Universidade Presbiteriana Mackenzie. Automação e Controle I

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1 Univeridade Prebiteriana Mackenzie Curo de Engenharia Elétrica Automação e Controle I Nota de Aula Prof. Marcio Eiencraft Segundo emetre de 006

2 Univeridade Prebiteriana Mackenzie Curo de Engenharia Elétrica Automação e Controle I TEORIA Prof. Marcio Eiencraft Segundo emetre de 006

3 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Univeridade Prebiteriana Mackenzie Automação e Controle I Profeor Marcio Eiencraft (marcioft@mackenzie.br) º Semetre 006. Objetivo Introduzir o fundamento matemático de Automação e Controle e ilutrar alguma de ua aplicaçõe à Engenharia de Produção.. Aula de Teoria e Prática Na aula de prática erão vita aplicaçõe do aunto abordado na aula de teoria. Serão utilizado kit didático e a ferramenta computacional Matlab, principalmente eu ferramental (toolbox) para a área de controle. Aula de exercício erão realizada próximo da data da prova. 3. Avaliação Serão realizada trê avaliaçõe verando obre o conteúdo vito na aula de teoria e de prática. O aluno etará aprovado cao coniga média maior ou igual a 7,0 e etará reprovado cao coniga média inferior a 5,5. Se a média ficar entre 5,5 e 6,9 o aluno erá aprovado cao poua mai de 80% de preença em aula, cao contrário etará reprovado. Cada avaliação erá contituída de dua nota: o Nota da Prova 0,0 a 9,0 o Nota de Relatório da Aula Prática e Trabalho 0,0 a,5

4 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Na aula de prática o aluno formarão grupo de um ou doi aluno. Ao final de toda a aula erá paada uma atividade a er entregue pelo grupo no início da aula prática eguinte. A tolerância para entrega deta atividade é de 0 minuto. Importante: O relatório deve er entregue em folha de papel A4 contando do nome, número de matrícula e número da aula à qual a atividade e refere. FORA DESSAS CONDIÇÕES, O RELATÓRIO NÃO SERÁ ACEITO. O relatório da aula de prática formarão uma nota indo de 0,0 a,0. Ante de cada prova erá paado um trabalho envolvendo tópico da ementa do curo que valerá 0,5 ponto complementando,5 ponto. Será coniderado preente o aluno que etiver em ala no momento em que é realizada a chamada. Não erão abonada falta (exceto cao previto em lei). A tolerância para entrada na aula é de 30min. Para que o grupo tenha preença na aula de prática é indipenável que pelo meno um do componente tenha a apotila da aula. A prova erão realizada no horário da aula de teoria no eguinte dia: PROVA Turma F (3ª feira) Peo P 05/09 Peo P 0/0 Peo P3 A er definida Peo 4. Conteúdo Programático. Introdução (NISE, 00, pp. -5)

5 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho Introdução.. Hitória do Sitema de Controle.3. O Engenheiro e itema de controle e automação.4. Caracterítica da repota e configuraçõe de itema.5. Objetivo de análie e de projeto.6. Procedimento de projeto.7. Projeto aitido por computador (CAD). Modelagem no domínio da freqüência (NISE, 00, pp. 7-88)... Revião obre tranformada de Laplace.. Função de tranferência.3. Modelagem de circuito elétrico.4. Modelagem de itema mecânico em tranlação.5. Modelagem de itema mecânico em rotação.6. Modelagem de itema com engrenagen.7. Modelagem de itema eletromecânico.8. Etudo de cao 3. Modelagem no domínio do tempo (NISE, 00, pp. 90-). 3.. Introdução 3.. Obervaçõe 3.3. Repreentação geral no epaço de etado 3.4. Aplicando a repreentação no epaço de etado 3.5. Converão de função de tranferência para epaço de etado 3.6. Converão de epaço de etado para função de tranferência 3.7. Etudo de cao 4. Repota no domínio do tempo (NISE, 00, pp. 3-77). 4.. Introdução 4.. Pólo, zero e repota do itema Sitema de primeira ordem 4.4. Sitema de egunda ordem: Introdução 4.5. Sitema de egunda ordem geral 3

