Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias por Série de Potências e Transformada de Laplace

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1 Reolução de Equaçõe Diferenciai Ordinária por Série de Potência e Tranformada de Laplace Roberto Tocano Couto rtocano@id.uff.br Departamento de Matemática Aplicada Univeridade Federal Fluminene Niterói, RJ 3 de novembro de 5

2 Prefácio Trata-e de um texto didático para a diciplina "EQUAÇÕES DIFERENCIAIS"minitrada pelo Departamento de Matemática Aplicada da UFF, cujo objetivo é a reolução de equaçõe diferenciai ordinária por érie de potência incluindo o método de Frobeniu e da tranformada de Laplace, bem como itema imple de equaçõe diferenciai ordinária. Nee entido, faz-e preliminarmente um etudo báico da érie e da tranformada de Laplace. Ete texto baeia-e conideravelmente na referência bibliográfica e contém exatamente o que e apreenta na aula, evitando que o aluno a copie, aim obtendo mai a ua atenção e economizando tempo, bem como definindo com clareza o que e deve etudar. Para o eu aprendizado ão imprecindívei a explicaçõe dada na aula, quando, então, e detalham muita da paagen matemática.

3 Sumário Sequência e Série 4. Sequência Série de número reai Critério de convergência e divergência Série de potência Série de Taylor e MacLaurin Apêndice: prova do teorema Exercício Soluçõe do Exercício Reolução de equação diferencial ordinária linear por érie de potência 33. Reolução em torno de um ponto ordinário Definiçõe Teorema da exitência de oluçõe em érie de potência Exemplo de reolução de EDO lineare por érie de potência em torno de ponto ordinário Problema de valor inicial PVI Reolução em torno de ponto ingular Definiçõe O Método de Frobeniu Parte O Método de Frobeniu Parte Exercício Tranformada de Laplace Definição A linearidade da tranformada de Laplace Condiçõe uficiente para a exitência da tranformada de Laplace e o comportamento aintótico ob ea condiçõe Cálculo de L de e at, t n, enat, co at, enhat, coh at Propriedade epeciai Tranformada de Laplace invera Função degrau unitário Tabela de tranformada de Laplace de funçõe epecífica Cálculo de L de fat, e at ft, t n ft, Ut aft a, ft/t Tranformada de Laplace de derivada Tranformada de Laplace de integrai Tranformada de Laplace de função periódica Cálculo de L { fḡ por convolução Tabela de tranformada de Laplace com funçõe genérica Uma aplicação: cálculo de integrai definida Outra aplicação: reolução de EDO Exercício Soluçõe do Exercício

4 4 Sitema de EDO Lineare de Coeficiente Contante Reolução pelo método do operadore Por eliminação Por determinante Reolução pela tranformada de Laplace Reolução pelo método matricial ō Cao: autovalore reai e ditinto ō Cao: autovalore imaginário ō Cao: autovalore repetido Sitema não-homogêneo Exercício Referência Bibliográfica 93 3

5 Capítulo Sequência e Série. Sequência Se a cada inteiro poitivo n aociarmo um número a n, dizemo que ee número formam uma equência, que é ordenada egundo eu índice: Exemplo: a, a, a 3,, a n, a n+,. i a n / n : a /, a /4, a 3 /8, ii a n n+ n : a 4, a 9 4, a 3 6 9, Chamamo a n de termo geral da equência, o qual é uado também para indicar a própria equência, ito é, dizemo implemente, por exemplo, "que a equência a n n é formada pelo quadrado do naturai." Se o que denominamo limite da equência, dado por lim a n a, for finito, ito é, e para qualquer ϵ > é poível achar N N tal que a n a < ϵ para n > N, dizemo que a equência a n converge para a. Se aquele limite não exite, dizemo que a equência a n é divergente. Oberve que uma equência a n pode er vita como uma função an da variável natural n. Com io, a definição do limite acima é formalmente a mema que aquela adotada no cao de uma função fx da variável real x. Sejam m e n naturai quaiquer, com m < n. Dizemo que uma equência a n é crecente e a m a n [Ex:, 5, 5, 6, 7, 7,, decrecente e a m a n [Ex: 6, 6, 3,,,, monótona e for crecente ou decrecente limitada uperiormente e λ R tal que a n λ n N limitada inferiormente e λ R tal que a n λ n N limitada e exitem λ e λ tai que λ a n λ n N Note que, na definição de equência crecente e decrecente, permite-e a igualdade entre termo, o que poibilita coniderar a equência contante aquela cujo termo geral é contante; por exemplo: 3, 3, 3, tanto como uma equência crecente quanto decrecente e, por coneguinte, também como monótona. 4

6 Teorema É convergente uma equência que é crecente e limitada uperiormente é decrecente e limitada inferiormente É divergente uma equência que é crecente e que não é limitada uperiormente ela diverge para é decrecente e que não é limitada inferiormente ela diverge para. Série de número reai Dada uma equência a k, a equência de termo geral [ ou eja, n n a k n m, m +, km m a m ō termo m+ a m + a m+. n a m + a m+ + + a n termo geral é denominada de érie aociada à equência a n. O número a n ão chamado de termo da érie, e o número n, de oma parciai da érie. O limite da érie é o limite da equência da oma parciai n : lim n lim n a k km a k a m + a m+ +, km o qual, quando exite, denomina-e oma da érie, cao em que a érie é dita convergente. Se o omatório a k não exitir [limite inexitente, ito é, não-único ou infinito ±, a érie é dita divergente. km O ímbolo km a k uado para indicar a oma da érie é uado também para indicar a própria érie. Por exemplo, a oma da érie geométrica, k q k, é igual a / q e q < : k q k + q + q + q e q <. De fato: n n q k + q + q + + q n k q n n q k+ q + q + + q n+ k n q n q n q n+ n n k q k qn+ q k q k lim q n+ q q [ lim qn+ e q <. Convencionalmente, x x R, ito é, x denota a função contante fx. 5

7 Vejamo dua aplicaçõe da fórmula acima: k k k k / 3, k k /. Uma fórmula da oma da érie geométrica com o termo inicial mai genérico q i i N, em vez do termo inicial q, é a eguinte, deduzida a partir do reultado já obtido acima: q k ki i q k q k q qi q k Oberve que trabalhar com a érie k a k a m + a m+ +, km qi q e q <. que começa com o índice m, é equivalente a trabalhar com a érie de termo geral a m+k, a m+k a m + a m+ +, k que começa com o índice. Por io, de agora em diante, todo o reultado erão etabelecido para érie que começam com o índice : a k. Teorema k Se α é um real dado e a érie a k e b k convergem, então: a α a k α a k converge k k k k b a k + b k a k + b k converge k Teorema 3 k k Para que a érie a k convirja, é neceário que o termo geral tenda a zero, ito é, lim a k. k k Segue dee teorema o critério do termo geral para a divergência: e lim a k difere de zero ou não k exite então a érie a k é divergente. Exemplo: k i [ + k diverge, poi o termo dea érie ão o da equência k a k + k cujo limite lim k a k não exite. Além dio, vemo que { e k for par e k for ímpar,, +, 3 + +, ,, ito é, a equência n da oma parciai é crecente e não é limitada uperiormente; logo, lim n n lim a k [ + k, de acordo com o Teorema. k k 6

