Medidas de Dispersão. Prof.: Joni Fusinato

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Patrícia Fragoso Clementino
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1 Medidas de Dispersão Prof.: Joni Fusinato 1

2 Dispersão Estatística As medidas de posição (média, mediana, moda) descrevem características dos valores numéricos de um conjunto de observações em torno de um ponto de equilíbrio dos dados. Nenhuma delas informa sobre o grau de variação ou dispersão dos valores observados em relação a média. Em um grupo de dados os valores numéricos não são necessariamente semelhantes e apresentam desvios em relação a tendência central, usualmente, a média aritmética. As medidas de dispersão quantificam a variação dos dados em relação a média e qual o seu grau de representatividade

3 Exemplo: Duas linhas de produção fabricam as mesmas peças cujo comprimento deve ser de 75 cm. Fazendo medições periódicas verifica-se que as linhas estão produzindo peças com medidas próximas desse valor. As peças produzidas por ambas as linhas estão adequadas? Está evidente que as peças produzidas pela 1ª linha de produção são melhores que a 2ª linha pois a dispersão das medidas em torno da média é menor. 3

4 4

5 Amplitude (R - range) Diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados. Ignora como os dados estão distribuídos. Amplitude = X i máximo X i mínimo Exemplo: Consideremos o conjunto de dados ordenado: 60, 65, 67, 68, 69 70, 72, 77 Como o valor máximo do conjunto é 77 e o valor mínimo é 60, temos que a amplitude é: R = = 17 5

6 Desvio médio simples Mede o afastamento dos dados em relação à média. Representa a média das distâncias entre cada elemento da amostra e seu valor médio. Calculo o desvio médio (Dm): 21.23

7 Variância Medida de dispersão estatística que indica "o quão longe" em geral os valores se encontram do valor esperado (média). Símbolos: σ variância populacional s variância amostral Variância populacional: usada quando for possível observar todos os dados que compõem o universo que desejamos analisar. Variância da Amostra: aplica-se a uma série que se trata de uma amostra de um conjunto muito maior. Portanto a variância da amostra refere-se a parcela de dados retirados de um grande universo da qual desejamos obter informações e/ou conhecimento.

8 Variância Média aritmética dos quadrados dos desvios. Populacional Amostral

9 Vantagens Variância (Var, σ 2, s 2 ) Maior sensibilidade ao grau de desvio na distribuição. Importante na inferência estatística. Trabalha com valores absolutos. Desvantagens: Uso restrito na estatística descritiva pois não é expressa nas mesmas unidades dos dados originais. Apresenta unidade de medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados originais.

10 Desvio padrão (dp, σ, s) Desvio padrão populacional (representado pela letra grega σ) é uma medida de dispersão em torno da média populacional de uma variável aleatória. Desvio padrão amostral (representado pela letra s) indica uma medida de dispersão dos dados em torno da média amostral. Um baixo desvio padrão indica que os pontos dos dados tendem a estar próximos da média ou do valor esperado. Um alto desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados por uma ampla gama de valores

11 Usado em diferentes áreas como: Biologia, Saúde, Finanças, Física e pesquisas em geral. Em geral, apenas os efeitos de dois desvios padrão distantes do esperado são considerados estatisticamente significativos. 11

12 Bolsa de Valores - Análise gráfica: Desvio Padrão O desvio padrão é uma medida de volatilidade, e geralmente está na composição de outros indicadores (como as Bandas de Bollinger).

13 Cálculo do Desvio Padrão Populacional Amostral 13

14 Desempenho escolar entre dois estudantes Observe as notas escolares do Alexandre e da Camila. dois obteve notas mais estáveis em relação à média? Qual dos Português Matemática Física Química Biologia Média Alexandre 7,0 10,0 6,0 Camila 7,5 6,0 7,0 8,0 6,5 4,0 8,0 7,0 7,0

15 Cálculo da variância das notas do Alexandre Alexandre Nota Nota - Média Quadrado Português Matemática Física Química Biologia Média 7,0 10,0 6, ,0 1 4,0-3 7,0 Soma = Variância Média dos quadrados

16 Cálculo da variância das notas da Camila Camila Nota Nota - Média Quadrado Português Matemática Física Química Biologia Média 7,5 6,0 7,0 8,0 7,0 0, ,5-0,5 1 Soma = 0 0, ,25 1 0,5 Variância Média dos quadrados

17 Cálculo do Desvio Padrão das notas do Alexandre e da Camila

Variância e desvio padrão para dados agrupados Exemplo: Uma indústria produz 5.000 esferas de aço por minuto. Foram coletadas 100 esferas para verificação.

