Universidade Cruzeiro do Sul. Campus Virtual Unidade I: Unidade: Medidas de Dispersão

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1 Univeridade Cruzeiro do Sul Campu Virtual Unidade I: Unidade: Medida de Diperão 010 0

2 A medida de variação ou diperão avaliam a diperão ou a variabilidade da equência numérica em análie. São medida que fornecem informaçõe complementare à informação da média aritmética. A principai medida de diperão ão: a variância e o devio-padrão. Uaremo a letra para denotar a variância de uma amotra e para denotar o eu devio-padrão. CÁLCULO DA VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Para calcular a variância e o devio-padrão vamo analiar trê cao: i) Quando o dado ainda não foram agrupado em tabela de frequência, ou eja, etão na forma de dado bruto ou rol; ii) Quando o dado etão agrupado em ditribuiçõe de frequência variável dicreta e iii) Quando o dado etão agrupado em ditribuiçõe de frequência variável contínua. Dado bruto ou rol Para podermo calcular a variância e o devio padrão de dado bruto vamo uar a fórmula que eguem: FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA VARIÂNCIA DE DADOS BRUTOS ( xi x n 1 ) Variância xi Cada um do valore aumido pela variável x Média aritmética do dado bruto n Total de elemento obervado 77

3 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO DE DADOS BRUTOS Devio-padrão Variância Vejamo um exemplo de utilização da variância e devio-padrão. Calcule a variância e o devio padrão da nota de trê turma de etudante. Quadro 1 de etudante da Turma A, B e C Turma do aluno Média Devio- Padrão A ,31 B ,51 C ,5 7,5 6,69 Oberve no quadro que a média e o devio-padrão da nota já etão calculado. Vamo ver como io foi feito. O devio-padrão da turma A foi calculado da eguinte forma: 1º) Determinar a média aritmética da nota, poi a variância depende dela. Como ão dado bruto vamo relembrar a fórmula para cálculo da média xi x n Fonte: 78

4 Uando a nota da turma A para fazer o cálculo temo: x 8 48 x 8 6 Concluímo que a média aritmética da nota vale 6 º) Vamo calcular a variância da nota da turma A e para io vamo uar a fórmula para o cálculo da variância de dado bruto, que é ( xi x n 1 ) Vamo entender o que a fórmula etá dizendo... ( x i x ) (faça a diferença entre cada nota e a média aritmética e eleve ao quadrado, depoi ome cada uma dea diferença) Depoi divida o valor que encontrou pelo total de nota meno 1. Fonte: Turma do aluno A x ) i x (4 6) + (5-6) + (5-6) + (6-6) + (6-6) n , ( + (7-6) + (7-6) + (8-6) 79

5 Temo que a variância da nota vale 1,71 3º) Vamo calcular o devio-padrão da nota vamo uando a fórmula: Subtituindo a variância na fórmula e fazendo o cálculo temo: 1,71 1,31 Temo que o devio-padrão vale 1,31. Para calcular o devio-padrão da turma B e C foi procedido da mema forma. Conideraçõe Quadro 1 de etudante da Turma A, B e C Turma do aluno Média Devio- Padrão A ,31 B ,51 C ,5 7,5 6,69 Obervando o quadro1, podemo fazer a eguinte conideraçõe: A nota que geraram média 6 na trê turma ão batante diferente. 80

6 O devio-padrão ão bem diferente. O menor etá na turma A, o intermediário na turma C e o maior na turma B. O devio-padrão no motra a variabilidade do dado em relação à média. A groo modo dizemo que o devio-padrão no motra e a média aritmética ofreu pouca ou muita influência do valore extremo (muito grande ou muito pequeno). Nee cao podemo armar que: A turma A foi a meno influenciada por valore extremo. A turma C foi medianamente influenciada por valore extremo. A turma B foi a mai influenciada por valore extremo. Ditribuição de frequência variável dicreta Para calcular a variância e o devio-padrão de uma ditribuição de frequência variável dicreta vamo uar a fórmula a eguir: FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA VARIÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA VARIÁVEL DISCRETA ( xi x ). 1 Variância xi Cada um do valore aumido pela variável frequência aboluta x Média aritmética da variável dicreta 1 Soma do total de elemento obervado meno 1 81

7 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA VARIÁVEL DISCRETA Devio-padrão Variância Vejamo um exemplo: O Quadro repreenta a nota de Matemática. Calcule a variância e o devio-padrão. Quadro de Matemática de Matemática (xi) Totai 0 A nota de Matemática etão agrupada em uma ditribuição de frequência variável dicreta, para calcular a variância e o devio-padrão temo que uar a fórmula correpondente. 1º Vamo calcular a variância uando a fórmula ( xi x ). 1 Vamo entender o que ela ignica ( x i x ). f i devemo ubtrair cada nota da média aritmética. Ee reultado deve er elevado ao quadrado. Depoi deve er multiplicado pela repectiva frequência. Ao nal fazer o omatório dee valore 1omar o total de nota e ubtrair 1 8