8 k k k k diverge, poi lim + 3 k k + 3. Em vita dio e do fato de n uma equência crecente por er formada de termo poitivo, temo que ii k n k k k + 3. k k + 3 er iii A érie /k atifaz a condição neceária de o eu termo geral tender a zero lim /k ; k k entretanto, ela diverge para, como veremo adiante. iv /k 3 atifaz a condição neceária de o eu termo geral tender a zero lim k k /k3 e é convergente, como veremo adiante. Uma érie do tipo k a k a a + a a 3 + k em que a k nunca muda de inal é dita alternada. Exemplo: i k k k ii k k k k + k k Teorema 4: Critério de convergência para érie alternada A érie alternada k decrecente e lim k a k. k a k [a k > é convergente e a equência de termo poitivo a k é Exemplo: A érie k converge, poi atifaz a condiçõe do Teorema 4: é alternada, e a k ln k equência a k ln k é poitiva, decrecente e tende a zero. k.3 Critério de convergência e divergência Teorema 5: Critério da integral Conidere uma érie a k com a k > para k maior ou igual a algum natural l. Se exite uma k função f contínua, poitiva, decrecente atifazendo fa k a k para k l então aquela érie erá convergente ou divergente conforme a integral imprópria repectivamente. l fx dx eja convergente ou divergente, Exemplo: i A érie a k, com a k. A função fx k k ln k x ln x [, e tal que fk a k para k. Como é contínua, poitiva, decrecente em b fx dx lim dx lim b x ln x lnln x b lim lnln b lnln, b b temo que a érie dada é divergente. ii A chamada érie harmônica de ordem p, n n p + p + 3 p +, 7!", : diverge, " : converge p

9 converge e p > e diverge e p. De fato: Se p, o termo geral érie diverge. n p Se p >, o critério da integral, com fx x p, fornece para p : dx lim x b motrando que a érie diverge. para p,, : dx lim xp b b não tende a zero quando n ; portanto, egundo o Teorema 3, a b x p dx lim b dx lim x ln x b lim ln b ln, b b x p+ p + b lim p b b p lim p b b {{ p motrando que a érie diverge e p, e converge e p >. Teorema 6: Critério da comparação Se a k b k para k maior ou igual a algum natural l, então: a b k converge a k converge b k k a k diverge b k diverge k Exemplo: k e p, p e p,, i A érie k k en k. A figura à direita ilutra o fato de que enθ < θ e θ >. Aim, en k < k, o que no permite ecrever en Logo, como a érie k ordem, a érie dada também converge. k en k k. /k converge por er a érie harmônica de em radiano ii A érie k k k + k + 5. Temo, para k, que: Logo, como a érie também diverge. iii A érie n k k k + k + 5 8k 8 k k converge, poi n n k k + k + 5k k 8k 8k. diverge por er a érie harmônica de ordem, a érie dada n n n para n, 8

10 e a érie n3 geométrica é convergente: n n3 n n / 3 / 4. n3 Dizemo que uma érie a k é abolutamente convergente e a k for convergente. Uma érie k convergente que não é abolutamente convergente é dita condicionalmente convergente. Teorema 7 É convergente a érie que converge abolutamente. Exemplo: Conidere a érie enk k k. Contatamo, por comparação, que ela converge abolutamente: enk k. Logo, ela própria é convergente. k Teorema 8: Critério da razão Conidere uma érie afirmar que k a Se L <, a érie dada converge abolutamente b Se L > ou L, a érie diverge c Se L, o critério nada revela Exemplo: a k, com a k, tal que L lim k a k+/a k exita ou eja infinito. Podemo i A érie a k, com a k k /k!, converge, poi k L lim a k+ k a k k k+ / k +! k+ k! lim k k lim / k! k k k +! lim k k + <. ii A érie a k, com a k k k /k!, diverge, poi k L lim lim k a k+ k a k k + k k + k + k+ / k +! lim k k k / k! k + k k k + lim k k k + k+ k! lim k k k k lim k k +! + k e >. k iii Cálculo de x de modo que a érie a n, com a n n x n, eja convergente. n Se x então a n, e a oma da érie é zero érie convergente. Se x, pelo critério da razão, temo que L lim a n+ a n + xn+ n + lim n n x n x lim x x, n motrando que a érie é convergente para x <. Ma, para x, o critério da razão nada revela, e uma análie eparada é neceária: Para x, temo que n x n x n érie divergente. n n 9

11 Para x, temo que n x n x n n, que é uma érie divergente, de acordo com n n o Teorema 3, poi lim n n não exite. Repota: a érie dada é convergente para x <. iv A érie k 5 + k 6 k , formada por dua érie geométrica de razão /4 uma contituída pelo termo pare e a outra, pelo termo ímpare, é tal que lim a k+ + k+ 6 k lim 5 k a k k 6 k+ 5 + k lim 5 + k+ k 5 + k e k tomando valore pare e k tomando valore ímpare ; logo, ee limite não exite, o que inviabiliza a aplicação do critério da razão enunciado acima. Teorema 9: Critério da raiz Conidere uma érie k a Se L <, a érie dada converge abolutamente b Se L >, a érie diverge c Se L, o critério nada revela k a k tal que L lim ak exita ou eja infinito. Podemo afirmar que k Exemplo: A érie a k, com a k k 3 /3 k, é convergente, poi k k k k 3 L lim ak lim k k 3 k 3 lim k k3/k 3 lim e3 ln k k k 3 e3 lim k ln k k 3 e 3 <. Outro exemplo: vimo, no Exemplo iv logo acima, que o critério da razão teorema 8 falha com a érie 5 + k 6 k. Vamo, entretanto, empregar o critério da raiz; uma vez que k k ak 5 + k k 6 k ito é, L / <, concluímo que a érie é convergente. k k k k e k for par k 5 6 k k 4 6 quando k tomando valore ímpare, O critério da razão admite uma formulação mai genérica pela qual e verifica a convergência da érie acima: cf. a eção 6-8 da referência bibliográfica [5. ln k Uando a regra de l Hopital, vemo que lim k k lim /k. k Foi uado o eguinte reultado: e a > então lim k a lim e ln k a k k e lim ln a k k e.

12 .4 Série de potência Seja x uma variável real e conidere um valor x fixo dea variável. Entendemo por érie de potência uma érie cujo termo geral é o da equência a n x x E n uma potência de x x multiplicada por uma contante: a n x x E n. Nete texto, o expoente E n conitirá implemente no n número naturai, E n n N, ou nete acrecido de um número real r fixo, E n n + r. Ou eja, trabalharemo com a érie de potência e A érie n a n x x n a + a x x + a x x + n a n x x n+r a x x r + a x x +r + a x x +r +. n a n x x En é dita érie de potência relativa a x ou em torno de x, ou ainda centrada em x, na qual x é denominado ponto de expanão da érie. É batante frequente a érie de potência centrada em zero; por exemplo: a n x n a + a x + a x +. Seguem doi teorema fundamentai no etudo da érie de potência: Teorema n Toda érie de potência a n x x n tem um raio de convergência R tal que a érie converge n abolutamente e x x < R e diverge e x x > R. O número R pode er cao em que a érie converge omente para x x, um número real poitivo, ou cao em que a érie converge para todo x, podendo er calculado pela fórmula R lim a n a n+ ou R lim n an contanto que, para algum natural N, a n e n N, e o limite forneça um único reultado, finito ou infinito., x R convergência " x! R x x Oberve que o teorema nada diz e x x R : no ponto x x ± R, a érie pode er abolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Além dio, e a n e anula uma infinidade de veze, o raio de convergência R não pode er calculado com a fórmula acima; nee cao, exemplificaremo como R pode er determinado por meio do critério da razão e da raiz. O conjunto do valore reai de x para o quai a érie é convergente é chamado de intervalo de convergência. Ete, egundo o teorema, pode conitir apena no ponto x, e R, ou, e R >, no intervalo x R, x + R, [x R, x + R, x R, x + R ou [x R, x + R, conforme a érie eja convergente, ou não, em x ± R. Por exemplo, vamo calcular o raio de convergência R e o intervalo de convergência i da érie n n x n : n lim a n lim a n+ R ou lim an lim n n n lim n + n+ n lim n n n e, portanto, a érie n n x n ó converge em x. n n n n + lim n + n + + n n e

