APOSTILA DE MOVIMENTO CIRCULAR Uniforme - MCU

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1 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 1 APOSTILA DE MOVIMENTO CIRCULAR Uniforme - MCU 1 S de 2017 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval Cardoo de Faria.

2 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 2 Movimento Circular Grandeza Angulare A grandeza até agora utilizada de delocamento/epaço (, h, x, y), de velocidade (v) e de aceleração (a), (t) tempo, eram útei quando o objetivo era decrever movimento lineare, ma na análie de movimento circulare, devemo introduzir nova grandeza, que ão chamada grandeza angulare, medida empre em radiano. São ela: delocamento/epaço angular: φ (phi) velocidade angular: ω (ômega) aceleração angular: α (alpha) Da definição de radiano temo: Deta definição é poível obter a relação: E também é poível aber que o arco correpondente a 1rad é o ângulo formado quando eu arco S tem o memo comprimento do raio R. Epaço Angular (φ) Chama-e epaço angular o epaço do arco formado, quando um móvel encontra-e a uma abertura de ângulo φ qualquer em relação ao ponto denominado origem. E é calculado por:

3 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 3 Delocamento angular (Δφ) Aim como para o delocamento linear, temo um delocamento angular e calcularmo a diferença entre a poição angular final e a poição angular inicial: Sendo: No entido anti-horário o delocamento angular é poitivo. No entido horário o delocamento angular é negativo. Velocidade Angular (ω) Análogo à velocidade linear, podemo definir a velocidade angular média, como a razão entre o delocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento: Sua unidade no Sitema Internacional é: rad/ Sendo também encontrada: rpm, rev/min, rev/. Também é poível definir a velocidade angular intantânea como o limite da velocidade angular média quando o intervalo de tempo tender a zero: Aceleração Angular (α) Seguindo a mema analogia utilizada para a velocidade angular, definimo aceleração angular média como: Alguma relaçõe importante Atravé da definição de radiano dada anteriormente temo que: ma e iolarmo S: derivando eta igualdade em ambo o lado em função do tempo obteremo:

4 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 4 ma a derivada da Poição em função do tempo é igual a velocidade linear e a derivada da Poição Angular em função do tempo é igual a velocidade angular, logo: onde podemo novamente derivar a igualdade em função do tempo e obteremo: ma a derivada da velocidade linear em função do tempo é igual a aceleração linear, que no movimento circular é tangente à trajetória, e a derivada da velocidade angular em função do tempo é igual a aceleração angular, então: Então: Linear Angular S = φr v = ωr a = αr Período e Frequência Período (T) é o intervalo de tempo mínimo para que um fenômeno ciclico e repita. Sua unidade é a unidade de tempo (egundo, minuto, hora...) Frequência(f) é o número de veze que um fenômeno ocorre em certa unidade de tempo. Sua unidade mai comum é Hertz (1Hz=1/) endo também encontrada khz, MHz e rpm. No movimento circular a frequência equivale ao número de rotaçõe por egundo endo equivalente a velocidade angular. Para converter rotaçõe por egundo para rad/: abendo que 1rotação = 2πrad, Movimento Circular Uniforme Um corpo etá em Movimento Curvilíneo Uniforme, e ua trajetória for decrita por um círculo com um "eixo de rotação" a uma ditância R, e ua velocidade for contante, ou eja, a mema em todo o ponto do percuro. No cotidiano, obervamo muito exemplo de MCU, como uma roda gigante, um carroel ou a pá de um ventilador girando.

5 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 5 Embora a velocidade linear eja contante, ela ofre mudança de direção e entido, logo exite uma aceleração, ma como eta aceleração não influencia no módulo da velocidade, chamamo de Aceleração Centrípeta. Eta aceleração é relacionada com a velocidade angular da eguinte forma: Sabendo que e que, pode-e converter a função horária do epaço linear para o epaço angular: então: Movimento Circular Uniformemente Variado Quando um corpo, que decreve trajetória circular, e ofre mudança na ua velocidade angular, então ete corpo tem aceleração angular (α). A forma angulare da equaçõe do Movimento Curvilíneo Uniformemente Variado ão obtida quando dividida pelo raio R da trajetória a que e movimenta o corpo. Aim: MUV Grandeza lineare MCUV Grandeza angulare E, aceleração reultante é dada pela oma vetorial da aceleração tangencial e da aceleração centípeta:

6 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 6 Exemplo: Um volante circular como raio 0,4 metro gira, partindo do repouo, com aceleração angular igual a 2rad/². (a) Qual erá a ua velocidade angular depoi de 10 egundo? (b) Qual erá o ângulo decrito nete tempo? (c) Qual erá o vetor aceleração reultante? (a) Pela função horária da velocidade angular: (b) Pela função horária do delocamento angular: (c) Pela relaçõe etabelecida de aceleração tangencial e centrípeta:

7 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 7 É de muita importância, na área de etudo do movimento circular, o aunto que e refere a acoplamento de polia ou engrenagen. Ocorrem ete acoplamento quando colocamo em contato polia ou engrenagen; conforme o exemplo abaixo. Cinemática do elemento de tranmião. Neta eção etudar-e-á a cinemática da tranformação da rotação em rotação, ou eja, a cinemática da tranmiõe por correia, corrente, roda de fricção e engrenagen. Inicialmente, vamo obervar o eguinte equema teórico: Ao etudarmo o tipo de acoplamento; contatamo que ele podem er tratado de deoi modo diferente:

8 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 8 - acoplamento onde temo o tangenciamento do corpo (polia e/ou engrenagem). Polia ou engrenagen e tocando. - acoplamento onde temo polia e/ou engrenagen acoplada pelo memo eixo. Acoplamento onde temo o tangenciamento do corpo (polia e/ou engrenagem) ou acoplada atrave de correia. Ao analiarmo o ponto periférico da polia ou da correia podemo afirmar que todo têm a mema velocidade tangencial; ou eja, a mema velocidade linear, poi nenhum ponto da correia ou dente da polia ultrapaa o outro quando eta etá e movimento. Melhor obervado na correia. 1 2 Aim, para quaiquer tipo de tranmião de rotação por correia, corrente, roda de fricção e engrenagen, vale a relação :v1 v2 ;onde v1 e v2 ão a velocidade tangenciai do elemento da tranmião 1 e 2, repectivamente. Da cinemática da rotação abemo que a velocidade tangencial é dada por vr=,onde é a velocidade angular e r o raio da circunferência de contato. Deta forma, a Temo:.r 1.r 2 ou

9 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 9 ω 1 r 1 = ω 2 r 2 A fórmula acima evidencia que a razão da velocidade angulare ão inveramente proporcionai a razão do raio. Quetão 1 A figura motra polia cujo raio correpondem a ra = 30 cm e rb = 5 cm. Determine a rotaçõe realizada pela polia B, abendo que a frequência de rotação em A é de 10 rpm. Quetão 2 Um etudante ua ua bicicleta para chegar à ecola. Durante o percuro, o aluno dá uma pedalada por egundo, numa bicicleta em que: O raio da catraca Rc = 6 cm O raio da roda dentada Rd = 12 cm O raio da roda da bicicleta é Rb = 20 cm Determine a velocidade da bicicleta. Quetão 3 Trê polia de raio iguai a 10 cm, 20 cm e 40 cm, etão conectada, em ecorregamento, por dua correia mantida tena. Se a polia de raio maior gira com frequência de 5 Hz, a polia de tamanho intermediário tem frequência, em Hz, de: a) 5 b) 10 c) 20 d) 25 e) 40 Quetão 4 Uma criança, montada em um velocípede, e deloca em trajetória retilínea com velocidade contante em relação ao chão. A roda dianteira decreve uma volta completa em um egundo. O raio da roda dianteira vale 24 cm e o da traeira 16 cm. Podemo afirmar que a roda traeira do velocípede completam uma volta em aproximadamente: a) ½ b) 2/3 c) 1 d) 3/2 e) 2 Repota Repota Quetão 1 v A = v B ω A.R A = ω B.R B 2π. f A.R A = 2π. f B. R B f A.R A = f B.R B = f B = f B f B = 60 rpm Repota Quetão 2 v d = v c ω d.r d = ω c.r c

