1 s(s+0,7). (1.1) O controlador deve ser tal que o sistema em malha fechada apresente as seguintes características para entrada degrau: G p (s) =

Transcrição

1 1 Projeto de Controlador Digital - v Objetivo A finalidade deta experiência é projetar um controlador digital por meio técnica convencionai [Franklin, Powell e Workman 2006], [Ogata 1995], implementá-lo e tetá-lo. O controlador erá inicialmente projeto no plano- e depoi dicretizado. Na egunda etapa, o projeto erá diretamente efetuado no plano-z. 1.2 Epecificaçõe de projeto A planta a controlar é decrita pela eguinte função de tranferência, a er intetizada uando o computador analógico, G p () = 1 (+0,7). (1.1) O controlador deve er tal que o itema em malha fechada apreente a eguinte caracterítica para entrada degrau: a) tempo de ubida de 1,0 ; b) obreinal de 20%. 1.3 Introdução teórica Dua filoofia de projeto erão coniderada neta experiência: projeto no plano eguido de dicretização do controlador; dicretização da planta eguida de projeto do controlador no plano z Projeto no plano O projeto no plano pode er realizado a partir da epecificaçõe fornecida no domínio do tempo em termo de relaçõe bem conhecida em itema de egunda ordem. M p = e ζπ 1ζ 2 (1.2) 12

2 t r = π β ω d. (1.3) Do par (M p, t r ) (Equaçõe (1.2) e (1.3)), pode-e obter o par (ζ, ω d ) e então a poição do polo de malha fechada, como repreentado na Figura 1.1. Im() jω d ω 1 β= co n () ζ 2 ω 1ζ n σ Re() ζω n Figura 1.1: Alocação de polo no plano. Pode-e verificar facilmente que um compenador com a eguinte etrutura é capaz de impor o polo deejado de malha fechada para a planta (1.11). G c = k c +z c +p c, (k c > 0). (1.4) Bata que o zero eja ecolhido de modo a cancelar o polo da planta e que k c e p c ejam ajutado corretamente, como na Figura 1.2 Im() p c z c 0, 7 LR em compenador LR com compenador Polo deejado em malha fechada Re() Figura 1.2: Compenação da planta contínua. O equema decrito acima funciona perfeitamente e tanto o compenador como a planta forem contínuo. Como não é ee o cao, algun fenômeno intereante ão obervado. Em particular, o proceo de amotragem e o uo de um egurador de ordem zero introduzem um atrao de aproximadamente T/2 na variável de controle, onde T é o período de amotragem. Ee efeito pode er vito na Figura 1.3 Para e coniderar ee atrao no procedimento de projeto, bata incluí-lo na aída do compenador, ou eja, na entrada da planta. Ee atrao, dado no planopore T/2, apear de er um termo linear, não poui decrição racional exata. Para uma decrição racional aproximada, pode-e uar a aproximaçõe de Padé. Para ee atrao, a aproximação de Padé de primeira ordem é dada por 13

3 T Sinal contínuo Sinal efetivamente gerado Melhor aproximação contínua para o inal gerado. Note que há um atrao de aproximadamente T/2 Figura 1.3: Atrao introduzido pelo proceo de amotragem. e T/2 1T/4 1+T/4 = 4f a +4f a (1.5) onde f a é a frequência de amotragem. Doi apecto devem er realtado neta aproximação: o zero de fae não-mínima e o inal algébrico negativo. O itema em malha fechada pode er equematizado como na Figura 1.4, e a função de tranferência de malha aberta do itema compenado é dada por G ma () = k c (+z c )(4f a ) (+p c )(+4f a )(+0,7) (1.6) R () + G () 4f 1 Y () a c + 4fa + ( 0, 7) Figura 1.4: Diagrama do itema de controle. Como o ganho de malha é negativo (em decorrência do inal algébrico da aproximação de Padé), o lugar da raíze deve er traçado coniderando ganho aparente negativo, como na Figura 1.5. Note que, como era de e eperar, o efeito do atrao, viível atravé da deformação do diagrama de lugar geométrico da raíze é meno acentuado em 20 Hz do que em 4 Hz. Teoricamente, quando f a, o lugar da raíze tenderá para aquele da Figura Dicretização do Controlador Há vária forma de e obter um equivalente dicreto para um controlador projetado em [Franklin, Powell e Workman 2006]. Particularmente, neta prática erá coniderada a técnica de Mapeamento Caado de Polo e Zero. Tal método mapeia a faixa primária no círculo unitário e o retante do emiplano equerdo do plano- emz = 1. Pode-e, inicialmente, coniderar z = e T e ua invera = (1/T )ln(z) como a tranformação exata entrez e. O equivalente dicreto é obtido como: 14

