Curso de Análise Matricial de Estruturas 1 I - INTRODUÇÃO

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1 Curo de Análie Matricial de Etrutura 1 I - INTRODUÇÃO I.1 - Introdução O proceo de um projeto etrutural envolve a determinação de força interna e de ligaçõe e de delocamento de uma etrutura. Eta fae do proceo é chamada de análie etrutural. eu principal objetivo é, dada a caracterítica geométrica e mecânica de uma etrutura e a caracterítica fíica do materiai que a compõem e a açõe que obre ela atuam, determinar o delocamento de todo o eu ponto e o eforço interno (tenõe e/ou eforço interno olicitante) e reaçõe de apoio (no cao de etrutura ligada ao terreno). A fae de análie é normalmente a maior parte do proceo e engloba muito e diferente apecto: contruimo um modelo matemático idealizado (em geral, geometricamente perfeito), impomo carregamento e outro efeito ambientai, e depoi predizemo a performance reultante atravé da análie de todo o etágio de carga. Para alguma etrutura a análie matemática-numérica é uplementada ou complementada por uma análie fíica com modelo reduzido do protótipo da etrutura, ou memo do próprio protótipo em cao de produção em érie indutrial como, por exemplo, aeronave e automóvei. Em qualquer cao, a análie etrutural tem como alvo propiciar o neceário entendimento e apreciação do comportamento da etrutura e comparar a performance eperada com o requerimento de projeto e precriçõe de norma. Uma etrutura é criada para ervir a um propóito definido. O requerimento podem er para: abrigar um epaço (cobertura), uportar veículo (ponte) e máquina, ou conter ou reter materiai (ilo, barragen). Uma etrutura pode er projetada com o propóito de trafegar no epaço, etar obre o terreno ou enterrada, flutuar ou er ubmergida. Para que ela cumpra o eu propóito, ditinto objetivo de projeto devem er epecificado e atifeito, como por exemplo: egurança, durabilidade, performance em erviço, conforto do uuário e exequibilidade prática. Além dee, a etética ou aparência da etrutura deve er eriamente coniderada. De maneira a cumprir com ee e outro objetivo de projeto, devemo ter um entendimento aprofundado do comportamento do materiai, do componente etruturai e do itema etrutural como um todo. Dentre o mai importante objetivo de um projeto realta-e a egurança etrutural. Ruptura localizada, ditorçõe exceiva, fadiga do material, flambagem e formação de mecanimo plático em um itema etrutural ão inaceitávei ob quaiquer circuntância, já que tai modo de colapo podem reultar em peada perda materiai e, acima de tudo, de vida humana. Além da egurança contra o colapo, uma etrutura deve atifazer o critério de utilização, ito é, todo o apecto de performance devem er aceitávei para o uo pretendido.

2 2 Nota de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho A deformaçõe (delocamento) e fiuração devem er limitada ao ponto de não erem notada e não comprometerem a utilização. Vibraçõe e ruído acútico devem er controlado. Reervatório de líquido e gae não podem vazar e fundaçõe não devem recalcar exceivamente. A chave para aplena atifação do critério e requiito de utilização é o completo entendimento do comportamento da etrutura para todo o cao de carregamento e condiçõe de erviço e ambientai, ou eja, uma ampla análie etrutural. NBR 6118:2004 (NB-1) 14 Análie etrutural 14.1 Princípio gerai da análie etrutural Objetivo da análie etrutural O objetivo da análie etrutural é determinar o efeito da açõe em uma etrutura, com a finalidade de efetuar verificaçõe de etado limite último e de erviço. A análie etrutural permite etabelecer a ditribuiçõe de eforço interno, tenõe, deformaçõe e delocamento, em uma parte ou em toda a etrutura Premia neceária à análie etrutural A análie deve er feita com um modelo etrutural realita, que permita repreentar de maneira clara todo o caminho percorrido pela açõe até o apoio da etrutura e que permita também repreentar a repota não linear do materiai. Em cao mai complexo, a interação olo-etrutura deve er contemplada pelo modelo. No cao de aplicação da protenão, deve-e garantir delocabilidade adequada à ua realização efetiva, minimizando a tranmião não deejada para elemento adjacente. Análie locai complementare devem er efetuada no cao em que a hipótee da eção plana não e aplica, como por exemplo em: regiõe de apoio, regiõe de introdução de carga concentrada, uniõe de peça etruturai, zona de ancoragem, regiõe de mudança de eção. Análie locai complementare também devem er efetuada quando a não linearidade introduzida pela fiuração for importante, como por exemplo na avaliação da flecha.