6 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho Sitema de egunda ordem ub-amortecido 4.7. Solução da equaçõe de etado pela tranformada de Laplace 4.8. Etudo de cao 5. Redução de itema múltiplo (NISE, 00, pp ). 5.. Introdução 5.. Diagrama de bloco 5.3. Análie e projeto de itema com retroação 5.4. Diagrama de fluxo de inal 5. Bibliografia A cada aula (de teoria e de prática), nota de aula erão diponibilizada no ite Além dio, lita de exercício erão fornecida. A principal referência que erá utilizada durante todo o curo é NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Outra referência diponívei em vário exemplare na biblioteca: CHAPMAN, Stephen J. Programação em MATLAB para engenheiro. São Paulo: Pioneira Thomon Learning, p. ISBN DISTEFANO, J. J.; STUBBERUD, A. R.; WILLIAMS, I. J. Schaum outline of theory and problem of feedback control ytem. nd edition, New York: McGraw-Hill, p. ISBN DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN HAYKIN, Simon; VAN VEEN, Barry. Sinai e itema. Porto alegre: Bookman, p. : il. (alguma ISBN ). LATHI, Bhagwanda Pannalal. Signal proceing and linear ytem. California: Berkeley, c p. ISBN

7 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Manual for Model 730 Magnetic Levitation Sytem. ECP, 999. MATSUMOTO, Élia Yathie. Simulink 5. São Paulo: Érica, p. : il. ; 5 cm ISBN MITRA, Sanjit K. Digital ignal proceing : a computer-baed approach. nd ed. Boton: McGraw-Hill, c p. : il. ; 4 cm ISBN NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN OGATA, Katuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brail, p. ISBN PAZOS, Fernando. Automação de itema & robótica. Rio de janeiro: Axcel Book, c p. : il. ; 3 cm ISBN PHILLIPS, Charle L.; HARBOR, Royce D. Sitema de controle e realimentação. São Paulo ; Rio de Janeiro: Makron, c p. ISBN SILVEIRA, Paulo Rogério da; SANTOS, Winderon E. do. Automação e controle dicreto.. ed. São Paulo: Érica, p. : il. ; 4 cm ISBN Monitoria e atendimento O monitor da diciplina e eu horário erão diponibilizado no ite da diciplina aim que poível. Atendimento pelo profeor pode er agendado por . 5

8 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula T - Introdução ao itema de controle Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página -0. DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página -4. CAPÍTULO Introdução Objetivo: Definição e aplicaçõe de itema de controle Hitórico Benefício Caracterítica e configuraçõe báica Projeto.. Introdução Definição: um itema de controle conite em ubitema e proceo (ou planta) reunido com o propóito de controlar a aída do proceo. Ito é motrado equematicamente na Figura. Figura Decrição implificada de um itema de controle (NISE, 00). Exemplo: (a) Controle de uma caldeira: calor produzido pelo fluxo de combutível. Termotato (enore) medem temperatura da ala e válvula de combutível e atuadore de válvula de combutível ão uada para regular a temperatura da ala controlando a aída de calor da caldeira.

9 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 (b) Pâncrea regula açúcar no angue. (c) Olho eguindo um objeto (d) Peça mecânica uinada automaticamente. Figura - a. O elevadore primitivo eram controlado por cabo manuai ou por um operador de elevador. Aqui, uma corda é cortada para demontrar o freio de egurança, uma inovação no elevadore primitivo; b. o moderno elevadore de tranporte duplo fazem ua ubida no Grande Arche em Pari, conduzido por um motor, com cada carro contrabalançando o outro. Hoje, o elevadore ão completamente automático, uando itema de controle para regular poição e velocidade. (NISE, 00). Razõe para e utilizar itema de controle: (a) Amplificação de potência Elevador hidráulico em poto de combutívei. (b) Controle remoto

10 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Robô útei em localidade remota ou perigoa. Figura 3 - O Rover foi contruído para trabalhar na área contaminada de Three Mile Iland em Middleton, PA, onde ocorreu um acidente nuclear em 979. O longo braço do robô de controle remoto pode er vito na frente do veículo (NISE, 00). (c) Facilidade de uo da forma de entrada Sitema de controle de temperatura. (d) Compenação de perturbaçõe Exemplo: antena apontando para direção comandada. Se um vento força a antena a e delocar de ua poição comandada, o itema deve er capaz detectar a perturbação e corrigir o problema. 3