4 Im() Re() (a) Im() Re() (b) Figura 1.5: Lugar da raíze para o itema completo para (a) f a = 4 Hz e (b)f b = 20 Hz. 15

5 Todo o polo e zero no plano- ão mapeado no plano-z comoz = e T. Zero de C(), em = ão mapeado em z = 1. O ponto z = 1 repreenta a maior frequência poível na função de tranferência dicreta. Para obtenção de itema próprio (grau do denominador = grau do numerador), todo o zero em = ou fora da faixa primária ão mapeado emz = 1; Se um atrao igual at é deejado, então um do zero em = é mapeado emz =, enquanto que o outro ão mapeado emz = 1. Com ito, há um zero finito a meno do que polo finito em C D (z). Aim, tem-e um itema etritamente próprio (grau do denominador>grau do numerador). Ete procedimento caua perda na qualidade da aproximaçõe. O ganho de um itema dicreto deve er ajutado tal que C() =0 = C D (z) z=1. Para maiore informaçõe, conultar a nota de aula de controle digital (Controle Digital (Parte II)), do Prof. Ricardo Projeto no planoz A Figura 1.6 apreenta a etrutura do itema em malha fechada. Note que, omente a egunda etrutura erá efetivamente utilizada. Na figura,h 0 () repreenta a função de tranferência do egurador de ordem zero, que é dada por H 0 () = 1eT (1.7) rt () + et () ekt ( ) Controlador ukt ( ) ut () yt () A/D D/A Planta Digital G () z H() G() c 0 p G () rkt ( ) (a) et () ekt ( ) Controlador ukt ( ) ut () yt () A/D D/A Planta Digital G () z H() G() c 0 p G () (b) Figura 1.6: Diagrama do itema em malha fechada, com referência gerada externamente (a) e referência gerada via oftware (b). A função de tranferência da planta+egurador é então dada por 16

6 G() = H 0 ()G p () = ( 1e T) G p (). (1.8) Tomando-e a tranformadaz de ambo o membro de (1.8), tem-e { } { Gp () Z{G()} = Z Z e T G } p() { } { } Gp () = Z z 1 Gp () = ( 1z 1) { } Gp () Z (1.9) Para a planta dada por (1.11), tem-e que G(z) = z 1 { } 1 Z z 2 (+a) = A(z +B/A a 2 (z 1)(z e at ) (1.10) ondea = e at +at 1 e B = 1e at (at +1) Para e fazer impoição de polo emz a partir de epecificaçõe no domínio do tempo, bata lembrar quez = e T, = ω n ( ζ ±j 1ζ 2 ), e que portanto, 1.4 Atividade { z = e Tζωn±jTωn 1ζ 2 z = e Tζω n z = ±Tω n 1ζ 2 A eguir ão decrita a atividade a erem deenvolvida na experiência 1. No cao de dúvida obre a utilização do computador analógico para intetizar uma função de tranferência, recorra ao documento da experiência 0. Inicialmente, deve-e intetizar a função de tranferência da Equação 1.11 no computador analógico. Ao contrário da experiência 0 em que o PC era utilizado apena para receber e analiar a repota da planta analógica, na prática 1 a comunicação entre o PC e o computador analógico erá em doi entido, poi o PC aumirá o papel de controlador digital. Aim, tando o A/D quanto o D/A do módulo der aquiição de inai (Módulo Lynx AC1160-VA) erão utilizado. O diagrama de montagem da Figura 1.7 deve er coniderado. yt () uk () Computador Analógico Ethernet INP0 INP1 Módulo LYNX OUT0 OUT1 Figura 1.7: Diagrama de montagem da prática 1. Note que apena uma entrada e uma aída ão utilizada. Alguma obervaçõe: 17

