IMPLEMENTANDO E SIMULANDO ANALOGICAMENTE SISTEMAS LITC

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1 IMPLEMENTANDO E SIMULANDO ANALOGICAMENTE SISTEMAS LITC Orlando do Rei Pereira, Wilton Ney do Amaral Pereira Abtract É apreentada uma técnica para imular analogicamente um itema LITC tanto por diagrama em bloco, atravé do Simulink, como pela implementação de um circuito eletrônico analógico dicreto empregando o oftware ADS. A função de tranferência H() do LITC é decompota em doi ubitema para facilitar a implementação com bloco analógico. Evita-e a utilização de derivadore devido à intabilidade intríneca dete tipo de circuito. Uma configuração recorrente implementada por realimentação permite utilizar apena integradore. A repota ao degrau de uma função de tranferência ecolhida ao acao foi determinada analiticamente, por imulação com diagrama em bloco e por imulação no circuito eletrônico equivalente. O reultado obtido foram idêntico, indicando a potencialidade dea técnica tanto para a prática de engenharia como para o enino em curo uperiore. Index Term itema, função de tranferência, amplificadore operacionai, integradore, multiplicadore, omadore, imulação analógica. INTRODUÇÃO Um itema LITC (Linear e Invariante em Tempo Contínuo) com uma entrada e uma aída pode er repreentado, no domínio da freqüência, por uma função de tranferência genérica da forma: N bn zn N n n H ( ) K K D M M () m a m m n N pm m onde K é uma contante de ecala, b n e a m ão o coeficiente do polinômio N() e D() e z n e p m ão ua repectiva raíze, zero e pólo. Realizando alguma manipulaçõe matemática, torna-e poível repreentar o comportamento de um itema LITC genérico utilizando diagrama em bloco e circuito eletrônico, que nete cao, erão utilizado amplificadore operacionai configurado como integradore ou derivadore aociado a omadore e multiplicadore por uma contante ou multiplicadore ecalare. Ea implementação, entretanto, é mai etável e forem utilizado apena integradore, evitando-e topologia que empregam derivadore. Por eta razão, ete trabalho utilizou apena integradore, omadore e multiplicadore ecalare. OBJETIVO O objetivo dete trabalho foi comprovar a potencialidade pedagógica da imulação analógica de funçõe de tranferência empregando quaiquer oftware comerciai de imulação numérica por bloco funcionai e por dipoitivo eletrônico dicreto. Eta abordagem é muito útil, poi oferece novo ângulo de compreenão em aunto de elevada abtração, tai como teoria cláica de controle e inai e itema, poibilitando uma maior intimidade do aluno de engenharia com tema deta categoria e que por coneqüência contribuirá a um menor número de evaão e de fracao do aluno. METODOLOGIA EMPREGADA A partir de uma função de tranferência H() ecolhida ao acao, ua repota ao degrau unitário u(t) foi obtida por quatro procedimento: reolução analítica no domínio da freqüência empregando-e a tranformada invera de Laplace da função H()/; implementação por meio de um diagrama em bloco, no Simulink, de um imulador de H() compoto pelo bloco analógico (integradore, omadore e multiplicadore por uma contante) excitado por u(t); implementação do circuito eletrônico imulador de H() no oftware ADS, utilizando componente dicreto reai, excitado por u(t); realização prática do circuito eletrônico imulador de H(), utilizando amplificadore operacionai LM7. A eqüência do procedimento definida nete trabalho tem como objetivo eguir por etapa a contrução do conhecimento que primeiramente parte da tranformada invera de Laplace, em eguida, na repreentação da função de tranferência por diagrama em bloco, depoi na ubtituição dete bloco analógico por circuito eletrônico imulador em oftware e, finalmente, na realização prática dete circuito eletrônico. A forma de onda da repota (t) foi traçada para permitir uma comparação viual. Cabe ainda informar que Simulink é um oftware comercial integrante do MatLab produzido pela emprea Mathwork e ADS é Orlando do Rei Pereira, INATEL Intituto Nacional de Telecomunicaçõe, Av. João de Camargo, 5, 75-, Santa Rita do Sapucaí, MG, Brazil, orlando_rei@inatel.br Wilton Ney do Amaral Pereira, INATEL Intituto Nacional de Telecomunicaçõe, Av. João de Camargo, 5, 75-, Santa Rita do Sapucaí, MG,Brazil, wilton@inatel.br

