2. Estatística Descritiva

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1 2. Estatística Descritiva ESTATÍSTICA Conjunto de técnicas e ferramentas que descreve, organiza, resume e interpreta as informações a partir dos dados coletados Estatística descritiva Conjunto de técnicas que permite conhecer características da população a partir das informações amostrais Estatística inferencial ESTATÍSTICA DESCRITIVA - Além da análise gráfica, a estatística descritiva possui medidas (números) que representam características típicas de um conjunto de dados. - Análise gráfica não dá todas as informações. Tabelas de frequência, gráficos: análises visuais MAS: resumo dos dados também pode ser completado por algumas medidas numéricas - MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIDAS DE DISPERSÃO MEDIDA DE POSIÇÃO (tendência central) Em geral, utilizam-se 3 medidas principais 1 MODA (Mo) Valor mais frequente de um conjunto de dados (valor mais comum) Exemplo: a) Qual a moda da idade de 5 alunos: 17,20, 18, 20 e 19? 20: distribuição unimodal Exemplo: b) Qual a moda da idade de 5 alunos: 17,20, 17, 19 e 20? 17 e 20 17, 20: distribuição bimodal Observações: 1) A moda NÃO é a frequência, mas o valor da categoria. 2) É a única medida de tendência central que dispomos para variáveis nominais. Ex.: Qual a moda das religiões no Brasil? Qual a moda das carreiras escolhidas pelos alunos? 3) Para dados agrupados (intervalos): Moda = intervalo que possui maior frequência. Ex.: Expectativa de vida em 194 países. Intervalo Frequência 60 ou menos ou mais 0 Qual a moda? Mo = 70 a 75 anos.

2 2 MÉDIA (, ) É o centro de gravidade/ponto de equilíbrio da distribuição. a) Média aritmética: Soma dos valores observados, dividida pelo número de observações. Se,,..., são valores da variável, a média aritmética é dada por: = = 1 = b) Média ponderada: Atribui pesos diferentes (importâncias diferentes) às observações = n = 1 =1 : peso da observação Exemplo: composição de um índice de preços: os produtos entram no cálculo com um determinado peso Obs.: 1) Cálculo da média com tabela de frequência - = for a frequência relativa da observação = =1 -se os dados forem apresentados por classes (intervalos), assume o ponto médio do intervalo (= valor representativo da classe). : com frequência =56 =56 =72,5 2) A média é uma medida pouco resistente, ou seja, é sujeita à influência de valores extremos. 3 MEDIANA (()) Separa a distribuição em duas partes iguais. Útil quando a média é afetada por valores externos distribuição assimétrica 1) Cálculo da mediana, para valores não agrupados (não intervalares) 1) Ordenar os dados de forma crescente Ex: 37, 10, 4, 18, 29 4, 10, 18, 29, 37 2) Encontrar a posição mediana = +, -, =3 Buscar dados na 3º posição () =18 E se 0 for par: 4,10,18,29,37,40 0 =6 Mediana = média dos dois valores intermediários +, =3,5 usa posição 3 e 4 () = 2,3 =23,5

3 2) Cálculo da mediana, para valores agrupados (em intervalos) Ex.: Expectativa de vida (pág. 1) 1) Identificar o intervalo que contém o indivíduo mediano. 0 =194 Par: +, =97,5 usa posição 97 e 98. Onde estão os indivíduos 97 e 98? 2) Consultar a tabela de frequência relativa. Há 38 indivíduos com expectativa de vida menor que 60 anos. Há 16 indivíduos com expectativa de vida entre 60 e 65 anos =54 Há 24 indivíduos com expectativa de vida entre 65 e 70 anos = 78 Há 56 indivíduos com expectativa de vida entre 70 e 75 anos = 134 Classe dos indivíduos (97 e 98) 3) Cálculo da mediana 0+1 () = +( ).: 2 ; < =70+(75 70).: 2 78 < 56 =70+5.= 19,5 56 > =70+1,740=71,74 anos : Limite inferior do intervalo que contém a () : Limite superior do intervalo que contém a () F: Frequência acumulada até a classe que contém a mediana, mas sem incluir esse intervalo : Frequência do intervalo que contém a () Obs.: Cálculo da mediana seleciona o indivíduo central importância do ordenamento -Por isso mediana é uma medida resistente a valores extremos: o valor extremo não entra no cálculo da mediana, como ocorre com o cálculo da média. Extras sobre Medidas de Posição 1) Média Amostral e Média da População Amostra de dados x população?@ = A = A + 2) Propriedades da média i. os valores das observações se distribuem em torno da média: há valores mais altos acima da média, como há valores mais baixos abaixo da média. a soma, em valor absoluto, dos desvios acima da média = soma, em valor absoluto dos desvios abaixo da média. Ou seja, (?@) =0 É possível calcular a média em ambos os conjuntos de dados. MAS utilizamos notações diferentes.