13 ii da érie n x n n + : lim a n lim a n+ ou R lim n an lim n n + /n + /n + 3 lim n n + n x n n + converge x,. Analiemo a convergência no ponto x ±. Se x, temo a érie divergente [ n n +. Se x, temo a érie alternada n, que, egundo o Teorema 4, é convergente n n n n + condicionalmente convergente, obviamente. Repota: A érie x n converge no intervalo [,, endo R. n + n iii da érie x n : n n! lim a n /n! lim a n+ /n +! lim n + R ou lim an lim lim n n! /n! n n n x n n! converge x R. iv da érie n x 3 n n n : n lim a n n+ n + lim a n+ n n R ou lim n an lim n n x 3 n n n n n n n n converge x 3, 3+, 5. Analiemo a convergência no ponto extremo dee intervalo. Se x, temo a érie divergente n n. Se x 5, temo a érie alternada n, que, egundo o Teorema 4, é convergente n n condicionalmente convergente. n x 3 n Repota: n converge no intervalo, 5, endo R. n n v da érie n 5 + n 6 n x n : O coeficiente a n 5 + n 6 n ão tai que lim a n 3 ou 4, conforme n tomando a n+ 3 valore pare ou ímpare, repectivamente io já foi verificado na pág. ; aim, por não exitir ee limite, calculemo o raio de convergência uando a fórmula de R envolvendo a raiz n-éima: lim lim R lim an lim n n 5 + n 6 n n 6 n e n tomando valore pare 5 + { { n 6 n 5 n 6 lim e n tomando valore ímpare, 4

14 ito é, R, convergindo a érie no intervalo,. Uma vez que, no extremo dee intervalo, a érie toma a forma 5 + n 6 n x n n 5 + n 5 + n e 6 6 n x n 5 + n, 6 x x n n que ão érie divergente poi o termo geral não tende a zero, temo, como repota, que a érie dada converge no intervalo,. vi da érie n n x 5 n 64 n n : Não podemo empregar a fórmula de cálculo do raio de convergência [ fornecida no Teorema, poi todo o coeficiente da potência ímpare de x 5 e anulam note que a érie pode er ecrita na forma a n x 5 n, com a n e n, 3, 5, e a n n/ n 64 n/ n/ e n, 4, 6,. Nee cao, empregamo o critério da razão ou o da raiz para determinar o valore de x que tornam convergente a érie c n, onde c n n x 5 n n 64 n n. Para x 5 ponto no qual a érie é obviamente convergente, o critério da razão fornece { { lim c n+ x 5n+ lim c n 64 n+ n + 64 n n x 5 n lim x 5 n < 64 n + x 5 < 64 8 < x 5 < 8 3 < x < 3. O memo reultado é obtido com o critério da raiz: n n lim cn lim n x 5 n 64 n n x 5 64 n < x n 5 < 64 3 < x < 3, n uma vez que lim n lim Por outro lado, n lim e ln n n n /n lim n e e. n x 5 n 64 n n n x 3 ou 3 n é abolutamente convergente. n e lim n ln n n Repota: n x 5 n 64 n n converge no intervalo [ 3, 3, endo R 8. n vii da érie n n x 5 3n 64 n n : Neta érie nota-e a auência de toda potência x 5 k em que k não eja múltiplo de 3, motivo pelo qual novamente convém empregar o critério da razão ou da raiz. Com c n n x 5 3n 64 n, e para x 5, obtemo, pelo critério da razão, n lim c n+ x 53n+ lim c n 64 n+ n + 64 n { { n x 5 3 n lim x 5 3n 64 n + < x 5 3 < 64 x 5 < < x 5 < 4 < x < 9. Ee memo reultado é obtido pelo critério da raiz: n n lim cn lim n x 5 3n 64 n x 5 3 < x 5 3 < 64 < x < 9 n 64 n n poi lim n lim n /n lim Além dio, n x 5 3n 64 n n x n n e ln n n lim n e lim ln n n e. n uma érie harmônica de ordem menor ou igual a é divergente. 3

15 n x 5 3n 64 n n x9 n Repota: Teorema n n n x 5 3n 64 n n Uma érie de potência n n n é uma érie alternada convergente. converge no intervalo, 9, endo R 4. a n x x n com raio de convergência R > apreenta a eguinte propriedade no intervalo x R, x + R: a ua oma a n x x n fx é uma função contínua; n b ela pode er diferenciada termo a termo para e obter na n x x n f x ; n c ela pode er integrada termo a termo para e obter a n n + x x n+ fx dx. Oberve que, de acordo com ee memo teorema, a érie de potência produzida por diferenciação pode er novamente diferenciada para e obter uma nova érie de potência que converge para f x no memo intervalo x R, x + R. Ou eja, diferenciaçõe uceiva produzem a derivada f n x [n,,, toda definida no memo intervalo. Io ignifica que a oma de uma érie de potência centrada em x com raio de convergência R > é, no intervalo x R, x + R, uma função infinitamente diferenciável, ito é, uma função que pode er diferenciada um número qualquer de veze..5 Série de Taylor e MacLaurin Para etabelecer o teorema abaixo, é fundamental o fato de a oma fx de uma érie de potência com raio de convergência não-nulo er, como garante o Teorema, uma função infinitamente diferenciável no intervalo de convergência: Teorema O coeficiente de uma érie de potência n n a n x x n com raio de convergência R > ão dado por a n f n x /n!, onde fx é a função para a qual aquela érie converge no eu intervalo de convergência. Ee teorema admite uma recíproca, incorporada no próximo teorema: Teorema 3 Qualquer função fx infinitamente diferenciável num ponto x x pode er deenvolvida numa érie de potência como egue: f n x fx x x n fx + f x x x + f x x x + f x x x 3 +. n! 3! n Ea é a chamada érie de Taylor relativa a x, válida no eu intervalo de convergência. A érie de Taylor relativa à origem x é denominada érie de MacLaurin. Ee teorema nada diz obre o intervalo de convergência, que pode e determinado por meio do Teorema. O eguinte exemplo erão deenvolvido em ala de aula: a e x x n n! + x + x + x3 3! + x4 + x R. 4! n b enx c co x n xn+ n +! x x3 3! + x5 5! x7 + x R. 7! n n n xn n! x! + x4 4! x6 + x R. 6! 4

