Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Métodos Matemáticos Aplicados / Cálculo Avançado / Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire

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1 Univridad Salvador UNIFACS Curo d Engnharia Método Matmático Alicado / Cálculo Avançado / Cálculo IV Profa: Ilka Rbouça Frir A Tranformada d Lalac Txto 3: Dlocamnto obr o ixo t. A Função Dgrau Unitário. A Tranformada d funçõ riódica. Alicação. Dlocamnto obr o ixo. Como vimo, a rolução d um roblma d valor inicial la tranformada d Lalac rduz a achar a tranformada invra d uma função F(). Na rática, tai invra ão obtida uando o método da fraçõ arciai ara convrtr F() a uma forma m qu ua invra od r rconhcida atravé da fórmula da tabla. Até agora vimo xmlo d quaçõ difrnciai m qu a olução od r obtida facilmnt or outro método. Para conguirmo alicaçõ m qu a tranformada d Lalac oa motrar u odr ral tmo qu tablcr mai algun rultado da tranformada Torma: Dlocamnto obr o ixo : S L[f] F() ara algum > o, ntão L[ at f(t) ] F( a) ara a > o. + + D] L[ at f (t)] t at f (t)dt (a)t f (t)dt L[f (t)]( a) F( a) Obrvação:A ubtituição d or a na tranformada ( dlocamnto obr o ixo ) corrond à multilicação da função original or at. Exmlo: Como alicação imdiata dt rultado odmo dduzir a guint tranformada da tabla: ) L[ t co3t] F( + ), ndo F() L[co3t] Gnralizando: at a L[ co(wt)] ( a) + w ) L[t at ] F( a), ndo F() L[ t ]. Logo, L[ t co3t] + 9. Logo, L[t at ] ( a) ( + ) + + 9

2 A Função Dgrau Unitário Função d Haviid Dfinição: A função dgrau unitário u a (t) é dfinida como gu: ; t < a u a (t) a ; t a a A função dgrau unitário também é chamada d função d Haviid m homnagm ao ngnhiro ltrônico inglê Olivr Haviid ( 85-95) qu uou originalmnt a tranformada d Lalac como frramnta ara rolvr quaçõ difrnciai rovnint d roblma rlacionado com linha d tranmião. A função dgrau unitário também od tr a notação u(t a). Exmlo: ) ; t < u (t) ; ) ; t (t) u 3 ; ; t < 3 t 3 ; t < a Mai gralmnt, a função f (t) u a (t)g(t a) dcrv a função obtida g(t a); t a tranladando a função g(t) a unidad ara a dirita doi anulando a art à qurda d a. Tai funçõ aarcm na rática como imulo com rtardamnto m itma fíico, ito é, imulo ocorrndo no intant t a, não t. Exmlo: ; t < f (t) f(t) ( t ) u (t) t ; t g(t) t

3 3 Exrcício: Motr qu L[ u a (t) ] a Solução: L[u a (t)] + + b a a u (t)dt dt lim [ ] b a a lim [ + ] > a b + b + A função dgrau od r uada ara crvr funçõ dfinida or vária ntnça d forma comacta: g(t) t < a S f (t) ntão f(t) g(t) g(t) u a (t) + h(t)u a (t) h(t) t a D fato: i) t < a tmo f(t) g(t) g(t). + h(t). g(t); ii) t a tmo f(t) g(t) g(t). + h(t). h(t); ; t < a S f (t) g(t); a t < b ntão f(t) g(t) ( u a (t) u b (t) ) ; t b Exrcício: Exr a guint funçõ m trmo d u a (t) calcul L[ f(t)]. ) f (t) ; ; t < 3 t 3 Solução: f(t) u 3 (t) u 3 (t) 4u 3 (t) 4 3 L[f(t)] L[] 4L[u 3 (t)] ) ; t < a f (t) k; a t < b ( ulo rtangular ) ; t b k a b Solução: f(t) k(u a (t) u b (t)) a b k L[f] k(l[u a (t)] L[u b (t)]) k( ) ( a b )

4 4 3) 4 3 f(t) n +, n < t < n+ 3 4 Solução: f(t) u o (t) + u (t) + u (t) +. L[f(t)] L[u o (t) + u (t) + u (t) +.] L[u o (t)] + L[u (t)] + L[u (t)] ( ) ( ) A xrão ntr arênt acima corrond à oma d uma PG infinita d razão. Dlocamnto obr o ixo t Torma: Dlocamnto obr o ixo t: Sja f(t) u a (t) g(t a), a uma função contínua or art d ordm xonncial. Então L [ f ] a L[ g(t)] + + D] L [f ] t f (t)dt t g(t a)dt. Fazndo a ubtituição: t a u; dt du, obtmo: a + a + u L[f ] g(u)du a (u+ a) g(u)du a L[g] Obrvaçõ: Por motivo fíico, o fator a é chamado d fator d rtardamnto A ubtituição m f(t) d t or t a corrond aroximadamnt à multilicação da tranformada F() or a

5 5 Exrcício: Calcul L[ f(t)] ara a guint funçõ ) (t) (t )u (t) f Solução: Nt cao a função g(t a) g( t ) t. Logo, g(t) t Alicando o Torma do dlocamnto L [ f ] L[ g(t)] a L [g(t)] L[t]. t f ) (t) u (t) Solução: Nt cao a função g(ta) g(t) t L[g(t)] L[ ]. t Alicando o Torma do dlocamnto L [ f ] L[ g(t)] a. Logo, g(t) t ; a 3) f (t) n(t π)u (t) π Solução: Nt cao a função g(t a) n(t π). Logo, g(t) nt; a π L[g(t)] L[nt]. + Alicando o Torma do dlocamnto L [ f ] a π L[ g(t)] + t f 4) (t) u (t) Solução: Nt cao dvmo dlocar a função xonncial alicarmo a Tabla. Aim, t f (t) d uma unidad ara t (t+ ) (t) f (t) u (t) u (t) u (t). A função g(t ) (t). Logo, t g (t) ; a t L[g(t)] L[ ]. Alicando o Torma do dlocamnto L [ f ] a L[ g(t)] (t) L[. u(t)]

