- 1 - EDITAL ANTERIOR PRF 2013 Matemática Noções de estatística. MÉDIA ARITMÉTICA (x )

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1 EDITAL ANTERIOR PRF 013 Matemática Noções de estatística. MÉDIA ARITMÉTICA (x ) Sejam x1, x,..., xn, portanto n valores da variável X. A média aritmética simples, ou simplesmente média de X, representada por x é definida por: ou simplesmente onde n é o número de elementos do conjunto. Exemplo: Determinar a média aritmética simples dos valores: 3, 7, 8, 10, 11. Observação: O símbolo μ (mi) é usado para denotar a média de uma população e x (x barra) para denotar a média de uma amostra. Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência usaremos a média aritmética dos valores x1, x, x3,..., xn, ponderados pelas respectivas frequências absolutas: f1, f, f3,..., fn. Assim, ou simplesmente x = n i=1 n i=1 f i x i f i x = x i f i f i Exemplo: Determinar a média da distribuição: - 1 -

2 Neste caso, a nota corresponde à variável X pesquisada. Na primeira coluna estão os valores xi da variável e, na segunda coluna, suas respectivas frequências fi. Assim, temos a seguinte tabela: Daí: xi fi xi. fi Total x = x i f i f i = x = 3 Caso os dados estejam agrupados em intervalos, utilizamos a mesma técnica dos dados agrupados sem intervalos, tomando o ponto médio de cada classe como seu respectivo valor da variável xi. As fórmulas são as mesmas. Exemplo: Determinar a média da distribuição: A partir dos dados, temos a seguinte tabela: Daí: classes xi fi Renda Familiar (ponto médio) Nº de Familias xi. fi Total x = x i f i = 68 x = 6,7 f i 40 x = 6,7 - -

3 MEDIANA (Me) A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. A mediana de um conjunto de dados ordenados é o termo do conjunto que o divide em duas partes iguais, isto é, divide o conjunto em dois subconjuntos com o mesmo número de elementos tais que a cada um deles pertencem todos os elementos menores ou todos os elementos maiores que a mediana. A mediana é geralmente simbolizada por Me ou por Md. 1º Caso: número de dados ímpar A mediana será o valor da variável que ocupa a posição n+1. º Caso: número de dados par A mediana será a média entre os valores das variáveis que ocupam a posição n e n+. Por exemplo, consideremos os pesos ao nascer, em kg, de 9 cordeiros, dados abaixo:,1,8,9 3,0 3,1 3, 3, 3,5 4,0 Nesse caso, como n = 9 (ímpar), a mediana será o dado que ocupa a 5ª posição, pois 9+1 = 5. Assim, Me = 3,1, ou seja, o peso mediano é 3,1 kg. Suponhamos agora que fossem 10 cordeiros, com os seguintes pesos:,1,8,9 3,0 3,1 3, 3, 3, 3,5 4,0 Nesse caso, como n = 10 (par), a mediana será a média entre o 5º e o 6º dados, pois 10 = 5 e 10+ = 6. Assim: 3,1 + 3, Me = = 3,15 Assim, Me = 3,15, ou seja, o peso mediano é 3,15 kg. Importante: Observe que os dados já estão em ordem crescente. Caso isso não aconteça, devemos primeiro colocar os dados em ordem crescente, para depois determinar o valor da mediana. Importante: Observe ainda que a Mediana não é influenciada por valores extremos (é uma medida robusta). Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência sem intervalos de classe, usaremos a mesma técnica que utilizamos no caso dos dados não agrupados, para determinar a posição da mediana. Depois de determinada a posição da mediana, basta tomar como referência a primeira frequência acumulada que ultrapasse essa posição. O dado correspondente à essa frequência acumulada será a mediana. Exemplos: - 3 -

4 a) Dada a distribuição: Como n = 11, n é impar, logo a mediana (Me) será o elemento de posição: n + 1 = Será, portanto, o 6º dado. Para identifica-lo, a partir da distribuição dada, construímos a coluna Fi das frequências acumuladas, somando as frequências simples fi até cada linha (1; 1+3=4; 1+3+5=9 e =11). A primeira frequência acumulada que ultrapassar o número 6 corresponde à linha que contém o 6º dado. Assim, = 6º O valor do dado xi que se encontra nessa linha será o valor da mediana. No nosso exemplo, temos Me = 3 Importante: Observe que a mediada é o xi correspondente à classe que contiver a ordem calculada. b) Seja: Como n = 4, n é par, logo a mediana (Me) será a média entre os elementos de posição: e n + n = 4 = 1º = 4 + = º Como no exemplo anterior, identificam-se os elementos de ordem 1 e pela frequência acumulada: Assim, o 1º corresponde a 87 e o º corresponde a 87. Então, - 4 -

