Física I. Oscilações - Resolução

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1 Quetõe: Fíica I Ocilaçõe - Reolução Q1 - Será que a amplitude eacontantenafae de um ocilador, podem er determinada, e apena for epecificada a poição no intante =0? Explique. Q2 - Uma maa ligada a uma mola tem um movimento harmónico imple com amplitude A. Será que a energia total varia e a maa duplicar ma a amplitude e mantiver? A energia cinética e potencial dependem da maa? Explique. Q3 - Uma maa é pendurada numa mola egundo a vertical e é pota em ocilação. Porque é que o eu movimento acaba por parar? Q4 - Um relógio de pêndulo etá atraado. Como e deveria ajutar o comprimento do pêndulo para acertar a hora? Problema: P1 - Uma partícula move-e ao longo do eixo do com movimento harmónico imple, tendo partido da origem no intante =0delocando-e para a direita. A amplitude do movimento é 200 cm e a frequência é 150 Hz. a) Ecreva a equação para o delocamento. b) Determine a velocidade máxima e o primeiro intante em que a partícula atinge ea velocidade; faça o memo para a aceleração. c) Qual a ditância total percorrida no intervalo de tempo entre =0e =100. a) A equação do movimento, que exprime a coordenada de poição em função do tempo, é do tipo = co ( + ) em que é a amplitude, é a frequência angular e a contante de fae. =2 =2 150 Hz = 9 42 rad ; =200 cm. Como (0 ) = 00cm,vem (0) = co =0 e = 2 ou = 3. A ecolha entre ete doi valore para a contante de fae é determinada pela 2 indicação de que no intante inicial, a velocidade é poitiva (e para =0a partícula e deloca para a direita, a velocidade nee intante tem o entido poitvo do eixo do e é, portanto, poitiva). A velocidade, em função dotempo, é dada por = = in ( + ) e, para =0, (0) = in 1

2 Se (0) 0, entãoin 0 e portanto, = 3. A equação do movimento é aim, 2 =200 co µ942 rad + 32 cm. b) Como a velocidade é =( ) in µ cm o valor máximo da velocidade é max = ( ) cm = cm O1 intante em que a partícula atinge ete valor correponde à primeira paagem pela origem com velocidade poitiva (em contar o intante inicial). Ee intante correponde a um intervalo de tempo igual a um período, ito é, = 1 = 1 15Hz = 067. A aceleração é = = 2 co ( + ) endooeuvalormáximodadopor max = 2 = cm 2 = cm 2 Ete valor é obtido quando 2 co µ942 rad + 32 co µ942 rad + 32 = 2 = rad = 3 = = 050 c) Durante um período a partícula percorre uma ditância igual a 4 veze a amplitude, durante 10 percorrerá = 4 1 µ = cm 067 = 12cm. 2

3 P2 - Uma bola deixada cair de uma altura de 400 m colide de uma forma perfeitamente elática com o olo. Preuma que não há perda de energia devido à reitência do ar. a) Motre que o movimento é periódico. b) Determine o período do movimento. c) O movimento é harmónico imple? Explique. a) Na decida, e com origem do referencial no ponto em que a bola bate no olo, a equação do movimento é = A velocidade da bola ao atingir o olo é dada por O tempo de decida é dado por dec,emque = p 2 0= dec ou A equação para a ubida é dec = 2 = em que é igual ao valor da velocidade da bola ao atingir o olo, ito é, 0 = 2. Utilizando eta última equação, podemo obter o tempo de ubida, ub : e = p ub = = 2 ± = dec Para que o movimento eja efectivamente periódico é neceário que toda a ua caracterítica (nete cao, poição e velocidade) e repitam em intervalo de tempo iguai (do quai o menor erá o período). Sabemo que efctivamente ito acontece no movimento que etamo a etudar e por io ele é periódico. b) O tempo de ubida é igual ao tempo de decida. Ete reultado ugere que o período do movimento erá =2 ub. c) a equação do movimento é ou, com o eixo do dirigido para cima, = = = = 0 3

