçõe à entrada da planta, uma vez que G c ( ) Y () G p () = = = M() = + G c ()G p () = G c () = Comparação com controlo apena proporcional. habitualmente implica a dimunuição da frequência de traveia de fae 2. para manter uma margem de ganho emelhante normalmente requer uma diminuição da frequência de traveia de ganho, acarretando diminuição da largura de banda em malha fechada Exemplo 2.2. Conideremo novamente a planta G p () = (+2) e um compenador integral G 2 c () = k I /. O itema realimentado terá agora 3 pólo. Determinemo k I de modo que o pólo dominante tenham um coeficiente de amortecimento de.45 (igual ao obtido com um compenador proporcional G c () = 6). A equação caracterítica de malha fechada + G p ()G c () = toma agora a forma k I =. Coniderando que o itema realimentado tem um par de pólo complexo e um terceiro pólo (neceariamente real) localizado em a, a equação caracterítica correpondente erá ( + a)( 2 + 2ζω n + ω 2 n) = 3 + (a + 2ζω n ) 2 + (2aζω n + ω 2 n) + aω 2 n =. Da equivalência entre eta equaçõe reulta a + 2ζω n = 4 2aζω n + ωn 2 = 4 aωn 2 = k I Fazendo ζ =.5, como pretendido, e reolvendo o itema de equaçõe obtém-e ω n =.5, a = 3.6 e k I = A figura 2 apreenta a repota ao degrau do itema com ete compenador (e para comparação a repota com G c () = 6). Pode ver-e que o anulamento do erro ao degrau foi obtido à cuta de um diminuição da rapidez da repota, tal como eria de eperar (note-e a diminuição da frequência natural de 4.47 para.5). Step Repone.4.2 Amplitude Time (ec) Figura 2: Repota ao degrau. 3

4 2.3 Acção proporcional e integral (PI) 2 CONTROLADORES PID 2.3 Acção proporcional e integral (PI) G c () = k P + k I k P ganho proporcional k I ganho integral pode ainda ecrever-e G c () = k +z Principai caracterítica:. G c () tem um pólo na origem e um zero no SPE 2. não aumenta número de aímptota do LGR 3. G c (jω) = 9 o + arctan ω z (a) ω pequeno ( z) G c (jω) 9 o (G c (jω)g p (jω)) 9 o + G p (jω) (b) ω grande ( z) G c (jω) o (G c (jω)g p (jω)) G p (jω) Comparação com controlo apena proporcional ou apena integral. mantém caracterítica de melhoria de regime permanente e de eliminação de perturbaçõe da acção integral 2. G c (jω) aproxima-e de apena um ganho para ω z 3. fae poitiva devida ao zero no SPE permite aumentar frequência de traveia ou margen de etabilidade face à acção apena integral Projecto. doi grau de liberdade (k P, k I ou k, z) permitem atifazer doi critério ditinto 2. o projecto é por veze eparado em dua etapa (i) z é ecolhido de modo a cancelar um pólo de G p () (habitualmente o mai próximo da origem localizado no interior do SPE) (ii) k é ecolhido poteriormentede forma a cumprir algum requiito de regime tranitório (ζ ou ω n de pólo dominante em malha fechada), de margen de etabilidade,... Exemplo 2.3. Conideremo mai uma vez a planta G p () = (+2) 2 e agora um compenador PI G c () = k +z. Embora agora haja 2 parâmetro de ajute, vamo uar o zero do compenador para cancelar um pólo da plnata, ou eja, fazer z = 2 e determinar k de modo que o o pólo do itema em malha fechada (ápó o cancelamento ficam ó 2) tenham novamente um coeficiente de amortecimento de.45. A equação caracterítica de malha fechada + G p ()G c () =, toma agora a forma + k ( + 2) = k =. Teremo então 2ζω n = 2 e ωn 2 = k, pelo que endo ζ =.45 reulta ω n = 2.22 e k = O compenador PI erá então G c () = = A figura 3 apreenta a repota ao degrau do itema realimentado e, para comparação, também a repota ao degrau do itema realimentado com controlo integral apena, endo aí víivel o aumento de rapidez. 4