16 n x n d ln x x n n ou, em função da variável u x, ln + u n e x 4 e 3x x 4 [ f n n un + x x +. A érie geométrica x + x 3 3 x 4 4 n u u + u3 3 u4 + < u. 4 u n x 4 3x n n! u 3x n! n n n 3 n x 4+n n n! + < x, x 4 3x 5 + 9x6 4 7x x n + x + x +, que converge para / x e x <, pode er empregada para e obter mai facilmente a érie de Taylor de alguma funçõe. g h + x x x n n x n x + x 4 x 6 + e x x <, n n i.e., < x <. x 3 4x x 3 4x/3 x 4x/3 n 3 n e 4x/3 <, i.e., 3/4 < x < 3/4. n 4 n x n+ 3 n+ x 3 + 4x x x De grande auxílio no deenvolvimento de certa funçõe em érie de Taylor é o Teorema. No doi exemplo que eguem, para e obter o deenvolvimento em érie da função fx, primeiramente deenvolvemo f x em érie e depoi integramo ea érie termo a termo. Ee método funciona bem, obviamente, quando é mai fácil expandir f x em érie do que fx. i fx arctan x f x + x n x n érie já obtida acima, válida para < x < n n x n+ fx + c. Como ea érie é convergente para x ± egundo o critério n + n n para érie alternada, e c [ poi f, temo, finalmente, que fx arctan x n x n+ x x3 n x5 5 x7 + x. 7 j fx ln + x x f x x x n e < x < fx n n x n+ n + + c. Como ea érie é divergente para x ±, e c [ poi f, obtemo finalmente fx + x ln x x n+ n + x + x3 3 + x5 5 + x7 + < x <. 7 n Uma aplicação da érie de Taylor é o cálculo da integral de uma função cuja primitiva não é conhecida como um expreão fechada ito é, em termo da funçõe elementare. Por exemplo, não conhecemo a integral indefinida de e x ; contudo, e x dx n [ x n dx n! n / n + n! n + /3! n! + /5! x n dx + /7 3! n + /9 4! [ x n+ n! n

17 .6 Apêndice: prova do teorema Teorema : V. prova in referência [3, vol. 4, eç.., p.. Teorema : V. referência [3, vol. 4, eç.., pp. 7 e 8. Teorema 3: Se a k converge então, fazendo n k neceariamente o eguinte reultado: n lim a n lim Teorema 4 a k n k a k n k a k e uando o fato que lim n número finito, temo a k lim n n. CQD. < < a < > { { + a a a > < > { { 3 a 3 + a a 3 < 3 < < > > { { a 4 a 3 a 4 3 < 4 < > 3 <. Raciocinando dee modo, podemo deenhar o eguinte: a! a a 3! a 4 a n! " % a a "!!!!"!!!!# 3 a a! a a3 equência crecente " $ $ n! " " " " " $ n $ 4!!!!!"!!!!!!#!!"!!!# % a a! a a 3! a 4 a a! a a limite da dua equência equência decrecente & Aim, concluímo que < 3 < < n+ < < n < < 4 < < ; ito é, que a oma parciai ímpare formam uma equência crecente, e a oma parciai pare formam uma equência decrecente, que ão limitada uperiormente e inferiormente, repectivamente, o que, de acordo com Teorema, no diz que amba convergem: Ma a n+ n n+ e, portanto, lim n+, lim n. lim a n+ lim n n : que é o limite da érie alternada coniderada veja-o na figura acima. 6

18 kl+ Teorema 5 Como a k k finito { { l k a k + kl+ a k, a érie a k erá convergente ou divergente conforme a érie k a k eja convergente ou divergente, repectivamente. a No cao de fx dx convergir, conidere, para ea integral, a oma de Riemann inferior l repreentada na figura abaixo, no gráfico à equerda, pela área hachurada de uma infinidade de retângulo ituado dede x l até x. Note que área hachurada a l+ + a l+ + + a n + a k fx dx valor finito, ou eja, a érie kl+ a k é convergente. kl+ b No cao de fx dx, conidere, para a integral fx dx que é divergente também, l l a oma de Riemann uperior repreentada na figura abaixo, no gráfico à direita, pela área hachurada de uma infinidade de retângulo. Temo que área hachurada a l + a l+ + + a n + a k fx dx, ou eja, kl+ a k a k a l divergente. kl O teorema etá provado. kl l l y área a l y a! l área a l área a l! a l l a! área a l a! l y # fx y # fx área a n! área a n a n! a n "! l l! l! n!! " n l! l! l!! n! x n " x Teorema 6 Prova do item a: A equência n poi n n kl a k n kl b k < k n kl a k é crecente poi a k e limitada uperiormente b k valor finito, endo, portanto, convergente, de acordo com o Teorema. Ito é, lim n a k valor finito, o que acarreta na convergência da érie a k. kl k Prova do item b: Se a érie b k foe convergente, então, pelo item a, a érie a k também k eria convergente, o que contraria a hipótee. Logo, O teorema etá provado. b k não pode er convergente. k k 7

19 Teorema 7 A érie a k é convergente, poi k a k k [ ak + a k ak k ak + a k k convergente a k k convergente p/ hipótee. Seguem a dua nota indicada no deenvolvimento acima: Neta paagem é uado o Teorema b. Para verificar a convergência da érie ak + a k, uamo o critério da comparação: temo, k por um lado, que a k + a k a k e, por outro, que a k é convergente, como conequência da hipótee e o Teorema a. k Teorema 8 a Cao L < k Seja q um real qualquer entre L e. Como b k a k+ /a k L, exite N tal que b k < q para k N. Logo, a k k b Cao L > N k a k valor finito σ σ + a N + a k σ + a N + a N+ + a N+ + a N+3 + kn + a N+ + a N+ a N a N+ a N+ a N + a N+3 a N+ σ + a N + b N + b N+ b N + b N+ b N+ b N + < σ + a N + q + q + q 3 + érie convergente, por er de razão q< a N+ a N+ valor finito. CQD. a N+ a N + Seja q um real qualquer entre e L. Como lim a k+/a k L, exite N tal que, para k N, k a k+ /a k > q >, ou a k+ > a k. Io ignifica que a N < a N+ < a N+ <, ou, em palavra, que a k é uma equência crecente que não é limitada uperiormente, endo impoível, portanto, k que a k. Logo, pelo Teorema 3, a érie a k é divergente. c Cao L A érie pode convergir ou divergir. Por exemplo, no cao da érie harmônica de ordem p, temo que k p lim a + p k k+/a k lim /k k k /k p lim p. k k + No entanto, já vimo que tal érie converge e p > e diverge e p. /k p, k Teorema 9 a Cao L < k Seja q um real qualquer entre L e. Como lim ak L, exite N tal que, para k N, k k ak < q, ou a k < q k. Logo, por comparação com a érie geométrica q k convergente, poi 8 k

20 q <, vemo que a érie a k é convergente. b Cao L > k k Seja q um real qualquer entre e L. Exite N tal que, para k N, a k > q >, ou a k >, motrando que o termo geral da érie a k não pode convergir para zero, ignificando, pelo Teorema 3, que a própria érie é divergente. k c Cao L O critério falha, como novamente motra a érie harmônica de ordem p. Vejamo: para a k /k p que converge e p < e diverge e p >, temo: k k L lim ak lim k p lim lim kp/k e onde foi uado o reultado obtido no rodapé da p.. p ln k k e p lim k ln k k e, Teorema Calculemo o parâmetro L definido no Teorema 8, que é o critério da razão: L lim a n+x x n+ a n x x n x x lim a n+ x x a n lim a n a n+ x x R, I onde R lim a n a n+. Aim, a érie divergirá e ou L x x R >, i.e., x x > R L x x, i.e., x x e R ; R convergirá abolutamente e L x x <, i.e., x x < R R e, obviamente, para x, independentemente de R. Calculemo o parâmetro L definido no Teorema 9 critério da raiz: n L lim an x x n n x x lim an x x lim n an x x R, II onde R lim n. Como a equação II é emelhante à equação I, eguem a mema concluõe an acima, ma agora com uma nova fórmula de cálculo do raio de convergência, que acabamo de deduzir. CQD. Teorema : V. referência [3, vol. 4, eç Teorema 9

21 fx f x f x f x a k x x k a + a k x x k fx a! a k k k k a k x x k a + k a k x x k f x a! a k k k k a k x x k a + k k a k x x k k3 f x a 3! a k3 k k k a k x x k 3 a 3 + k k k a k x x k 3 f x 3 a 3 3! a 3. k4 f n x n! a n a n f n x / n!. CQD. Teorema 3: V. referência [3, vol..

