Análise Descritiva de Dados

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Nathalie Luiza Franca Paixão
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1 Análise Descritiva de Dados Resumindo os dados de variáveis quantitativas Síntese Numérica

2 Descrição e Apresentação de Dados Dados Ferramentas Análise Descritiva e Exploratória Tabelas Gráficos organizar resumir Medidas de Síntese Númerica identificar o elemento típico quantificar a variabilidade

3 Como resumir os dados de uma variável quantitativa? Síntese Númerica Medidas de Tendência Central Medidas de Variabilidade Identificam o elemento típico do conjunto de dados. Quantificam a dispersão (variabilidade) dos dados em torno do elemento típico.

4 Medidas de Tendência Central Se todas as seis pessoas tivessem o mesmo peso, qual deveria ser este valor para não exceder a carga máxima permitida? O peso médio deve ser de 70 Kg. Média Aritmética

5 Medidas de Tendência Central Qual é o valor de peso que separa a metade mais leve da metade mais pesada no elevador? O peso mediano é 65 Kg Mediana

6 Medidas de Tendência Central Qual é peso mais frequente dentre os ocupantes do elevador? A moda de peso é 55 Kg Moda

7 Média Aritmética Simples Alguma Notação n x i xi X número de indivíduos no conjunto de dados valor da i-ésima observação do conjunto de dados, i = 1, 2, 3,..., n soma de todas as observações da amostra (a letra grega Σ é o símbolo que indica soma). é o símbolo usado para representar a média aritmética simples. X = Soma de todas as observações da amostra tamanho da amostra = x i n

8 Média Aritmética Simples No conjunto de dados ( 3 ; 4.5 ; 5.5 ; 2.5 ; 1.3 ; 6 ), temos n = 6, x 1 = 3 x 2 = 4.5 x 3 = 5.5 x 4 = 2.5 x 5 = 1.3 x 6 = 6 x i = = 22.8 e 22.8 X = = Identifica qual seria contribuição típica de cada elemento do conjunto de dados se todos contribuíssem igualmente.

9 Mediana n é ímpar Existe um só valor do meio Dados ( 2 ; 3.3 ; 2.5 ; 5.6 ; 5 ; 4.3 ; 3.2 ). Ordenando os valores (2 ; 2.5 ; 3.2 ; 3.3 ; 4.3 ; 5 ; 5.6). O valor do meio é o 3.3. A mediana é o valor 3.3. n é par Existem dois valores do meio Dados ( 3 ; 4.5 ; 5.5 ; 2.5 ; 1.3 ; 6 ). Ordenando os valores (1.3 ; 2.5 ; 3 ; 4.5 ; 5.5 ; 6) Os valores do meio são 3 e 4.5. A mediana é ( )/2 = Valor que divide o conjunto de dados ordenados em duas partes com o mesmo número de observações.

10 1,8 Moda 1,3 0, Conjunto de dados unimodal 1,8 Valor mais frequente do conjunto de dados 1,3 0, Conjunto de dados bimodal 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1, Conjunto de dados amodal

11 Média versus Mediana A Média Aritmética é muito influenciada pela presença de valores extremos no conjunto de dados A Mediana é mais robusta à presença destes valores discrepantes Exemplo: conjunto de dados (2, 2.25, 3.5, 3.75, 4, 9). A média é 4.08 e a mediana é Sem o valor 9, a média é 3.10 e a mediana é 3.5.

12 Média versus Mediana Representação gráfica do salário dos funcionários de uma empresa (em salários-mínimos) [Reis e Reis, 2001] Situação I: dados completos: Média = 24.6 SM Mediana = 4 SM Situação II: sem os quatro valores mais altos: Média = 9.8 SM Mediana = 3 SM

13 Moda versus Mediana e Média Exemplo: Considere uma pesquisa de opinião na qual foi perguntado a 26 pessoas de baixa renda: Incluindo crianças e adultos, que tamanho de família você acha ideal? Tamanho ideal da família Freqüência da resposta Média = Mediana = 6 pessoas Modas = 3 e 8 pessoas 10 [Reis e Reis, 2001]

14 Forma da distribuição de freqüências e as posições relativas das medidas de tendência central. Simétrica moda = mediana = média Assimétrica com concentração à esquerda moda < mediana < média Assimétrica com concentração à direita moda > mediana > média

15 Resumindo: Medidas de Tendência Central Média Aritmética Mediana Identifica qual seria contribuição típica de cada elemento do conjunto de dados se todos contribuíssem igualmente. Valor que divide o conjunto de dados em duas partes com o mesmo número de observações. Moda Valor mais frequente do conjunto de dados

16 Medidas de Variabilidade Identificar o elemento típico de um conjunto de dados não é suficiente para caracterizá-lo. Dois conjuntos de dados podem ter o mesmo elemento típico, mas serem diferentes um do outro. É necessário quantificar a dispersão em torno do elemento típico, ou seja, quantificar a variabilidade de um conjunto de dados.

