2 Cargas Móveis, Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços

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1 2 Carga óvei, Linha de Influência e Envoltória de Eforço 21 Introdução Para o dimenionamento de qualquer etrutura é neceário conhecer o eforço máximo e mínimo que ela apreentará ao er ubmetida ao carregamento que erá detinada Para etrutura ubmetida a carga móvei exite um diagrama, denominado de envoltória de eforço, que determina o valore limite, máximo ou mínimo, para a eçõe tranverai da etrutura A eguir, erão apreentado conceito, relacionado a carga móvei e traçado de linha de influência, neceário ao cálculo da envoltória de eforço, bem como erá exemplificada a determinação de uma envoltória de eforço e dicutida a maneira de obtê-la 22 Claificação da açõe atuante na etrutura De acordo com a NBR 8681 (1984), a açõe atuante na etrutura, que ão a caua que provocam eforço ou deformaçõe, podem er claificada egundo ua variabilidade no tempo em trê categoria: Açõe permanente ão a carga que ocorrem com valore contante ou de pequena variação em torno de ua média, durante praticamente toda a vida da contrução A açõe permanente ão dividida em direta, tai como o peo próprio do elemento da contrução, incluindo-e o peo próprio da etrutura e de todo o elemento contrutivo permanente, e indireta, como protenão, recalque de apoio e a retração do materiai Açõe variávei ão a carga que ocorrem com valore que apreentam variaçõe ignificativa em torno de ua média, durante a vida da contrução ão

2 Carga óvei, Linha de Influência e Envoltória de Eforço 23 a carga móvei ou acidentai da contruçõe, ito é, carga que atuam na contruçõe em função de eu uo (peoa, mobiliário, veículo, materiai divero, etc) Ela podem er normai, quando pouem probabilidade de ocorrência uficientemente grande para que ejam obrigatoriamente coniderada no projeto da etrutura de um dado tipo de contrução, ou epeciai, como açõe ímica ou carga acidentai de natureza ou de intenidade epeciai Açõe excepcionai ão a carga que têm duração extremamente curta e muito baixa probabilidade de ocorrência durante a vida da contrução, ma que devem er coniderada no projeto de determinada etrutura Por exemplo, açõe excepcionai podem er decorrente de exploõe, choque de veículo, incêndio, enchente ou imo excepcionai 23 Carga óvei Divera etrutura ão olicitada por carga móvei Exemplo ão ponte rodoviária e ferroviária ou pórtico indutriai que uportam ponte rolante para tranporte de carga O eforço interno nete tipo de etrutura não variam apena com a magnitude da carga aplicada, ma também com a poição de atuação da mema Portanto, o projeto de um elemento etrutural, como uma viga de ponte, envolve a determinação da poiçõe da carga móvei que produzem valore extremo do eforço na eçõe do elemento No projeto de etrutura ubmetida a carga fixa, a poição de atuação de carga acidentai de ocupação também influencia na determinação do eforço dimenionante Por exemplo, o momento fletor máximo em uma determinada eção de uma viga contínua com vário vão não é determinado pelo poicionamento da carga acidental de ocupação em todo o vão Poiçõe elecionada de atuação da carga acidental vão determinar o valore limite de momento fletor na eção Aim, o projetita terá que determinar, para cada eção a er dimenionada e para cada eforço dimenionante, a poiçõe de atuação da carga acidentai que provocam o valore extremo (máximo e mínimo de um determinado eforço)

