No campo da eletrcidade podemos sintetizar 03 elementos fundamentais passivos e são eles: resisores, capacitores e indutores.

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1 SIMULAÇÃO MODELAGEM DE SISTEMAS POR LAPLACE Pro. Luí Calda Simulação de Proceo em Eng. de Materiai Diiciplina - MR070 A modelagem matemática de um itema é empre uma tarea muito complexa para o engenheiro de itema e depende da experiência em projeto anteriore dea natureza. Inicialmente é precio ormular hipótee impliicada de modo que o modelo reultante eja o mai aproximado poíel do modelo real. Quando poíel or o modelo pode er emulado a partir de dado experimentai e uando, por exemplo, técnica com rede neurai e lógica uzzy na identiicação e obtenção do modelo direto ou inero. Muita eze o engenheiro do itema dipõe da unção de tranerência do itema que nada mai é a relação entrada e aída do itema e quando é decrito pela ua FT é poíel a imulação no domínio de tempo e da reqüência e obter a repota dinâmica do itema. Um itema pode er decrito de ária orma, como por exemplo, pela equação dierencial ordinária na ariáei de entrada e aída, pela ua unção de tranerência e o modelo decree o eu comportamento dinâmico. Quando e conhece o comportamento dinâmico do itema o engenheiro de itema conegue preer qual erá a ua repota e aplicar técnica de compenaçõe a im de garantir a etabilidade do itema, poi um itema etá ujeito à perturbaçõe ou ruído, o quai podem lear o itema a repota indeejáel. Aim é muito importante o conhecimento do itema e aim atraé de imulaçõe, o engenheiro de itema pode etudar o comportamento do itema ujeito à certo tipo de intererência e a ua etabilidade. A imulação é uma erramenta abuloa para apoiar o etudo do comportamento de itema e uma da mai importante nea área é o Matlab que dipõe de recuro matemático muito importante, como tranormada de Laplace para etudo do comportamento do itema ou a repota em reqüência e a ua antitranormada para o domínio no tempo. MODELAGEM DO SISTEMA ELÉTRICO No campo da enegenharia elétrica temo trê área de etudo a aber: eletrônica, elétricidade e eletromagnetimo. Nee etudo ocaremo omente no campo da eletricidade e etudaremo o circuito elétrico. Denominaremo de elemento paio o componente báico e que não geram energia e omente a recebem e o elemento atio ão contrário do paio e geram energia. FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIAS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS No campo da eletrcidade podemo intetizar 03 elemento undamentai paio e ão ele: reiore, capacitore e indutore. RESISTOR O reitor é um elemento paio que poui uma propriedade chamada de reitência elétrica e que é medida em ohm (Ω). A reitência elétrica, como o próprio nome ugere é a capacidade que um elemento poui de e opor à paagem de corrente elétrica. Um reitor ôhmico oerece um relacionamento linear entre tenão e corrente em eu terminai. Podemo deinir a reitência elétrica pela lei de OHM, onde: V R =, onde V é a tenão ou oltagem elétrica e I é a corrente elétrica que atraea o reito. I CAPACITOR Um capacitor bipolar (ou um elemento paio bipolar qualquer de circuito elétrico) tem a capacitância de um arad e, carregado com uma carga elétrica q de um coulomb, apreenta uma dierença de potencial elétrico de um olt entre o eu terminai. Pág.

2 Pro. Luí Calda Simulação de Proceo em Eng. de Materiai Diiciplina - MR070 V C = ou podemo ecreer: q dv i(t) = C ou V(t) = i(t) C, onde V é a tenão elétrica e I a corrente elétrica e q a carga elétrica. INDUTOR O indutor é um elemento paio capaz de armazenar e ornecer quantidade inita de energia. Ao contrário de uma onte ideal, ele não podem ornecer quantidade ilimitada de energia ou manter o ornecimento de uma determinada potência média. Quando a corrente que atraea um condutor aria, o luxo magnético que o enole também aria. Eta ariação de luxo magnético φ ocaiona a indução de uma oltagem num circuito próximo ao condutor. Eta oltagem induzida é proporcional à razão de ariação da corrente geradora do campo magnético com o tempo. Ea contante de proporcionalidade é chamada indutância e é imbolizada pela letra L. A unidade de indutância é Henry (H) e a relação é portanto: L φ =, onde φ é o luxo magnético e i a corrente elétrica. I Podemo ecreer que: di(t) V(t) = L ou i(t) = V(t) L, onde V é a tenão elétrica e I a corrente elétrica. A tabela a eguir reume o componente e a relaçõe entre a tenão corrente e entre a tenão e carga ob condiçõe iniciai iguai a zero. Utilizndo-e como princípo a lei de Kircho, onde omando-e a tenõe ao longo da malha e a corrente em nó. A combinação dee elemento implementa-e o circuito elétrico e obter a ua unção de tranerência. Componente Tenão-corrente Corrente-tenão Tenão-carga Impedância Z() = V()/I() Admitância Y() = I()/V() Indutor Ω Exemplo: Obter a unção de tranerência do circuito elétrico RLC a eguir relacionando a tenão no capacitor V C () e a tenão de entrada V(). São dado L, C e R. Pág.