22 .7 Exercício. Calcule lim a n, cao exita, endo: a a n n3 + 3n + 4n 3 + b a n n + n c a n + n n d a n n n. Calcule a oma da érie: a k b 3 k e k k c k k k d k/ e k k k k 7 k 3. Uando o critério do termo geral, motre a divergência de: a k en k π b k k k 3 c k k ln k + 5 k + 4. Uando o critério da integral, determine a convergência de: a k b + k ln k k k 5. Uando o critério da integral, determine a divergência de: a k k b + k c ln k k ln k k k k d k k ln kln ln k 6. Uando o critério da comparação, motre a convergência de: a k k k 3 b c + k k + k3 k k ln k f ln k k 3/ k d k ln k k 3 k e k ln k k 7. Uando o critério da comparação, motre a divergência de: a k + k b k + 3k 4 k c k + 3k + 4 k 3k + 4 k e k ln k k f k ln k k g k k ln k d k h k k 9 k 3k + 4 ln k 8. Uando o critério da comparação, determine e é convergente ou divergente: a k + k 3 b k 6 4k 5 + 3k 6 3k 9 + k c k k + k 3k + 4 k k 9. Uando o critério da razão, determine a convergência ou divergência de: a k k k k! b k k 3 k + k k + c k. Uando o critério da raiz, motre a convergência de: a k k b k k k + k! k k k k d k 4 π k k Determine x para que a érie eja convergente: a x 3 n b nx n n n n n 3 + e x + 6 n f x n lnn + x n+ n n c n n + x n n! d n x n+ 3 n

23 . Uando o critério para érie alternada, motre a convergência de: a k+ ln k k k b k k en k c k k k 3 k d k k k k k + e k+ 3. Claifique, jutificando, e ão abolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: a k b k k kk + 4 k c k en k k k 4. Série telecópica Seja a k uma equência convergente e denote lim k a k a. Motre que a c f h k a k a k+ a j a b kj kk + k k6 k 4k + 4k k 3k + 4 k k+ k k + l k k a k a k+ a j + a j+ a kj d k 3 4 k [ g en i k k kπ + π kπ en 3k + 6 3k + 3 k + e k k + 9 k3 3 kk + k + 4k j 4 k 5 4 k k ln k + 3 k 3 k ln k + 4 k ln k ln 7 6 k k4 5. Determinar e ão convergente ou divergente: a k e k i k k 4 k6 3k 5 k ln k k co k 3 k + b k f k j k 3k k k ln k k + ln k co kπ k + c k g k e k k + ln k k ln k d k 9 k k! k h k + k k k 6. Determine o intervalo de convergência da eguinte érie de potência: a n x n b n + 3 x 7 n n n + 5 c x n n + + n d n 5 n x n n! n e n n n n x n n f n x + 3n 8 n lnn + 7. No intervalo,, deenvolva a eguinte funçõe numa érie de MacLaurin: a x x b x x 3 c x + 3x + 8. Identifique a eguinte funçõe: a fx n + x n b gx n x n c hx n d ux nx n+ n n x n+ n3

24 9. Deenvolva a eguinte funçõe numa érie de MacLaurin, fornecendo o intervalo de convergência: a x co t t dt b x ent t dt c x ln + 5t 3 dt. Calcule a oma da eguinte érie: n n n π n+ a b n n+ n +! n n c n n n +. Se fx enx 3, calcule f 5.. Etabeleça que a ln k q é divergente k b k c k d k é convergente omente e q > kln k q k p ln k é convergente omente e p > k p é convergente omente e p > ou p e q > ln k q 3. Motre que a érie k k!a k k k é convergente para a < e e divergente para a e. Nota: Para a e, o problema é mai complicado, endo neceário motrar ante a deigualdade k! ek k k k! ek e e, o que e conegue a partir da deigualdade ln + ln + + lnk k obtida por meio da oma de Riemann inferior e uperior. ln x dx ln + ln ln k, 4. Conidere a érie b k /k p. Motre que, e lim b k exite e é poitivo, então a érie é convergente k k para p > e divergente para p. 5. Uando o problema 4, determine e é convergente ou divergente a érie: a do problema 8a b do problema 8b c do problema 8c d e k k k k f k k4 k k k 3 3 k9 + k + 3

25 .8 Soluçõe do Exercício Prob. a lim a n 3 + 3n n + n lim 4n 3 lim n 3 + b lim a n lim n + n lim n 3 n + n + + n n c Como lim + x n e n x, temo que lim a n lim d lim a n lim n/n lim e ln n n e lim ln n n n + + n lim l H e + n n e lim /n e Prob. Nete problema fazemo uo da fórmula da oma da érie geométrica a k 3 k /3 b e k k k /3 6 c k k k d k/ k e k k k k Prob. 3 e k e e k 7 k e k / 3 / k / / /7 k /7 / k k n + + n q k q e q < Nete problema, bata motrar que lim a k não exite ou, exitindo, que lim a k. k k a lim a k lim en k π não exite a k ocila no valore e k k b lim a k l H k ln l H k ln k lim k k k 3 lim k 3k lim k 6k c lim k a k lim k ln k + 5 k k + lim ln k+5 k+ l H k k lim k l H k ln 3 lim não exite k 6 3 k+k+5 k lim k 3k k + 7k + 3 Prob. 4 Oberve que, em cada integral fx dx uada, a função fx é contínua, poitiva, decrecente e K tal que fk a k o termo geral da érie para k K, aim atifazendo a condiçõe do critério da integral. Nete problema, bata motrar que ea integral imprópria exite. a b x + dx arctan x arctan arctan π π 4 π 4 x ln x dx ln x ln + ln + ln ln Prob. 5 Devemo motrar que a integral imprópria que atifaz a condiçõe do critério da integral v. o início da reolução do Prob. 4 não exite. a x x + dx lnx + ln {{ ln 4

26 b c d 3 x ln x dx ln x x ln x dx ln ln x x ln x ln ln x dx ln ln ln x 3 ln {{ ln ln ln {{ ln ln ln ln {{ ln ln ln ln 3 note que ln ln x > e x 3 Prob. 6 Pelo critério da comparação entre érie de termo gerai poitivo, para motrar que uma érie é convergente, bata motrar que, aintoticamente i.e., para k maior que algum natural, ou k, o eu t.g. termo geral é menor ou igual que o t.g. de alguma ér. conv. érie convergente. k a k 3 + k + k 3 + : t.g. de uma ér. conv. k b n + n3 n + n3 : t.g. de uma ér. conv. n c k ln k : t.g. de uma ér. conv. k d ln k k 3 k k k 3 k : t.g. de uma ér. conv. k,5 e ln k k k k : t.g. de uma ér. conv. k,5 Prob. 7 Pelo critério da comparação entre érie de termo gerai poitivo, para motrar que uma érie é divergente, bata motrar que, aintoticamente i.e., para k maior que algum inteiro poitivo, o eu t.g. é maior ou igual que o t.g. de alguma ér. div. érie divergente. k + a k 3k 4 k + k 3k 4 + 3k + 4 : t.g. de uma ér. div. k k + b k + 3k + 4 k + k + 3k + 4k : t.g. de uma ér. div. 4k k c k 3k + 4 k k k 3k + 3k + 4k : t.g. de uma ér. div. 5k k 9 d k 3k + 4 k k k 3k + 3k + 4k k 9 : t.g. de uma ér. div. 5k e ln k : t.g. de uma ér. div. k f ln k k : t.g. de uma ér. div. k g : t.g. de uma ér. div. k ln k k k k h : t.g. de uma ér. div. ln k k k/4 Prob. 8 a Conv., poi k + k 3 k + k k 3 k 3 é o t.g. de uma ér. conv. k b Conv., poi k6 4k 5 + 3k 6 3k 9 + k k + k6 4k 5 + 4k 5 + 3k k 9 + k k k é o t.g. de uma ér. conv. k3 k c Div., poi k 3k + 4 k k k 3k + 3k + 4k é o t.g. de uma ér. div. 5k 5

