CAPÍTULO 4. Movimento Variado. Introdução. 2-Aceleração Escalar Média

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1 CAPÍTULO 4 Movimento Variado Introdução O movimento do corpo no dia-a-dia ão muito mai variado do que propriamente uniforme, até porque, para entrar em movimento uniforme, um corpo que etava em repouo, por exemplo, terá que variar a ua velocidade de zero até alcançar a ua velocidade contante em um certo intervalo de tempo. MRV MRU A B C Suponha que a figura acima repreente a partida de um atleta numa competição de m rao e que cada quadro da fotografia tenha ido batido em intervalo de tempo iguai. Obervamo que, de A até B, o atleta percorre epaço cada vez maiore em tempo iguai (MRV). De B para C, o atleta corre epaço iguai em tempo iguai (MRU). 1- Aceleração No exemplo acima, no delocamento de A até B, notamo que o atleta percorre epaço cada vez maiore no memo intervalo de tempo, contatando que a ua velocidade etá variando. Toda vez que há uma variação da velocidade de um móvel dentro de um certo intervalo de tempo, dizemo que ocorreu uma aceleração. Quando ea aceleração implica num aumento da velocidade, o movimento é dito acelerado, cao contrário, quando a variação implica em uma diminuição da velocidade em um certo intervalo de tempo, dizemo que houve uma deaceleração e o movimento é dito retardado. De uma forma ou de outra empre que houver uma variação de velocidade, eja para mai ou para meno, fiicamente ignifica que houve uma aceleração. A aceleraçõe mai conhecida no cotidiano ão a do carro de corrrida, do aviõe, do atleta no momento da partida de uma competição, como também a aceleração da gravidade. Todo corpo próximo à uperfície da terra etá ujeito a uma aceleração contante cujo valor aproximado é de 1 m/ e que independe da maa do corpo, ou eja, uma pena e uma bola de gude caem com a mema aceleração e, portanto, têm a mema variaçõe de velocidade no memo intervalo de tempo (Etamo aqui deprezando a reitência do ar. Movimento no vácuo). -Aceleração Ecalar Média A aceleração é uma grandeza vetorial, ou eja, poui módulo, direção e entido, ma quae empre etamo preocupado apena com o eu módulo e daí chamamo implemente de aceleração ecalar. Quando um corpo varia ua velocidade de um

2 ponto a outro, dentro de um certo intervalo de tempo, o movimento pode variar aleatoriamente, ou eja, de uma maneira não regular e, portanto, não pouir aceleração contante. Daí podemo determinar dentro dete intervalo de tempo a aceleração V V V ecalar média que, matematicamente, é dada pela fórmula a t t t V repreenta a velocidade V t tempo final t tempo inicial A unidade de aceleração é dada pelo quociente da unidade da velocidade pela unidade de tempo, endo aim, podemo ter: m m km/ h cm,, e aim por diante. h h m m m 1 m No itema SI teremo: x 1 Dizer que o corpo que caem próximo à uperfície da terra pouem uma aceleração de 1m/ 1m é dizer que a ua velocidade varia de, ou eja, a velocidade varia, crece de 1m/ em cada egundo. Exercício/Exemplo final repreenta a velocidade inicial 1-(NARB) Um móvel deloca-e numa trajetória retilínea num intervalo de tempo t = 6, com velocidade que varia conforme ilutração abaixo. a) Determine a aceleração ecalar média de todo percuro. b) Determine a aceleração média entre o intante t = e t = 1, t =1 e t = 3, t =3 e t= 6. c) A aceleraçõe ecalare média calculada no item anterior determinam que tipo de movimento? d) Podemo afirmar que entre o doi intante finai t = 3 e t = 6 o movimento foi apena acelerado? Por quê? a) Aplicando a definição de aceleração ecalar média no percuro total temo: V a t m 1m 6 1m 6 m b) (15 1) m/ a 5 m (1 )