6 6 5) f (t) t; ; t t < Solução: Ecrvndo f(t) m trmo da função dgrau tmo f(t) t tu (t) L[f] L[t] L[tu (t)]. Para alicarmo o Torma crvmo tu (t) ( t + ) u (t) (t ) u (t) + u (t). Aim, uando o rultado do xrcício L[f] L[t] L[( t )u (t) +u (t) ] L[t] L([(t ) u (t)] L[u (t)] O dlocamnto obr o ixo t no cálculo da Tranformada Invra Para alicar o Torma do dlocamnto obr o ixo t ao cálculo da tranformada invra odmo rcrvê-lo como: L [u a (t) g(t a)] a L[ g(t)] u a (t) g(t a) L [ a L[ g(t)] ] L [ a G[] ] u a (t) g(t a), ndo G() L[g(t)] Exrcício: Encontr f(t), abndo qu F() L[f(t)] no guint cao: ) F() ( + ) Solução: Nt cao a G() ( + ) t L[ ]. Tmo qu L [ ] ( + ) t (t ) u (t)g(t ), ndo g(t). Logo, f(t) u(t)( ) qu od r rcrita como ; t uma função d dua ntnça, f (t) (t ) ; t > ) F() ( + 4) Solução: Nt cao a G() uamo o método da fraçõ arciai:. Sja g(t) L [ ]. Para ncontrarmo g(t) ( + 4) ( + 4)

7 7 A B + ( 4) + C A( + 4) + B( + 4) + C atribuindo- valor a ncontramo A, B C t t g(t) L [ + + ] Por comaração d coficint ou Logo f(t) L [ ] g(t )u (t), ndo ( + 4) 4t t g(t) Aim, L [ ] ( + 4) 6 t (t) 6 u (t) 3) π (3 + 3) F() + + Solução: Nt cao a π G() Sja g(t) L [ ] ( + ) g(t) L t [ ]. Uando Tabla no 6 obtmo g(t) 3 co t. ( + ) + (tπ) Logo f(t) g(t π)u (t) 3 co(t π) u (t), π π A tranformada d uma função riódica O Torma a guir rv ara rduzir o cálculo da tranformada d Lalac d uma função riódica ao cálculo da intgral num intrvalo finito. Torma: S f é uma função d ordm xonncial, riódica d ríodo, ntão f (t)dt L[f ] + (n + ) D] L[f] f (t)dt f (t)dt + f (t)dt f (t)dt +... n Fazndo t x + n na (n+)-éima intgral da éri acima ficamo com

8 8 (n + ) f (t)dt (x + n) f (x + n)dx n riódica d ríodo, logo f(x+n) f(x) ) n x f (x)dx ( Uamo o fato qu f é Uando t fato m cada uma da intgrai acima, ou ja, ara n,,, tc..., obtmo: L[f] x f (x)dx + x f (x)dx n x f (x)dx +... ( ) x f (x)dx A xrão qu tá ntr arênt corrond à oma da éri gométrica d razão f (t)dt dada or, o qu rulta L[f ]. qu é Exrcício: ) Encontr a tranformada d Lalac da guint funçõ: a) (função onda quadrada) f (t)dt Solução: f é riódica d ríodo, ntão L[f ] dt ( dt) [ ] [ ] ( + ) b) 3 4 5

9 9 f (t)dt Solução: f é riódica d ríodo, ntão L[f ] dt dt ( dt dt) ([ ] [ ] ( ) + ([ ] [ ] ( ) ( + ) ) U a tranformada d Lalac ara dtrminar a carga num caacitor m um circuito m éri RC quando q() ; R,5 ohm, C,8 farad E(t) é a voltagm dada no gráfico ao lado: 5 3 Solução: A quação ara a carga m um caacitor, m um circuito m éri RC, é dada or dq R + q E(t) dt C Subtituindo o valor dado obrvando qu E(t) 5 u 3 (t) obtmo: 5 dq dq + q 5u3(t) + 5q u3(t) ( I ) dt 8. dt Suonhamo qu a tranformada da olução q(t) ja L[q(t)] Q. Uando qu q() qu L(q ) L[q] q(), obtmo L[q ] Q Alicando a tranformada no doi lado da quação (I): L[q ] + 5L[q] L[u 3 (t)] Q + 5Q (+5)Q Q ( + 5) A qutão agora é, a artir d Q, obtr a tranformada invra, ou ja, q(t). Conidrando G() uando a Tabla n o : ( + 5) g(t) 5 5t

10 Uando o Torma do dlocamnto obr o ixo t: Q L[q] L[ u 3 (t)g(t 3) ], ndo 5t g(t) ( ). 5 A olução fica ortanto q(t) u 3 (t)g(t 3) u 3 (t)( ( 5(t 3 ) ) 5 ; t < 3 q(t) ( 5 (t 3) ); t 3 5 Rfrência Bibliográfica:. Kryzig, Erwin Matmática Surior - vol. Zill/Culln Equaçõ Difrnciai - vol 3. Kridr/Kullr/Otbrg Equaçõ Difrnciai