27 Prob. 9 Seja L lim k a k+/a k, onde a k é o termo geral da érie dada. Abaixo, o reultado L < e L > indicam érie convergente e divergente, repectivamente. O ímbolo de módulo erá omitido no cao de termo geral poitivo. k+ /k +! a L lim k k /k! lim k k! k +! lim k 3 k+ + k + 3 k+ + k + b L lim k k+ k k + k lim 3 k k k+ + k k +! k+ c L lim k k + k+ d L lim k 4 π k+ k k k k k! k lim k k + k π lim 4 π k k k! k! k + lim k k k +! k! k + k 3 k + k 3 k lim k k + lim k k + < 3 + k + 3 k + k k k π < k k + 3 k 3 > + /k k e < Prob. k Seja L lim ak, onde a k é o termo geral da érie dada. Abaixo, o reultado L < e L > k indicam érie convergente e divergente, repectivamente. O ímbolo de módulo erá omitido no cao de termo geral poitivo. k a L lim /k k lim / k k k lim /k < k k k k b L lim k k k + k k k lim lim k k + k + /k k e < Prob. Segundo o critério da razão, o valore de x que tornam a érie n φ n x convergente ão o que atifazem a inequação Φx <, onde Φx lim φ n+x/φ n x. Uma invetigação eparada é neceária para verificar e a convergência da érie também ocorre com o valore de x que atifazem a equação Φx. a lim x { { 3n+ /n + n x 3 n x 3 lim x 3 < < x 3 < x > e x < 4. /n n + x 3 n n, que é uma érie alternada convergente. n n x n n x 3 n, que é divergente. Repota: x [, 4 n n x4 n n { { { { n + xn+ b lim n nxn n + n 3 x lim + n n 3 + n x < nx n n n 3 n n + x n n 3, que é uma érie alternada convergente. + nx n n 3 n [ + x n 3 n + n 3 é convergente. Repota: x [, n n + + xn+ c lim [n n +! n n + xn x lim n! d lim x n+ /3 n x x n+ /3n 3 < x < 3 { { n + 3 n + n+ { { n! x. Repota: x R n +! 6

28 x n+ x 3 n 3 n 9 n, que é uma érie divergente. n x n+ x3 3 n 9, que é uma érie divergente. Repota: x 3, 3 n n n Outro modo, baeado no fato de que a érie dada é a uma érie geométrica, é o eguinte: x n+ n x 3, que é convergente e x <, ito é, e x < 3. 3n 3 3 n l H { { e lim x + 6 n lnn + x + 6 n+ lnn + lnn + lim < x + 6 > x < 7 ou x > 5 x + 6 lnn + n x + 6 n n, que é uma érie alternada convergente. lnn + x 7 n lnn + x + 6 n [ é div. Repota: x, 7 5, lnn + x 5 lnn + n n n n f x n n x n+ x n. x Ea érie geométrica é convergente e <, ou x n x x x > x. Como o modulando mudam de inal em x e x, convém reolver a inequação no intervalo eparado por ee valore de x. No intervalo x < : x + > x, ou >, que é verídico x <. No intervalo, : x + > x, ou x < /; logo, x, /. No intervalo x > : x > x, ou >, um aburdo; logo, não exite olução no intervalo,. x Além dio, x x <, e x x não exite. x A união do valore de x que atifazem a inequação fornece a repota: x < /. Prob. Aplicamo o critério de convergência para uma érie alternada k k a k [a k >, que conite em verificar e a equência a k é decrecente e com limite igual a zero. Abaixo, cada equência a k dada é claramente decrecente o que, cao e duvide, pode er confirmado contatando que a derivada da função fk a k é negativa. Aim, motraremo a convergência verificando tão-omente que lim k a k. a lim a ln k k lim k k k b lim k a k lim c lim k a k lim k l H k en k en k 3 k lim k k k d lim k k + e k+ e lim Prob. 3 /k lim k lim en k k k /ek k + 3/k 3 k k + a Vejamo a érie k kk+ k k k ; vemo, por comparação, que ea érie é divergente, +k poi k +k k +k k 3, que é o t.g. de uma ér. div. Aim, k kk+ não converge k [ abolutamente; ma ea érie é convergente, o que e deduz do critério para érie alternada é kk+ uma equência poitiva, decrecente e tal que lim. Logo, a érie dada é condicionalmente kk+ convergente. k 7

29 b Vejamo a érie k+ /4 k+ k /4 k 4 lim k k+ k k k k 4 4 k k k 4 k ; ela é convergente egundo o critério da razão: lim k <. Ou eja, a érie dada é abolutamente convergente. c A érie é divergente egundo o critério do termo geral: lim k onde fizemo a mudança de índice / k θ quando k. Prob. 4 a { n a k a k+ lim a k n a k+ kj kj kj [ a j+ + a j+ + + a n + a n+ a j lim b { n a k a k+ lim a k n a k+ kj kj kj [ c k en k lim θ enθ/ θ, { [ lim aj + a j+ + a j+ + + a n a n+ a lim a j a a j+ + a j a n + a n+ + a n+, a j +a j+ lim k d k e kk + k k {{ a k k k k + a k+ k + k { [ aj + a j+ + a j+ + a j a n a n+ a lim a n+ a a k a k+ a lim a k k k k / k + + / k / a k a k+ / a + a lim k3 f k6 k k + k k + 4k + a k k3 [ g kπ + π en k 3k + 6 a k+ h k i k k [ k {{ a k 4k + 5 k6 a k+ kπ en 3k 3k + 4 kk + k + k k + {{ a k+ k a k k k + a k+ k a k / + / 3/4 a k a k+ a 3 lim k3 a k a k+ a 6 lim a k k 5 3k + 3 a k k k a k /6 3k a k k k a k 9 a j +a j+ a a k+ a k lim k a k a en π 3 en π 6 /6 a + a lim 3k + 4 k a k+ / k + k + + / k + a k+ k [ k {{ a k 3 /6 3k /6 + /6 k + a k+ k + b k a lim b lim k k k k j 4k k [ k k + a + a 3 lim k k k k k {{ k k+ k + a k a k+ a lim k k k k + b k+ 8