5 Me = = 87 Me = 87 ATENÇÃO: é preciso ter cuidado quando, numa quantidade par de dados, as posições n forem correspondentes a duas linhas diferentes da tabela dada. Quando isso acontecer, os dados xi utilizados para calcular a mediana serão diferentes. Isso vai acontecer quando a posição n corresponder a um valor exato da coluna das frequências acumuladas (Fi), e a posição n+ corresponder a linha seguinte. e n+ MODA (Mo) Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. Desse modo, por exemplo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria. De acordo com o comportamento das observações, podemos ter: o Conjunto amodal: não existe moda, pois todos os valores do conjunto ocorrem com a mesma frequência. Por exemplo, no conjunto,, 3, 3, 4, 4, 7, 7, 5 e 5, todos os elementos têm a mesma frequência (). o o o Conjunto modal (ou unimodal): existe uma única moda. Por exemplo, a moda do conjunto 3, 4, 4, 8, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 9, 4, 3 e 6, é Mo = 4. Conjunto bimodal: existem duas modas. Por exemplo, o conjunto 3, 5, 5, 5, 5, 10, 10, 10, 10 e 15, é bimodal, pois possui duas modas, Mo = 5 e Mo = 10. Conjunto multimodal: existem mais de duas modas. Por exemplo, o conjunto,,, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 8, 9 e 10, é multimodal, pois possui três modas, Mo =, Mo = 5 e Mo = 8. Por exemplo, vamos retomar o caso dos pesos ao nascer, em Kg, de 10 cordeiros, dados a seguir:,1,8,9 3,0 3,1 3, 3, 3, 3,5 4,0 Observamos que Mo = 3,, ou seja, a moda é o peso de 3, Kg. (unimodal) Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência sem intervalos de classe, a moda será o dado (xi) que corresponde à maior frequência (fi). Assim, por exemplo, para a distribuição a moda será 45, pois corresponde à maior frequência, que é 17. Então, Mo =

6 VARIÂNCIA (V) Dado um conjunto de dados, a variância é uma medida de dispersão que mostra o quão distante cada valor desse conjunto está do valor central (média). Quanto menor é a variância, mais próximos os valores estão da média; mas quanto maior ela é, mais os valores estão distantes da média. Considere que x 1, x,, x n são os n elementos de uma amostra e que x é a média aritmética desses elementos. O cálculo da variância amostral (V) é dado por: V = n i=1 (x i x ) n 1 Se quisermos calcular a variância populacional (V), consideraremos todos os elementos da população, e não apenas de uma amostra. Nesse caso, o cálculo possui uma pequena diferença. Observe: V = n i=1 (x i x ) n DESVIO PADRÃO (DP) O desvio padrão é capaz de identificar o erro em um conjunto de dados, caso quiséssemos substituir um dos valores coletados pela média aritmética. O desvio padrão aparece junto à média aritmética, informando o quão confiável é esse valor. Ele é apresentado pelo intervalo: [x DP; x + DP] O cálculo do desvio padrão é feito a partir da raiz quadrada positiva da variância, ou seja: DP = V Vamos agora aplicar o cálculo da variância e do desvio padrão em um exemplo: Considere que, em uma escola, a direção decidiu observar a quantidade de alunos que apresentam todas as notas acima da média em todas as disciplinas. Para tanto, considerou a amostra de uma turma do 9º ano do Ensino Fundamental, ao longo de um ano. Os dados obtidos foram: Quantidade de alunos acima da média 9º ano 1º Bimestre º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre Para facilitar os cálculos, vamos dispor os dados coletados em uma tabela, sempre com a seguinte estrutura: nº de alunos (x i ) (x i x ) (x i x ) - 6 -

7 Inicialmente, calculamos a média: x = x i n = 34 4 = 8,5 Com o valor da média, calculamos a segunda coluna da tabela, fazendo dado menos média (observe que a soma dessa coluna (x i x ) será sempre igual a zero. nº de alunos (x i ) (x i x ) 8 8 8,5 = 0, ,5 = 4, ,5 = 0, ,5 = 4,5 TOTAL 34 0 (x i x ) Agora, tomamos os resultados da coluna (x i x ) e elevamos cada um deles ao quadrado, preenchendo a terceira coluna da tabela: nº de alunos (x i ) (x i x ) (x i x ) 8 8 8,5 = 0,5 ( 0,5) = 0, ,5 = 4,5 (4,5) = 0, ,5 = 0,5 (0,5) = 0, ,5 = 4,5 ( 4,5) = 0,5 TOTAL Com a tabela preenchida e os totais calculados, podemos calcular a variância, lembrando que, nesse caso, trata-se de uma amostra: V = n i=1 (x i x ) n 1 V = V = 41 3 V = 13,67 Conhecida a variância, vamos calcular agora o desvio padrão: DP = V DP = 13,67 DP = 3,7-7 -