18 Variância e desvio padrão para dados agrupados Exemplo: Uma indústria produz esferas de aço por minuto. Foram coletadas 100 esferas para verificação. Determinar a média e o desvio padrão da distribuição dos diâmetros das esferas coletadas. (em mm) Quantidade (f i ) 1,1 12 1,2 27 1,3 35 1,4 20 1,5 6 Total 100 Quando os valores estão agrupados sem intervalos de classe, utiliza-se para a variância a média aritmética ponderada dos quadrados dos desvios Var

19 Cálculo da média aritmética ponderada da distribuição: Para determinar o desvio padrão, vamos construir uma tabela, a seguir: (em mm) Esferas (f i ) (x i x) (x i x) 2 f i (x i x) 2 1,1 12 0,181 0, , ,2 27 0,081 0, , ,3 35 0,019 0, , ,4 20 0,119 0, , ,5 6 0,219 0, , f i = 100 [f i (x i x) 2 ]= 1,

20 Variância e desvio padrão para dados agrupados Cálculo da variância: Cálculo do desvio padrão: O diâmetro médio das esferas é 1,281 mm e o desvio padrão é de ± 0,107 mm. ( = 1,282 0,107) mm. Fabricação de Granalha:

21 Exercício resolvido Variância e desvio padrão para dados agrupados Exemplo: A tabela relaciona o tempo de auditoria para verificar 50 balanços contábeis. Calcule o tempo médio para se realizar essa atividade e o Desvio Padrão. Tempo (min) Balanços (f i ) Quando os valores estão agrupados em intervalos de classe, para se obter a variância e o desvio padrão, calcula-se os pontos médios de cada intervalo e, em seguida, fazemos: X i = Ponto Médio da classe Var

22 Determina-se o ponto médio de cada intervalo e calcula-se a média. Tempo de auditoria Número de balanços (f i ) PM i (PM i x) (PM i x) 2 f i (PM i x) ,2 795, , ,2 331, , ,2 67,24 672, ,8 3,24 38, ,8 139, ,8 f i = 50 [f i (PM i x) 2 ] = 7.538

23 Com os dados da tabela encontra-se a variância e o desvio padrão. Var 150, 76 12,3 Em média o tempo para análise de cada balanço é de 43,2 12,3 min.

Atividades 1) O número de acidentes em um trecho de uma rodovia foi computado mês a mês durante o 1 o semestre de 2017.

24 Atividades 1) O número de acidentes em um trecho de uma rodovia foi computado mês a mês durante o 1 o semestre de Veja os dados obtidos: 20; 14; 15; 20; 27 e 30. Calcule a média de acidentes a cada mês e seu respectivo desvio padrão. s 34 5,83 Ocorreram em média 21 5,8 acidentes 21.29

25 2) Uma empresa de turismo registrou o número de viagens intermunicipais mensais realizadas por clientes de um programa de fidelidade: Viagens Mensais Número de Clientes a) Calcule o desvio padrão; b) Que informação temos quanto ao número de viagens realizadas pelos clientes dessa empresa? a) = 3,17 3 viagens b) Os clientes do programa de fidelidade entrevistados realizam em média 15 ± 3 viagens intermunicipais mensalmente.

26 3) Calcule a média, a variância e o desvio padrão de cada sequência dada. a) 7, 5, 6, 6, 4, 6, 8, 6, 9 e 3. b) 7, 5, 11, 8, 3, 6, 2, 1, 9 e 8 c) 64, 49, 54, 64, 97, 66, 76, 44, 71 e 89 d) 70,72, 71, 55, 60, 62, 46, 77, 86 e 71. Quais das amostras apresentam maior estabilidade?

27 Coeficiente de Variação (CV) ou desvio-padrão relativo Mede a dispersão em termos relativos a seu valor médio. Quanto menor for o valor do coeficiente de variação, mais homogêneos serão os dados, ou seja, menor será a dispersão em torno da média. De uma forma geral, se o CV: For menor ou igual a 15% baixa dispersão: dados homogêneos For entre 15 e 30% média dispersão For maior que 30% alta dispersão: dados heterogêneos. Usado em campos como engenharia e física quando se fazem estudos de garantia de qualidade e avaliações de repetitividade e reprodutibilidade. 27

28 Coeficiente de Variação (CV) ou desvio-padrão relativo 28

29 Exemplo: Desempenho Escolar Alexandre Camila Média 7,0 7,0 Desvio Padrão 2 0,71 C.V 28,57% 10,14% Conclusão: em relação a média, as notas do Alexandre são, aproximadamente, três vezes mais dispersas que as notas da 29 Camila.

30 Como calcular média e desvio padrão com a calculadora Casio FX-82MS 30

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