3 (9 15) m/ a 3 m (31) ( 9) m/ a 4,3 m (6 3) c) Movimento variado, poi a aceleração variou d) Não, por que,ainda dentro dete intervalo de tempo, pode ter ocorrido uma deaceleração. 3-Aceleração Intantânea Da mema forma que definimo velocidade intantânea, a aceleração intantânea de um móvel é calculada quando tomamo variaçõe da velocidade em intervalo de tempo muito próximo um do outro, ou eja, quando t ( t tende a zero). a int V lim t t 4-Movimento Acelerado e Movimento Retardado No etudo da velocidade, foi definido que, quando o móvel poui velocidade no memo entido da trajetória, ela é poitiva (V>) e o movimento é dito progreivo. Quando o móvel poui velocidade contrária ao da trajetória ela é negativa (V<) e o movimento é dito retrógrado. Com io, à veze, no etudo da aceleração omo levado a dizer que, quando a aceleração é poitiva a>, o movimento é acelerado e quando a aceleração é negativa a< o movimento é retardado, o que nem empre é verdade. Vejamo um exemplo para chegarmo a uma concluão correta. Exercício/Exemplo 1- Um carro em movimento retilíneo apreenta quatro ituaçõe diferente que ão motrada numa tabela que contém velocidade X tempo. Oberve a análie da primeira ituação e faça uma análie emelhante na demai ituaçõe. Situação 1 V(m/) t()

4 Repreentação gráfica do movimento apreentado na ituação 1 V =m/ V = 6m/ V = 1m/ t = t = t =4 S(m) Comentário: Como a velocidade é poitiva (V>) o movimento é progreivo, velocidade no entido da trajetória. Obervamo também que, a cada, o módulo da velocidade crece regularmente de 4m/, ou eja, poui uma aceleração de a = m/ (a>) aceleração poitiva. Note que para qualquer intervalo de tempo dado, a aceleração média é a mema, ou eja, é contante. V a t 6m m 4m m m (aceleração média entre o intante e ) V a t 4) 1m 6m 4 4m m (aceleração média entre o intante e V a t 18) 18m m 8 16m 8 m (aceleração média entre o intante e No cao em que a aceleração ecalar média é a mema para qualquer intervalo de tempo, dizemo que o movimento é uniformemente variado. No movimento uniformemente variado a aceleração é contante em todo o intervalo de tempo e, portanto, a velocidade varia regularmente. Concluão: O problema apreentado na tabela 1, trata-e de um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, Progreivo, Acelerado. Note que V > e a >. Você agora é quem vai analiar a outra ituaçõe motrada na tabela, 3 e 4 deenhando a repreentação gráfica, fazendo o comentário devido e tirando a ua própria concluõe. Situação Tabela V(m/) t ()

5 Repreentação gráfica S(m) Comentário Concluão Situação 3 Tabela 3 V(m/) t () Repreentação gráfica S(m) Comentário Concluão

6 Situação 4 Tabela 4 V(m/) t () Repreentação gráfica S(m) Comentário Concluão A tabela abaixo no fornece um reumo do tipo de movimento etudado na quatro ituaçõe. Complete a linha referente à tabela 3 e 4. Tabela 1 Tabela Tabela 3 Tabela 4 V> V< a> a< Progreivo Retrógrado Acelerado Retardado Obervando a tabela acima, concluímo que, quando a velocidade e a aceleração pouem o memo inai (V>, a > ou V < e a< ), o movimento é acelerado. Quando pouem inai diferente, (V>, a < ou V< e a >) o movimento é retardado.

7 Exercício Propoto Um automóvel, parado em um emáforo, arranca logo que ete fica verde e 5 apó etá com velocidade de 4 km/h. Qual foi a ua aceleração média nete intervalo de tempo? - Um motorita, ao ver um emáforo vermelho, começa a frear no momento em que a ua velocidade é de 7 km/h, parando em 1. Determine: a) a aceleração média durante a freada em m/ ; b) a velocidade do carro no cinco primeiro egundo. 3-(UFPE) Um caminhão com velocidade de 36 km/h é freado e para em 1. Qual o módulo da aceleração média do caminhão durante a freada? 4- Um automóvel parte do repouo, com aceleração contante e igual a 3m/. Calcular a velocidade ecalar do móvel em 1 apó a partida. 5-(NARB) Um automóvel de corrida teve a ua velocidade alterada de 8 km/h para km/h em 6. Reponda: km/ h a) Qual a ua aceleração, upota contante, dentro dete intervalo de tempo em. b) Dê uma interpretação fíica para ete reultado. a) Complete a tabela abaixo para o quatro primeiro egundo. t() v(km/h) 8 5-Movimento Uniformemente Variado No movimento uniformemente variado, a aceleração é contante e diferente de zero e, endo aim, a aceleração ecalar média e a aceleração intantânea ão iguai. Se o movimento pouir uma única direção, teremo o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Da definição da aceleração ecalar média, podemo determinar a função horária da velocidade do movimento uniformemente variado, poi a aceleração ecala média é contante. V V V V V a, onde t =, poi ete é o intante da obervação, início da t t t t contagem do tempo. Daí temo: V V a V V at V V at t v = v + a.t Equação horária da velocidade. Com eta equação podemo determinar a velocidade em qualquer intante e conhecermo a velocidade inicial e a aceleração do movimento.