7 A entrada e aída do módulo de aquiição ão do pondo de vita do controlador digital (PC), ou eja, o que entra no PC deve er conectado na() entrada() INP0 ou/e INP1, e a() ação(õe) de controle ai/aem do PC pela() conexão(õe) de aída OUT0 e OUT1. IMPORTANTE: nunca inverta entrada com aída. IMPORTANTE: jamai ligue o terminai OUT0 ou OUT1 diretamente a um terminal de terra ou ao terminai GND. IMPORTANTE: jamai ligue o terminai OUT0 ou OUT1 a uma fonte de tenão (como um gerador de funçõe ou a rede elétrica). IMPORTANTE: jamai ligue o terminai INP0 ou INP1 a fonte de tenão acima da faixa de±10v (como por exemplo a rede elétrica). Para intetizar a função de tranferência no computador digital, note que: Y() U() = 1 ÿ = u0,7ẏ (1.11) (+0,7) Deve-e coniderar a realização mínima, ou eja, apena doi amplificadore operacionai, como ilutrado no diagrama da Figura 1.8. C C u 0, 7yɺ R R + ɺ y ɺ y R + y u 0, 7yɺ + ɺ y + y 0,7 0, 7yɺ ɺ y Figura 1.8: Diagrama da planta analógica. Analie o código do arquivo prog4.m e utilize-o como bae para elaboração da atividade propota Projeto no plano a) Inicialmente projete um compenador que atifaça à epecificaçõe do item 1.2 acima utilizando a técnica uuai de projeto no plano. 18

8 b) Reprojete o eu compenador levando em conta o atrao introduzido pelo computador. Ue a aproximação de Padé de primeira ordem para modelar o atrao de T/2, onde T é o período de amotragem. Faça o projeto para frequência de amotragem 4 e 20Hz. c) Faça imulaçõe do itema de controle do iten acima utilizando o Matlab e o Simulink. d) Utilize a regra do caamento polo-zero com ganho coincidente em baixa frequência para obter aproximaçõe dicreta do filtro contínuo do iten acima para frequência de amotragem de 4 e 20Hz. e) Implemente o compenadore e regitre a repota a degrau do itema para cada um dele. Monitore o inai para e certificar de que não há aturaçõe nem no computador analógico nem no converore A/D e D/A (inclua quaiquer programa ecrito no relatório) Projeto no planoz a) Utilize o egurador de ordem zero e a tranformada Z para converter o modelo da planta do domínio contínuo para o dicreto. Não inclua o efeito do atrao T/2 (diga porque no relatório). Conidere novamente frequência de amotragem de 4 e 20Hz. b) Projete compenadore no planoz para que o itema atenda à epecificaçõe do item 1.2. c) Implemente ee compenadore como no item (e). d) Compare o reultado obtido para o compenadore tendo em vita a técnica de projeto, frequência de amotragem, etc. O que é poível concluir obre a influência dee fatore? 1.5 Relatório Um relatório deta experiência deverá er entregue. 1.6 Problema e dúvida frequente a) Quanto controladore devem er implementado? Sei controladore: (i) projeto no planoem coniderar o atrao dicretizado a 4Hz; (ii) projeto no plano em coniderar o atrao dicretizado a 20Hz; (iii) projeto no plano coniderando atrao de 0,125 dicretizado a 4Hz; (iv) projeto no planoconiderando atrao de 0,025 dicretizado a 20Hz; (v) projeto no planoz a 4Hz; (vi) projeto no planoz a 20Hz. 19