10 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 10 2π/t d. R d = 2π/t c. R c 12/1 = 6/t c 12. t c = 6 t c = 6 / 12 t c = ½ Logo: ω c = 2π/ ½ ω c = 2π. 2 ω c = 4 π rad / Repota Quetão 3 f 3. R 3 = f 2.R = f f 2 = 10 Hz Alternativa b Repota Quetão 4 f A. R A = f B.R B 1/ t A. R A = 1/t B.R B 1/1.24 = 1/ t B.16 t B = 16/24 ou implificando: t B = 2/3 Alternativa b EXERCÍCICOS COMPLEMENTARES. 1-) Sabendo que a roda A gira com uma velocidade angular contante e que não há ecorregamento entre anel C e roda A roda B, qual da eguinte afirmaçõe obre a velocidade angulare ão verdadeira? a-) ωa = ωb ; b-) ωa ωb ; c-) ωa ωb ; d-) ωa = ωc e-) o ponto de contato A e C têm a mema aceleração 2-) O tambor de freio etá ligado a um volante maior que não é motrado. O movimento do tambor de freio é definido pela relação φ = 36t 1,6t 2, onde φ é expreo em radiano e t em egundo. Determinar: (a) velocidade angular em t =2, (b) o número de revoluçõe, executado pelo tambor de freio, ante de parar. Solução. φ = 36t 1,6t 2 em radiano a-) fazendo a derivada para encontrar a velocidade angular ω = dφ = 36 3,2t dt para t = 2 ω = dφ = 36 3,2(2) ; dt ω = 29,6 rad/ b-) Quando o rotor parar ω = 0; aim

11 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 11 φ = 36(11,25) 1,6t(11,25) 2 = 202,5 rad. ω = dφ = 36 3,2t dt 0 = 36 3,2t logo t = 11,25 em revoluçõe dá; φ = 202,5 2π ;ou eja φ = 32,2revoluçõe 3-) Uma érie de componente de uma pequena máquina etá endo movida por um pae de correia tranportadora obre uma polia intermediária raio de 120 mm. No intante motrado, a velocidade do ponto A é de 300 mm/ para a equerda e ua aceleração é 180 mm/ 2 para a direita. Determinar: (a) velocidade angular e aceleração angular da polia maior, (b) a aceleração total do componente máquina no B. v B = v A = 300mm ( a B ) t = a A = 180mm/ 2 (a) v B = ωr B. ω = v B = 300 = 2,5rad/ ω = 2, 5rad/ r B 120 ( a B ) t = αr B. α = ( a B) t = 180 r B 120 = 1,5rad α = 1, 5 rad 2 (b) ( a B ) n = r B ω 2 = (120)(2,5) 2 = 750mm/ 2 a B = ( a B ) t 2 + ( a B ) n 2 = (180) 2 + (750) 2 = 771mm/ 2 tgβ = ; β = 76,5 a B = 771mm 2 ; β = 76, 5 4-) A dua polia motrada podem er operada com uma correia em V em qualquer uma da trê poiçõe. Se a aceleração angular do eixo A é 6 rad/ 2 e e o itema etiver inicialmente em repouo, determine o tempo neceário para eixo B atingir uma velocidade de 400 rpm com a correia em cada uma da trê poiçõe. Velocidade angular: v = α A t Velocidade da correia: v = r A ω A = r B ω B Velocidade de B: ω B = v r B = r Aα A t r B reolvendo para t: t = r Bω B r A α A ; ω B = 400rpm 41,889 rad/

12 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 12 dado α A = 6rad/ t = r B. 41,889 r A 6 = 6,9813 r B r A = 6,9813 d B d A correia da equerda correia do meio correia da direita d B d A d B d A d B d A = 2in 4in = 3in 3in = 4in 2in t = 3,49 t = 6,98 t = 13,96 5-) Trê cinto movem-e obre dua polia em ecorregar no itema de redução de velocidade motrado. No intante motrado a velocidade do ponto A é 2 ft/ para a direita, diminuindo a taxa de 6 ft/ 2. Determine, a nete intante: a-) velocidade e aceleração do ponto C na faixa de aída,(b-) a aceleração do ponto B. Polia equerda raio interno: r 1 = 2 in ; raio externo: r 1 = 4 in ; v A = 2ft ; (a A) t = 6ft 2 (a A ) t = 6 ft 2 = 6 ft 2 ω 1 = v A = 2 = 6 rad/ r α 1 = (a A) t = 6 = 18 rad/ r Polia intermediária raio interno: r 1 = 2 in ; raio externo: r 1 = 4 in ; v 1 = r 1 ω 1 = ( 2 ft ) (6) = 1 12 ; (a 1) t = r 1 α 1 = ( 2 ft ) (18) = Polia da direita raio interno: r 3 = 2 in ; raio externo: r 4 = 4 in ;