5 2.4 Acção derivativa (D) 2 CONTROLADORES PID Step Repone.4 PI I.2 Amplitude Time (ec) Figura 3: Repota ao degrau. 2.4 Acção derivativa (D) G c () = k D Principai caracterítica:. G c () tem apena um zero na origem 2. acção apena derivativa tem pouca (ou nenhuma) aplicação (a) poível cancelamento de pólo de G p () na origem (b) função de tranferência de malha fechada regime permanente para entrada em degrau! 3. G c (jω) = 9 o Gc()Gp() +G c ()G p () é nula para =, endo nula a repota em (a) habitualmente permite aumentar margen de etabilidade, em diminuir frequência de traveia 4. G c (jω) = k D ω (a) crece arbritariamente com ω, implicando amplificação crecente de inai de maior frequência, não endo aim imune a ruído de medida (b) ete efeito pode er compenado pela introdução de um pólo a uma frequência mai elevada, ou eja, G c () = k D +τ D 2.5 Acção proporcional e derivativa (PD) G c () = k P + k D = k( + z) Principai caracterítica:. zero no SPE em k P /k D (a) pode er uado para cancelar pólo mai lento de G p () (b) diminui o número de aímptota do LGR 2. G c (jω) = kp 2 + k2 D ω2 5

6 2.6 Acção proporcional, integral e derivativa (PID) 3 COMPENSAÇÃO EM ATRASO E EM AVANÇO (a) aumenta ilimitadamente quando ω +, com devantagen iguai à da acção apena derivativa (b) efeito pode er igualmente atenuado com introdução de um pólo a frequência mai elevada, ito é, G c () = k P +k D +τ D 3. G(jω) = arctan k Dω k P > Projecto (a) efeito benéfico na margen de etabilidade. doi grau de liberdade (k P, k D ) ou (k, z) permitem atifazer doi critério ditinto 2. zero pode er uado para cancelar pólo mai lento da planta 2.6 Acção proporcional, integral e derivativa (PID) G c () = k P + k I + k D = k I +k P +k D 2 = k(+z)(+z2) Principai caracterítica:. um pólo na origem 2. doi zero no SPD (podem er complexo) 3. G c (jω) + quando ω 4. G c (jω) 9 o quando ω 5. aumenta em uma unidade o tipo de itema, introduzindo melhoria no regime permanente 6. a fae introduzida a frequência apó o efeito do zero é poitiva, contribuindo para melhrar etabilidade ou rapidez (regime tranitório) 7. G c (jω) + quando ω + Projecto (a) amplificação de inai de alta frequência (b) pode er contrariado com introdução de um pólo a frequência maior que o zero. dipobibilidade de trê parâmetro permite ajutar imultaneamente trê grandeza 2. locvalização do zero pode er uada para cancelar pólo de G p () ou para alterar a configuração do LGR, endo então o ganho uado para ajute de pólo dominante ou margen etabilidade 3 Compenação em atrao e em avanço 3. Compenação atrao G c () = k +z +p, k, z, p >, p < z Principai caracterítica: 6

7 3. Compenação atrao 3 COMPENSAÇÃO EM ATRASO E EM AVANÇO. G c (jω) = arctan ω z arctan ω p < 2. G c () = kz/p 3. G c ( ) = k 4. G c (jω) dimuni com aumento de ω 5. a introdução de fae negativa habitualmente piora margen de etabilidade 6. habitualmente uado para melhorar regime permanente, tirando partido da caracterítica paa-baixo, evitando afectar regime tranitório e margen de etabilidade 7. fazer k = e z e p uficientemente abaixo de ω, ω π ou módulo do pólo dominante, de modo que a eta frequência e tenha G c (jω) Projecto (para melhorar regime permanente k = ):. ecolher z uma década abaixo de ω ou ω π ou módulo do pólo dominante 2. determinar p de modo que G c () = z/p permitar aumentar a contante de erro relevante tanto quanto pretendido Exemplo 3.. Conideremo a planta G p () = (+2) e pretende-e projectar um compenador atrao de modo 2 a aumentar 6 veze a contante de erro de poição. Admitindo inicialmente um compenador unitário, o pólo de malha fechada obtêm-e de = e localizam-e em 2 ± j, correpondendo a uma frequência natural não amortecida ω n = 2.24 e um coeficente de amortecimento de.89. Ecolhendo o zero do compenador uma década abaixo de ω n temo z =.224 e para aumentar 6 veze a contante de erro de poição deveremo ter z/p = 6, ficando p = z/6 =.373. O compenador ficará G c () = A figura 4 apreenta a repota ao degrau do itema realimentador, com e em compenador, endo facilmente viível vantagem em termo de regime permanente da compenação atrao. A figura 5 motra o traçado de Step Repone Amplitude não compenado compenado Time (ec) Figura 4: Repota ao degrau. bode de G p e de G c G p, onde e pode verificar que ete apena diferem na parte da baixa frequência. 7

