Resposta de Frequência

Transcrição

1 Deartamento de Engenharia Química e de Petróleo UFF Dicilina: TEQ0- CONTROLE DE PROCESSOS Método de Margem de anho e Outro Proceo de Searação de Fae Prof a Ninoka Boorge Reota de Frequência Quando um Proceo é ubmetido a uma entrada enoidal Relembrando

2 Reota de Frequência Relembrando O rinciai comonente da Análie de Reota de Frequência t a y a c c y A r a a y c φ Temo t π 360º Reota de Frequência Diagrama de Bode: Um meio conveniente de areentar AR e φ contra 0 Relembrando A r 0, 0,0 00,0 0,

3 Diagrama de Bode Para gerar o Diagrama de Bode Relembrando Perturbação direta no roceo. Combinar a função de tranferência do roceo com entrada enoidal. Subtituir em e converter o comonente reai e imaginário que roduzem AR e φ. Alicar um tete de ulo. Diagrama de Bode O deenvolvimento de um diagrama de Bode a artir da função de tranferência R I Relembrando A r R I φ tan I R

4 tan Deoi de racionalizar r K K K A K K K K τ φ τ τ τ τ τ τ τ τ Derivação da curva de Bode ara um roceo de Primeira Ordem Diagrama de Bode Relembrando Deoi de racionalizar Proriedade de uma função log log log log ] log[ ou : Conidere φ A A d c b a d c b a r d c b a r d c b a Relembrando

5 Critério de Etabilidade de Bode Y - c a Y Ym Y m Y - c a Y Ym Y m Critério de etabilidade de Bode Método de Margem de anho e Fae y OL C V P T 0 Malha Fechada

6 Critério de etabilidade de Bode Método de Margem de anho e Fae O diagrama de bode ão deenhado utilizando-e a função de tranferência da malha aberta. Vantagem: evita calcular a função de tranferência da malha fechada. Deta forma é oível fazer a análie do itema em malha fechada, verificando aena a função de tranferência em malha aberta. y OL C V P T Malha Aberta Critério de etabilidade de Bode Método de Margem de anho e de Fae Vamo dizer que nó temo o eguinte itema: em que K é um ganho contante e é a FT da lanta em quetão. Malha Fechada Simlificada

7 Análie de Reota de Frequência Arendemo Diagrama de Bode eralmente Deenha-e Não veremo nete curo Diagrama Polare AR dbv log ϕ v log Magnitude e fae com variando entre 0 e 3 Análie de Reota de Frequência Arendemo a obter a etabilidade de um itema mediante o método de etabilidade no lano etabilidade aboluta do itema 0 OL C V P T o itema é etável ou itema não é etável Para aber quão etável é o itema etabilidade relativa A etabilidade relativa dá ideia de quão erto ou longe etá o itema do limite de etabilidade Acotuma-e exreá-la em MAREM DE ANHO E MAREM DE FASE 4

8 Critério de etabilidade de Bode Um itema é etável e AR é menor que.0 na frequência crítica i.e, w que correonde à ϕ -80 Etabilidade malha fechada de um itema ode er analiado elo critério de Etabilidade de Bode ara o roduto da funçõe de tranferência do controlador e do roceo, ou ea, c.. Critério de etabilidade de Bode Margem de anho M ou K g Define-e como a variação requerida no ganho da malha aberta ara atingir o itema à intabilidade. Sitema com margen de ganho grande odem uortar grande mudança no arâmetro do itema ante de atingir a intabilidade em malha fechada. Tenha em conta que um ganho unitário na magnitude equivale a zero db. 6

9 Reota de Frequência malha aberta Margem de anho M ou K g A margem do ganho de um itema de rimeira ou egunda ordem é infinito, ma o diagrama olare ara ee itema não cruzam o eixo real negativo. Por tanto, em teoria o itema de rimeira ou egunda ordem não odem er intávei. Não obtante, nota-e que tai itema de ª e ª ordem ão ó aroximaçõe no entido de que e derezam equeno retardo ao deduzir a equaçõe do itema. Se tem-e em conta ee equeno retardo, o itema de rimeira ou egunda ordem odem tornar-e intávei. 7 Margem de anho M ou K g A margem de ganho é o reciroco de w na frequência onde o ângulo de fae é -80º. Se define a frequência de ocilação como a frequência na qual o ângulo de fae da função na malha aberta é igual a -80 º. A margem de ganho Kg, e exrea como : Kg w Em termo de decibelio erá: Kg[ db] 0 log Kg 0 log w Para um itema etável de fae mínima, a margem do ganho indica quanto ganho e ode aumentar ante de que e torne intável o itema. 8