30 l k ln k + 3 k4 k 3 k ln k + 4 k ln k + 4 [ { { k ln k + 3 { { k k4 k 3 k + ln k + 4 a k a k+ k k4 a 4 lim k a k 4 ln 7 lim k 6k 4 ln 7 lim k k 3 4 ln 7 6 Prob. 5 a Temo que k 4 k6 3k 5 k 4 k6 3k 5 a k ln k + 3 k 3 l H 4 ln 7 lim k k 6 k 3 k a k+ k k6 k 6 / k, que é o termo geral de uma érie convergente. Logo, por comparação, a érie dada é convergente. Note que a deigualdade acima é válida e 3k 5 k 6 /, ito é, para k maior que o valor k indicado na figura à direita. b A érie é convergente, poi, para ela, o parâmetro L no tete da razão é menor que : + L lim 3k k k + k+ k k 3k lim k 3k 997 3k k k + <. c A érie é divergente, poi o parâmetro L no tete da razão é L lim k ek+ k + k + e k e >. 6 k k 3k 5 d A érie é convergente egundo o tete da comparação, uma vez que e conegue motrar que, para k maior ou igual que algum natural l, eu termo geral é maior que o termo geral b k de uma érie convergente. De fato, temo que k 9 k! k k 9 k! k!/ k9 b k e k k!/, ito é, para k l 5 k! e, uando o tete da razão, contatamo que b k forma uma érie convergente: lim b k + 9 k! k + 9 k+/b k lim k k k +! k 9 lim <. k k {{ k + e A érie é convergente conoante o critério para érie alternada, poi a equência a k ln k/k+3 é poitiva, decrecente e tende a zero quando k. f e g Por comparação, contatamo que a érie ão divergente, poi, para k maior que algum natural l, temo que e ln k k + ln k ln k ln k/ k + ln k/ / k k k ln k k ln k ln k ln k/ k ln k h Pelo critério da raiz, com a k k+ k k k k + lim ak lim k k k : t.g. de érie divergente. ln k/ k ln k / : t.g. de érie div. [v. Exemplo i na pág. 7. k ln k k, verificamo que a érie é convergente: k k + lim k k <. i Por comparação verifica-e que a érie é divergente: 5 + co k 3 k + 5 k + k k : t.g. de érie divergente. k Prob. 6 a { { [ n /n x n n a n R lim a n a n+ lim n /n n+ /n + x ± R ou 9

31 [ n /n x n x [/n é divergente n n [ n /n x n x [ n /n é uma ér. altern. convergente Repota:, n a n n b n + 3 n n + 5 {{ x 7 n R lim a n lim a n+ [ n n + 3 x 7n n + 5 x6 n + 3 n + 4 n + 6 n + 5 x ± R 6 ou 8 n + 3 n n n + 5 {{ é conv., egundo o critério p/ érie alternada [ [ n + 3 x 7n n + 3 n n + 5 x8 n n + 5 n + 3n n n n n,5 é conv. Repota: [6, 8 c n n n + + [ a n x n n + + n [ n d n e n x n n n n! {{ a n n n n {{ a n f Para a érie x n x / x/ R lim a n a n+ lim n n n + + [ n + + n n é convergente n n n + é uma ér. alt. conv. + x n R lim a n 5 n lim a n+ n! x n R lim a n n n lim a n+ n lim n + n + + n+ x ±R ± Repota: [, n +! n + 5 n+ lim Repota: x R 5 n+ n lim n + n+ n n n + n + + /n {{ n Repota: x /e x + 3n x + 3n+ 8 n, o critério da razão fornece L lim lnn + 8 n+ lnn + 3 8n lnn + x + 3n x + 3 lnn + lim < x + < < x + < 4 < x <. 8 lnn + 3 [ n [ n x + 3n 8 n lnn + x + 3n 8 n lnn + x 4 x n n n lnn + lnn + Prob. 7 x a x x d x d dx x dx b x x 3 x n : érie alternada condicionalmente convergente [ n ln n n x n x nx n nx n n d dx x x d d dx dx nn x n n x x : divergente Repota: [ 4, n d dx n n x n x nn x n n 3

32 c x + 3x + x + n n 3x/ x + n 3 n x n { 3 n x n n + n+ + n n a n x n, onde a Prob. 8 a fx n + x n d dx n e x n+ d x dx b gx n x n x n x n x d n n dx n x d x x dx x n3 n3 3x n 3 n x n+ n+ + n + n { n 3 n x n n+ [ n 3 n n + n 3 n n+ n a n n 3 n n + n 3 n n+ n 3 n n+ x x x x x n x d dx x x x c hx x n+ x x n x 3 x x x7 x d ux nx n+ x 3 Prob. 9 a b c x x x n co t t x 3 n nx n x y x 3 y x 3 x co x x [ { { n t n dt dt t n n! n x t n dt n! n ent x [ n t n+ t dt t n n +! n [ t 4n+ x n +! 4n + n ln[+5t 3 dt x n n dt n n x n n! x ny n x 3 d dy [ t [ x n n n n t n n n! [ t n x n n n x 4n+ n +!4n + n [5t 3 n dt n 5 3n n n n n x x n y n x 3 d dy y dt x n x n n! n [ n n t n [x R n t 4n dt n n +! n n +! [x R x t 3n dt n n! x t 4n dt dt n 5 3n x 3n+ n3n + Nee cao, a máxima variação de t é dada por 5t 3,, ou t /5, /5 ; ee é o intervalo de integração máximo poível. Vemo então que x pode variar no intervalo /5, /5. Prob. a n n n n n x n n n n n n n ln + x ln 5 x x/4 4. Ob.: /4,, que é o intervalo de convergência da érie de MacLaurin de ln+x que foi uada. b n c n n π n+ [ n+ n +! n n n + n n x n+ n + n x n+ n +! x π x [ n arctan x π x 4 n x n+ n +! en x x x π De acordo com o reultado obtido no Exemplo i da eção.5, página 5. π. 3

33 Prob. fx f + f x + f x + + f 5 x 5 + enx 3 x 3 x3 3 + x3 5! 5! 3! 5! f 5 5! 5! f 5 5! 5!. 3

34 Capítulo Reolução de equação diferencial ordinária linear por érie de potência é Sabemo que a olução geral da EDO linear de ā ordem y x yx. x n yx c e x c n n! x R.. Io ugere que também poamo reolver a EDO em. tentando uma érie de potência donde yx y x Subtituindo.3 e.4 em., obtemo y xy a n x n,.3 n na n x n..4 n na n x n x a n x n n n n na n x n a n x n+ n n na n x n a n x n a + n na n a n x n, uma equação que ó pode er válida para todo o valore de x e o coeficiente da potência e anularem, ito é: a e na n a n n. Deta egunda equação, deduzimo que n a n n a n para n. Ea equação é chamada de relação de recorrência. Por meio dela, determinamo o coeficiente a n. 33

35 Fazendo n igual a naturai pare, obtemo Agora, com n igual a ímpare, temo n : a a n 4 : a 4 4 a a n 6 : a 6 6 a 4 3 a n 8 : a 8 8 a a. a n n! a n. n 3 : a 3 3 a n 5 : a 5 5 a 3. a n+ n. Finalmente, ubtituindo ea expreõe do coeficiente em.3, obtemo yx a n x n a n x n a n! xn a n n n x n n n! a e x, que é a olução dada em., poi o coeficiente a permanece como uma contante arbitrária. Vejamo mai um exemplo. Conidere a eguinte EDO e a ua olução geral conhecida: 4y + yx olução geral yx c cox/ + c enx/..5 Vamo recalcular ea olução geral pelo método da érie de potência. O pao ão o eguinte: Pao - Ecrevemo a érie de potência que e admite como olução e a derivada dea érie que erão uada: y n a n x n yx a n x n n y n n a n x n n Pao Na EDO, ubtituímo y, y e y pela repectiva érie para deduzir a relação de recorrência: 4y + y 4 nn a n x n + a n x n 4nn a n x n + a n x n n n n n n [4nn a n + a n x n a n a n 4nn n Pao 3 Uamo a relação de recorrência para calcular o coeficiente em termo do coeficiente Etamo começando a etudar um poderoo método que ervirá, naturalmente, para obter oluçõe de EDO que não abemo reolver analiticamente; ma o exemplo ora apreentado ão educativo: ilutram o método e a manipulaçõe matemática cotumeira. n 34

