3º ano 1º semestre 2007/2008

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1 Metrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadore (LEEC) Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadore (DEEC) CONROLO 3º ano º emetre 2007/2008 ranparência de apoio à aula teórica Capítulo 2 (Parte A) Projecto de Compenadore Maria Iabel Ribeiro António Pacoal Setembro de 200 Reviõe em Março de 2002, Setembro 2003, Novembro 2005, Maio de 2007 odo o direito reervado Eta nota não podem er uada para fin ditinto daquele para que foram elaborada (leccionação no Intituto Superior écnico) em autorização do autore /Cap.2-ParteA

2 Projecto no domínio da frequência Diagrama de Bode da f.t.ca./ 2 K Sitema a Controlador controlar K > 0 2 C() G() EXEMPLO frequência de cruzamento ω c. 0 rad/ argg(jωc ) 80º margem de fae Φ M 0º itema marginalmente etável 2/Cap.2-ParteA

3 EXEMPLO Controlador Sitema a controlar Critério de Nyquit K > 0 2 C() G() Contorno de Nyquit A pólo duplo x - A imagem do contorno de Nyquit paa pelo ponto crítico - ω* : G(jω*)C(jω*) argg( jω*)c(jω*) 80º G(jω*)C(jω*) 0 itema marginalmente etável jω * é um pólo em malha fechada 3/Cap.2-ParteA

4 EXEMPLO Controlador Sitema a controlar Root-Locu K > 0 2 C() G() C() K z z Etratégia de Controlo pólo duplo x efeito etabilizador (PD) o x 2 pólo da f.t.c.f. no eixo imaginário itema marginalmente etável Introdução de amortecimento artificial devido ao termo derivativo 4/Cap.2-ParteA

5 EXEMPLO Controlador Sitema a controlar exemplo K, z0.rad/ z K 2 z C() G() ΦM 90º º itema em c.f. etável - G M Pode aumentar-e o ganho indefinidamente em que e perca etabilidade 5/Cap.2-ParteA

6 Análie do compenador PD arg C() C() K z z 90º 45º benefício de avanço de fae z ω(rad/ ( ) compenador por avanço de fae O compenador de avanço de fae afata o diagrama do ponto - itema original itema compenado - nova margem de fae Diagrama de Nyquit 6/Cap.2-ParteA

7 Compenador PD Compenador de avanço de fae z C() K z p z C() K z p itema realizável (com um pólo e um zero) Controlador Sitema a controlar p z K z p 2 C() G() avanço de fae 7/Cap.2-ParteA

8 Compenador por Avanço de Fae C() K β β K β db lim ω C(jω) β < Ganho etático K β zero - / o 90 pólo - /βτ x φ max ω max β 8/Cap.2-ParteA

9 Compenador por Avanço de Fae φ max? Máximo (benefício) do AVANÇO DE FASE ω max? j ω C(jω ) K K j argc(jω ) φc ( ω) arctg( ω) arctg( ωβ) d φ c ( dω ( ω ) β ( ω) 2 ( ωβ ) 2 β ωβ jω Cálculo de dφ c ( ω) dω ω max 0 Em ecala logarítmica, equiditante da frequência de corte do zero e do pólo β 2 ( ω) ( ωβ) ω max 2 0 β 2 ω 2 β 9/Cap.2-ParteA

10 Compenador por Avanço de Fae ω max β φmax? φ max φ c ( ωmax ) arctg( ωmax ) arctg( ωmaxβ ) arctg arctg( β) β φ max t β arctg 2 β φ max β arcin β 0/Cap.2-ParteA

11 Compenador por Avanço de Fae φc ( ωmax ) Máximo AVANÇO DE FASE 90º β β < x p β z β 0 p >> z φc ( ωmax ) 90º /Cap.2-ParteA

12 Compenador por Avanço de Fae K β β db C(jω max ) K? Porque é importante conhecer? β o 90 φ max β arcin β φ max ω max ω max β β O compenador de avanço de fae ua-e e para aumentar a margem de fae, ou eja omar fae na frequência em que o ganho da f.t.c.a. é unitário. Ao omar fae em w max, também e aumenta o ganho. De quanto? É o preço a pagar pelo avanço de fae 2/Cap.2-ParteA

13 Compenador por Avanço de Fae K β db jω ω C(jω max ) K? C(jω ) K jωβ o 90 φ max β φ max β arcin β C(jω max ω ) K ω max j β j β ω max ω max β β C(j ω max ) K β 3/Cap.2-ParteA