11 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho Hitórico Controle de nível de líquido: 300 a.c. relógio de água, lampião a óleo. Controle de preão de vapor e temperatura: éculo XVII válvula de egurança, controle de temperatura para chocar ovo. Controle de velocidade: éculo XVIII moinho de vento, máquina a vapor. Etabilidade, etabilização, condução: éculo XIX controle de embarcaçõe. Deenvolvimento no éculo XX: projeto no domínio da freqüência (Bode, Nyquit). Aplicaçõe contemporânea: meio de tranporte, planta indutriai, ônibu epaciai, entretenimento, etc. Importância do computadore..3. O Engenheiro de Controle e Automação Percorre inúmera área do conhecimento e inúmera funçõe dentro dea área. Engenheiro de A&C pode er encontrado no nível mai elevado de grande projeto, envolvido na fae conceitual de determinar ou implementar o requiito globai do itema. Engenheiro de A&C interage com inúmero ramo da Engenharia e da ciência. Expanão de horizonte da Engenharia além do currículo univeritário. Vantagem a um etudante (além de e graduar he he...): o Ênfae no projeto de cima para baixo (top-down) o Abordagem itêmica diferentemente do outro curo até aqui o A abordagem de baixo para cima é uada no curo anteriore principalmente por caua do alto nível matemático neceário. o Ete curo eclarecerá o procedimento de análie e planejamento e motrará a você como o conhecimento adquirido e encaixa dentro do projeto do itema. 4

12 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 4 - a. Reprodutor de dico de vídeo a laer; b. lente objetiva lendo depreõe no dico; c. trajetória óptica para reprodução motrando o epelho de ratreamento acionado angularmente por um itema de controle para manter o feixe de laer poicionado na depreõe (NISE, 00). 5

13 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho Caracterítica de repota e configuração de itema Entrada e aída Sitema de controle fornece uma aída ou repota para uma dada entrada ou etímulo. A entrada repreenta a repota deejada, a aída é a repota real. Exemplo: botão do quarto andar de um elevador é preionado do térreo. Elevador deve ubir com uma velocidade e uma precião de nivelamento projetado para o conforto do paageiro. Eta caracterítica ão, repectivamente, a repota tranitória e o erro de etado etacionário. Figura 5 - Entrada e aída do elevador (NISE, 00). Sitema a malha aberta Figura 6 - Diagrama de bloco do itema de controle: a. itema a malha aberta (NISE, 00). 6

14 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Trandutor de entrada converte a forma de entrada na uada pelo controlador. Controlador age obre o proceo ou planta. Caracterítica que ditingue itema a malha aberta: não pode compenar a ação de quaiquer perturbaçõe que ejam adicionada. Exemplo: torradeira imple; digitação de texto em e olhar na tela. Sitema a malha fechada (controle com retroação) Figura 7 - Diagrama de bloco do itema de controle: b. itema a malha fechada (NISE, 00). Trandutor de entrada: converte forma de onda de entrada na forma uada pelo controlador. Trandutor de aída ou enor: mede a repota de aída e a converte na forma uada pelo controlador. Vantagem: compena perturbaçõe medindo o inal de aída. Maior precião, meno enível a ruído. Devantagem: mai complexo e caro. Exemplo: torradeira automática (mede cor do pão); digitação de texto conferindo-e o reultado na tela. Exercício. (NISE, 00, p. ) Cite trê aplicaçõe de itema de controle com retroação. 7

15 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006. (NISE, 00, p. ) Cite trê razõe para o uo de itema de controle com retroação e pelo meno uma razão para não uá-lo. 3. (NISE, 00, p. ) Dê trê exemplo de itema a malha aberta. 4. (NISE, 00, p. ) Um reitor variável, chamado potenciômetro, é motrado a eguir: Figura 8 Potenciômetro (NISE, 00). A reitência é variada pelo movimento de um curor de contato delizante ao longo de uma reitência fixada. A reitência entre A e C é fixa, ma a reitência entre B e C varia com a poição do curor. Se forem neceária 0 volta para mover o curor de contato delizante de A para C, deenhe um diagrama de bloco do potenciômetro motrando a variável de entrada, a variável de aída e (dentro do bloco) o ganho, que é uma contante e é a quantidade pela qual a entrada deve er multiplicada para e obter a aída. 8

