Medidas de Centralidade

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Alícia Vilalobos
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1 Medidas de Centralidade Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha de abril de 2018 Londrina 1 / 26

2 São utilizadas para sintetizar, em um único número, o conjunto de dados observados da variável em estudo; Usualmente emprega-se uma das seguintes medidas de posição (ou localização) central: ; ;. 2 / 26

3 aritmética simples A medida mais utilizada para descrever resumidamente um conjunto de dados, tabelados ou não, é a média aritmética simples. Definição Soma das observações dividida pelo número delas: µ = N i=1 y i N ( Populacional) n i=1 ȳ = y i ( Amostral) n em que y i é o valor observado do i-ésimo indivíduo, N e n é o tamanho da população e da amostra, respectivamente. 3 / 26

4 Exemplo 1 Os pesos, em kg, de 10 coelhos da raça Nova Zelândia Branco foram anotados, obtendo-se os seguintes valores: Qual o peso médio dos coelhos? 3,7 3,8 4,8 5,1 3,9 4,1 4,2 4,0 4,5 5,0 4 / 26

5 aritmética ponderada Definição A média aritmética é considerada ponderada se os valores observados tiverem pesos diferentes: ȳ = n i=1 y ip i n i=1 p i em que y i é o valor observado do i-ésimo indivíduo e p i é seu respectivo peso. 5 / 26

6 Exemplo 2 Do plano de ensino da disciplina Iniciação à Estatística aplicada à Zootecnia, tem-se que os pesos das provas P 1, P 2 e P 3 são p 1 = 1, p 2 = 2 e p 3 = 3, respectivamente. Assim, pede-se: a) Se um aluno obteve as seguintes notas: P 1 = 8, P 2 = 5 e P 3 = 8, qual será sua média final? b) Sabendo que a média mínima para o aluno ser aprovado é 6,0 e supondo que um aluno obteve P 1 = 7 e P 2 = 5, qual deve ser a nota mínima da última prova para ser aprovado na disciplina? 6 / 26

7 Dados agrupados Definição A média aritmética, para dados agrupados com intervalos nas classes, nada mais é que uma média ponderada: ȳ = k i=1 y in i k i=1 n i em que y i é o valor médio da i-ésima classe e n i é a frequência absoluta da i-ésima classe. 7 / 26

8 Exemplo 3 Considere os dados da tabela de distribuição de frequências abaixo: Tabela 1: Distribuição dos pesos (kg) de 30 cães da raça Pastor Alemão. Peso n i f i , , , , , ,17 TOTAL 30 1,000 Qual é o peso médio dessa amostra de cães? 8 / 26

9 Exemplo 4 Considere os dados da tabela de distribuição de frequências abaixo: Tabela 2: Distribuição do número de filhotes de cadelas submetidas a inseminação artificial no Hospital Veterinário da UEL em n o de filhotes n i f i 0 1 0, , , , , ,07 TOTAL 30 1,0000 Qual o número médio de filhotes dessas cadelas? 9 / 26

10 É uma quantidade que, como a média, também procura caracterizar o centro da distribuição de frequências; É a medida que ocupa a posição central do conjunto de dados, ou seja, 50% das observações estão a cima da mediana e 50% estão a baixo.; Para determinar a mediana é preciso ordenar os dados e em seguida verificar se o n é par ou ímpar. 10 / 26

11 Se n ímpar Definição M d = y ( n+1 2 ) em que y ( n+1 ) é o valor do elemento que se encontra na posição n Exemplo 5 Os pesos, em kg, de 11 coelhos da raça Nova Zelândia Branco foram anotados, obtendo-se os seguintes valores: 3,7 3,8 4,8 5,1 3,9 3,5 4,1 4,2 4,0 4,5 5,0 Qual o peso mediano dos coelhos? 11 / 26

12 Se n é par Definição y ( n M d = 2) + y ( n +1) 2 2 em que y ( n 2 ) e y ( n 2 +1) são os valores dos elementos que se encontram nas posições n 2 e n Exemplo 6 Os pesos, em kg, de 10 coelhos da raça Nova Zelândia Branco foram anotados, obtendo-se os seguintes valores: 3,7 3,8 4,8 5,1 3,9 4,1 4,2 4,0 4,5 5,0 Qual o peso mediano dos coelhos? 12 / 26