4 e o movimento não é harmónico imple (porque a repectiva equação não é do tipo 2 + =0, 2 com = cont.). P3-Umcorpocommaa200 kg etáligadoaumamolaeencontra-eobreuma uperfície horizontal. É neceária uma força horizontal de 200N para manter o corpo em repouo quando ete é puxada 0200 m da poição de equilíbrio (a origem do eixo do ). O corpoélargadodorepouocomumdelocamentoinicial 0 =0200 m, e ubequentemente realiza ocilaçõe harmónica imple. Determine: a) a contante de força da mola; b) a frequência da ocilaçõe; c) a energia total do itema; d) a velocidade, a aceleração, a energia cinética e a energia potencial, quando o delocamento é igual a um-terço do eu valor máximo. a) A contante da mola obtem-de de =, emque é o valor aboluto da força que um agente exterior tem de efectuar obre a mola quando eta é puxada de da poição de equilíbrio. Aim = = 200N 0200 = 100 N m b) A frequência da ocilaçõe é = 2, emque = p. Portanto, = p r N m = 200 kg 2 = 113 Hz c) A energia total do itema é dada pela oma da energia cinética da maa com a energia potencial da mola, ito é, C = = in 2 ( + ) co 2 ( + ) = in 2 ( + )+co 2 ( + ) = = 1 2 (0200 m)2 100 N m = 200 J d) A poição e a velocidade da maa ão dada, repectivamente, por = co ( + ) = in ( + ) No intante inicial ( =0), temo = e =0, de onde co = in = 0 4

5 e e a equação do movimento é =0rad = co = (0200 co 226) m Se o delocamento é igual a um terço do eu valor máximo então 0200 m 3 = 0200 m co = arcco 1 3 = Nee intante a velocidade é e a aceleração A energia cinética é e a enrgia potencial = in = 0200 m (226) rad in [(226) rad 0173 ] = 1 34 m. = 2 co = 0200 m [(226) rad ] 2 co [(226) rad 0173 ] = 339 m 2. C = kg ( 1 34 m )2 2 = 180 J P = N m µ m 2 = 0222 J. P4 - Um corpo de maa ocila livremente etando pendurado numa mola vertical, como e motra na figura. Quando =0810 kg operíodoé0910. Outro corpo de maa deconhecida pendurado na mema mola tem um período de 116. Determine: a) a contante da mola; b) a maa deconhecida. 5

6 a) Com uma maa upena, a mola ocila em torno da poição de equilíbrio (obtida de = 0,itoé 0 = r ) com frequência angular dada por =,emque éacontantedamola.o período é, portanto, = 2 = p 2. A contante da mola obtem-e a partir deta última relação: p 2 = µ 2 = µ 2 = 2 2 = 0810 kg = 38 6N m µ b) A maa deconhecida, 0, obtem-e agora de µ = 2 µ 116 = 38 6Nm 2 = 132 kg. P5 - Um pêndulo imple tem 50m de comprimento. Qual o período do movimento harmónico imple dete pêndulo e ele etiver pendurado num elevador que e deloca: a) Para cima com aceleração de módulo 50m 2, b) Para baixo com aceleração de módulo 50m 2. a) Conidere-e a figura. 2 Aforçaqueactuamnocorpoãooeupeo e a tenão do fio. A equação que exprime a 2. lei de Newton é, nete cao, + = = 0 + e em que 0 é a aceleração do corpo quando a aceleração do elevador ( e ) é nula. Eta equação pode er ecrita na forma + e = 0 6

7 cuja componente egundo a direcção radial (dirigida para o centro da trajectória) e egundo a direcção tangencial ão e obtemo in 0 e in 0 = 0 t co 0 e co 0 = 0 n ( + e )in 0 = ou ( + e) in 0 =0 Aqui, é o comprimento do pêndulo. Para valore de 0 pequeno, in 0 ' 0 e atingimo uma equação de ocilador harmónico imple ( + e) 0 =0 A frequência angular da ocilação erá r ( + e ) = = 2 0 = 2 + e 50m = 2 (10 + 5) m 2 = 363. b) = 2 00 = 2 e 50m = 2 (10 5) m 2 = 63 P6 - A roda de uma balança de relógio tem um período de ocilação de Aroda tem maa de 200g concentrada num aro com raio 0500 cm. Determine: a) o momento de inércia da roda; O momento de inércia da roda é = 2 = kg m 2 = kg m 2 b) a contante de torção da mola aociada. 7

8 Utilizamo a equação 2 2 = K em que K é a contante de torção da mola aociada. A expreão da frequência angular do movimento é r K = pelo que o período é r =2 K A contante de torção é, então, K = 42 2 = kg m 2 (0250 ) 2 = Nm 8