8 Exercício/Exemplo 1- Identifique em cada função horária da velocidade do MUV o valore de v e a expreo no SI. V = v + a.t v a v = 3.t m/ -3m/ v = t v = 5.t v = -t v = -8-4.t - (NARB) Certo móvel encontra-e numa poição S qualquer de uma trajetória retilínea e a velocidade é dada por: v = 4 +.t (m/). Reponda o que e pede: a) Qual a velocidade inicial e a aceleração? b) Complete a tabela determinando a velocidade para cada intante dado. t () v (m/) 8 1 c) Complete o deenho com a repreentação da velocidade e a poível poição do móvel na trajetória abaixo para o intante t =, t=3 e t=4 da tabela do item b. d) Que concluão podemo tirar com repeito ao epaço percorrido por um móvel para um memo intervalo de tempo? 3-Certo móvel poui como função horária da velocidade a função v = -1 +.t. a) Qual a velocidade em t=, t =, t = 3, t = 5, t =6 e t = 7? b) Em que intante o móvel muda de entido? c) Claifique o movimento quanto ao entido e à variação da velocidade no intante do item a, obervando o inal da velocidade e da aceleração. (t= ), V 1. t V m (t=), V 1. t V 1.() m/ v

9 b) O móvel mudou de entido no intante em que a ua velocidade é zero. V=. c) V> V< V= a> Progre ivo t = -1 t =3 t =5 t =6 t =7 4 Retró grado Repou o Mudança entido Acelerado Retardado Exercício Propoto Certo móvel poui movimento uniformemente variado e a função horária da velocidade é dada pela função V 4 4t, onde t é medido em egundo e v em metro por egundo. a) Determine a velocidade ecalar inicial e a aceleração do movimento. b) Determine o intante em que o móvel muda de entido. c) Dicuta e o móvel é acelerado ou retardado no intante 3 e 7. d) Repreente numa trajetória o módulo e o entido da velocidade no intante t=,, 4 e 6. e) Determine a aceleração do móvel em t = 1 - Doi móvei A e B pouem funçõe horária dada por V 1 t e V 5 t. Em que intante ua velocidade coincidem? A B 3 3-Uando o dado fornecido na tabela, determine a função horária da velocidade, abendo que a aceleração é contante. V(m/) T() Comportamento Gráfico da Velocidade do MUV No Movimento Uniforme analiamo o comportamento gráfico da poição x tempo, cuja função é v. t. Vimo que tal função no fornece um gráfico de uma reta. Da mema forma, a função da velocidade do MUV, dada por v v a. t, vai no fornecer no plano carteiano v x t uma reta que paaremo a analiar atravé do exemplo eguinte:

10 Exercício/Exemplo 1- Para cada função dada abaixo, que repreenta o comportamento da velocidade de certo móvel, contrua uma tabela e analie o comportamento gráfico. Oberve e a função é crecente ou decrecente, e indique em qual do intervalo de tempo o movimento é acelerado ou retardado, progreivo ou retrógrado. a) v 1. t b) v 1. t c) v 1. t d) v 1. t a) t () v (m/) para t=, temo: v 1. t v 1 () 1 1m para t= 1, temo: v 1.(1) 1 1m para t =, temo : v 1.() 14m parat 3, temo : v m Obervando o gráfico, vemo que a função é crecente, que o movimento é progreivo para todo intervalo de tempo (v>) e que o movimento é acelerado para qualquer intante, poi o módulo da velocidade etá empre crecente.

