Física Básica: Mecânica - H. Moysés Nussenzveig, 4.ed, 2003 Problemas do Capítulo 2

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1 Fíica Báica: Mecânica - H. Moyé Nuenzveig, 4.ed, 003 Problea do Capítulo por Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica - UFAM Manau, AM, Brail Problea Na célebre corrida entre a lebre e a tartaruga, a velocidade da lebre é de 30 k/h e a da tartaruga é de,5/in. A ditância a percorrer é de 600, e a lebre corre durante 0,5in ante de parar para ua oneca. Qual é a duração áxia da oneca para que a lebre não perca a corrida? Reolva analiticaente e graficaente. x := 600 v leb := 30 k v tar :=.5 in t := 0.5in : t on =? - tepo da oneca Equaçõe de oviento: coo o oviento é unifore, uareo apena a equação que no fornece a ditância percorrida e função do tepo: x = O tepo total que cada u gata para percorer a ditância x é dado por: vt t leb := x v leb e t tar := x v tar Ai: t leb = 7 e t tar = Para que a lebre não perca a corrida, eu tepo de percuro oado co o tepo da oneca deve er igual ao tepo de percuro da tartaruga. Portanto: t leb + t on = t tar t on := Find t on ( ) 0. Ai, o tepo de oneca erá de t on = Ou, dado e hora, ete tepo erá t on = Repota: A lebre pode tirar ua oneca de 6h 38in 49 e perder a corrida para a tartaruga. 0. ink k

2 Problea U carro de corrida pode er acelerado de 0 a 00k/h e 4. Copare a aceleração édia co a aceleração da gravidade. Se a aceleração é contante, que ditância o carro percorre até atingir 00k/h? v 0 := 0 k, v := 00 k t := 4 a =? (aceleração édia) x =? (ditância percorrida pelo carro até atingir 00k/h ) v A aceleração édia é calculada pela fórula a = onde v é a variação da velocidade no intervalo de t v v 0 tepo t, ou eja, a :=. Portanto, t a = 6.9. Coo g := 9.8, então a g = 0.7 ou eja, a = 0.7g. Durante o tepo e que foi acelerado de 0 a 00k/h, o carro percorreu ua ditância dada por x := a t Logo, x = 55.6 Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica

3 Problea 3 U otorita percorre 0k a 40k/h, o 0k eguinte a 80k/h ai 0k a 30k/h. Qual é a velocidade édia do eu percuro? Copare-a co a édia aritética da velocidade. x := 0k v := 40 k x := 0k v := 80 k x 3 := 0k v 3 := 30 k v =? - velocidade édia no percuro Velocidade édia. A velocidade édia nu percuro é definida coo x v =, t onde x é o delocaento ocorrido durante o intervalo de tepo t. Para calcular a velocidade édia, preciao ante calcular o intervalo de tepo do percuro. Para io uareo a equação de oviento do MRU, ou eja, x x x 3 t :=, t v :=, t v 3 := v 3 Deta aneira, o intervalo de tepo total é dado pela oa de cada u dee tero. Logo, Ai, t := t + t + t 3. t = , ou t = Coo o delocaento nete intervalo de tepo é de x := x + x + x 3, ito é, x = 30k. Então, coo encontra-e x v := t v = 4.4 k Média da velocidade. Por outro lado, a édia da velocidade é obtida calculando-e a édia aritética da velocidade v, v e v 3. Ai, v + v + v 3 v MA := 3 Ai, v MA = 50 k, o que deontra que eta dua quantidade e geral ão diferente. Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica 3

4 Problea 4 U avião a jato de grande porte precia atingir a velocidade de 500k/h para decolar, e te ua aceleração de 4/. Quanto tepo ele leva para decolar e que ditância percorre na pita até a decolage? v 0 := 0 k - velocidade inicial do avião v := 500 k - velocidade final para decolar a := 4 - aceleração t =? x =? - intervalo de tepo para decolar - ditância percorrida durante a decolage Ditância percorrida. Sabendo a velocidade inicial, a velocidade final e a aceleração, podeo calcular a ditância percorrida, uando a equação de Torricelli. Ai, x := Find x ( ) 350 k v = v 0 + a x, Ou eja, a ditância percorrida erá de: x =.4 k Tepo de decolage. Conhecendo a velocidade inicial, a velocidade final e a aceleração, podeo tabé calcular o tepo de decolage, uando a equação de oviento, ito é, v = v 0 + at t := Find( t) 5 k. Ai, t = 34.7 Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica 4