13 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 13 ω 2 = v 1 = 1 = 3 rad/ r α 2 = (a 1) t = 3 = 9 rad/ r a-) velocidade e aceleração do ponto C. v c = r 3 ω 2 = ( 2 ft ) (3) = 0,5 12 ; (a c) t = r 3 α 2 = ( 2 ft ) (9) = 1, a-) aceleração e aceleração do ponto B. (a B ) n = r 4 ω 4 2 = ( 4 12 ) (3)2 = 3 ft 2 (a B ) t = r 4 α 2 = ( 4 ft ) (9) = a B = 4,24 ft ) Um itema de redução de engrenagem conite de trê engrenagen A, B e C. abendo que a engrenagem A gira no entido horário com uma velocidade angular contante ωa = 600 rpm, determinar (a) a velocidade angulare de engrenagen B e C, (b) a aceleraçõe do ponto em engrenagen B e C que etão em contato. (a) ω A = 600rpm = (600)(2π) 60 = 20π rad/ Conidere D endo o ponto de contato entre a engrenagem A e B v D = r D/A ω A = (2)(20π) = 40π in/ ω B = v D = 40π 60 = 10π = 300 rpm r D/A 4 2π Conidere E endo o ponto de contato entre a engrenagem B e C v E = r E/B ω B = (2)(10π) = 20π in/ ω C = v E = 20π 60 = 3,333π = 100 rpm r E/C 6 2π b-) Conidere D endo o ponto de contato entre engrenagem A e B. na polia B a B = (v E )2 = (20π)2 = 1973,9 in r E/B 2 2

14 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 14 na polia B a C = (v E )2 r E/C = (20π)2 6 = 658 in 2 7-) Um cinto é puxado para a direita entre o cilindro A e B. abendo que a velocidade da correia é um contante 5 ft/ e nenhum revalamento ocorre, determinar a velocidade angulare de A e B, (b) a aceleraçõe do ponto que etão em contacto com o cinto a-) Velocidade Angular dico A ω A = v P r A = 5 ft/ ( 4 12 ) ft = 15 rad/ ω A = 15 rad/ dico B ω B = v P = 5 ft/ = 7,5 rad/ r A (8/12)ft ω B = 7,5 rad/ b-) Aceleração do ponto de contato. Aceleração do ponto E Dico B dico A a A = ω 2 A r A = ( 15rad Na polia B dico B a B = ω 2 B r B = ( 7,5rad 2 ) Na polia C 2 ) (( 4 ft ) ft) = a A = 75ft/ 2 (( 8 37,5ft ) ft) = 12 2 a A = 37,5ft/ 2 8-) O anel C tem um raio interno de 55mm e um raio externo de 60 mm e é poicionada entre dua roda A e B, cada um do 24-mm de raio exterior. Sabendo que A roda gira com uma velocidade angular contante de 300 rpm e que não ecorregar ocorre, determinar a velocidade angular do anel C e da roda B, (b) a aceleração da ponto de A e B que etão em contato com C. Ponto 2 Ponto 1 A B C ω A = 300rpm ( 2π 60 ) = 31,416 rad/ e r A = 24 mm; r B = 24 mm; r 1 = 60mm; r 2 = 55 mm Ponto 1, ponto de contato entre A e C v 1 = r A ω A = r 1 ω C ω C = r A 24 mm ω r A ω C = 1 60mm (300rpm) ω C = 120rpm Ponto 2, ponto de contato entre B e C. Velocidade v 2 = r B ω B = r 2 ω C ω B = r 2 r B ω C ω B = r 2 r B ( r A r 1 )ω A ω B = 55 mm 24mm (24mm 60mm )(300rpm) Aceleração ω C = 275 rad