8 Primeiro, devemo calcular a média aritmética. Para podermo, depoi, uar a fórmula da variância Fonte: Lembra-e da fórmula da média aritmética ponderada? É ela que iremo uar! X xi. Vamo uar a ditribuição da nota de Matemática e abrir uma coluna para podermo multiplicar xi por e calcular a média de Matemática xi. (xi) Totai 0 73 Calculando a média temo: X xi ,65 A média aritmética da nota de Matemática é 3,65 Vamo calcular agora a fórmula. Para podermo fazer i Variância uando a ( x x ). f, vamo abrir uma nova coluna na ditribuição de frequência da nota de Matemática, para poder facilitar noo cálculo: i 83

9 de Matemática (xi) (xi - x ). Fi 3 ( - 3,65). 3 8, (3-3,65). 5, (4-3,65). 8 0, (5-3,65). 4 7,9 Totai 0 18,55 Concluímo daí que ( x i x ). f i vale 18,55, completando a reolução Calculando temo 0,98 A variância da nota de Matemática vale 0,98 º Vamo calcular o devio-padrão uando a fórmula Devio-padrão Variância 0,98 0,99 (devio-padrão) Conideraçõe Podemo concluir pelo cálculo que o deviopadrão vale 0,99, o que no demontra uma variabilidade pequena na nota de Matemática..3 Cálculo da variância e do devio-padrão da ditribuição de frequência variável contínua Para calcular a variância e o devio-padrão de variávei contínua devemo proceder como para a variávei dicreta, tomando omente o cuidado de ubtituir o xi pelo ponto médio de cada clae, 84

10 uma vez que a variável etá agrupada com intervalo de clae. FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA VARIÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA VARIÁVEL CONTÍNUA ( xi x ). 1 Variância xi Cada um do valore aumido pela variável frequência aboluta x Média aritmética da variável dicreta 1 Soma do total de elemento obervado meno 1 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA VARIÁVEL CONTÍNUA Devio-padrão Variância Vamo ver um exemplo: O Quadro 3 repreenta um banco de hora de uma pequena emprea. Calcule a variância e o devio-padrão. Quadro 3 Banco de hora do empregado de uma emprea Banco de hora (h) Total 10 85

11 1º) Para calcular a variância, a primeira coia que temo que conhecer é a média aritmética dee banco de hora, cao contrario, não tem como uar a fórmula da variância. Lembra-e da fórmula da média aritmética ponderada? É ela que iremo uar! X xi. Na variável contínua para podermo calcular a média temo que fazer aparecer o xi, calculando o ponto médio entre cada uma da hora. Para io vamo abrir uma coluna para ditribuição para colocar o ponto médio e outra para podermo multiplicar xi por. Banco de hora xi (ponto xi. (h) médio) Total X xi. 84 x 8, 4 Temo que a média do 10 banco de hora é 8,4 h Agora im, etamo em condiçõe de calcular a variância ( xi x ). 1 86

12 Vamo uar a ditribuição e abrir uma coluna para podermo calcular ( x i x ). Banco de xi (ponto (xi - x ). hora (h) médio) ( 8,4). 1 40, (6 8,4). 3 17, (10 8,4). 5 1, (14 8,4). 1 31,36 Total 10-10,4 Temo que ( x i x ). 10,4 e Aplicando o valore na fórmula vem: 10,4 11, 38 9 ( x i x ). 1 Chegamo à concluão de que a variância vale 11,38 º Agora vamo calcular o devio-padrão uando Subtituindo o valore temo: 11,38 3, 37 87

13 Conideraçõe Feito o cálculo vericamo que a variância do banco de hora é 3,37, o que demontra uma variabilidade média na hora. NOTA Quanto maior o devio-padrão, maior a variação ou diperão do dado Quanto menor o devio-padrão, menor a variação ou diperão do dado FINALIZANDO Finalizamo mai uma Unidade onde aprendemo a calcular a variância e calcular e interpretar o deviopadrão. Como vimo, o devio-padrão fornece informaçõe que complementam a informação da média aritmética, motrando e a variação do dado que geraram a média aritmética é pequena, média ou grande. Só coneguimo identicar e um devio-padrão é pequeno ou grande e tivermo doi conjunto que tenham média iguai para podermo comparar eu devio-padrão. Etou conante e tenho certeza que você coneguiram acompanhar e que etão atifeito por terem coneguido vencer mai ea etapa. Fonte: 88

14 Referência CRESPO A. A. Etatítica Fácil, 11ª Ed. São Paulo: Saraiva, DOWNING, D. Etatítica Aplicada, ª Ed. São Paulo: Saraiva, 00. MORETTIN, L.G. Etatítica Báica, 7ª Ed. São Paulo: Pearon, 000. NEUFELD, J.L.Etatítica Aplicada a Adminitração Uando o Excel. São Paulo: Pearon, 003. SPIEGEL, M.R. Etatítica, 3ª Ed. Coleção Schaum. São Paulo: Pearon, Probabilidade e Etatítica. Coleção Schaum. São Paulo: Pearon, SILVA, E.M.,Etatítica Para o Curo de; Economia, Adminitração e Ciência Contábei. 3ª Ed. São Paulo:Atla,

15 Reponável pelo Conteúdo: Profª. M. Roangela Maura Correia Bonici Revião Textual: Profª M. Eliana Pantoja Campu Liberdade Rua Galvão Bueno, São Paulo SP Brail Tel: (55 11)