10 Margem de Fae PM Margem de Fae PM A margem de Fae, PM, é outra eecificação comumente aociada com o rocedimento da reota de um itema no dominio da frequência. A margem de fae é a diferença entre 80 e o ângulo de fae função de tranferência de malha aberta na frequência de cruzamento cuo módulo tem o valor unitário ou ea, 0 db: PM ϕ 80 AR 9 Parâmetro Crítico Para um itema intável, a margem de ganho é indicativo de quanta ganho e deve diminuir ara fazer etável o itema. No diagrama de Bode é oível viualizar ete margen. Tal como e vê na eguinte figura encontramo a margem de ganho quando a fae atinge o -80º e encontramo a margem de fae quando o ganho atinge o 0 db. -80º w c Figura 3 0

11 Caracterítica Reota de Frequência do Controladore Lembre-e que a R. F caracteriza-e or. Razão de Amlitude AR. Ângulo de fae φ Para qq F.T, AR A Controlador Proortional B Controlador PI Para φ K AR K, φ 0 C C C C K C AR K C τ I τ I φ tan τ I Reota de Frequência de Controlador - Margen de Etabilidade - Analiar OL C V P M ganho malha aberta Trê método em uo: Diagrama de Bode, φ v. R.F. malha aberta Diagrama de Nyquit gráfico olar de - Anexo J Seborg 3 Carta de Nichol chart, φ v. / R.F. malha fechada - Anexo J Seborg Vantagen: não neceitam de calcular raíze da equação caracterítica odem er alicada a itema com temo morto ode identificar margem de etabilidade, ou ea, que tão erto e eta da intabilidade.

12 Critério de Etabilidade de Reota de Frequência Doi reultado rinciai:. Critério de etabilidade de Bode. Critério de etabilidade de Nyquit I Critério de etabilidade de Bode Um itema de malha fechada é intável e a RF da F.T malha aberta. OL C P V M, tem uma razão de amlitude maior que na frequência critica, C. Cao contrário, o itema de malha fechada é etável. Note: C valor de quando o ângulo de fae em malha aberta é -80º. C A margen de ganho e de fae ão medida de etabilidade relativa. 3 Critério de Etabilidade de Reota de Frequência Aim, O Critério de Etabilidade de Bode fornece informação obre malha fechada e informação da etabilidade da R.F malha aberta.. Critério de Etabilidade de Nyquit Figura 8 deenderá da localização da equação caracterítica no lano, ou ea da localização do ólo da eq. caracterítica. Se todo o ólo etiverem localizado no emilano equerdo do lano, o itema erá abolutamente etável. O critério de etabilidade originalmente rooto or Nyquit utiliza o rincíio do argumento coniderando como caminho fechado a er ercorrido, conforme a Figura 8, todo o emilano direito do lano. 4

13 A margem de ganho rereenta o fator mediante o qual o ganho total da malha deve aumentar-e ara fazer que o itema e torne intável. O ganho do controlador que roduz uma margem de ganho determinado e calcula da eguinte maneira: Sendo K, o roduto do ganho de todo o outro elemento na malha. Uma eecificação tíica é que M. Obérvee que a intonia de um controlador roorcional com M é a mema regra de intonia de Ziegler- Nichol ara uma razão de decaimento de um quarto. anho ultimo e eríodo crítico anho ultimo: K CU valor máximo de K C que reulta em um itema em malha fechada etável quando é uado omente o controle roorcional. Período ultimo: P U π C K CU ode er determinado da RFMA quando o controle uado é roorcional com K C. Aim K CU ara for KC AR OL C Nota: itema de rimeira e de egunda ordem em temo morto não têm um valor K CU, e a ação do controlador PID é incorreto. 6

14 Margem de anho e Margem de Fae A margem de ganho M e margem de fae MF fornecem medida do itema malha fechada no eu limite de etabilidade. Margem de ganho : ea A C AR OL em C. Logo, a margem do ganho é definido como: M /A C Critério de etabilidade do Bode, M > etabilidade Margem de fae : ea g frequência na qual AR OL.0 e o correondente do angulo de fae angulo é φ g. A margem de fae é definida como: MF 80 φ g Critério de etabilidade Bode, MF >0 etabilidade ver Figure 4..Seborg 7 Margem de anho e Margem de Fae A margem de ganho M e margem de fae MF fornecem medida do itema malha fechada no eu limite de etabilidade. Margem de ganho : ea A C AR OL em C. Logo, a margem do ganho é definido como: M /A C Critério de etabilidade do Bode, M > etabilidade Margem de fae : ea g frequência na qual AR OL.0 e o correondente do angulo de fae angulo é φ g. A ou margem ea, de fae é definida como: Margem de ganho abaixo de 0 db e da fae or encima do -80º, o itema é etável MF 80 φ g Critério de etabilidade Bode, MF >0 etabilidade ver Figure 4..Seborg 8