13 Dados agrupados Definição A mediana, para dados agrupados com intervalos nas classes, é dada por: ( n 2 F i 1) M d = L i + em que L i é o limite inferior da classe mediana; a c é a amplitude do intervalo da classe mediana; F (i 1) é a frequência acumulada anterior à classe mediana; n i é a frequência absoluta da classe mediana. n i a c 13 / 26

14 Exemplo 7 Considere os dados da tabela de distribuição de frequências abaixo: Tabela 3: Distribuição dos pesos (kg) de 30 cães da raça Pastor Alemão. Peso n i f i , , , , , ,17 TOTAL 30 1,000 Qual é o peso mediano dessa amostra de cães? 14 / 26

15 Exemplo 8 Considere os dados da tabela de distribuição de frequências abaixo: Tabela 4: Distribuição do número de filhotes de cadelas submetidas a inseminação artificial no Hospital Veterinário da UEL em n o de filhotes n i f i 0 1 0, , , , , ,07 TOTAL 30 1,0000 Qual o número mediano de filhotes dessas cadelas? 15 / 26

16 Definição A moda, M o, é definida como o valor mais frequente do conjunto de valores observados. A moda pode ser obtida para variáveis qualitativas. Um conjunto de dados pode ser: amodal (nenhuma moda); unimodal (uma moda); bimodal (duas modas); multimodal (três ou mais modas); 16 / 26

17 Exemplo 9 O conjunto de números 1, 2, 3, 4, 5 não tem moda (amodal). Exemplo 10 Consideremos as alturas, em cm, de uma amostra de dez alunos do curso de Zootecnia: Temos que a altura modal é 178cm (M o = 178). Exemplo 11 O conjunto de números 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5 tem duas modas (bimodal), M o = 2 e M o = / 26

18 Dados agrupados Para dados agrupados com intervalos nas classes, pode-se utilizar um dos seguintes métodos: bruta É o ponto médio da classe modal (aquela que apresenta maior frequência), ou seja: L i + L s 2 18 / 26

19 Método Czuber ( ) δ1 M o = L i + a c δ 1 + δ 2 em que L i é o limite inferior da classe modal; a c é a amplitude da classe modal; δ 1 é a diferença entre a frequência absoluta da classe modal e a anterior imediata; δ 2 é a diferença entre a frequência absoluta da classe modal e a posterior imediata. 19 / 26

20 Exemplo 12 Considere os dados da tabela de distribuição de frequências abaixo: Tabela 5: Distribuição dos pesos (kg) de 30 cães da raça Pastor Alemão. Peso n i f i , , , , , ,17 TOTAL 30 1,000 Qual é o peso modal dessa amostra de cães? 20 / 26

21 Exemplo 13 Considere os dados da tabela de distribuição de frequências abaixo: Tabela 6: Distribuição do número de filhotes de cadelas submetidas a inseminação artificial no Hospital Veterinário da UEL em n o de filhotes n i f i 0 1 0, , , , , ,07 TOTAL 30 1,00 Qual o número modal de filhotes dessas cadelas? 21 / 26

22 Exemplo 14 Considere os dados da tabela de distribuição de frequências abaixo: Tabela 7: Distribuição de frequências da cor favorita. cor n i f i p i Amarelo 3 0,0370 3,70 Azul 11 0, ,74 Preto 5 0, ,52 Verde 4 0, ,81 Vermelho 4 0, ,81 TOTAL 27 1,00 100,00 Qual a cor favorita para o conjunto de dados? 22 / 26

23 É vista como ponto de equiĺıbrio dos dados; Utilizada quando a distribuição dos dados é pelo menos aproximadamente simétrica; Utilizada ser for necessário obter posteriormente outros parâmetros que podem depender da média, como por exemplo a variância, o desvio padrão, etc. 23 / 26

24 É vista como ponto médio dos dados; Utilizada quando há valores extremos; Utilizada quando deseja-se conhecer o ponto central da distribuição; Utilizada quando a distribuição dos dados é muito assimétrica. 24 / 26

25 É vista como ponto de máxima frequência dos dados; Utilizada quando a medida de interesse é o ponto mais típico ou popular dos dados; Utilizada quando precisa-se apenas de uma rápida idéia sobre a tendência central dos dados. 25 / 26

26 1 Considere os dados da tabela de distribuição de frequências abaixo: Tabela 8: Distribuição dos pesos (kg) das carcaças de bovinos. Pesos n i y i F i TOTAL Calcule a média, a mediana e a moda dos pesos das carcaças de bovinos. 26 / 26

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