5 Problea 5 O gráfico da figura repreenta a arcação do velocíetro de u autoóvel e função do tepo. Trace o gráfico correpondente da acelaração e do epaço percorrido pelo autoóvel e função do tepo. Qual é a aceleração édia do autoóvel entre t = 0 e t = in? E entre t = in e t = 3in? Ver gráfico ao lado. t := 0, vt ( ) := 90t if t 0 t if t 0.5 t 45 90( t ) if t t.5 0 if t.5 t 3 50( t 3) if t 3 t if t 3.5 t ( t 4.5) if t 4.5 t 5 Aceleração. A aceleração é calculada toando a derivada da função velocidade. Nete cao, v (k/h) t (in) v (k/h) Velocidade x Tepo t (in) d at ():= 60 vt () d t Poição do autoóvel. Para calcular a poição do autoóvel e cada intante, deveo encontrar a área ob a curva vxt. Ito pode er feito atravé de ua integral. Ai, xt () t := vt () dt 60 0 Aceleração édia. Por definição, a aceleração édia é dada pela fórula: k/^. 0 4 Aceleração x Tepo t (in) a = v t 4 Poição x Tepo onde v é a variação da velocidade no intervalo de tepo t. Intervalo: 0 a in: k 45 0 a :=. a = 6.94 x (k) t (in) 60 Intervalo: a 3in: k 0 45 a :=. a = Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica 5

6 Problea 6 Ua partícula, inicialente e repouo na orige, ove-e durante 0 e linha reta, co aceleração crecente egundo a lei a = bt, onde t é o tepo e b = 0.5 /. Trace o gráfico da velocidade v e da poição x da partícula e função do tepo. Qual é a expreão analítica de v(t)? v 0 := 0 t := 0, b := at ():= bt (a) Gráfico v(t) e x(t) (b) Expreão analítica de v(t) Expreão analítica de v(t). Sabendo a expreão da aceleração, é direto calcular v(t). De fato, partindo da definição de aceleração, d at () = dt vt () podeo integrar eta equação para obter, t vt () v0 ( ) = at () dt 0 Coo v( 0) := v 0 = 0, a integral torna-e e, portanto, vt ():= bt dt vt () := b t O gráfico deta função é otrado na figura ao lado Velocidade x Tepo v (/) t () Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica 6

7 Problea 7 O tepo édio de reação de u otorita (tepo que decorre entre perceber u perigo úbito e aplicar o freio) é da orde de 0,7. U carro co bon freio, nua etrada eca pode er freiado a 6/ ;. Calcule a ditância ínia que u carro percorre depoi que o otorita avita o perigo, quando ele trafega a 30k/h, a 60k/h e a 90k/h. Etie a quanto copriento do carro correponde cada ua da ditância encontrada. t r := tepo édio de reação a f := 6 - deaceleração do carro v 0 := 30 k - velocidade inicial do carro v 0 := 60 k - ide v 03 := 90 k - ide L:= 3 - copriento do carro x in =? parar α( x in ) - ditância ínia percorrida até := x in L - relação da ditância co o copriento do carro O tepo t que decorre entre o otorita avitar o perigo até o carro parar conté doi tero: o tepo de reação t r ai o tepo gato para deacelerar o carro, apó aplicar o freio, t f.. Ai, t = t f + t r O tepo de freage pode er calculado facilente e depende da velocidade inicial que o carro tenho no oento e que o freio fore aplicado. Mateaticaente, ee intervalo pode er calculado a partir da equação v = v 0 + at Nete problea, teo trê cao: 0 = v 0 + a f t t f := Find() t 5 k t f = = v 0 + a f t t f := Find() t 0 k t f = = v 03 + a f t t f3 := Find() t 5 k t f3 = 4.67 Logo, o tepo total que o carro gata até parar, dede o oento o otorita avitou o perigo, e cada cao, é: Para v 0 = 30 k t 30 := t f + t r >> t 30 =.089 Para v 0 = 60 k t 60 := t f + t r >> t 60 = Para v 0 = 90 k t 90 := t f3 + t r >> t 90 = continua >> Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica 7