15 9 Exemlo : Sea um roceo que tem a F.T, 0.5 E V 0., M 0. Se o controle roorcional é uado, determine A etabilidade malha fechada ara 3 valore de K c :, 4, e 0. 3 Solução: A FTMA é OL C P V M ou... OL K C O diagrama de Bode ara o 3 valore de Kc ão areentado na eguinte figura. Nota: A curva de ângulo de fae ão idêntica. A artir do diagrama de Bode oberva-e: 30

16 Chater 4 Figura 9 - Diagrama de Bode ara OL Kc/ KC 4 AROL 0,5,0 0 5,0 etável? im condicionalmente etável Não 3 Para o controle Proorcional, o melhor ganho Kcu é definido como endo o maior valor de Kc que reulta em um itema malha fechada etável. Para o controle Proorcional, OL Kc e vm. AROLKc AR onde, AR denota a razão de amlitude de. no limite da etabilidade, c, AROLc e Kc Kcu. K cu AR c

17 Exemlo Determine a etabilidade do itema malha fechada, 4e 5 onde V.0, M 0.5 e C K C. Encontrar C do diagrama de Bode. Qual é o valor maximo de K c ara um itema etavel? Solução: O diagrama de Bode ara K c é motrado na eguinte figura C AR.69 rad min OL C 0.35 K C max 4.5 AR 0.35 OL 33 C AR.69 rad min OL C 0.35 K C max 4.5 AR 0.35 OL 0 34

18 Uando o MATLAB Exemlo 3 Para obter o diagrama de Bode de uma função de tranferência, odemo uar a função bode do MATLAB. Por exemlo: >> num 50; >> den [ ]; >> y tfnum,den; >> bodey ou com a única ordem: >>bode50,[ ] Figura 36

19 Também e odem achar diretamente a margen de fae e de ganho utilizando a função margin. Eta função Matlab devolve o valore da márgen de fae MF e de ganho M na frequência critica da fae FC e de ganho C, eta última entre arêntee, e ua rereentação num diagrama de Bode. >> marginy Figura 3 FC C 37 Exemlo 4 Obtenha o márgen de fae e ganho do itema ara o cao em que K 0 e K Bode Diagram m 9.54 db at.4 rad/, Pm 5.4 deg at.3 rad/ >> num 0; >> den conv[ 0],conv[ ],[ 5] >> y tfnum,den; >> bodey >> marginy Etável Figura 4 Magnitude db Phae deg Frequency rad/ 38

20 Exemlo 4 cont Obtenha o márgen de fae e ganho do itema ara o cao em que K 0 e K Bode Diagram m -0.5 db at.4 rad/, Pm -3.7 deg at 3.9 rad/ >> num 00; >> den conv[ 0],conv[ ],[ 5] >> y tfnum,den; >> bodey >> marginy Intável Figura 4 Magnitude db Phae deg Frequency rad/ 39 Exemlo 5 num 0.5; den [ 0.5]; y tfnum,den; marginy Magnitude db Bode Diagram m 9.55 db at rad/, Pm 49 deg at rad/ margem da ganho Margem de ganho abaixo de 0 db e fae or encima do -80º, o itema é etável Etável Phae deg margem de fae Frequency rad/ 40

21 Magnitude Magnitude db db Magnitude db Bode Diagram m m db at at 3.46 rad/ Bode, Diagram, Pm Pm deg at deg 6.54 at rad/ 3.46 rad/ m db at 3.46 rad/, Pm 67.6 deg at.53 rad/ Phae deg Phae deg Quando o ângulo fae 0 - é oitivo 0 0 Frequency rad/ Frequency rad/ 0 0 exrea un adianto entretanto que quando é negativo correonde a um atrao. Frequency rad/ w,5 w 0, w 0,5 w 00 Bode Diagram m -3. db at 0.36 rad/, Pm deg at.3 rad/ Magnitude db Phae deg Intável Frequency rad/