Laboratório de Sistemas e Sinais Equações Diferenciais

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1 Laboratório e Sitema e Sinai Equaçõe Diferenciai Luí Cala e Oliveira Abril 2009 O objectivo ete trabalho e laboratório é o e realizar experiência com moelo e itema em tempo contínuo ecrito por equaçõe iferenciai. O exercício têm por objectivo tornar mai ólio o conceito e epaço e etao ano ao memo tempo a conhecer um programa que moela itema contínuo. O trabalho e laboratório utiliza o programa Simulink que acompanha o Matlab. Para a realização ete trabalho não é neceária ocumentação aicional para além ete próprio guia. Tentar-e-á eclarecer aqui algun o apecto mai confuo e Simulink. O programa Simulink contitui um ambiente e moelação e itema uano iagrama e bloco. Como tal tem uma forma mai eclarativa o que o Matlab que é imperativo. Em Siumlink não é neceário epecificar completamente a forma e calcular o inai. Ete ão prouzio em reultao a ligação e bloco que repreentam itema. O bloco efinem uma relação entre o inal e entraa e e aía. O Simulink é particularmente aequao para a moelação e itema em tempo contínuo. Como é natural, o itema contínuo não poem er irectamente realizávei num computaor e por io o Simulink terá e o imular. Exite um elevao grau e ofiticação na forma como io é feito e o facto e o utilizaor não ter neceiae e a conhecer reforça a caracterítica eclarativa o Simulink. A imulação é realizaa por um olver que examina o iagrama e bloco e contrói um executável que imula o eu comportamento. Ao ler a ocumentação e ao interagir com o programa notam-e vária referência ao olver. De facto, o Simulink oferece uma varieae e olver teno muito ele parâmetro ajutávei. A imulação e itema contínuo é em geral inexacta e certo olver funcionam melhor em certo moelo o que outro. O moelo que iremo contruir funcionam bem com o olver uao por omião não haveno neceiae e preocuparmo-no com io. O Simulink poe também moelar itema em tempo icreto e itema mito icreto e contínuo. Iremo focar a noa atenção no itema contínuo uma vez que ete não poem er facilmente imulao em Matlab eno eta a veraeira vantagem o Simulink. Introução Para executar o Simulink bata ar o comano imulink na linha e comano o Matlab. Ito chama a biblioteca e móulo o Simulink. Para explorar a emontraçõe o Simulink, poe-e ar o comanoemo na linha e comano o Matlab e procurar o Simulink na lita que é apreentaa. Nete trabalho iremo contruir itema na forma e moelo e etao ma em tempo contínuo. Um moelo e etao para um itema contínuo tem a forma t (t) y(t) = A(t)+bx(t) = c(t) + x(t) em que : N á a repota e etao; t (t) é a erivaa e (t) para t ;

2 x : éoinal e entraa; y : N é o inal e aía o itema. Uma vez que a entraa e a aía ão ecalare, o itema é um SISO, ma o vector e etao tem imenão N, que no cao geral poe er maior o que um. A erivaa o vector é implemente um vector conitino na erivaa e caa elemento o vector. O princípio que iremo uar para moelar ete itema erá o e utilizar um bloco integraor que, em Simulink tem o eguinte apecto: Ete bloco poe er encontrao na biblioteca e bloco em Simulink e Continuou. Para criar um novo moelo elecciona-e o ocumento em branco no canto uperior equero e arrata-e um integraor para entro ele. Se a entraa o integraor for t (t) a ua aía erá (t) (integral a erivaa). Aim, teremo que colocar na entraa o bloco t (t). Começaremo com um itema com uni-imenional (N = ) para no familiarizarmo com o Simulink. Coniere a equação iferencial ecalar (t)=a(t) () t em que a é um ao ecalar e : e (0) é um ao etao inicial. Iremo configurar o iagrama e bloco por forma a que a entraa o integraor eja a erivaa e (t). Para io iremo contruir um itema com retroacção com a eguinte forma Gain Ete moelo parece er auto-referenciao e e facto é. Para contruir o moelo acima poe-e encontrar o bloco Gain na biblioteca em Simulink e Math Operation. Para ligar o bloco bata colocar o curor em cima e um porto e aía e arratá-lo para um porto e entraa. Ete moelo não tem obviamente entraa, nem etao inicial e nem aía pelo que não erá muito intereante. Poe-e efinir a coniçõe iniciai o integraor com um uplo clique no eu bloco e preencheno o valor initial conition. Defina o etao inicial como eno. Porque é que o etao inicial é uma proprieae o integraor? porque a ua aía no intante t é o etao o itema no intante t. O parâmetro e conição inicial inica a aía o integraor quano o moelo inicia a ua execução. Tal como a compoição com retroacção vita anteriormente, preciamo e apena um bloco na caeia e retroacção cuja aía poa er eterminaa em conhecer a ua entraa. Como neceitamo e obervar a aía, uaremo um bloco enominao e cope (ocilocópio) que e encontra iponível em Simulink e Sink. Arrate-o para o eu eenho. Ligo o ocilocópio por forma a que motre a aía o integraor 2