14 EXEMPLO Sitema de controlo (Motor de c.c. com amplificador) controlador K() amplificador 00 motor com carga poição angular velocidade Objectivo a atingir i. K() etabiliza o itema motor c.c. com amplificador 2. Erro de eguimento a rampa unitária e ramp ( ) o 3. Margem de fae ΦM Margem de ganho G M 6 db 4/Cap.2-ParteA

15 EXEMPLO a projectar K() G() 00 ( 36 )( 00) K () K K ~ () K ~ ( 0 ) ganho etático unitário 2. Erro de eguimento a rampa unitária ( ) e ramp e ramp ( ) lim G()K() 40 K lim G()K() 40 0 ecolha-e 00 K K lim 40 0 ( 36)( 00) 36 K 440 5/Cap.2-ParteA

16 EXEMPLO diagrama de Bode de KG() a projectar KG() K ~ 00 x 440 () ( 36 )( 00 ) ΦM 34º ω 0 db 29. 5rad/ G M 0. 6 db G M ω π 59.9rad/ O valore eriam diferente e tivee ido uado o diagrama de Bode aimptótico Só com ete ganho, o itema em cadeia fechada é etável, embora não atifaça a margem de fae pretendida 6/Cap.2-ParteA

17 EXEMPLO a projectar KG() K ~ 00 x 440 () ( 36 )( 00 ) Confirmação da etabilidade em cadeia fechada uando critério de Nyquit com K ~ () Contorno de Nyquit x x x - 34º P0 N0 ZPN0 módulo 7/Cap.2-ParteA

18 EXEMPLO a projectar KG() K ~ 00 x 440 () ( 36 )( 00 ) 3. Margem de fae o ΦM 48 Aumento nominal de Para K ~ () ΦM 34º 48º - 34º 4º No entanto é neceário dar FASE ADICIONAL itema original Compenador de avanço nova frequência de 0db cruzamento figura não à ecala. Apena ilutrativa -80º itema original 34º Como a frequência de cruzamento aumenta é precio aumento de fae Não bata um aumento de 4º 8/Cap.2-ParteA

19 EXEMPLO a projectar KG() K ~ 00 x 440 () ( 36 )( 00 ) o 3. Margem de fae ΦM 48 Aumento nominal de Para K ~ () Φ 48º - 34º 4º M 34º Aumento total de fae Nominal Factor de Segurança 4º 0º 24º Determinação da caracterítica do compenador de avanço de fae φmax 24º φ max β arcin β avanço β ω max O parâmetro β define o afatamento entre o zero e o pólo do compenador 9/Cap.2-ParteA

20 EXEMPLO β.54 β db 3. 77dB preço a pagar pelo avanço de fae Ganho etático do compenador unitário odo o ganho neceário já foi coniderado φmax 24º ω max? onde e coloca ω max? Conhecendo β Ecolhendo w max Calcula-e ω max ω β max w max é a frequência a que o avanço de fae é maior β 20/Cap.2-ParteA

21 EXEMPLO onde e coloca ω max? 3.77dB ω max f.t.c.a itema compenado f.t.c.a itema original -3.77dB ωmax ω Frequência à qual o ganho de malha KG() jω max β 0.42 β 3. 77dB 39 rad/ ωmax 39 rad/ β ωmax 25. 3rad/ rad/ β 2/Cap.2-ParteA

22 EXEMPLO a projectar G() K() 00 x 440 ( 36 )( 00) K() K K() ~ K β β f.t. do compenador com ganho etático unitáro f.t.c.a. do itema K() original* f.t.c.a. do itema compenado K( ) /Cap.2-ParteA

23 EXEMPLO K ( ) 00 x 440 ( 36 )( 00 ) f.t.c.a. do itema original f.t. do compenador f.t.c.a. do itema compenado G M. 5dB > 6 db o ΦM 46 < 48º Se não for atifatório, refaça o cálculo 23/Cap.2-ParteA

24 EXEMPLO K ( ) 00 x 440 ( 36 )( 00 ) Φ M 34º ΦM 46 o nova margem de fae Repita o projecto com bae no diagrama de Bode aimptótico 24/Cap.2-ParteA

25 Compenador de avanço - Sumário Introduz fae poitiva i na vizinhança i da frequência de cruzamento a 0dB do itema original, aumentando a margem de fae e melhorando aim a etabilidade relativa Preço a pagar é um aumento do ganho de alta frequência O compenador de avanço é equivalente ao controlador PD no intervalo de frequência em que o efeito do pólo é pouco ignificativo O compenador de avanço é uma repreentação mai realita do controlador PD em que o pólo tem a função de limitar o ganho de alta frequência do controlador 25/Cap.2-ParteA