3 Pro. Luí Calda Simulação de Proceo em Eng. de Materiai Diiciplina - MR070 Aplicando-e a lei de Kircho para a malha em quetão, temo: t di(t) Ri(t) L i(t) (t) C = dq () e i(t) = (), temo: 0 dq(t) dq(t) L R q(t) = (t), q(t) = C c. C d(t) c d LC RC c c(t) = (t) Aplicando-e a tranormada de laplace e admitindo-e que a condiçõe iniciai ejam nula, temo: LC V c () RCV c () V c () = V() ou V c ()(LC RC ) = V(). A unção de tranerência é: V C() = = LC V() LC RC R L LC MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS O itema mecânico ão claiicado em doi grupo: ão ele o itema mecânico de tranlação,e o itema mecânico de rotação. Para recordação, a eguir apreentamo algun conceito importante relatio ao itema mecânico. Maa A maa de um corpo é uma quantidade de matéria do corpo que é contante. Fiicamente, a maa de um corpo é reponáel pela inércia do memo, ito é, a reitência à mudança de moimento de um corpo. O peo de um corpo, é a orça com a qual a terra exerce atração dete corpo. P = mg, onde: M = maa = (Kg) g = aceleração da graidade (m/ ) P = peo do corpo (Kg) Pág. 3

4 Pro. Luí Calda Simulação de Proceo em Eng. de Materiai Diiciplina - MR070 Embora o peo de um corpo poa ariar de um ponto para outro, a maa do memo não aria. Força A orça é deinida como a caua a qual pode produzir uma mudança na poição de um corpo, no qual a orça atua. A orça, podem er claiicada de dua orma, orça de contato e orça de campo. A orça de contato ão aquela que tem um contato direto com o corpo, enquanto a orça de campo não apreentam contato direto com o corpo, como por exemplo, orça magnética e orça graitacional. Torque O torque T é deinido como qualquer caua que tende a produzir uma mudança na poição angular (rotacional) de um corpo, no qual o torque eteja atuando. Delocamento, Velocidade e Aceleração O delocamento x(t) é a troca de poição de um ponto, tomado como reerência, para outro. A elocidade é a deriada temporal do delocamento x(t). dx(t) (t) = = x(t) & A aceleração é a deriada temporal da elocidade: d(t) d x(t) a(t) = (t) x(t) = & = = && Delocamento Angular, Velocidade Angular e Aceleração Angular O delocamento angular θ(t), é deinido como a troca de poição angular, obre um eixo, de um ângulo tomado como reerência e outro. É medido em radiano. A direção anti-horário é tomada como poitia. A elocidade angular ω(t), é a deriada temporal do delocamento angular θ(t). d θ(t) ω (t) = =θ & (t) A aceleração angular α(t), é a deriada temporal da elocidade angular ω. Onde α é: d ω(t) d θ(t) α (t) = =ω & (t) = =θ && (t) Ob: Se a elocidade ou a elocidade angular é medida em relação a uma reerência ixa, então chamamo de elocidade aboluta ou elocidade angular aboluta. Cao contrário erão grandeza relatia. O memo é álido para a aceleração. LEIS DE NEWTON Da trê lei que oram ormulada por Newton, a egunda lei é a mai importante, para a obtenção de modelo matemático de itema mecânico. Pág. 4