16 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho (NISE, 00, p. 4) Reolva a eguinte equação diferencial uando o método cláico. Suponha que a condiçõe iniciai ejam iguai a zero. dx + 7 x 5co t dt 9

17 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula T - Projeto de um itema de controle Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página 0-6. DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página Objetivo de análie e de projeto Objetivo de análie e de projeto de itema: Produzir repota tranitória deejada; Reduzir erro de etado etacionário; Garantir etabilidade; Minimizar Cuto; Minimizar enibilidade de deempenho a mudança no parâmetro. Repota tranitória Muito importante. Exemplo: elevador; em um computador contribui para o tempo neceário para leitura ou gravação no dico rígido (HD). Figura - Acionador de dico rígido de computador, motrando dico e cabeça de leitura/gravação (NISE, 00).

18 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Repota de etado etacionário Repota que permanece depoi que a componente tranitória e reduz a zero. Figura - Entrada e aída do elevador (NISE, 00). Etabilidade Repota total de um itema é a oma da repota natural e da repota forçada. Quando você etudou equaçõe diferenciai lineare, provavelmente e referiu a eta repota como oluçõe homogênea e particular, repectivamente. Repota total Repota natural + Repota forçada Para que um itema de controle eja útil, a repota natural deve: o Tender a zero, deixando omente a repota forçada, ou, o Ocilar. Em algun itema, a repota natural crece em limite em vez de diminuir até zero ou ocilar. Finalmente, a repota natural é tão maior que a repota forçada que o itema não é mai controlado. Eta condição, chamada intabilidade pode conduzir à autodetruição do dipoitivo fíico e não houver batente limitadore como parte do projeto.

19 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Outra conideraçõe Seleção de hardware: dimenionamento do motor para atender o requiito de potência e ecolha de enore de acordo com precião neceária. Cuto: e o projeto for uado para fazer muita unidade, pequeno acrécimo no cuto unitário pode-e traduzir em muito mai dólare para ua emprea propor num contrato de licitação. Robutez: deempenho deve variar pouco com mudança no parâmetro. Introdução a um etudo de cao Uma introdução ao itema de poicionamento de uma antena em azimute O itema de controle de poição encontram aplicaçõe muito difundida em antena, braço robótico e acionamento de dico rígido de computador. A antena de radiotelecópio da figura a eguir é um exemplo de itema que utiliza controle de poição..6. Procedimento de projeto Figura 3 Antena de radioatronomia. Pao : Tranformar requiito em um itema fíico 3

20 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 4 - Sitema de controle de poição da antena em azimute: a. conceito do itema; b. leiaute detalhado. (NISE, 00) Pao : Deenhar um diagrama de bloco funcional Decreve a parte componente do itema (ito é, função e/ou hardware) e motra ua interconexõe. 4

21 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 5 - Sitema de controle de poição da antena em azimute: diagrama de bloco funcional (NISE, 00). Pao 3: Criar um diagrama equemático. Figura 6 - Sitema de controle de poição da antena em azimute: diagrama equemático (NISE, 00). Pao 4: Deenvolver um Modelo Matemático (Diagrama de bloco) Uar lei fíica para modelar matematicamente o itema. Lei mai importante: 5

22 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 o Lei de Kirchhoff da tenõe: A oma da tenõe ao longo de um caminho fechado é igual a zero. o Lei de Kirchhoff da corrente: A oma da corrente elétrica que fluem por um nó é igual a zero. o Lei de Newton: A oma da força aplicada a um corpo é igual a zero; a oma do momento aplicado a um corpo é igual a zero. Decriçõe poívei: o Equação diferencial o Função de tranferência (Tranformada de Laplace) o Epaço de etado Pao 5: Reduzir o diagrama de bloco Figura 7 - Diagrama de bloco equivalente para o itema de controle de poição da antena em azimute (NISE, 00). Pao 6: Analiar e projetar O engenheiro analia o itema para ver e a epecificaçõe de repota e o requiito de deempenho podem er alcançado atravé de imple ajute no parâmetro do itema. Se a epecificaçõe não puderem er atendida, o projetita então projeta hardware adicional a fim de obter o deempenho deejado. 6