8 << Continuação do Problea 7 >> A ditância ínia percorrida, e cada cao, é a oa de doi tero: () ditância percorrida do oento que o otorita avitou o perigo até piar no freio; e () a ditância percorrida enquanto o freio era aplicado. O prieiro tero correponde a u MU e o egundo, MRUV. Para ete, te-e 0 = v 0 + a f x x := Find( x) 75 k >> x = = v 0 + a f x x := Find( x) 300 k >> x = 3. 0 = v 03 + a f x x 3 := Find( x) 675 k >> x 3 = 5. A ditância ínia pode então er calculada: ( ) = 3.9 Para v 0 = 30 k x in := v 0 t r + x >> x in =.6 >> α x in Para v 0 = 60 k x in := v 0 t r + x >> x in = 34.8 >> α x in Para v 0 = 90 k x in := v 03 t r + x 3 >> x in = 69.6 >> α x in ( ) =.6 ( ) = 3. Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica 8

9 Problea 8 O inal aarelo nu cruzaento fica ligado durante 3. A largura do cruzaento é de 5. A aceleração áxia de u carro que e encontra a 30 do cruzaento quando o inal uda para aarelo é de 3/ e ele pode er freiado a 5/. Que velocidade ínia o carro precia ter na udança do inal para aarelo a fi de que poa atravear no aarelo? Qual é a velocidade áxia que ainda lhe perite parar ante de atingir o cruzaento? t a := 3 (tepo de duração do inal aarelo) L c := 5 (largura do cruzaento) a c := 3 (aceleração áxia do carro) (a) v in =? (b) v áx =? (velocidade ínia) (velociadade áxia a f := 5 (deaceleração áxia do freio) d:= 30 (ditância do carro ao cruzaento Análie do problea Nete problea, teo que coniderar doi cao: () e levar e conta o tepo de reação do otorita; e () levando e conta ete tepo ( t r := 0.7). (a) Velocidade ínia () Para calcular a velocidade ínia neceária para que o carro atravee o cruzaento, e levar e conta o tepo de reação (t r = 0), o carro terá que percorrer ua ditância x := L c + d, no intervalo de tepo correpondente à duração do inal aarelo ( t := t a ). () Levando e conta o tepo de reação do otorita, o tepo que o carro dipõe para percorrer a ditância x = x v 0 t r, atraveando o cruzaento no intervalo de tepo, que é, nete cao, t := t a t r.. (b) Velocidade áxia () A velocidade áxia que o carro deve ter para que o otorita coniga pará--lo ante de atravear o cruzaento, pode er calculada lebrando que o carro terá que percorrer a ditância d no tepo de duração do inal aarelo ( t = 3 ). () O tepo aqui erá t := t a t r. (a-) Velocidade ínia e tepo de reação (t r =0) De acordo co a análie, teo: x v 0 t a c t = + onde x = 45, a c = 3 e t = 3, encontra-e v in := Find( v 0 ) Ai, v in = 0.5 ou v in = 37.8 k Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica 9

10 (a-) Velocidade ínina co tepo de reação De aneira análoga, x v 0 t r = v 0 t + a ct v in := Find v 0 Ai, v in =.355 ou v in = 44.5 k ( ) (b-) Velocidade áxia e tepo de reação (t r = 0) Aqui nó teo v := 0e x := d. Logo, v = v 0 + v 0 := Find v 0 a f x ( ) 03 Portanto, v ax := 0 3 ou v ax = 6.4 k 03 (b-) Velocidade áxia co tepo de reação ( t r = 0.7 ) Ante de aplicar o freio, o carro já terá percorrido ua ditância v 0 t r, retando apena ua ditância x = d v 0 t r. para parar. Logo, 0 = v 0 + a f d v 0 t r ( ) Find( v 0 ) Portanto, v ax := Ai, + 49 v ax = 4. ou v ax = 5 k Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica 0

11 Problea 9 Nua rodovia de ão dupla, u carro encontra-e 5 atrá de u cainhão (ditância entre ponto édio), abo trafegando a 80k/h. O carro te ua aceleração áxia de 3/. O otorita deeja ultrapaar o cainhão e voltar para ua ão 5 adiante do cainhão. No oento e que caeça a ultrapaage, avita u carro que ve vindo e entido opoto, tabé a 80k/h. A que ditância ínia precia etar do outro carro para que a ultrapaage eja egura? Carro : v 0 := 80 k x 0 := 0k a := 3 Situação Inicial Carro 5 Situação Final Cainhão x x Carro Cainhão: v c := 80 k x 0c := 5 Carro : k v := 80 x in =? x c 5 x (ditância ínia entre o carro e para que haja a ultrapaage na condiçõe indicada) Análie do problea Ao final da ultrapaage, o carro e deve ter a ea poiçao e relação à orige, que foi toada coo endo a poição inicial do carro (ver figura acia). Alé dito, coo condição exigida, a poição do carro deve exceder e 5 a poição do cainhão. A poição de cada u no intante t é: x () t := x 0 + v 0 t + a t, x ( x in, t) := x in + v t, x c () t := x 0c + v c t Uando a condição de ultrapaage teo x () t = x c ( t) + 5 t an := Find() t 5 5 Logo, o tepo de ultrapaage erá de t := t an ou t = ( 4.47 ). Para que a outeja atifeita, é neceário que a ditância ínia entre o carro eja: x () t = x x in, t x in := Find x in Logo, x in = 8.8 ( ) ( ) Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica

12 Problea 0 U tre co aceleração áxia a e deaceleração áxia f (agnitude da aceleração de freaento) te de percorrer ua ditância d entre dua etaçõe. O aquinita pode ecolher entre (a) eguir co a aceleração áxia até certo ponto e a partir daí frear co a deaceleração áxia, até chegar; (b) acelerar até ua certa velocidade, antê-la contante durante algu tepo e depoi fear até a chegada. Motre que a prieira opção é a que iniiza o tepo do percuro (ugetão: utilize gráfico v x t) e calcule o tepo ínio de percuro e função de a, f e d. d a f - ditância entre dua etaçõe - aceleração áxia - deaceleração áxia v v etação A aceleração áxia (a) Opção deaceleração áxia (f) x x etação B 0 t t t t in =? Análie do problea (tepo ínio de percuro) Opção O otorita acelera a partir da etação A até o intante t co aceleração áxia a e depoi deacelera (co a f ) até parar na etação B no intante t (ver figura a). Opção O otorita, partindo da etação A, acelera até o intante t, onde atinge a velocidade v, antendo eta velocidade até o intante t e deacelera até parar na etação B no intante t (ver figura b). v v etação A aceleração áxia (a) Opção deaceleração áxia (f) x x etação B x 3 0 t t t' t ( ) := v 0 + at vv 0, a, t ( ) := v 0 t xv 0, a, t + at Lipando a variávei: t := t := t := a := OPÇÃO Vao coeçar calculando tepo atravé da opção : ( ) xat (, f, t t ) x0a,, t + = d ( ) = 0 vat, f, t t Fd (, a, f) := Find t, t O tepo gato é portanto, ( ) iplify a [ a( a + f) df] f [ a( a + f) df] a( a + f) a [ a( a + f) df] f [ a( a + f) df] a( a + f) t = a( a + f) df a( a + f) que pode er reecrito coo t d a a = + f Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica

13 Problea Você quer treinar para alabarita, antendo dua bola no ar, e upendendo-a até ua altura áxia de. De quanto e quanto tepo e co que velocidade te de andar a bola para cia? h := (altura de lançaento) v h := 0 (velocidade na altura h) v 0 =? (velocidade de lançaento) t =? (intervalo de tepo entre doi lançaento) g := 9.8 (aceleração da gravidade) Lipando a variávei v 0 := t := Velocidade para a bola alcançar a altura h: v = v 0 g h >> v 0 := g h ou v 0 = ( ) O intervalo de tepo entre o lançaento correpondente à duração do oviento de ubida (ou de decida) de ua da bola. Uando a fórula para a poição z da bola e qualquer intante: zt () = v 0 t g t Fazendo z(t) = 0 neta equação, encontra-e o tepo que a bola leva para ubir e decer. Ai ( ) := Find t ou t t 0 = v 0 t g t ( ) * t = t e t = t A dua oluçõe correponde ao intante de lançaento ( t = ) e quando retorna ( t = ). Coo o tepo de ubida é igual ao tepo de decida, então, para anter o áxio de tepo a dua bola no ar, o lançaento da egunda bola deve er feito quando a prieira etá e ua altura áxia, ito é, t t := ou t = t o que no fornece u intervalo de tepo entre o lançaento igual a t := t ou t = Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica 3

14 Problea U étodo poível para edir a aceleração da gravidade g conite e lançar ua bolinha para cia nu tubo onde e fez vácuo e edir co precião o intante t e t de paage (na ubida e na decida, repectivaente) por ua altura z conhecida, a partir do intante do lançaento. Motre que z g = t t z t t (altura onde e realiza a edida) (intante e que a bola paa por z na ubida) (intante e que a bola paa por z na decida) g =? (aceleração da gravidade) Lipando a variávei z := v 0 := g := t := t := t d := A equação horária é dada por: ( ) := v 0 t yv 0, g, t g t A figura ao lado ilutra a experiência. Sabendo que a bolinha paa pelo ponto z no doi intante de tepo, então t t z ( ) = z yv 0, g, t ( ) := Find( v 0 ) Fzg,, t gt t + z ou eja v 0 := gt + z t Da ea fora: ( ) := Find g gzt,, t y gt + z t ( ), g, t z t t = z Ou eja: g = z tt Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica 4