3 Scope Gain Para realizar eta ligação terá e uar a tecla e Control enquanto arrata a aía o integraor para a entraa o ocilocópio. Depoi e termo efinio e forma báica o moelo o itema contínuo, poemo começar a realizar experiência com ele. 2 Moelo para um iapaão O moelo e etao em tempo contínuo poe imular razoavelmente intrumento muicai. Nete trabalho iremo contruir um moelo ieal e outro mai realítico para um iapaão, que é um intrumento muical particularmente imple. O moelo e etao que uaremo erá e eguna orem pelo que o vector e etao erá bi-imenional. A conição inicial o bloco integraor o Simulink poerá então er ao pelo vector: (0)= (2) 0 No cao o moelo e eguna orem, teremo e alterar a proprieae o bloco Gain para em vez e er Element-wie, paar para Matrix(K*u)(u vector). Iremo começar por aumir que não exite entraa e examinaremo a repota e etao. Nete cao ó no interea a eguinte equação e etao implificaa t (t)=a(t) Se conierarmo que o elocamento o extremo a forquilha ((t))é proporcional à força que lhe é aplicaa ( f (t)): f (t)= k(t) e que e acoro com a lei e Newton a aceleração (a(t)) é proporcional à força aplicaa: em que m é a maa. Uma vez que: f (t)=ma(t) a(t)= 2 t (t) 2 é fácil concluir 2 t 2 (t)= (k/m)(t)= ω2 0 (t) Para a tranformação a equação iferencial e eguna orem no itema e equaçõe iferenciai e primeira orem o moelo e etao bata uar o vector etao: Nee cao: ṡ(t)= (t)= ḋ(t) (t) (t) t (t) = = (t) ḋ(t) a 2, a 2,2 ḋ(t) a, a,2 (t) Bata aim ecolher e forma aequaa a contante a,, a,2, a 2, e a 2,2. 3

4 3 Trabalho para o Aluno. Comece por conierar o moelo uni-imenional efinio na introução, em que o integraor tem conição inicial e o ganho é Element-wie. Defina o ganho o bloco Gain em 0,9 (uplo clique no ícone triangular). Qual o valor e a correponente? 2. Corra o moelo urante 0 uniae e tempo (valor e omião). Para executar o moelo ecolha Start o menu Simulation a janela o moelo. Para examinar o reultao faça um uplo clique no ícone o ocilocópio. Seleccionao o ícone o binóculo na janela o ocilocópio poerá ter uma melhor imagem o reultao. 3. Ecreva e forma analítica a função aa por ete moelo. Poerá avinhar a ua forma examinano o reultao a imulação. Verifique que atifaz a equação. 4. Moifique o bloco e ganho para ter um valor e 0,9 em vez e 0,9 e volte a executar o moelo. O que acontece? O itema é etável? Apreente uma formulação analítica para ete moelo. 5. Experimente ivero valore para o parâmetro e ganho. Determine a gama e valore para o quai o itema é etável. 6. Determine o valor a matriz A para o moelo e etao o iapaão. 7. Utilize o Simulink para eenhar o gráfico a repota e etao o iapaão quano o etao inicial é ao pela equação 2. Terá e ecolher um valor paraω 0. Utilize o Simulink para eterminar uma valor aequao e forma a que o etao complete um ciclo em 0 uniae e tempo. Caa amotra a repota e etao tem oi elemento, repreentano o elocamento e a velociae, repectivamente. É o elocamento a forquilha que erá trauzio num om. 8. Altere o valor eω 0 para que a frequência o elocamento eja e 440 Hz, aumino que a uniae e tempo ão em eguno. Altere o parâmetro e imulação para executar o moelo urante 5 ciclo completo. 9. Altere o parâmetro e imulação e forma a executar o moelo urante eguno. Ue o bloco To Workpace para ecrever o reultao no epaço e trabalho o Matlab e ue o comanoounc para ouvir o inal reultante. Nota: é neceário inicializar o intervalo e amotragem o bloco To Workpace em /8000 (Sample time) e alterar o parâmetro Save format para Array. 0. Na realiae, um iapaão não ocila eternamente como acontece no moelo eenvolvio. Poemo juntar algum amortecimento moificano a matriz A. Experimente ubtituir o valor e a 2,2 e zero para 0. O que acontece ao om? Experimente com ivero valore para a 2,2. Determine experimentalmente, que valore e a 2,2 reultam num itema etável.. Um iapaão não é um intrumento muical muito intereante. Uma cora e guitarra funciona com o memo princípio e um iapaão ma tem um om mai agraável. Enquanto o iapaão vibra apena num moo, a cora a guitarra vibra com moo múltiplo. Caa um o moo e vibração correpone a uma frequência iferente. À frequência mai baixa á-e o nome e frequência funamental, ou primeira harmónica, que é a frequência a nota tocaa. No cao o Lá, correpone à frequência e 440 Hz. O moo eguinte correpone à frequência upla a primeira (880 Hz) e á-e o nome e eguna harmónica. A terceira harmónica correpone a uma frequência tripla a funamental (320 Hz), e aim uceivamente. Se a cora a guitarra não tiver amortecimento e e a frequência funamental for f 0 Hz, então o inal reultante erá a combinação linear a componente funamental e a harmónica. Ito poe er expreo matematicamente na forma e um inal contínuo y tal que para too t y(t)= N c k in(2πk f 0 t) k= one N é o número e harmónica e c k á o peo relativo e caa harmónica. O valore e c k epenerão a contrução a guitarra e na forma como é tocaa e afectarão o timbre o om. 4

5 Utilizano o moelo criao para a inuoie amortecia e 440 Hz, crie um moelo que prouza ete inal como funamental e lhe junte mai trê harmónica. Experimente variar a amplitue a harmónica relativamente à funamental aim como alterar o ritmo e ecrecimento a 4 componente. Note a forma como o om e altera. 5

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