17 O experimento das balanças: duas balanças pesam repetidamente uma esfera de 1000 gramas Balança A Balança B Peso (em gramas) [Reis e Reis, 2001]

18 Como quantificar as diferenças entre as medições das duas balanças? Alternativa: diferença entre o valor máximo e o mínimo das medições. Balança A: 1040g 945g = 95g Balança B: 1095g 895g = 200g. AT = Máximo Mínimo Amplitude Total

19 A Amplitude Total é uma medida simples de variabilidade, porém é muito grosseira AT 1 = = 98 AT 2 = = 98 Só considera os extremos do conjunto de dados

20 Precisamos de uma medida de dispersão que considere todos os elementos do conjunto de dados ( x x) i n i= 1 ( x x) i n Medida de distância mais simples entre dois valores Distância típica de cada elemento até o valor médio Idéia: usar a distância de cada elemento até o elemento típico do conjunto de dados

21 n Problema: ( x x) é sempre zero i= 1 i Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 X i Soma Média 40/10 = 4

22 n Problema: ( x x) é sempre zero Solução: eliminar o sinal dos desvios negativos Como: elevando todos os desvios ao quadrado i= 1 Soma i Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 X i ( x x) Média 40/10 = 4 0/10 = 0 i

23 Nova medida de dispersão n i= 1 ( x x) i n 1 variância 2 Soma Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 2 X i ( x x) Média 40/10 = 4 0/10 = 0 39/9 = 0.43 i ( x x) i

24 2 Problema: ( x x) ( n 1) é uma média de i= 1 desvios ao quadrado n i Unidade de medida foi alterada cm cm 2 pessoas pessoas 2 (!!) toneladas toneladas 2 (!!) Solução: voltar às unidades originais usando a operação inversa raiz quadrada n i= 1 ( x x) i n 1 2 Desvio-Padrão

25 O Desvio-Padrão representa o desvio típico dos elementos do conjunto de dados até seu centro (a média) No exemplo anterior: (1.0, 1.5, 2.0, 3.5, 4.0, 4.0, 4.5, 6.0, 6.5, 7.0) Média = Desvio-Padrão: s = = 4.3 = O Desvio-Padrão (s) será usado como padrão de desvio Exemplo: o valor 5.0 está longe ou perto do valor típico do conjunto de dados? = 1.0 = O valor 5.0 está 0.48 desvios-padrão acima da média

26 Para que serve o Desvio-Padrão? O Desvio-padrão serve para quantificar a variabilidade de um conjunto de dados; a distância entre um elemento e o valor típico de seu grupo.

27 1/2 Voltandoaoexemplodas balanças 10 medições da balança A medições da balança B A B Peso (em gramas)

28 2/2 Voltandoaoexemplodas balanças ( ) X A = = gramas 10 ( ) XB = = gramas 10 ( 2 ) 2 ( ) ( ) ) s A = = gramas 9 ( 2 ) 2 ( ) ( ) ) s B = = gramas

29 Questão: correr 431m a mais do que a média do grupo é bom ou muito bom? s =327 metros Média do grupo = 1558 m Meu desempenho = 1989 m 1989 m 1558 m = 431m s =550 metros = Muito bom! = 0.78 Bom

30 Regra do Desvio-Padrão para Dados com Distribuição Simétrica [Reis e Reis, 2001]

31 Um desvio-padrão igual a 10 é grande ou pequeno? s=10 significa muita dispersão se X=100 s=10 significa pouca dispersão se X= (10%) 100 = = 0.01 (1%) Para termos idéia da magnitude do valor do desvio-padrão, é necessário verificar o quanto ele ocupa da escala de medida, representada pela média.

32 Coeficiente de Variação (CV) CV = S X O Coeficiente de Variação não tem unidade de medida Podemos usar o CV para comparar a variabilidade (dispersão) de grupos diferentes e até de variáveis diferentes

33 Comparando a homogeneidade de grupos e variáveis diferentes Duhn, 2001

34 Para compreender melhor Caderno de Exercícios Exercícios da Seção 2 Exercícios 2.7, 2.9 (letras a e b), 2.11, 2.12 (letras a.1 e b), 2.13 (letra a.1), 2.14 (letra a)

35 Como fazer usando o R? Cálculo das Medidas-Resumo formigas <- read.table("formigas.txt",header=t) Media.especies <- mean(formigas$riqueza) Mediana.especies <- median(formigas$riqueza) DesvioPadrao.especies <- sd(formigas$riqueza) CV.Especies <- DesvioPadrao.especies / Media.especies

36 Como fazer usando o R? Cálculo das Medidas-Resumo formigas.floresta <- formigas$riqueza[formigas$habitat=="floresta"] formigas.pantano <- formigas$riqueza[formigas$habitat=="pantano"] Media.Floresta <- mean(formigas.floresta) Mediana.Floresta <- median(formigas.floresta) DesvioPadrao.Floresta <- sd(formigas.floresta) CV.Floresta <- DesvioPadrao.Floresta / Media.Floresta

37 Como fazer usando o R? Cálculo das Medidas-Resumo Media.Pantano <- mean(formigas.pantano) Mediana.Pantano <- median(formigas.pantano) DesvioPadrao.Pantano <- sd(formigas.pantano) CV.Pantano <- DesvioPadrao.Pantano / Media.Pantano Media.Pantano ; Media.Floresta Mediana.Pantano ; Mediana.Floresta DesvioPadrao.Pantano ; DesvioPadrao.Floresta CV.Pantano ; CV.Floresta

38 Fim da quarta aula Análise Descritiva de Dados: Resumindo os Dados de Variáveis Quantitativas Próxima Aula Análise Descritiva de Dados: Medidas de Posição

39 Referências Bibliográficas DUHN, P. (2001) Datasets for Statistical Analysis. Disponível em: colates.html REIS, E.A.; REIS, I.A. (2001) Análise Descritiva de Dados- Tabelas e Gráficos, Relatório Técnico do Departamento de Estatística da UFMG. Disponível em:

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