26 Compenador de Atrao de Fae K () K K ~ () K ~ ( 0 ) ~ K() α α α > 0dB O compenador que vai er apreentado tem ganho etático unitário Diagrama de Bode de K ~ () 20log 0 α Ganho etático zero - / pólo - /ατ x α 26/Cap.2-ParteA

27 Compenador de atrao Princípio de utilização irar partido da atenuação do ganho de modo a delocar a frequência de cruzamento a 0dB para a frequência que conduz à margem de fae deejada. Preço a pagar é uma diminuição ição da fae na zona de influência do compenador Até uma década apó o zero Procura-e que a caracterítica de fae original não eja ignificativamente alterada na vizinhança da nova frequência de cruzamento a 0dB. Zero do compenador colocado, pelo meno, uma década ante da frequência de cruzamento a 0dB deejada. 27/Cap.2-ParteA

28 Compenador de Atrao de Fae ~ K() α α 0dB Diagrama de Bode de K ~ () 20log 0 α α 28/Cap.2-ParteA

29 EXEMPLO 2 Sitema de controlo (Motor de c.c. com amplificador) controlador K() amplificador 00 motor com carga poição angular velocidade Objectivo a atingir i. K() etabiliza o itema motor c.c. com amplificador 2. Erro de eguimento a rampa unitária e ramp ( ) /62 / Margem de fae ΦM 59. 2º 4. Margem de ganho G M 2 db 29/Cap.2-ParteA

30 EXEMPLO 2 a projectar K() G() 00 ( 36 )( 00) K () K K ~ () K ~ ( 0 ) ganho etático unitário 2. Erro de eguimento a rampa unitária ( ) / e ramp ( ) lim G()K() 0 lim G()K() K K lim 0 ( 36)( 00) e ramp K 5839 ecolha-e K /Cap.2-ParteA

31 EXEMPLO 2 diagrama de Bode de KG() a projectar KG() K ~ 00 x 5839 () ( 36 )( 00 ) Qual terá que er a frequência de cruzamento a 0dB para ter a margem de fae pretendida? ω 4. 7rad/ ΦM 59 º, KG(jω) 20dB Chegará diminuir o ganho de 20dB neta frequência com um compenador de atrao? 3/Cap.2-ParteA

32 EXEMPLO 2 diagrama de Bode de KG() a projectar KG() K ~ 00 x 5839 () ( 36 )( 00 ) deejada ΦM 59. 2º 0º 69. 2º factor de egurança Porque é neceário o factor de egurança? ΦM 69. 2º para ω 9. 78rad/ KG( jω) ω9.78rad/ dB O compenador de atrao deve providenciar i um ganho de -24dB à frequência de 9.8rad/ 32/Cap.2-ParteA

33 EXEMPLO 2 Dimenionamento do compenador de atrao 0 db α log 0 α 24dB α dB define o afatemento entre o pólo e o zero -90º Fae negativa preço a pagar pela diminuiçãode ganho Onde colocar o compenador? 33/Cap.2-ParteA

34 EXEMPLO 2 Vária hipóte poívei de colocação do compenador 0º 34/Cap.2-ParteA Pacoal Ribeiro, António P M. Iabel R

35 EXEMPLO 2 Etratégia de colocação do compenador de atrao Zero do compenador década abaixo da frequência de cruzamento deejada α rad/ 0 db α rad/ Na frequência de cruzamento deejada, d a fae -24dB negativa introduzida pelo compenador já é pequena, embora não nula Fae negativa -90º preço a pagar pela diminuiçãode ganho Ito jutifica a introdução de fae adicional no cálculo da margem de fae deejada 35/Cap.2-ParteA

36 EXEMPLO 2 a projectar G() K() 00 ( 36 )( 00) K () KK % () K α α Ma agnitude (db) 0.98 K ( ) K ( ) Φ M 64º, G M 22 db epecificaçõe verificada deg) Phae ( Bode Diagram f.t.c.a. do itema f.t.c.a. original*5839 do itema original*5839 Sytem: y f.t.c.a. do itema Frequency (rad/ec): 0 compenado Magnitude (db): f.t. do compenador f.t. do compenador f.t.c.a. do itema compenado Sytem: y Frequency (rad/ec): 0 Phae (deg): Frequency (rad/ec) 36/Cap.2-ParteA