3 Carga óvei, Linha de Influência e Envoltória de Eforço 24 Uma alternativa para ete problema eria analiar a etrutura para vária poiçõe da carga móvei ou acidentai e elecionar o valore extremo Ete procedimento não é prático nem eficiente de uma maneira geral, exceto para etrutura e carregamento imple O procedimento geral e objetivo para determinar a poiçõe de carga móvei e acidentai que provocam valore extremo de um determinado eforço em uma eção de uma etrutura é feito com auxílio de Linha de Influência 24 Linha de Influência Linha de Influência ( LI ) decrevem a variação de um determinado efeito (por exemplo, uma reação de apoio, um eforço cortante ou um momento fletor em uma eção) em função da poição de uma carga vertical unitária que paeia obre a etrutura Aim, a LI de momento fletor em uma eção é a repreentação gráfica ou analítica do momento fletor, na eção de etudo, produzida por uma carga concentrada vertical unitária, geralmente de cima para baixo, que percorre a etrutura Io é exemplificado na Figura 21, que motra a LI de momento fletor em uma eção indicada Neta figura, a poição da carga unitária P = 1 é dada pelo parâmetro x, e uma ordenada genérica da LI repreenta o valor do momento fletor em em função de x, ito é, LI = (x) Em geral, o valore poitivo do eforço na linha de influência ão deenhado para baixo e o valore negativo para cima x P = 1 (x) Figura 21 Linha de influência de momento fletor em uma eção de uma viga contínua Com bae no traçado de LI', é poível obter a chamada envoltória limite de eforço que ão neceária para o dimenionamento de etrutura ubmetida a carga móvei ou acidentai

4 Carga óvei, Linha de Influência e Envoltória de Eforço Traçado de LI O FTOOL calcula a linha de influência de um eforço E utilizando o Princípio de üller-brelau (ÜEKIND, 1997), também conhecido como método cinemático para o traçado de LI, que foi formulado por üller-brelau no final do éculo 19 Ete método pode er demontrado atravé do Princípio do Delocamento Virtuai - PDV (artha, 2005) e pode er aplicado para qualquer tipo de etrutura, iotática ou hiperetática Embora ete método poa er utilizado para obtenção de LI de eforço e reaçõe, o FTOOL não calcula LI de reaçõe De uma maneira reumida, para e traçar a linha de influência de um efeito E (eforço ou reação), procede-e da eguinte forma (ÜEKIND, 1997): rompe-e o vínculo capaz de tranmitir o efeito E cuja linha de influência e deeja determinar; na eção onde atua o efeito E, atribui-e à etrutura, no entido opoto ao de E poitivo, um delocamento generalizado unitário, que erá tratado com endo muito pequeno; a configuração deformada (elática) obtida é a linha de influência O delocamento generalizado que e faz referência depende do efeito em conideração, tal como indicado na Figura 22 No cao de uma reação de apoio, o delocamento generalizado é um delocamento aboluto da eção do apoio Para um eforço normal, o delocamento generalizado é um delocamento axial relativo na eção de eforço normal Para um eforço cortante, o delocamento generalizado é um delocamento tranveral relativo na eção do eforço cortante E para um momento fletor, o delocamento generalizado é uma rotação relativa entre a tangente à elática adjacente à eção do momento fletor

5 Carga óvei, Linha de Influência e Envoltória de Eforço 26 Efeito Reação de apoio V Delocamento generalizado = 1 Eforço normal = 1 N N Eforço cortante Q Q = 1 omento fletor θ = 1 Figura 22 Delocamento generalizado utilizado no método cinemático 25 Determinação de eforço extremo com bae em LI A determinação de valore máximo e mínimo de um eforço interno em uma eção de etudo é exemplificada para o cao do momento fletor na eção da Figura 21 O carregamento permanente, contituído do peo próprio da etrutura, é repreentado por uma carga uniformemente ditribuída g, tal como indica a Figura 23 g LI Figura 23 Carga permanente uniformemente ditribuída atuando em uma viga contínua Coniderando que a ordenada de LI ( ( x) ) = é função de uma carga concentrada unitária, o valor do momento fletor em devido ao carregamento permanente pode er obtido por integração do produto da carga infiniteimal gdx por ( x) ao longo da etrutura (Equação 21):

6 Carga óvei, Linha de Influência e Envoltória de Eforço g = ( x) gdx = LI gdx (21) 0 0 Conidere que exite uma carga móvel atuando obre a etrutura, que é compota por uma carga concentrada P e por um carregamento acidental de ocupação que é repreentado por uma carga uniformemente ditribuída q Por er acidental, a carga q pode atuar parcialmente ao longo da etrutura O que e buca ão a poiçõe de atuação da carga P e q que maximizam ou minimizam o momento fletor em O valor máximo de é obtido quando a carga q etá poicionada obre ordenada poitiva da LI e a carga P etá obre a maior ordenada poitiva, e o valor mínimo é obtido quando a carga q etá poicionada obre ordenada negativa da maior ordenada negativa Io é motrado na Figura 24 e 25 LI e a carga P etá obre a P q q q LI Figura 24 Poicionamento da carga móvel para provocar máximo momento fletor em uma eção P q LI Figura 25 Poicionamento da carga móvel para provocar mínimo momento fletor em uma eção O valore máximo e mínimo de acidental podem er obtido por integração do produto devido omente ao carregamento LI qdx no trecho poitivo e negativo, repectivamente, da linha de influência, conforme equaçõe 22 e 23:

7 Carga óvei, Linha de Influência e Envoltória de Eforço q ( ) = LI qdx + máx LI qdx (22) 9 q ( ) = LI qdx (23) mín O valore máximo e mínimo de er obtido pelo produto negativa da linha de influência, repectivamente : P máx ( ) LI P máx P mín ( ) LI P devido à carga concentrada podem LI P, onde LI é a maior ordenada poitiva ou = (24) = (25) mín Aim, o valore máximo e mínimo finai de carregamento permanente e pela carga móvel ão : g q P ( ) + ( ) + ( ) máx máx máx provocado pelo = (26) g q P ( ) + ( ) + ( ) mín mín mín = (27) Oberve que, no cao geral, o valor máximo final de um determinado eforço em uma eção não é neceariamente poitivo, nem o valor mínimo final é neceariamente negativo Ito vai depender da magnitude do valore provocado pelo carregamento permanente e acidental Quando máximo e mínimo tiverem o memo inal, o eforço dimenionante erá o que tiver a maior magnitude Quando máximo e mínimo tiverem entido opoto, principalmente no cao de momento fletor, ambo podem er dimenionante 26 Envoltória Limite de Eforço A envoltória limite de um determinado eforço em uma etrutura decrevem para um conjunto de carga móvei ou acidentai, o valore máximo e mínimo dete eforço em cada uma da eçõe da etrutura, de forma análoga a que decreve o diagrama de eforço para um carregamento fixo Aim, o objetivo da Análie Etrutural para o cao de carga móvei ou acidentai é a determinação de envoltória de máximo e mínimo de momento fletore, eforço cortante, etc, o que poibilitará o dimenionamento da

8 Carga óvei, Linha de Influência e Envoltória de Eforço 29 etrutura ubmetida a ete tipo de olicitação A envoltória ão, em geral, obtida por interpolação de valore máximo e mínimo, repectivamente, de eforço calculado em determinado número de eçõe tranverai ao longo da etrutura A eguir é motrado um exemplo de determinação de envoltória de eforço interno de uma viga bi-apoiada com balanço, carga permanente e carga móvel (Figura 26) Na figura também etão indicada a eçõe adotada para o cálculo do valore limite e para o traçado da envoltória Devido a imetria da etrutura em relação à eção D, a obtenção do valore limite erá demontrada apena para a eçõe A, B, C e D, vito que a envoltória de eforço cortante erá anti-imétrica e a de momento fletor erá imétrica Carga óvel Carga Permanente A B C D E F G Beq Bdir Feq Fdir Etrutura e eçõe tranverai para envoltória Figura 26 Viga bi-apoiada com balanço, carga permanente e carga móvel O eforço devido à carga permanente foram primeiramente calculado, ou eja, determinaram-e o diagrama de eforço cortante e de momento fletor (Figura 27) A Beq Bdir C D E Feq G Fdir Carga Permanente: Eforço Cortante [kn] A B C D E F G Carga Permanente: omento Fletore [knm] Figura 27 Eforço interno da carga permanente Em eguida, determinaram-e o eforço cortante máximo e mínimo devido à carga móvel para cada eção tranveral adotada da etrutura (Figura 28 a 211) O poicionamento do trem-tipo para determinar o valore limite em cada eção egue o procedimento motrado na eção 25