3 Curo de Análie Matricial de Etrutura 3 I.2 - Método de Análie Etrutural O método de análie etrutural podem er dividido em doi grupo: método analítico e método numérico. A limitaçõe impota pelo método analítico ão bem conhecida. omente em cao epeciai oluçõe fechada ão obtida. oluçõe aproximada podem er achada para alguma configuraçõe etruturai imple, ma, em geral, para etrutura complexa o método analítico não podem er uado, e o método numérico devem er invariavelmente empregado. O método numérico de análie etrutural podem er ubdividido em doi tipo: oluçõe numérica de equaçõe diferenciai para delocamento ou tenõe, e método matriciai baeado na idealização dicreta em elemento etruturai. No primeiro tipo, a equaçõe de elaticidade ão reolvida para uma configuração etrutural particular, tanto por técnica de diferença finita quanto pela integração numérica direta. Neta abordagem a análie é baeada na aproximação matemática de equaçõe diferenciai. Limitaçõe de ordem prática, porém, retringem ua aplicação a etrutura imple ou particulare. Apear de vária operaçõe em diferença finita e integração numérica envolverem a álgebra matricial, a apreentação matricial não é eencial na formulação da análie. tructural analyi Analytical method Numerical method olution of Differential equation Matrix method Dicrete element idealization Finite difference technique Numerical integration Diplacement method Force method Fig. 1.1 Método de Análie Etrutural (Przemieniecki, [1]) No egundo tipo, toda teoria é deenvolvida na álgebra matricial, atravé de todo o etágio da análie. A etrutura é inicialmente idealizada com uma montagem de elemento etruturai dicreto com forma preumida da ditribuição de delocamento e tenõe, e a

4 4 Nota de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho olução completa é então obtida pela combinação dea ditribuição individual aproximada de delocamento e tenõe de maneira que e atifaça o equilíbrio de força e a compatibilidade de delocamento na junçõe dee elemento. Método baeado neta abordagem motram-e er mai adequado à análie de etrutura complexa.

5 Curo de Análie Matricial de Etrutura 5 I.3 - Idealização Etrutural A maioria da etrutura conitem de uma montagem de diferente elemento etruturai conectado entre i por ligaçõe contínua ou dicreta. O pao mai importante na análie matricial de etrutura é a formulação de um modelo matemático de elemento dicreto equivalente à etrutura contínua real. Ete modelo é neceário a fim de e obter um itema com um número finito de variávei (grau de liberdade) no quai a operaçõe de álgebra matricial poderão er realizada. À formulação de tal modelo chama-e de idealização etrutural. Fig. I.2 Exemplo de etrutura dicretizada. A etrutura abordada no próximo capítulo e retringirão à etrutura reticulada, ou eja, itema etruturai compoto de elemento lineare (barra), e podem er claificada em ei categoria: viga, treliça plana, treliça epaciai, pórtico plano, grelha e pórtico epaciai. Ee tipo de etrutura já ão compoto por elemento com ligaçõe dicreta, o nó, o que facilita a formulação de eu modelo dicreto.

6 6 Nota de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho Fig. 1.3 Tipo de etrutura reticulada: (a) viga, (b) treliça plana, (c) treliça epacial, (d) pórtico plano, (e) grelha e (f) pórtico epacial. O elemento lineare de barra caracterizam-e como membro que ão longitudinalmente maiore em comparação com a dimenõe de ua eção tranveral. Nó de uma etrutura reticulada ão o ponto de intereção do membro, aim como o ponto de apoio e extremidade livre do membro. Quando a etrutura etá ubmetida a carga, cada nó ofrerá delocamento ob a forma de tranlaçõe e rotaçõe, dependendo da configuração de etrutura. Em algun cao, o delocamento nodai erão conhecido devido à condiçõe que ão impota à etrutura. Num engatamento, por exemplo, não exitem delocamento de qualquer epécie. Contudo, o nó que não repreentarem ponto de apoio, pouirão delocamento que não ão previamente conhecido e que ó podem er obtido efetuando-e

7 Curo de Análie Matricial de Etrutura 7 uma análie completa da etrutura. Ete delocamento nodai ão a quantidade cinemática indeterminada do itema etrutural. O eu número repreenta o número de grau de liberdade (GL) da etrutura, ou o eu grau de indeterminação cinemática. NBR 6118:2004 (NB-1) 14.3 Elemento etruturai A etrutura podem er idealizada como a compoição de elemento etruturai báico, claificado de acordo com a ua forma geométrica e a ua função etrutural, conforme iten e Elemento lineare ão aquele em que o comprimento longitudinal upera em pelo meno trê veze a maior dimenão da eção tranveral, endo também denominado barra. De acordo com a ua função etrutural, recebem a deignaçõe de a Viga Elemento lineare em que a flexão é preponderante Pilare Elemento lineare de eixo reto, uualmente dipoto na vertical, em que a força normai de compreão ão preponderante Tirante Elemento lineare de eixo reto em que a força normai de tração ão preponderante Arco Elemento lineare curvo, em que a força normai de compreão ão preponderante, agindo ou não imultaneamente com eforço olicitante de flexão, cuja açõe etão contida em eu plano.