15 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 15 Ponto de A r A = 24 mm = 0,024m; Ponto de B ω B = 275rpm ( 2π 60 ) ω B = 28,798 rad/ a A = r A ω A 2 = (0,024 m) (31,416 rad ) 2 a B = r B ω B 2 = (0,024m) (28,798 rad ) 2 a B = 19,904m/ 2 a A = 23,687 m/ 2 9-) Anel B tem um raio interior r 2 e trava em relação à horizontal eixo A conforme motrado. O eixo A gira com uma velocidade angular contante de 25 rad/ e não ecorrega. Sabendo que r 1 =12 mm, mm r 2 =30 e r 3 =40 mm, determine: (a) velocidade angular do anel B, (b) a aceleraçõe do ponto do eixo A e anel B que etejam em contacto, (c) a magnitude da aceleração de um ponto da uperfície exterior do anel B. Ponto C, ponto de contato entre a hate e o anel v c = r 1 ω A e ω B = v c r 2 ω B = r 1ω A r 2 Na hate, ponto A a A = r 1 ω A 2 No anel, ponto B a B = r 2 ω 2 B = r 2 ( r 1ω A ) 2 a r B = r ω A 2 r 2 Aceleração do ponto D, ponto de fora do anel a-) a D = r 3 ω 2 B = r 3 ( r 2 1ω A r ω A ) a r D = r 3 a 2 r 2 D = r 3 ( r r 2 ) ω A 2 2 ω A = 25 rad, r 1 = 12 mm, r 2 = 30 mm, r 3 = 12 mm ω B = r 1ω A r 2 = 12 mm rad (25 30mm ) ω B = 10 rad b-) a A = r 1 ω A 2 a A = (12mm)(25rad/) 2 a A = 7,5x10 3 mm/ 2 a A = 7,5m/ 2 a B = r 1 2 ω A 2 r 2 a B = (12mm)2 ( 25rad ) 2 (30mm) a B = 3x10 3 mm 2 a B = 3,0m/ 2 a D = r 3 ( r 1 2 r 2 ) ω A 2 a D = (40mm) ( 12mm mm ) (25rad/) 2 = 4x10 3 mm/ 2 a D = 4m/ 2

16 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria ) Um filme plático move-e obre doi tambore. Durante um intervalo de 4, que a velocidade da fita é aumentada uniformemente de v 0 =2 ft/ de v 1 = 4 ft/. Sabendo que a fita não ecorregar na bateria, determine: (a) aceleração angular do cilindro B, (b) o número de revoluçõe executado pelo tambor B durante o intervalo de 4. Movimento da correia a = v = v i + at 4ft 4ft/ 2ft/ 4 = 2ft + a(4) a = 0,5 ft 2 = 6 in 2 Como a correia não deliza, não ecorrega, a aceleração da periferia é: Aceleração angular do tambor B a t = 6 in 2 α B = a t r B α B = 6 in 2 15in α B = 0,40 rad 2 b-) Delocamento angular do tambor B para t = 0, ω 0 = v 0 = 24in/ = 1,6 rad/ r B 15in/ para t = 4, ω 1 = v 1 = 48in/ = 3,2 rad/ r B 15in/ ω 2 1 = ω α B φ B φ B = ω ω 0 = (3,2)2 (1,6) 2 = 9,6 radiano 2α B (2)(0,4) φ B = 9,6 2π φ B = 1,528 revoluçõe 11-) Uma polia e dua carga etão ligada por cabo extenível conforme motrado. A de carga tem uma aceleração contante de 300 mm/ 2 e uma velocidade inicial de 240 mm/, ambo dirigido para cima. Determine (a) o número de revoluçõe, executado pela polia em 3, (b) a velocidade e a poição da carga B apó 3, (c) a aceleração do ponto D na borda da polia em t = 0. a-) Movimento da polia (v E ) 0 = (v A ) 0 = 240 mm e (a E) t = a A = 3000 mm/ 2

17 Prof. Dr.Claudio Sergio Sartori e Prof. Dr. Irval C. de Faria 17 (v E ) 0 = rω 0 = 240 mm 120mm ω 0 = 240 rad ; e (a 3000 mm/2 E) t = rα = 120mm α = 2,5 rad 2 para t = 3 ω = ω 0 + αt ω = ( 2rad ) + (2,5rad/2 )(3) ω = 9,5 rad φ = ω 0 t + αt2 2 φ = 17,25 ( 1 2π ) φ = (2rad/)(3) + 2,5rad/2 (3) 2 2 φ = 2,75 revoluçõe φ = 17,25 rad b-) Carga B r = 180mm, t = 3, v B = rω = (1,180m) ( 9,5rad ) = 1,710 m/ v B = 1,710m/ y B = rφ = (0,180m)(17,25rad) = 3,105 m y B = 3,11m c-) Ponto D r = 180 mmm t = 0 (a D ) t = rα = (180mm)(2,5rad/ 2 ) = 450 mm/ 2 (a D ) t = 450 mm/ 2 (a D ) centripeta = rω 0 2 = (180mm)(2rad/) 2 = 720 mm/ 2 (a D ) centripeta = 720 mm/ 2 (a D ) Total = (a D centripeta ) 2 + (a D ) 2 = (720) 2 + (450) 2 (a D ) Total = 849 mm/ 2