15 Problea 3 Ua bola de vôlei ipelida verticalente para cia, a partir de u ponto próxio do chão, paa pela altura da rede 0,3 depoi, ubindo, e volta a paar por ela, decendo,,7 depoi do arreeo. (a) Qual é a velocidade inicial da bola? (b) Até que altura áxia ela obe? (c) Qual é a altura da rede? Lipando a variávei h := v 0 := g := t := t := t d := t := 0.3 (tepo para paar pela altura da rede na ubida) t d :=.7 (tepo para paar pela altura da rede na decida) g := 9.8 v 0 =? (velocidade inicial da bola) h =? (altura da rede) (ver figura abaixo) h Equaçõe do oviento vt () = v 0 gt yt () = v 0 t g t Sabe-e que: Então Ai, Find( h, v 0 ) ( ) yt ( d ) yt = = h v 0 t g t = h v 0 t d g t d = h h :=.5 v 0 := 9.8 Para calcular a altura áxia (h ax ) que a bola obe, vao uar a equação de Torricelli: v = v 0 gh ax Então 0 = v 0 gh ax h ax := Find h ax ( ) Portanto, h ax = 4.9 Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica 5

16 Problea 4 Deixa-e cair ua pedra nu poço profundo. O barulho da queda é ouvido depoi. Sabendo que a velocidade do o no ar é de 330/, calcule a profundidade do poço. Lipando a variávei h := v 0 := t := t := t p := v := 330 (velocidade do o) t:= (tepo decorrido até e ouvir o barulho) v 0 := 0 h =? (profundidade do poço) Equaçõe do oviento para a pedra zt ():= v 0 t + g t vt ():= v 0 + gt Para o o z () t := v t Supondo que a pedra tenha levado u tepo t p para atingir o fundo (de profundidade h) e que o o gate u tepo t para percorrer o cainho de volta, o tepo total erá a oa do doi, e vale t = Ai, da condição t p + t = t, encontra-e: t p + t = t zt ( p ) = h z ( t ) = h h t p t ( ) := Find h, t p, t Então, a olução é: h := 8.5 t p :=.94 t := Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica 6

17 Problea 5 U vao co planta cai do alto de u edifício e paa pelo 3º andar, ituado 0 acia do chão, 0,5 ante de e epatifar no chão. (a) Qual é a altura do edifício? (b) Co que velocidade (e / e e k/h) o vao atinge o chão? Lipando a variávei h := v 0 := t := t := t q := v c := h := 0 t := 0.5 (a) h =? (b) v c =? aue, v < 0 g := 9.8 O tepo de queda (t q ) erá a oa de doi tero: t + t. Ai, (altura do edifício) (velocidade ao atingir o chão) t q = t + t z h t t q = t + t - tepo de queda 0 t Find h, v, t, t q v = gt h = h + g t 0 = h + g t q ( ) Ai, encontrao: h := 9 e t q := velocidade e t - altura h chega ao chão (z = 0) Co o valor de t q podeo calcular a velocidade final: v c := gt q k Logo, v c = 4 ou v c = 5 Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica 7

18 Problea 6 U foguete para pequia etereológica é lançado verticalente para cia. O cobutível, que lhe iprie ua aceleração,5g (g = aceleração da gravidade) durante o período de queia, egota-e apó 0,5in. (a) Qual eria a altitude áxia atingida pelo foguete e pudéeo deprezar a reitência do ar? (b) Co que velocidade (e / e k/h), e depoi de quanto tepo ele voltaria a atingir o olo? Lipando a variávei h := h := h := t := t := t q := v := g := 9.8 (aceleração da gravidade) a :=.5 g (aceleração devido à queia de cobutível) t := 30 (duração da queia) h =? v =? t =? (altitude áxia) (velocidade co que chega ao olo) (tepo que gata para retornar ao olo) v = 0 Para o trecho co cobutível (até z = h e t = 30) g h h = a t (cobutível) v = at z h,5g h duração do cobutível h = v t + g t 0 = v + gt Ou eja: ( ) iplify Find h, h, v, t 665. ab ab 44. ab 45. ab 3 4 h := 665 h := 99.5 t := 45 Então, h := h + h Alé dito, v olo := g h e, portanto v olo = 569 ou v olo k = Prof. Dr. Abraha Moyé Cohen Departaento de Fíica 8

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