23 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 8 - Repota de um itema de controle de poição motrando o efeito de valore grande e pequeno para o ganho do controlador na repota de aída (NI- SE, 00). 7

24 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Entrada utilizada: Tabela - Forma de onda de tete uada em itema de controle (NISE, 00)..7. Projeto de aitido por computador (CAD) Computador tem importante papel no projeto de itema de controle moderno. Com a capacidade de imular um projeto rapidamente, pode-e facilmente fazer mudança e imediatamente tetar um novo projeto. 8

25 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Matlab Parte integrante do projeto de itema de controle moderno. Sumário A metodologia do projeto de itema de controle foi apreentada. A partir da próxima aula, aprenderemo como uar o equema para obter um modelo matemático. Exercício. (NISE, 00; p. ) Um itema de controle de temperatura opera entindo a diferença entre o ajute do termotato e a temperatura real e em eguida a- brindo uma válvula de combutível de uma quantidade proporcional a eta diferença. Deenhe um diagrama de bloco funcional a malha fechada emelhante ao da Figura 5, identificando o trandutore de entrada e de aída, o controlador e a planta. Além dio, identifique o inai de entrada e aída para todo o ubitema decrito anteriormente.. (NISE, 00; p. ) A altitude de uma aeronave varia em rolamento, arfagem e guinada conforme definido na figura a eguir. Deenhe um diagrama de bloco funcional para um itema de malha fechada que etabilize o rolamento como a eguir: o itema mede o ângulo de rolamento real com um dipoitivo girocópico e compara o ângulo de rolamento real com o ângulo de rolamento deejado. O aileron repondem ao erro de ângulo de rolamento efetuando uma deflexão angular. A aeronave reponde a eta deflexão angular produzindo uma velocidade angular de rolamento. Identifique o trandutore de entrada e de aída, o controlador e a planta. Além dio, identifique a natureza de cada inal. 9

26 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 9 - Definição de atitude da aeronave (NISE, 00). 3. (NISE, 00; p. 4) Dado o circuito elétrico da figura a eguir: Figura 9 Rede RL (NISE, 00). (a) Ecreva a equação diferencial para o circuito e v ( t) u( t), um degrau unitário. (b) Reolva a equação diferencial para a corrente i ( t), e não há energia inicial no circuito. R (c) Faça um gráfico da olução e. L 4. (NISE, 00; p. 4) Repita o problema 3 para o circuito elétrico motrado na Figura a eguir. Suponha R Ω, L 0, 5H e 30. LC 0

27 Automação e Controle I Aula T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura 0 - Circuito RLC (NISE, 00). 5. (NISE, 00; p. 4) Reolva a eguinte equação diferencial uando o método cláico. Suponha que a condiçõe iniciai ejam iguai a zero. d x + 8 dt dx dt + 5x 0u () t

28 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 3T - Revião obre tranformada de Laplace Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página LATHI, Bhagwanda Pannalal. Signal proceing and linear ytem. California: Berkeley, c p. ISBN Página CAPÍTULO Modelagem no domínio da freqüência Objetivo do capítulo Rever a tranformada de Laplace; Função de tranferência Próximo pao no curo: deenvolver modelo a partir de diagrama de itema fíico. Doi método: () funçõe de tranferência no domínio da freqüência e () equaçõe de etado no domínio do tempo. Queremo encontrar o que colocar dentro da caixa marcada itema e ubitema na figura a eguir. Figura - a. Repreentação em diagrama de bloco de um itema; b. repreentação em diagrama de bloco de uma interconexão de ubitema (NISE, 00).

29 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho Revião obre Tranformada de Laplace Definição: L [ ( )] ( ) ( ) t f t F f t e dt 0 em que é uma variável complexa. F ( ) é chamada de tranformada de Laplace de f () t. A Tabela. motra algun exemplo de tranformada obtida a partir da definição. A Tabela. motra uma érie de propriedade batante importante. Exercício at. (NISE, 00; p. 9) Obter a tranformada de Laplace de f () t Ae u() t.. (NISE, 00; p. 30) Obter a tranformada de Laplace invera de: () F. ( + 3) Ou eja, encontre f () t cuja tranformada de Laplace eja () F. Expanão em fraçõe parciai Para obter a tranformada invera de uma função complicada, podemo converter a função em uma oma de parcela mai imple para cada uma da quai e conhece a tranformada de Laplace. O reultado é chamado de expanão em fraçõe parciai. Cao : Raíze do denominador de F ( ) reai e ditinta Por exemplo, F. () ( + )( + )