2 o Advanced Deign Sytem, um oftware avançado de imulação de circuito eletrônico produzido pela emprea Agilent Technologie, antiga HP - Hewlett-Packard. DESENVOLVIMENTO Será coniderada a eguinte função de tranferência: H () 8 e cada procedimento adotado erá decrito na ordem cronológica da implementação que foi realizado. Repota ao Degrau pelo Método Analítico A repota ao degrau da função de tranferência de () foi calculada pela aplicação do Método do Reíduo na obtenção da tranformada invera de Laplace: Vo(t)[V] y( t) L,e H.,8,te t t cot ent 8cot 6ent V A igura motra o gráfico de () traçada no MatLab X:.6 Y: -.8 () t[] IGURA RESPOSTA AO DEGRAU DE H(S) OBTIDA ANALITICAMENTE PELO MATLAB. Diagrama em Bloco Inicialmente erá decrita, analiticamente, a decompoição de doi ubitema em cacata, com topologia paívei de implementação analógica. Genericamente, um itema LITC é definido por uma função racional da forma: H () b b b a a a a Decompondo-e H() em dua parte H () e H (), onde a repota intermediária (), etá ainalada na igura, aumindo a forma: ou X (5) a a a a a a a a X (6) A equação (6) motra que a repota intermediária () é obtida pela oma ponderada de ação de derivadore de primeira até quarta ordem aplicado em cacata no entido direto. Derivadore, entretanto, devem er evitado. Com uma topologia decorrente, empregando integradore, é poível implementar H (). A igura motra como uma cacata de integradore realimentado obtém (). Na mema concepção, () é proceado para e obter Y(): b b b Y (7) Coniderando agora a função de tranferência ob análie, a equação (), implementada por eu equivalente em bloco no Simulink, é apreentada na igura. O ubitema H () e H () foram ainalado para ilutrar o método deenvolvido. Excitando-e ee diagrama em bloco com um degrau unitário, a repota é apreentada na igura. Repota ao Degrau pelo X a H() H() a a a b H () b b Y IGURA DECOMPOSIÇÃO DE H(S) DE UMA UNÇÃO DE TRANSERÊNCIA EM DOIS PASSOS.

3 H () X() Y() H () IGURA IMPLEMENTAÇÃO DE H(S) DA EQUAÇÃO (6) POR DIAGRAMA EM BLOCOS NO SIMULINK.,5 Vo(t)[V] -,5 -, -,5 -, t[] IGURA RESPOSTA AO DEGRAU DE (6) SIMULADA ANALOGICAMENTE NO SIMULINK. X Y - - IGURA 5 IMPLEMENTAÇÃO DE (6) COM UNIDADES ANALÓGICAS.

4 Repota ao Degrau Implementada com Circuito Eletrônico em Software Na implementação da unidade analógica com amplificadore operacionai, a configuração inverora produz contante negativa que devem er corrigido por inverore unitário. A aída do amplificadore operacionai ão e.,,, Empregando ainda diagrama em bloco, ma agora com a unidade analógica configurado como omadore, multiplicadore e integradore, obtém-e o circuito motrado na igura 5. O inverore unitário para correção da polaridade em cada pao já foram aplicado. Empregou-e a mema topologia da implementação por diagrama em bloco do Simulink, utilizando, entretanto, a unidade analógica: Para que o integrador tenha ganho unitário, faz-e RC =. oram utilizado R M e C. A igura 7 apreenta o circuito analógico completo implementado no ADS. Quatro unidade analógica integradora em cacata reponável pela geração do inai (), (), (), (), () ão viívei no circuito. Verifica-e ainda que na malha de realimentação e de alimentação direta na aída do primeiro e do terceiro integrador encontram-e o inverore unitário neceário à correção da polaridade. O ganho do primeiro omador da cacata correpondem ao coeficiente do denominador de H () e enquanto que no egundo omador etão o coeficiente do numerador de H (). O circuito apreentado na igura 7 é a realização implementada no ADS e numericamente imulada. Sob excitação por um degrau unitário, obteve-e a repota ilutrada na igura 6. Portanto: X X (8) (9) Como o ganho do omadore ão negativo, (9) é reecrita: X () vo, mv m m time= 9.56 ec vo=-8.mv time, ec IGURA 6 RESPOSTA AO DEGRAU SIMULADA PELO ADS. IGURA 7 SIMULADOR ANALÓGICO IMPLEMENTADO COM AMPLIICADORES OPERACIONAIS PARA REPRESENTAR A UNÇÃO DE TRANSERÊNCIA (6).