11 Intervalo de tempo Progreivo Retrógrado Acelerado Retardado t > X X b) t () v (m/) v 1 t 1 para t=, temo: v 1 () 1 m/ 3 4 para t= 1, temo: 4 5 v 1 (1) 8m Obervando o gráfico, vemo que a função é decrecente, ou eja, à medida que o tempo crece a velocidade decrece (retardado). O movimento é progreivo (v>) no intervalo <t<5; em t=5 o móvel para e muda de entido, paa a ter um movimento retrógrado (v<) e, a partir daí, o módulo da velocidade crece com o tempo (acelerado). Intervalo de tempo Progre ivo Retrógr ado Acelera do Retarda do Repou o <t<5 X X t=5 X t >5 X X c) d) 7-Função Horária da Poição do Movimento Variado Uniformemente No Movimento Uniforme, vimo que a função horária da poição é v. t,onde é a poição inicial e v a velocidade, a qual é contante em qualquer momento. No MUV, em que a velocidade varia uniformemente, a poiçõe ocupada por um 1 móvel no decorrer do tempo ão dada pela função v. t a. t, que pode er motrada facilmente, ma que, por enquanto, vamo apena compreendê-la em no preocuparmo nete momento com a ua demontração. Olhando atentamente, vemo

12 que eta função é do tipo y ax bx c, ou eja, é uma função do º grau na variável t. Você, certamente, já etudou o comportamento gráfico de uma função do º grau e abe que ela é uma parábola cuja concavidade pode er voltada para cima ou para baixo. Cao não tenha vito ou não e lembre, poderá pedir ao profeor para falar um pouco obre ela, ma ito erá vivenciado em outro momento no etudo do gráfico do MU e 1 MUV. Ainda obervando a função v. t a. t, vemo que quando a =, movimento uniforme, o terceiro termo da função e anula e temo exatamente a função do movimento uniforme v. t. Daí temo como funçõe horária da poição e da velocidade para o MUV a funçõe: v v 1 vt a. t at Exercício/Exemplo 1- Na tabela eguinte, na primeira coluna, é dada a função da poição do MUV. Identifique a poição inicial, a velocidade inicial e a aceleração (, v, a) e, em eguida, contrua a função da velocidade correpondente a cada função da poição fornecida na primeira coluna. A unidade etão no SI. at vt 4 1 t t 5 1t t t 5t 4t t 3t v a v v a. t 1m -m/ 4m/ v 4t - Certo carro em MRUV, com aceleração de m/, encontra-e no momento da obervação na poição e velocidade motrada na figura. Determine: a) a função horária da velocidade e da poição para ete carro; b) a poição dete carro apó t = 5; c) a velocidade nete intante; d) a velocidade média do carro no intervalo de tempo de 5. 6m/ S(km) S(Km )

13 a) b) c) d) 3- Agora que temo conhecimento da função horária da poição do movimento at uniformemente variado vt, podemo determinar exatamente a poiçõe ocupada pelo móvel do Exercício /Exemplo nº página 5, tópico 5 MUV. Naquele momento, fizemo uma etimativa da poiçõe ocupada pelo móvel e agora podemo calculá-la de fato. 4-(NARB) Um certo móvel poui como função horária da poição a função S 1 4t 4t. Atravé da análie deta função cujo termo etão no SI, reponda ao que e pede: a) A poição e a velocidade do móvel no momento da obervação do movimento (t = ). b) A aceleração do móvel. c) A função horária da velocidade para ete móvel.

14 d) O intante em que o móvel muda de entido. e) A repreentação numa trajetória retilínea com a ua poição e velocidade no intante t=, t =, t = 4, t = 5, t = 6, e t =7. f) O tipo de movimento durante ete intervalo de tempo de t= e t=7. g) O gráfico de x t e v x t. Repreente o gráfico entre o intante t = a t =1. Ue papel milimetrado. a) b) c) d) e) f) 8-Cálculo da Velocidade Ecalar Média no MUV S S S1 A velocidade ecalar média erá empre definida como V para t t t1 qualquer tipo de movimento, no entanto, no movimento uniformemente variado, ela pode er determinada atravé da média aritmética da velocidade entre doi intante coniderado, correpondendo a um certo delocamento entre ete doi intante. Veja a ilutração abaixo. t 1 v t v V S 1 S S S Podemo demontrar algebricamente, em nenhuma dificuldade, que ito é verdadeiro a partir da função da poição do MUV S S vt at S S vt at S S t( v at)