8 8 Nota de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho O apoio de uma etrutura reticulada podem er frequentemente modelado como engate, como o apoio A da figura abaixo, articulaçõe (apoio do 2º gênero), como o apoio D, e apoio móvei (apoio do 1º gênero). B C A D Modelo Matemático / Numérico Equema Etrutural Apoio Real (D) Fig. I.4 Modelagem de apoio. Em cao epeciai, a ligaçõe entre membro e entre membro e apoio podem er elática (ou emi-rígida), conforme erá vito poteriormente. Carga em uma etrutura reticulada contituem quaiquer açõe mecânica externa obre ela aplicada, e podem er modelada atravé de força concentrada, carga ditribuída, ou binário (momento). Na etrutura reticulare, onde o elemento etruturai ão conectado por ligaçõe dicreta (nó), a interação neceária entre o elemento livre (unaembled) é introduzida

9 Curo de Análie Matricial de Etrutura 9 atravé de força ou delocamento no nó comun. A força de interação entre o vário elemento de um itema etrutural reticulado ão repreentata por força dicreta (axiai e cortante), momento e torore no nó. Para ete cao, o comportamento elático de cada um do elemento etruturai pode er preciamente determinado atravé da teoria elementare de flexão e torão. Etrutura íntegra ou montada Etrutura demontada (Diagrama de Corpo Livre) Fig. I.5 Etrutura montada e demontada. e a etrutura for etaticamente determinada (iotática), a equaçõe da etática, ito é, a equaçõe do equilíbrio etático em termo da força, ão uficiente para determinar toda a força, momento e torque no nó. Para etrutura etaticamente indeterminada (hiperetática) a equaçõe de equilíbrio ão em número inuficiente para determinar toda a força deconhecida, e por io devem er complementada com equaçõe de compatibilidade. Alternativamente, a equaçõe de equilíbrio podem er formulada em termo de delocamento. Nete cao, haverá empre um número uficiente de equaçõe para e determinar o delocamento deconhecido (deflexõe e rotaçõe). Pela dicuão anterior fica claro que a idealização etrutural é um proceo imple onde uma etrutura complexa é reduzida em uma montagem de elemento etruturai dicreto. A propriedade elática dete elemento devem erem primeiramente etabelecida ante de procedermo com a análie etática (ou dinâmica) do itema.

10 10 Nota de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho NBR 6118:2004 (NB-1) 14.2 Hipótee báica Condiçõe de equilíbrio A condiçõe de equilíbrio devem er neceariamente repeitada. A equaçõe de equilíbrio podem er etabelecida com bae na geometria indeformada da etrutura (teoria de primeira ordem), exceto no cao em que o delocamento alterem de maneira ignificativa o eforço interno (teoria de egunda ordem) (ver comentário no anexo A.14). Nee cao a etrutura devem er analiada egundo a recomendaçõe do capítulo Condiçõe de compatibilidade Preferencialmente devem er repeitada a condiçõe de compatibilidade. Quando ea condiçõe não forem verificada no etado limite coniderado, devem er adotada medida que garantam dutilidade adequada da etrutura no etado limite último, reguardado um deempenho adequado no etado limite de erviço.

11 Curo de Análie Matricial de Etrutura 11 I.4 - itema de Coordenada Com o fim de identificar e ordenar matricialmente a açõe mecânica (força e momento) e o delocamento (lineare ou angulare) exitente no nó de uma etrutura integrada (montada, contínua) ou na extremidade de um elemento (iolado, quando ubdividida a etrutura etrutura demontada ), torna-e imprecindível a determinação de um itema de coordenada arbitrário. Por exemplo, para a etrutura da figura abaixo (fig. I.5), ubmetida a um determinado carregamento, ecolheu-e inicialmente o itema de coordenada apreentado na fig. (I.6), de forma a poder-e ainalar a olicitaçõe no nó B, C e D. Fig. I.5 Etrutura ubmetida a um dado carregamento. Fig. I.6 itema de Coordenada Arbitrário. Fixada eta coordenada, quando a etrutura for ubmetida à carga da fig. (I.4), o vetor da açõe nodai { R } erá: {} R 2 0 = 5 3