5 Pro. Luí Calda Simulação de Proceo em Eng. de Materiai Diiciplina - MR070 Segunda lei de Newton (Tranlação) A aceleração adquirida por de qualquer corpo rígido é diretamente proporcional a orça que atuam nete corpo, e ineramente proporcional a maa dete corpo. orça = ma Segunda lei de Newton (Rotação) A aceleração angular de qualquer corpo rígido é diretamente proporcional ao torque que atuam nete corpo, e ineramente proporcional ao momento de inércia dete corpo. Onde: J Momento de inércia; torque = Jα SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO No itema mecânico de tranlação, há trê elemento mecânico enolido que ão: elemento de inércia, elemento de amortecimento, elemento de elaticidade. ELEMENTO DE INÉRCIA O elemento de inércia é a maa M é rígida e a orça aplicadda (t) dee er uiciente para delocar a maa M em x(t). (t) = M.a(t), onde a(t) é a aceleração da maa M ubmentida a orça aplicada (t). Podemo ecreer: dv(t) d x(t) (t) = M = M ELEMENTO DE AMORTECIMENTO (AMORTECEDOR) No cao dete elemento exite um delocamento relatio entre o ponto de conexão entrada e o ponto de conexão aída. Portanto, exite a neceidade de dua ariáei delocamento para decreer ete elemento. A realização íica dete elemento é a ricção icoa aociada ao óleo ou ar. Pág. 5

6 Pro. Luí Calda Simulação de Proceo em Eng. de Materiai Diiciplina - MR070 Sendo x (t) e x (t) delocamento da conexão inerior e uperior, pode-e ecreer que: dx (t) dx (t) (t) = ( ) = ( (t) (t)), onde é o coeiciente de amortecimento e a elocidade. ELEMENTO DE ELASTICIDADE Ete elemento, pode er deormado por uma orça externa, tal que a deormação é diretamente proporcional a eta orça. Sendo x (t) e x (t) o delocamento repectio a conexão de entrada e a conexão de aída. Podemo ecreer que: (t) K(x (t) x (t)). A tabela a eguir reume o componente e a relaçõe entre a tenão-corrente é equialente a relação entre orça-elocidade e a tenão-carga elétrica q é aociada com a orça-delocamento x., ob condiçõe iniciai iguai a zero. Utilizndo-e como princípo a lei de Newton e a combinação dee elemento implementa-e o circuito mecânico e obter a ua unção de tranerência. Pág. 6

7 Componente Pro. Luí Calda Simulação de Proceo em Eng. de Materiai Diiciplina - MR070 Forçaelocidade Forçadelocamento Impedância Z m ()=F()/X() Mola Amortecedor icoo Maa Nota: O eguinte conjunto de ímbolo e unidade ão uada ao longo dete liro: ( t ) = N (newton), x( t ) = m (metro), ν( t ) = m/ (metro/egundo), K =N/ m (newton/metro), ν = N./ m (newton-egundo/ metro), M =g (quilograma = newton.egundo / metro). ANALOGIAS COM SISTEMA ELÉTRICO Exitem analogia entre o itema elétrico e o itema mecânico. Ea analogia do itema elétrico com o itema mecânico têm-e elemento báico conhecido paio e lineare. São ele a mola, a maa como armazenadore de energia e o amortecedor icoo como diipador de energia. Aociamo a mola analogamente ao capacitor elétrico, a maa como indutor elétrico e o amortecedor icoo como o reitor elétrico. No quadro mecãnico acima K, e M ão chamado repectiamente de contante da mola, coeiciente de atrito icoo e maa. No quadro elétrico analogamente a tenão-corrente é a orçaelocidade endo a tenão elétrica a orça mecânica e a corrente elétrica a elocidade mecânica. A tenãocarga elétrica q é aociada com a orça-delocamento x. Podemo também aociar que a omatória da orça reerente á elocidade é análoga á omatória da corrente na malha de um circuito elétrico. Aim a equaçõe de malha podem er aplicada ao itema mecânico. O itema mecânico de tranlação pode er reolido analogamente ao circuito RLC. A equação cde moimento decrito por uma equação dierencial e aplicando-e a lei de Newton. Como no itema elétrico ecolhe-e o entido do moimento como poitio e determinando toda a orça obre o corpo a que agem no entido do moimento e a opota ao moimento. Pela lei de Newton controi-e a lei do moimento omando-e a orça e Pág. 7

8 Pro. Luí Calda Simulação de Proceo em Eng. de Materiai Diiciplina - MR070 igualando-e a oma a zero. Supondo-e a condiçõe iniciai nula e aplicando-e a tranormada de Laplace. Exemplo: Obter a unção de tranerência X()/F(), para o itema a eguir. Ee é um problema cláico para modelagem de itema dinâmico, poi e uma combinação do elemento de inércia, elaticidade e amortecimento. Uma ez que o elemento mecânico do moimento de tranlação etão deinido, a equaçõe de itema mecânico de tranlação podem er ecrita eguindo a lei de Newton. Nete itema, trê orça exercem inluência obre a maa M: orça aplicada (t), a orça de amortecimento e a orça de elaticidade. A unção de tranerência, pode er obtida, coniderando-e a orça aplicada como entrada e o delocamento x(t) como aída. dx(t) dx(t) (t) = M Kx(t) e podemo ecreer que: F() = M X() BX() KX() X() = = M F() M K K M M Exercício: Para o itema mecânico a eguir determinar a ua unção de tranerência X ()/F(). Pág. 8