15 Paando o t que etá em evidência no egundo membro da função para o primeiro membro e omando o termo dentro do parêntee temo: S S t ( v V (v v) at) ( v v at) ( v v), daí concluímo que É ó lembrar que o termo dentro do parêntee v at v é a velocidade final apó um certo intante t. Ito quer dizer que no MUV, em particular, podemo determinar a velocidade média atravé da média aritmética da velocidade entre doi intante. V S t S t S1 v1 v t 1 ou V Exercício/Exemplo v v 1-Uando agora a fórmula da velocidade média V que foi deduzida nete tópico, determine a velocidade média pedida no Exercício/Exemplo nº tópico 7. -Certo móvel em MUV poui, no intante t =, poição S =1m e velocidade ecalar de 4m/. No intante t = 1 a ua velocidade ecalar era de 7m/. Determine nete momento a poição do móvel. 3-Temo, na figura eguinte, o gráfico de S x t repreentando o movimento uniformemente variado de um móvel. Com bae nete gráfico e uando o conceito de velocidade média, determine a velocidade inicial dete móvel no intante da obervação. Obervando o gráfico, vemo no intante t o = que S = ; e que no intante t =5, S=5m. Sabemo que o vértice da parábola correponde ao intante em que o móvel etá mudando de entido e, portanto, v =. A velocidade média entre ee doi intante pode er dada atravé de:

16 V V t v v e v v v 5 t 5 v 5 v 1m 4-Reolva a quetão anterior contruindo a função horária da poição a partir do gráfico. 9-Função de Torricelli A função de Torricelli, também conhecida como equação de Torricelli, é independente do tempo e, por ito, ela é muito útil na reolução de problema em que não e tem o tempo como un do dado. V V. a. S Exercício / Exemplo 1-A Avenida Boa Viagem é uma da mai bela e longa do litoral do nordete, contratando com a natureza de um lado (o mar), e com o edifício do outro. Um motorita que trafega neta avenida tem que etar atento para o emáforo, que ão muito. Um homem, que dirige um carro a 6 km/h, vê um emáforo que etá a 5m ficar vermelho. Qual deverá er o valor da deaceleração mínima aplicada no carro para que ele poa parar dentro deta ditância? V 6km/ h 16,7m V S 5m

17 V V. a. S 78,9 a m 1 (16.7),789m. a.5 78,9 1a - Um corpo em queda livre poui movimento uniformemente variado cuja aceleração é a aceleração da gravidade, ea, em valore redondo, aproxima-e de g = 1m/. Se uma pedra caíe nea condiçõe de uma altura de 3m do olo, qual o valor da velocidade ao chegar ao chão? Exercício Propoto Certo móvel, com velocidade de 18 km/h, é freado uniformemente até parar, delocando-e de m. Determine: a) a aceleração ecalar; b) o tempo de freagem. -Um certo carro paa no marco 1km de uma etrada retilínea com velocidade de m/ e pelo marco 15km com velocidade de 3m/. Sua aceleração foi contante durante todo o tempo. Determine: a) a aceleração do movimento; b) o tempo entre o doi marco; c) a velocidade média calculada atravé da definição e pela fórmula do movimento uniformemente variado. 3- Doi móvei etão obre uma mema trajetória executando movimento. O comportamento da velocidade X tempo de ambo ão motrado no gráfico ao lado. No intante t = ele e encontravam na mema poição da trajetória, poi nete momento, B etava paando por A. Analie atentamente o gráfico que etão contruído num memo itema de eixo ortogonai e reponda o que e pede. a) O tipo de movimento de cada móvel. b) A funçõe horária da velocidade de cada um. c) A funçõe horária da poição de cada um.

18 d) A velocidade de A e de B no intante,1,3 e 4. e) Determine a poiçõe de A e de B no intante do item anterior, tomando como referência a poição em que ele e encontravam no intante t =. Para tal poição, adote S =. f) A poição da etrada em que A paa por B. g) A ditância percorrida por A e B no momento em que ele têm a mema velocidade. h) Determine a área ob a curva do gráfico de A e B entre o intervalo de tempo de a 3 e compare com o reultado do item anterior. 4-(OBFEP-1) Um veículo etá trafegando a 1m/ quando o motorita oberva que o inal do emáforo fica amarelo. O veículo etá a 5m do emáforo e o motorita leva 1 para reagir e acelerar. Se a aceleração é m/ contante e o emáforo fica por 3 no amarelo, o veículo alcançará o emáforo ante que ete mude para o vermelho? Jutifique a repota.