8 EXERCÍCIOS 01. Ano: 008 / Banca: CESPE / Órgão: TJ-DFT A tabela acima apresenta a distribuição de frequência absoluta das notas dadas por 15 usuários de um serviço público, em uma avaliação da qualidade do atendimento. Considerando essas informações, julgue os próximos itens. A média, a moda e a mediana dos valores apresentados na tabela são superiores a,8 e inferiores a 3,3. 0. Ano: 010 / Banca: CESGRANRIO / Órgão: IBGE A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências das idades de um grupo de crianças. A média das idades dessas crianças, em anos, é a) 5,0 b) 5, c) 5,4 d) 5,6 e) 5,8 03. Ano: 010 / Banca: CESGRANRIO / Órgão: IBGE (MESMO TEXTO DA QUESTÃO 0) A mediana da distribuição de frequências apresentada é a) 5,5 b) 5,6 c) 5,7 d) 5,8 e) 5,9 04. Ano: 016 Banca: ESAF Órgão: ANAC Os valores a seguir representam uma amostra Então, a variância dessa amostra é igual a a) 4,0 b),5. c) 4,5. d) 5,5 e) 3,0 05. Ano: 010 Banca: CESGRANRIO Órgão: BNDES Em uma pesquisa de preços de determinado produto, foram obtidos os valores, em reais, de uma amostra aleatória colhida em 6 estabelecimentos que o comercializam. A variância dessa amostra é a) 1,50 b) 1,75 c),00 d),5 e), Ano: 010 Banca: FGV Órgão: SEAD-AP Os dados a seguir são as quantidades de empregados de cinco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 6. A variância da quantidade de empregados dessas cinco empresas é igual a: a) 0,8 b) 1, c) 1,6 d),0 e),4-8 -

9 07. Ano: 010 Banca: CESGRANRIO Órgão: IBGE No último mês, Alípio fez apenas 8 ligações de seu telefone celular cujas durações, em minutos, estão apresentadas no rol abaixo O valor aproximado do desvio padrão desse conjunto de tempos, em minutos, é a) 3,1 b),8 c),5 d), e),0 08. Ano: 009 Banca: CESPE Órgão: CEHAP-PB O custo médio nacional para a construção de habitação com padrão de acabamento normal, segundo levantamento realizado em novembro de 008, foi de R$ 670,00 por metro quadrado, sendo R$ 400,00/m relativos às despesas com materiais de construção e R$ 70,00/m com mão-de-obra. Nessa mesma pesquisa, os custos médios regionais apontaram para os seguintes valores por metro quadrado: R$ 700,00 (Sudeste), R$ 660,00 (Sul), R$ 670,00 (Norte), R$ 640,00 (Centro-Oeste) e R$ 630,00 (Nordeste). Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção Civil. SINAPI/IBGE, nov./008 (com adaptações). O desvio padrão dos custos médios regionais por metro quadrado foi a) inferior a R$ 30,00. b) superior a R$ 30,01 e inferior a R$ 40,00. c) superior a R$ 40,01 e inferior a R$ 50,00. d) superior a R$ 50,01. RESPOSTAS 01) C 0) C 03) A 04) C 05) C 06) B 07) B 08) A - 9 -