8 3.2 Compenação avanço 3 COMPENSAÇÃO EM ATRASO E EM AVANÇO Bode Diagram 2 não compenado compenado Magnitude (db) Phae (deg) Frequency (rad/ec) Figura 5: Traçado de Bode. 3.2 Compenação avanço G c () = k +z +p, k, z, p >, z < p Principai caracterítica:. G c (jω) = arctan ω z arctan ω p > 2. G c (jω) aumenta com aumento de ω 3. G c (jω) é máximo para ω = ω max = zp 4. fae máxima do compenador é ϕ max = arcin α +α, onde α = z/p (a) α = in ϕ max +in ϕ max (b) z = ω max α (c) p = ω max / α 5. a introdução de fae poitiva habitualmente melhora margen de etabilidade 6. habitualmente uado para melhorar regime tranitório ou margen de etabilidade Projecto (para margen de etabilidade):. ecolher ω max igual à frequência de traveia de ganho ω 2. determinar ϕ max a partir da margem de fae deejada ϕ max + G p (jω max ) = 8 o + MF 3. determinar α = in ϕ max +in ϕ max 4. determinr k de modo que G c G p (jω max ) = Exemplo 3.2. Conideremo a planta G p () = (+2), para a qual e pretende projectar um compenador avanço de modo a que o itema realimentado tenha uma margem de fae de 45 a uma frequência de traveia de ganho ω =. A figura 6 apreenta o traçado de Bode de G p, onde e pode verificar que eta planta com realimentação unitária negativa apreenta uma margem de fae de 34.9 e uma frequência de traveia de ganho de Façamo então ω max = ω = e ϕ max = G p (j), ou eja, 8

9 3.2 Compenação avanço 3 COMPENSAÇÃO EM ATRASO E EM AVANÇO Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/ec), Pm = 34.9 deg (at 2.86 rad/ec) 4 2 Magnitude (db) Phae (deg) Frequency (rad/ec) ( ϕ max = 35 9 arctan ) = Então teremo, α = in in 33.7 =.286 Figura 6: Traçado de bode da planta. reultando z = 5.35 e p = 8.7. Finalmente, da condição G c (j)g p (j) =, obtém-e k = 9., endo o compenador G c () = 9. z A figura 7 apreenta o traçado de Bode de G c ()G p () e também de G p (), endo aí viível a influência do compenador avanço no aumento da margem de fae e da frequência de traveia de ganho. Finalmente apreentam- Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/ec), Pm = 45 deg (at rad/ec) 5 Magnitude (db) Phae (deg) Frequency (rad/ec) Figura 7: Traçado de bode do itema compenado. e na figura 8 a repota ao degrau do itema realimentado, com e em compenador, na qual ão víivei a diferença entre a dua ituaçõe. Projecto (para pólo dominante p D, habitualmente complexo):. verificar que G p (p D ) 8 o 9

10 3.2 Compenação avanço 3 COMPENSAÇÃO EM ATRASO E EM AVANÇO Step Repone.4 compenado não compenado.2 Amplitude Time (ec) Figura 8: Repota ao degrau. 2. fazer G c (p D ) = p D+z p D +p = 8o + G p (p D ) 3. ecolher z de modo a cancelar pólo de G p ou da ordem de p D 4. determinar p pela condição de fae 5. determinar k pela condição de módulo k p D+z p D +p G p(p D ) = Exemplo 3.3. Conideremo a planta G p () = (+4), pretendendo-e que o itema em malha fechada tenha pólo em 4 ± 4j. Fazendo p D = 4 + j4, verifica-e que 4 + j4 G p (p D ) = = 35 9 = 225 j4 concluido-e então que devemo ter G c (p D ) = 8 G p (p D ) = = 45. Ecolhendo o zero do compenador de modo a cancelar o ólo da planta em 4, temo z = 4. Então ( ) ( ) 4 + j G c (p D ) = k = 9 arctan 4 + j4 + p p 4 e portanto 9 arctan ( ) 4 = 45 4 p 4 p 4 = tan 45 = p = 8 Finalmente, da condição de módulo temo k ( 4 + j4)( 4 + j4 + 8) = k = = 32 ficando então o compenador G c () =