9 Pro. Luí Calda Simulação de Proceo em Eng. de Materiai Diiciplina - MR070 O problema tem doi gráu de liberdade enquanto uma maa moe na horizontal a outra maa permanece parada. Aim ão neceária dua equaçõe de moimento para decreer o itema. A dua equaçõe êm do diagrama de corpo lire de cada maa. Para a olução do problema deemo aplicar o princípio da uperpoição do moimento. O princípio da uperpoição diz que primeiro deemo coniderar uma maa M, por exemplo, em moimento e a maa M em repouo e daí calcula-e a orça exercida pelo moimento na maa M. Em eguida coniderarermo a maa M em repouo e a maa M em moimento. Calcula-e a orça exercida pelo moimento na maa M. O reultado inal é a oma da orça na dua ituaçõe decrita. Aim amo coniderar primeiro a maa M em moimento e a maa M parada. A igura a eguir motra a dua ituaçõe, onde a igura a) é a ituação M em moimento e M parado e a igura b) é a ituação M parado e M em moimento e a igura c) é o reultado inal com a omatória da orça. A equaçõe ão: 3 3 F() = [M ( ) (K K )]X () ( K )X () Da mema orma com relação a M procedemo da mema orma e primeiro delocamo M e mantemo M em repouo e em eguida delocamento M e mantemo M em repouo. O reultado inal é a uperpoição do moimento em M e a omatória da orça aplicada. A igura a eguir motra a) com M em moimento e M parado e da mema orma em b) com M parado e M em moimento e a igura c) é o reultado inal com a uperpoição do moimento. Pág. 9

10 Pro. Luí Calda Simulação de Proceo em Eng. de Materiai Diiciplina - MR070 Pág. 0 Da igura c) podemo ecreer a egunda equação do moimento em relação à maa M ( K )X () [M ( ) (K K )]X () 0 = A unção de tranerência ica: SISTEMAS MECÂNICOS EM ROTAÇÃO Aim como no moimento de tranlação, o moimento de rotação pode er modelado dinamicamente, exceto que o torque ubtitui a orça e o delocamento angular ubtitui o delocamento em tranlação. O componente mecânico ão o memo exceto o moimento de rotação e não mai tranlação. ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) = = a b X M X F X X M () ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 ab F X G = =

11 ELEMENTO DE INÉRCIA Pro. Luí Calda Simulação de Proceo em Eng. de Materiai Diiciplina - MR070 d ω(t) d θ(t) T(t) = J α (t) = J = J Onde: J Momento de inércia; T(t) Torque aplicado; θ(t) Delocamento angular. α(t) Aceleração angular; ω(t) Velocidade angular. Elemento de Amortecimento (Amortecedor) T(t) = D( θ& (t) θ& (t)), onde θ & (t) elemento amortecedor. Elemento de Elaticidade (Mola) é a elocidade angular entrada e θ & (t) é a elocidade angular de aída do T(t) = K( θ(t) θ (t)), onde θ (t) e θ (t) é poicionamento angular entrada e aída repectiamente. A tabela a eguir motra o componente e a relaçõe entre torque e elocidade angular, como entre torque e delocamento angular. Aim como procedemo com o outro itema o componente unbetido ao moimento de rotação apreenta a eguinte equaçõe. Pág.

12 Pro. Luí Calda Simulação de Proceo em Eng. de Materiai Diiciplina - MR070 Componente Torque - elocidade angular Torque - delocamento angular Impedância Z m () = T() / θ() Mola Amortecedor icoo Inércia Nota: O eguinte conjunto de ímbolo e unidade ão uada ao longo dete liro: T ( t ) = N.m (newton.metro), Θ( t ) = rad (radiano), ω( t ) = rad/ (radiano /egundo), K =N.m /rad (newton.metro / radiano), D ν = N.m./ rad (newton.metro.egundo/ radiano), J =g.m (quilograma.metro = newton.metro.egundo / radiano). O termo maa oi ubtituído por inércia. O alore K,D e J ão chamado repectiamente de contante de mola, coeiciente de atrito icoo e momento de inércia. O conceito de gráu de liberdade é álido, com exceção que tetamo um ponto de moimento por meio de uma rotação, mantendo-e todo o outro ponto de moimento parado. O número de ponto de moimento que podem er ubmetido a delocamento angulare, enquantpo e mantêm parado todo o demai é igual ao número de equaçõe de moimento neceário para decreer o itema. Ecreer a equaçõe de moimento para itema em rotação é emelhante a ecreê-la para o itema em tranlação, endo a dierença é que o corpo lire conite em torque ao iné de orça. Também aqui aplica-e o princípio da uperpoição de moimento, onde primeiro giramo um corpo mantendo-e parado todo o demai e pondo no diagrama de corpo lire todo o torque deido ao próprio moimento. Em eguida, mantendo-e o corpo parado, giramo o ponto de moimento adjacente, um a um, e acrecentamo o torque deido ao moimento adjacente ao Pág.