10 QUESTÕES DE PROVAS PRF 01. CESPE - PRF/PRF/008 Ficou pior para quem bebe O governo ainda espera a consolidação dos dados do primeiro mês de aplicação da Lei Seca para avaliar seu impacto sobre a cassação de CNHs. As primeiras projeções indicam, porém, que as apreensões subirão, no mínimo, 10%. Antes da vigência da Lei Seca, eram suspensas ou cassadas, em média, aproximadamente CNHs por ano. Se as previsões estiverem corretas, a média anual deve subir para próximo de A tabela a seguir mostra esses resultados nos últimos anos (fonte: DENATRAN). Veja, ed..07, 6/8/008, p. 51 (com adaptações). Para que a média de CNHs suspensas ou cassadas, de 003 a 008, atinja o valor previsto de , será necessário que, em 008, a quantidade de CNHs suspensas ou cassadas seja um número a) inferior a b) superior a e inferior a c) superior a e inferior a d) superior a e inferior a e) superior a CESPE - PRF/PRF/003 O gráfico acima ilustra o número de acidentes de trânsito nos estados do Acre, Mato Grosso do Sul, Amazonas, Espírito Santo e Minas Gerais, no ano de 001. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. A média aritmética de acidentes de trânsito nos cinco estados citados é superior a CESPE - AA (PRF)/PRF/01 A tabela acima mostra a distribuição da quantidade Q de pessoas transportadas, incluindo o condutor, por veículo de passeio circulando em determinado município, obtida como resultado de uma pesquisa feita nesse município para se avaliar o sistema de transporte local. Nessa tabela, P representa a porcentagem dos veículos de passeio circulando no município que transportam Q pessoas, para Q = 1,..., 5. Com base nessas informações, julgue o seguinte item. 5 5 Em média, cada veículo de passeio que circula no referido município transporta duas pessoas. Portanto, se, em determinado momento, houver 10 mil veículos circulando nesse município, a quantidade esperada de pessoas que estão sendo transportadas por todos esses veículos, incluindo-se os condutores, será igual a 0 mil Q P (%)

11 04. CESPE - PRF/PRF/003 O gráfico acima ilustra o número de acidentes de trânsito nos estados do Acre, Mato Grosso do Sul, Amazonas, Espírito Santo e Minas Gerais, no ano de 001. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. Se, no ano de 004, com relação ao ano de 001, o número de acidentes de trânsito no Acre crescesse 10%, o do Mato Grosso do Sul diminuísse 0%, o do Amazonas aumentasse 15% e os demais permanecessem inalterados, então a média aritmética da série numérica formada pelo número de acidentes de trânsito em cada estado, em 004, seria maior que a mediana dessa mesma série. ( )Certo ( ) Errado 05. CESPE - PRF/PRF/013 Considerando os dados apresentados no gráfico, julgue o item seguinte. A média do número de acidentes ocorridos no período de 007 a 010 é inferior à mediana da sequência de dados apresentada no gráfico. 06. CESPE - AA (PRF)/PRF/01 A tabela acima mostra a distribuição da quantidade Q de pessoas transportadas, incluindo o condutor, por veículo de passeio circulando em determinado município, obtida como resultado de uma pesquisa feita nesse município para se avaliar o sistema de transporte local. Nessa tabela, P representa a porcentagem dos veículos de passeio circulando no município que transportam Q pessoas, para Q = 1,..., 5. Com base nessas informações, julgue o seguinte item. Como a moda da distribuição descrita representa a maior frequência observada, seu valor é igual a 50%. Q P (%) CESPE - PRF/PRF/003 O gráfico acima ilustra o número de acidentes de trânsito nos estados do Acre, Mato Grosso do Sul, Amazonas, Espírito Santo e Minas Gerais, no ano de 001. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. Se, no ano de 004, com relação ao ano de 001, o número de acidentes de trânsito no Acre passasse para.500, o número de acidentes de trânsito no Espírito Santo fosse reduzido para , o de Minas Gerais fosse reduzido para e os demais permanecessem inalterados, então o desvio-padrão da série numérica formada pelo número de acidentes de trânsito em cada estado em 004 seria superior ao desvio-padrão da série numérica formada pelo número de acidentes de trânsito em cada estado em

12 08. CESPE - AA (PRF)/PRF/01 A tabela acima apresenta as estatísticas produzidas em um levantamento acerca do número diário de acidentes que envolvem motocicletas em determinado local. Com base nessas informações, julgue o próximo item. A variância da distribuição do número diário de acidentes com motocicletas no referido local é inferior a 100. VALOR ESTATÍSTICA (acidentes por dia) Média 10 Mediana 8 Desvio padrão 1 Primeiro quartil 5 Terceiro quartil CESPE - PRF/PRF/003 O gráfico acima ilustra o número de acidentes de trânsito nos estados do Acre, Mato Grosso do Sul, Amazonas, Espírito Santo e Minas Gerais, no ano de 001. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. Se, no ano de 004, com relação ao ano de 001, o número de acidentes de trânsito em cada um dos estados considerados aumentasse de 150, então o desvio-padrão da série numérica formada pelo número de acidentes de trânsito em cada estado em 004 seria superior ao desviopadrão da série numérica formada pelo número de acidentes de trânsito em cada estado em 001. RESPOSTAS 01) D 0) C 03) C 04) C 05) E 06) E 07) E 08) E 09) E - 1 -