30 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Tabela. Principai tranformada de Laplace (LATHI, 998). 3

31 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Tabela. Propriedade da Tranformada de Laplace (LATHI, 998). 4

32 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Nete cao, o denominador tem dua raíze reai e ditinta (- e -). Para obtermo a tranformada invera, o procedimento é o eguinte: Decompomo F () numa oma de fraçõe com tanta parcela quanta forem a raíze do denominador: K K F () +. ( + )( + ) + + A contante K e K ão uualmente chama de reíduo. Para obter K, ubtitui-e a raiz correpondente ( ) em F ( ) em o termo ( +). Aim, De forma análoga, K. ( + ) K. ( + ) Aim, F () Agora, uando a linha (5) da Tabela. e a linearidade, f f t t () t ( e e ) u( t) ou t t () t ( e e ), t 0 Obervação: na aplicação dete proceo, cao o grau do numerador eja maior ou igual ao do denominador, é neceário efetuar a divião primeiro.. Exercício 3. (NISE, 00; p. 3) Dada a eguinte equação diferencial, obter a olução y ( t) e toda a condiçõe iniciai forem zero. Uar a tranformada de Laplace. d y dy + + 3y 3u() t. dt dt 5

33 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Cao : Raíze do denominador de F ( ) reai e repetida Nete cao, deve-e lembrar que, no cao de raíze reai, o número de parcela ditinta na expanão é empre igual ao grau do denominador. Aim, cada raiz múltipla gera termo adicionai com fatore no denominador de multiplicidade reduzida. Por exemplo, e: F () ( )( ), + + a raíze ão -, - e - (diz-e que - tem multiplicidade ). A expanão em fraçõe é: F () K + + K + K ( + ) + O reíduo K e K podem er obtido como anteriormente. Aim, K e ( + ) K. ( + ) 3 Já K 3 pode er obtido ubtituindo-e por um valor conveniente. Por exemplo, ubtituindo-e 0 em: obtém-e: K3 + ( + )( + ) + ( + ) + 4 K + K F () + + Uando a linha (5) e (6) da Tabela., f e aim, ( + ) + t t t () t e te e, t 0.,. 6

34 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Cao 3: Raíze do denominador de F ( ) complexa Exemplo: 3 F (). ( + + 5) Nete cao, não é poível fazer a expanão em parcela de º grau. Eta expreão deve er expandida da eguinte forma: F () K + K + K O reíduo K pode er obtido como anteriormente: K K e K 3 podem er obtido por ubtituição conveniente de valore de em: Para, para, ( + + 5) K + K. Reolvendo o itema, obtém-e: Aim, 3 3 K + K K K 3 K e 5 e 6 K

35 Automação e Controle I Aula 3T Profeor Marcio Eiencraft julho () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) F F. Utilizando-e então a linha (), (9a) e (9b) da Tabela. chega-e a: () () + t t e t u t f t in co Exercício 4. (NISE, 00; p. 35) Obter a tranformada de Laplace de () t te t f (NISE, 00; p. 36) Obter a tranformada de Laplace invera de: () ( )( ) F.

36 Automação e Controle I Aula 4T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 4T Função de tranferência Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página Função de tranferência Vamo empregar na aula de hoje o conceito relacionado à Tranformada de Laplace para implificar a repreentação de itema dinâmico. Um itema pode er repreentado pela equação diferencial genérica: () () () ( ) () () t r b dt t r d b dt t r d b t c a dt t c d a dt t c d a m m m m m m n n n n n n em que () t c é a aída, () t r é a entrada e o i a, o i b e a forma da equação diferencial repreenta o itema. Aplicando a Tranformada de Laplace a ambo o lado da equação e upondo condiçõe iniciai nula: () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () R b b b C a a a R b R b R b C a C a C a m m m m n n n n m m m m n n n n A partir da expreão acima, chegamo a: () () () 0 0 a a a b b b G R C n n m n m m m m Eta expreão: () ( ) () R C G é chamada de função de tranferência do itema. Relaciona, de forma algébrica, a entrada e a aída de um itema. Dado ( ) G e a tranformada da entrada () R podemo calcular a aída: ( ) ( ) ( ) R G C. A função de tranferência é repreentada pelo diagrama de bloco a eguir:

37 Automação e Controle I Aula 4T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura - Diagrama de Bloco de uma Função de Tranferência (NISE, 00). Na próxima aula, aprenderemo a repreentar, atravé de funçõe de tranferência, circuito elétrico, itema mecânico de tranlação, itema mecânico em rotação e itema eletromecânico. Exercício. (NISE, 00; p. 37) Obter a função de tranferência repreentada por: dc dt ( t) () t r() t + c.. (NISE, 00; p. 37) Uar o reultado do Exercício para obter a repota c ( t) a uma entrada r () t u() t a um degrau unitário upondo condiçõe iniciai i- guai a zero. 3. (NISE, 00; p. 37) Obter a função de tranferência, correpondente à equação diferencial ( ) () C G (), R 3 d c 3 dt d c dc d r c dt dt dt + 4 dr dt + 3r 4. (NISE, 00; p. 38) Obter a equação diferencial correpondente à função de tranferência: () + G

38 Automação e Controle I Aula 4T Profeor Marcio Eiencraft julho (NISE, 00; p. 38) Obter a repota a uma rampa de um itema cuja função de tranferência é: G (). ( + 4 )( + 8) 3

39 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Aula 5T Modelagem de circuito elétrico (ª parte) Bibliografia NISE, Norman S. Engenharia de itema de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c p. ISBN Página DORF, Richard C. Sitema de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, p. ISBN Página Função de tranferência de circuito elétrico Componente paivo (ver Tabela ). Princípio-guia: Lei de Kirchhoff: omando tenõe ao longo de malha ou corrente em nó o reultado é zero. Circuito imple via método da malha I. Redeenhe o circuito original motrando toda a variávei no domínio do tempo, como v () t, i () t e v C ( t) como tranformada de Laplace V (), I ( ) e V C () repectivamente. II. Subtitua o valore de componente por eu valore de impedância. III. Some a tenõe ao longo da malha e ue a lei de Kirchhoff da tenõe. Exercício. (NISE, 00; p. 39) Obter a função de tranferência relacionando a tenão V C () no capacitor à tenão de entrada V ( ) na Figura a eguir. Figura Circuito RLC (NISE, 00).

40 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Tabela Elemento paivo de circuito elétrico (NISE, 00).

41 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Circuito imple via Método do nó A funçõe de tranferência também podem er obtida uando a lei de Kirchhoff da corrente e omando a corrente que fluem no nó. Chamamo ete método de método do nó. Exercício. (NISE, 00; p. 4) Repetir o Exercício uando o método do nó em ecrever a equação diferencial. Circuito imple via divião de tenão O Exercício pode er reolvido diretamente uando divião de tenão no circuito tranformado. Exercício 3. (NISE, 00; p. 4) Repetir o Exercício uando divião de tenão e o circuito tranformado. Circuito mai complicado via Método da Malha I. Subtituir todo o valore do elemento paivo por ua impedância. II. Subtituir toda a fonte e toda a variávei no domínio do tempo pela repectiva tranformada de Laplace. III. Arbitrar um entido para a corrente do circuito tranformado em cada malha. IV. Ecrever a lei de Kirchhoff da tenõe ao longo de cada malha. V. Reolver o itema de equaçõe em termo da aída. VI. Elaborar a função de tranferência. Exercício 4. (NISE, 00; p. 4) Dado o circuito da figura a eguir, obter a função de tranferência () () I. V 3

42 Automação e Controle I Aula 5T Profeor Marcio Eiencraft julho 006 Figura Circuito elétrico com dua malha (NISE, 00). Circuito mai complicado via Método do Nó Ua-e a Lei de Kirchhoff da corrente e omam-e a corrente que deixam cada nó. Exercício 5. (NISE, 00; p. 44) Obter a função de tranferência Figura. Uar o método do nó. V C ( ) para o circuito da V () Uma técnica para olução de problema O memo procedimento podem er uado em circuito elétrico com mai malha. Exercício 6. (NISE, 00; p. 45) Ecrever, ma não reolver, a equaçõe de malha do circuito motrado na Figura a eguir. 4