13 Pro. Luí Calda Simulação de Proceo em Eng. de Materiai Diiciplina - MR070 corpo lire. O proceo é repetido para cada um do ponto de moimento. Para cada um do diagrama de corpo lire, ete torque ão omado e igualado a zero para ormar a equaçõe de moimento. Exercício: Obter a unção de tranerência do itema mecânico em rotação θ ()/T(). O eixo elático é upeno por meio de mancai em cada uma da extremidade e é ubmetido á torção. Um torque é aplicado à equerda e o delocamento angular é medido à direita. A igura a eguir motra em a) o itema íico, em b) o equemae em c) o diagrama de bloco. Primeiramente a partir da igura a) o itema íico dee-e obter o diagrama equemático do itema íico. A torção atua como uma mola concentrada em um ponto do eixo, com uma inércia J à equerda (entrada) e uma inércia J à direita (aída). Aim o diagrama equemático é apreentado na igura b). Há doi gráu de liberdade, uma ez que cada inércia pode girar enquanto a outra permanece parada. Portanto teremo dua equaçõe imultãnea para reoler o itema. Em eguida, deenha-e o diagrama do corpo lire de J, uando uperpoição. A igura a) motra o torque obre J e J or mantida parada e J girar. A igura b) motra o torque J e J e J or mantida parada e J girar. Finalmente, a oma da igura a) e b) motrada na igura c) o diagrama do corpo lire inal para J. T() = (J D K) θ () K θ () Pág. 3

14 Pro. Luí Calda Simulação de Proceo em Eng. de Materiai Diiciplina - MR070 Em relação a J deido ao moimento de J erá a mema análie utilizada para J. O diagrama do corpo lire para J é apreentado a eguir. K θ () (J D K) θ () = 0 A dua equaçõe tiramo a relação θ ()/T() endo a unção de tranerência. ( J D ) θ( ) θ( ) = T( ) θ θ ( ) ( ) ( J D ) θ( ) = 0 a ANALOGIA ENTRE SISTEMAS ELÉTRICOS E MECÂNICOS Entre o itema elétrico e mecânico, exitem doi tipo de analogia: Analogia Força-Tenão; Analogia Força-Corrente. b bθ( ) abθ( ) = ubtituindo temo θ θ( ) θ = () ou = T( ) ab T() ab K K = T ( ) ( ) Pág. 4

15 a) Analogia Força-Tenão Pro. Luí Calda Simulação de Proceo em Eng. de Materiai Diiciplina - MR070 Abaixo é motrado a grandeza análoga entre o itema Elétrico e Mecânico para ete cao. Sitema Elétrico Sitema mecânico De tranlação Sitema mecãnico De rotação Tenão elétrica V(t) Força (t) Torque T(t) Indutância L Maa M Momento de Inércia J Reitência R Coeic. de atrito Coe. de atrito D Inero da Capacitância /C Coe. de elaticidade K Coe. de elaticidade K Carga elétrica q Delocamento x(t) Deloc. angular θ(t) Corrente elétrica i(t) Velocidade dx(t)/ Veloc. angular dθ(t)/ = ω(t) b) Analogia Força-Corrente Sejam o itema elétrico e mecânico, abaixo repreentado. Sitema Elétrico Sitema mecânico De tranlação Sitema mecãnico De rotação Corrente elétrica i(t) Força (t) Torque T(t) Capacitãncia C Maa M Momento de Inércia J Inero da Reitência /R Coeic. de atrito Coe. de atrito D Inero da Indutância /L Coe. de elaticidade K Coe. de elaticidade K Fluxo magnético φ(t) Delocamento x(t) Deloc. angular θ(t) Reerência: Nize, Norman S. Engenharia de Sitema de Controle 3.a edição LTC -00. Hey, L.H. Apotila de Sitema de Controle I 997. Pág. 5