12 12 Nota de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho Fig. I.7 Deformaçõe devida ao carregamento na coordenada monitorada. Ao e aplicar o carregamento indicado, a etrutura e deformará, apreentando uma elática, conforme aponta a fig. (I.7). A partir deta figura pode-e montar o vetor do delocamento {} r : 0,005 0,002 {} r = 0,002 0,003 Nota-e que ee vetore (da açõe e do delocamento) terão empre quatro termo (memo que algun ejam nulo), e ete erão empre enunciado na ordem em que a coordenada etiverem numerada. Ao e deejar, porém, repreentar um itema de carregamento mai genérico, ou memo obter um maior número de deformaçõe do domínio da etrutura, poderíamo etabelecer um outro itema de coordenada, conforme fig. (I.8). Fig. I.8 itema de coordenada alternativo. Nete novo itema de coordenada etabelecido, o vetor da força eria definido por: {} R T = { }

13 Curo de Análie Matricial de Etrutura 13 ou melhor, { R} = Ao e apreentar o delocamento encontrado egundo toda a coordenada monitorada, obtém-e a figura (I.9): Fig. I.9 Deformaçõe egundo o novo itema de coordenada. O vetor do delocamento eria repreentado, portanto, por: {} r T = { 0,005 0,001 0,002 0,004 0,002 0,001 0,004 0,001 0,003} Pode-e concluir, portanto, que quanto maior for o número de coordenada utilizada, maior erá o número de repota obtida obre o comportamento da etrutura. Porém, conforme poderá er contatado poteriormente, maior também erá o cuto computacional para a reolução do problema. Ao itema de coordenada até aqui apreentado, que caracteriza-e por dipor-e ao longo de toda a etrutura, dá-e o nome de Coordenada Globai, ou coordenada de referência, ou ainda coordenada gerai.

14 14 Nota de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho e a etrutura etiver decompota em elemento, haverá a neceidade de caracterizar com outro itema de coordenada, o eforço ou açõe extrema do elemento e a deformaçõe (delocamento) relativo de ua extremidade. Aim, uma barra de treliça plana que ó apreenta eforço e deformaçõe axiai, poderá ter o itema de coordenada apreentado na fig. (I.10), ma a exitência da equaçõe de equilíbrio relacionam a coordenada, podendo-e deta forma repreentar-e completamente o eforço e deformaçõe no elemento com um itema de apena uma coordenada (fig. I-10c). Fig. I.10 itema de coordenada para o elemento de treliça. Entretanto, quando deeja-e obter diretamente o delocamento do elemento egundo o plano, a adoção do itema de coordenada apreentado na fig. (I-10.a) torna-e mai vantajoo, conforme poderá er contatado mai adiante. O itema de coordenado referente ao elemento ( demontado ) dicreto da etrutura recebem o nome de Coordenada Locai. Uma barra repreentativa do elemento de viga, com a conideração excluiva da olicitaçõe tranverai (deconiderando-e o eforço normal) poderia uderir inicalmente a dipoição de quatro coordenada, conforme a fig. (I.11-a). Entretanto, a exitência de dua equaçõe de equilíbrio relacionando poibilita a adoçào de apena dua coordenada, como aponta a parte b e c da figura. Fig. I.11 itema de coordenada para o elemento de viga.

15 Curo de Análie Matricial de Etrutura 15 Voltando ao exemplo do pórtico da Fig. (I.5), ua coordenada locai para a etrutura decompota poderiam er a da Fig. (I.12), deconiderando-e o eforço normai. Fig. I.12 itema de coordenada locai para a etrutura da fig. (I.5). A força exitente na extremidade do elemento conitem, conforme já foi explicado, no eforço exitente (e equilibrante) no nó. Logo, o Vetor do Eforço pode er repreentado por 8 coordenada locai: {} = De forma análoga, a deformaçõe, ou melhor, o delocamento em cada um do elemento, podem er repreentado pelo Vetor da Deformaçõe (delocamento locai): {} = Finalmente pode-e afirmar que, para e calcular etrutura atravé da dicretização em elemento, erá empre neceário e convencionar doi itema de coordenada: Coordenada Globai, para açõe {R} e delocamento {r} nodai da etrutura; Coordenada Locai, para o eforço {} e deformaçõe (delocamento) {} no elemento da etrutura.

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