36 que permanecem arbitrário a e a : a a 4 a 3 a 4 3 a 4 a a a 4! 4 a 5 a a a 5! 5 a 6 a a a 6! 6 a 7 a a a 7! 7. Pao 4 Deduzimo uma expreão genérica para o coeficiente em termo de a e a. Do pao 3, concluímo que, para n : a n n a n a n! n e a n+ n +! n+. Pao 5 Subtituímo a expreão genérica do coeficiente na érie de yx para deduzir uma expreão fechada para a olução: yx a n x n a n x n + a n+ x n+ n a n! n xn + n a n n n! n x n + a {{ a n n que é a olução geral apreentada em.5. n n n x n+ a co n +! x + a en x, n a xn+ n +! n+ Realte-e que o pao 4 é frequentemente difícil, e o pao 5 é raramente poível. Por io, na reoluçõe por érie de potência que eguem, não no preocuparemo, ordinariamente, com a implementação do pao 4 o que eria até elegante, ma ete pao, embora de certa importância, etá fora do noo propóito aqui, que é o entendimento do método e do pao 5.. Reolução em torno de um ponto ordinário.. Definiçõe a Uma função fx é dita analítica no ponto x x e ela pode er deenvolvida numa érie de Taylor relativa a ee ponto que tenha raio de convergência poitivo. b Conidere a EDO linear de ā ordem que pode er ecrita na forma Axy + Bxy + Cxyx,.6 y + px y + qx yx,.7 com px Bx/Ax e qx Cx/Ax. Dizemo que x x é um ponto ordinário, ou não-ingular, dea EDO e, nee ponto, px e qx ou ua extenõe contínua ão funçõe Recordação: Uma função fx definida num ponto x x é dita contínua nee ponto e lim fx fx. x x A extenão contínua de uma função fx num ponto x x em que ela não é definida, ma tem limite finito, é a função gx que é igual a fx e x x e, naquele ponto, é dada por gx lim fx. Por exemplo, a extenão contínua da x x função en x/x em x é a função gx igual a en x/x e x e com g lim en x/x. x 35

37 analítica. Um ponto que não é ordinário é dito um ponto ingular, ou uma ingularidade, da EDO. Exemplo: i y + ln x yx : x é ponto ingular, poi fx ln x não é analítica nee ponto não exitindo f, f, etc, fx não pode er deenvolvida numa érie de Taylor em torno de x. ii y + x 5/3 y + y : x é ponto ingular, poi x 5/3 não pode er expandida em potência de x [a egunda derivada de x 5/3, igual a /9x /3, é infinita em x. iii xy + enx y + co x yx y + enx x y + co x x yx. px {{ qx Ea EDO não tem ponto ingular, ito é, todo ponto de R ão ordinário, incluive x. De fato, como x enx x x3 x 3! + x5 5! x7 7! + x 3! + x4 5! x6 7! + e x co x x x! x4 4! + x6 6! x8 8! + x! x3 4! + x5 6! x7 8! + ão a érie de Taylor relativa a x da extenõe contínua de P x e Qx nee ponto, a analiticidade em x etá verificada. iv x + y + xy yx y + x x + y x + yx. O ponto ingulare dea EDO ão a raíze de x +, a aber, x ±i, no quai x/x + e /x + não admitem extenão contínua, poi apreentam limite infinito nee ponto. Ee exemplo ilutra que ponto ingulare não ão neceariamente reai. Percebe-e que a caracterização de ponto ordinário e ingulare com bae no conceito de analiticidade pode complicar, à veze, a determinação dele. Ora, o conceito de função analítica é pormenorizadamente etudado num curo de funçõe complexa, e é exatamente a falta dee etudo que no traz dificuldade aqui. Ma não preciamo de muita teoria para proeguir, uma vez que etaremo, na maioria da veze, preocupado apena com EDO cujo coeficiente ão polinômio. Nee cao, fornecemo a eguinte receita: A EDO.6 no cao em que Ax, Bx e Cx ão polinômio em fator comum tem, em x x real ou imaginário, um ponto ordinário e Ax ingular e Ax Por exemplo: i x y + xy + 6yx : o ponto ingulare ão a raíze de x, ito é, x ±. Todo o outro ponto ão ordinário. ii x y + x y + x yx x y + x + y + x yx : ponto ingular em x. iii x y + x y + x yx y + x + y + x yx : não tem ponto ingular todo ponto de R ão ordinário. iv x y + x y + xx yx xy + xy + x yx : ponto ingular em x. v x + y + yx : ponto ingulare em x ±i. 36

38 .. Teorema da exitência de oluçõe em érie de potência Se x x for um ponto ordinário da EDO.6, podemo empre encontrar dua oluçõe linearmente independente na forma da érie de potência a n x x n, convergindo cada érie, pelo meno, no intervalo x R, x + R, em que R é a ditância do ponto x ao ponto ingular real ou não mai próximo. Por exemplo, a olução da EDO x y + xy + y na forma a n x 4 n, ito é, na forma de uma érie de potência em torno do ponto ordinário x 4, é convergente para 4 3, 4 + 3, 7, poi, nee cao, a ditância R do ponto x 4 ao ponto ingular mai próximo, que é o ponto x, é R 4 3. Outro exemplo: a olução da EDO x + 9y + xy + y na forma a y n x 4 n, ito é, na forma de uma érie de potência em torno n do ponto ordinário x 4, é convergente para 4 5, 4 + 5, 9, poi, nee cao, a ditância R do ponto x 4 do eixo da abcia, que também é o ponto z 4 do plano complexo ao ponto ingular mai próximo, que ão o ponto z ± ±3i do plano complexo, é R z z ± 4 3i 4 + 3i A figura à direita motra que o intervalo, 9 é a parte do eixo real que jaz no interior da circunferência de raio R 5 centrada no ponto x 4 dee eixo. n n 3i 3i R"5 4 5 intervalo de convergência..3 Exemplo de reolução de EDO lineare por érie de potência em torno de ponto ordinário 4 4! 5 Nota: Aqui, por quetão de implicidade, upomo que a origem x eja empre o ponto ordinário em torno do qual e deeja obter a olução da EDO na forma de uma érie de potência, a n x n no cao. Io não ignifica perda de generalidade, poi, mediante a n mudança para a variável t x x, empre podemo tranformar uma EDO com ponto ordinário em x x noutra com ponto ordinário em t. Exemplo : y xy Como não há ponto ingulare, a olução em érie obtida abaixo é convergente para todo x real. nn a n x n x a n x n nn a n x n a n x n+ n n nn a n x n a n 3 x n a + [nn a {{ n a n 3 n n3 n3 n a e a n n 3 a n 3 nn Como a, temo que a 5 a 8 a 3k+ k. O coeficiente a permanece arbitrário, dele dependendo o coeficiente a 3k k : a 3 a 6 a 9. a 3 a 3 a a a 3 a 45 a 45 a 6 Recorde-e de que a ditância entre doi ponto z e z do plano complexo é dada por z z, e que o módulo de um número complexo z a + bi é z a + b. Por exemplo, a ditância entre o ponto 6 + 3i e + i é 6 + 3i + i 5 + i n x n 9 x 37