9 Carga óvei, Linha de Influência e Envoltória de Eforço 30 para Q Beq mínimo Beq (carga móvel não atuando) LIQ Beq para Q Beq máximo ( Q ) c m 100) + 10 ( 100) ) ] = 60 kn Beq 00 mín c m ( Q ) 0 Beq = máx Figura 28 Eforço cortante máximo e mínimo na eção eq B para Q Bdir mínimo Bdir LIQ Bdir para Q Bdir máximo ( Q ) c m 025) 025) ] = 8 kn Bdir mín 75 ( Q ) c m 100) + 10 (075) 025) 12 (100) ] = 91 kn Bdir máx + 25 Figura 29 Eforço cortante máximo e mínimo na eção dir B para Q C mínimo C LIQ C para Q C máximo ( Q ) m 025) 025) 025) ] = 12 kn c mín C 50 ( Q ) m 075) + 10 (050) 025) 9 (075) ] = 57 kn c máx + C 50 Figura 210 Eforço cortante máximo e mínimo na eção C

10 Carga óvei, Linha de Influência e Envoltória de Eforço 31 para Q D mínimo D LIQ D para Q D máximo ( Q ) m 050) + 10 ( 025) 6 ( 050) 025) ] = 31 kn c mín D 25 ( Q ) m 050) + 10 (025) 6 (050) 025) ] = 31 kn c máx + D 25 Figura 211 Eforço cortante máximo e mínimo na eção D A Tabela 21 motra o reultado do eforço cortante máximo e mínimo na eçõe da etrutura devido a cada carregamento atuante e o valor final da envoltória de eforço cortante, que etão repreentada na Figura 212 O eforço cortante devido à carga móvel na extremidade livre do balanço correponde à carga de 20 kn poicionada obre eta eção Tabela 21 Envoltória de Eforço Cortante [kn] eção Carga Carga óvel Envoltória Permanente mínimo máximo mínimo máximo A Beq Bdir C D E Feq Fdir G

11 Carga óvei, Linha de Influência e Envoltória de Eforço máximo carga permanente mínimo faixa de trabalho Envoltória: Eforço Cortante [kn] Figura 212 Envoltória de Eforço Cortante A Figura de 213 a 215 motram como foi feita a determinação do momento fletore máximo e mínimo devido à carga móvel para cada eção tranveral da etrutura para B mínimo B LI B (carga móvel não atuando) para B máximo ( ) m 300) 300) ] = 105 knm c mín B 00 c m ( ) 0 B máx = Figura 213 omento fletor máximo e mínimo na eção B para C mínimo C LI C para C máximo ( ) m 225) 225) 075) ] = 90 knm c mín C 00 ( ) m 225) + 10 (150) 12 (225) ] = 195 knm c máx + C 00 Figura 214 omento fletor máximo e mínimo na eção C

12 Carga óvei, Linha de Influência e Envoltória de Eforço 33 para D mínimo D LI D para D máximo ( ) m 150) 150) 150) ] = 75 knm c mín D 00 ( ) m 300) + 10 (150) 12 (300) ] = 255 knm c máx + D 00 Figura 215 omento fletor máximo e mínimo na eção D A Tabela 22 motra o reultado do momento fletor máximo e mínimo na eçõe da etrutura devido a cada carregamento atuante e o valor final da envoltória de momento fletor, que etão repreentada na Figura 216 Tabela 22 Reultado obtido na envoltória de momento fletor eção Carga Carga óvel Envoltória Permanente mínimo máximo mínimo máximo A B C D E F G carga permanente mínimo máximo Envoltória: omento Fletore [knm] faixa de trabalho 525 Figura 216 Envoltória de momento fletor

13 Carga óvei, Linha de Influência e Envoltória de Eforço 34 Conforme vito, para determinar o valore limite de eforço em uma eção tranveral precia-e conhecer a poiçõe de atuação do trem-tipo que cauam ee eforço limite Para cao mai imple de trem-tipo e linha de influência, como no exemplo acima, é intuitiva a determinação dea poiçõe limite Porém, para cao mai complexo, torna-e impoível ea determinação por imple obervação Ee problema de determinar poiçõe limite contitui um problema de otimização, em que o objetivo é minimizar e maximizar o valore do eforço na eçõe tranverai do elemento etruturai em função da poição de atuação do trem-tipo Porém, não exite uma função matemática que decreva a envoltória de eforço de uma etrutura, o que torna impoível o uo da maioria do método cláico de otimização para reolver ete problema, já que muito dele utilizam derivada da função objetivo, como erá vito no capitulo eguinte