5 Repota ao Degrau pelo Implementada com Circuito Eletrônico íico Nete método, implementou-e fiicamente o circuito, conforme motrado na igura 8, utilizando amplificadore operacionai LM7, devido a ua grande popularidade e ua fácil obtenção no mercado. No entanto, encontrou-e dificuldade na utilização dete amplificadore devido ao ajute de off-et do omadore e principalmente do integradore. O ajute de off-et no integradore e faz com a ubtituição do capacitor na malha de realimentação por um reitor. Durante o ajute de off-et, obervou-e que, o ajute do amplificadore configurado em diferente ganho (-R f /R), em que R f é o reitor da malha de realimentação e R é o reitor de entrada do amplificador operacional, apreenta diferente reultado de ajute, o que dificulta o ajute no integradore, já que não e abe qual do ganho é melhor aplicado. oi adotado nete trabalho, reitore de M na malha de realimentação e K na entrada. A igura 9 apreenta a repota ao degrau de () obervada em um ocilocópio. Verifica-e que a curva da repota ao degrau do circuito implementado etá próxima da curva imulada da igura 6. Nota-e ainda a exitência de um nível DC devido ao off-et que foram e formando em cada etágio do circuito. No entanto, a diferença entre a tenão inicial e a tenão final etá próxima de 8mV, motrando a boa convergência do gráfico da figura 9 com o reultado anteriormente obtido. IGURA 9 RESPOSTA AO DEGRAU IMPLEMENTADO PELO CIRCUITO ELETRÔNICO CONCLUSÃO Comparando-e a repota ao degrau obtida em cada cao e apreentada na igura, e 6, oberva-e que o gráfico ão idêntico. Aim, tanto pela olução analítica como pela imulaçõe pelo Simulink (diagrama em bloco) e ADS (circuito eletrônico analógico), o itema apreenta o memo comportamento. Oberva-e ainda que a realização prática do circuito obteve um reultado atifatório levando em conideração a dificuldade do ajute de off-et da unidade analógica. Ee reultado ilutra o potencial deta técnica para imular qualquer LITC, memo itema complexo, quando muita veze não é poível contruir um protótipo com dimenõe reai para avaliar previamente o comportamento. Adicionalmente, eta técnica oferece poderoa ferramenta ilutrativa para o enino de teoria de circuito elétrico, análie de itema lineare e controle de dipoitivo em automação. REERÊNCIAS [] DOR, R. C.; BISHOP, R. H. Sitema de Controle Moderno, 8ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 998. [] HAYKIN, S; VEEN, B. V., Sinai e Sitema. Porto Alegre, Bookman,. IGURA 8 CIRCUITO ELETRÔNICO SIMULADOR DA UNÇÃO DE TRANSERÊNCIA (6) [] LATHI, B. P., Linear Sytem and Signal. New York: Oxford Univerity,. [] PERTENCE JR., A. Amplificadore Operacionai e iltro Ativo, 6ª. ed. Porto Alegre: Bookman,. [5] SEDRA, A. S.; SMITH, K. C. Microeletrônica. ª. ed. São Paulo: Pearon,.