4 3) Operadores da Média i. Se multiplicarmos a expectativa de vida de cada país por uma constante e calculamos a média = calcular a média primeiro e depois multiplica-la por essa constante B. B. B. B,.,, B.?@ ii. Se somarmos uma constante à expectativa de vida de cada país (deslocamos a distribuição pela constante k) e calculamos a média = calcularmos a média e somar a constante. B B B B?@.B B 4) Comparação entre MÉDIA, MODA e MEDIANA. MODA MEDIANA MÉDIA Valores extremos Não é afetada Não é afetada É afetada Escala Ordinal, nominal, intervalar Ordinais ou intervalares Intervalar Informações da amostra Não usa todos os dados Não usa todos os dados Usa todos os dados Manipulação matemática Difícil Difícil Fácil Valor único? Assimetria Pode haver mais de uma ou até nenhuma Sim Sim Pico da distribuição (maior frequência) Entre a moda e a média - Se a distribuição for unimodal e perfeitamente simétrica: MODA = MEDIANA = MÉDIA. - Se a distribuição for assimétrica, a MÉDIA é influenciada por valores extremos calcular também a MEDIANA. Mais próximo dos valores extremos Simétrica Assimétrica à direita Assimétrica à esquerda

5 MEDIDAS DE DISPERSÃO - Média, Mediana Medidas de posição Informações sobre o centro de distribuição. Ex.: Média de idade de 5 moradores de um edifício = 37 anos. E a variabilidade dos dados? Ex.: 2 países apresentam crescimento médio anual do PIB = 2,5%. Analisando os gráficos das distribuições da variável, concluímos que os dois países têm o mesmo comportamento? Qual a dispersão em torno da média? Distrib. dos EUA Distrib. do Brasil 2,5% - Conhecer a distribuição dos valores em torno da média é outra informação importante fornecida pelos dados = variabilidade Medidas de dispersão Medem a dispersão dos dados em torno da média. desvio das observações em relação à média distância das observações em relação à média 1 AMPLITUDE (A) A = diferença entre as observações mínima e máxima do conjunto de dados. Exemplo: em 10 anos, a taxa de desemprego pode ter variado de 6% a 18%. A = 18% - 6% = 12 pontos percentuais depende só de 2 valores de todo o conjunto de dados. É, portanto, influenciada por valores extremos 2 DESVIO MÉDIO (DM) - Medida de variabilidade que considera todas as observações de uma distribuição de dados. Desvio = diferença entre o valor da observação e a média medida de distância. Considerar todas as observações Somar todos os desvios Mas, soma desvios = 0? Os desvios negativos se cancelam com os positivos, pois a média equilibra os dois lados. Solução para que os desvios não cancelem?

6 E((?) = G 0 3 VARIÂNCIA (H ;J ) - Valores absolutos: dificuldade de manipulação algébrica como contornar soma desvios = 0? Elevar ao quadrado i. Soma dos desvios elevados ao quadrado ii. Incluir a informação do tamanho da população (média dos desvios) LMN?H G 0 Obs.: 1) LMN? 0 2) Utiliza toda a informação disponível é sensível a valores extremos 3) Deslocar cada observação por uma constante B não altera o valor da variância 4) Interpretação: dimensão é o quadrado dos dados originais (variância = 1,2 anos 2 ) 4 DESVIO PADRÃO (H;J) - Facilita a interpretação da variância: σ volta à unidade original dos dados H H 2 R W SXY A STU V 0 - Mede a variabilidade média da distribuição de dados (média dos desvios a contar da média) - Alto H: alta variabilidade dos dados em torno da média - 2 distribuições com médias iguais, mas desvios-padrão diferentes geram formatos diferentes de distribuições Obs.: Para distribuições relativamente simétricas, 2/3 das observações (67%) de uma distribuição de dados se situa a + e a 1 desvio padrão da média. 5 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) - Compara dispersão de uma variável X medida em unidades diferentes Ex.: Expectativa de vida (X) anos meses

7 - CV: medida de dispersão relativa CV= \ U Independentes de unidades > CV > dispersão Extra sobre Medida de Dispersão 1) Variância Amostral e Variância populacional Amostra de dados x população J = (A STA ) V T H = (A STU) V + Variância amostral é 1 para contrabalançar o efeito da menor dispersão dos dados em torno de?@ em relação à desvio padrão: J = J H = H Outras medidas de referência da distribuição QUANTIS - Modo de dividir os dados - Não são afetados por valores externos - Informam sobre a simetria da distribuição dos dados quantos da direita são mais afastados da mediana do que os quantos da esquerda - Assume vários nomes a depender como a distribuição é dividida. Quartis: divide a distribuição em 4 partes iguais Quintis: divide a distribuição em 5 partes iguais Decis: divide a distribuição em 10 partes iguais Percentis: divide a distribuição em 100 partes iguais 1) As observações são ordenadas 2) As observações são divididas ]( ) é uma proporção: 0,25 ]( ): 100. % (25%) das observações são menores que ]( ) Exemplo: ](0,25) 1º quartil ](0,25)=63 anos 25% das observações dos dados são menores que 63 anos deixa 25% das observações à esquerda - Medidas mais comuns: ](0,25)=] : 1º quartil ](0,50)=] : 2º quartil = mediana ](0,75)=] _ : 3º quartil

8 - Distribuição simétrica - Quartis como medida de assimetria: intervalo entre quartis ab =b _ b EXEMPLO: 1) Ordena as observações 2) Divide em 4 partes iguais 3) Seleciona o indivíduo que deixa 25% das observações abaixo dele b =](0,25 4) Seleciona o indivíduo que deixa 75% das observações abaixo dele b _ ]0,75 5) Calcula abb _ 8b anos Quem tem maior IQ tem maior dispersão das observações E se os dados forem agrupados (intervalo)? Podem-se calcular os quantis por meio de proporções (...) - os quantis podem ajudar a detectar outliers: Ex. quartis: ordena e divide os dados em 4 partes iguais Q3: valor da observação na posição ¾ do total da amostra Q1: valor da observação na posição ¼ do total da amostra Calcular 1,5*(Q3-Q1). Os outliers são considerados valores abaixo de Q1-1,5*(IQ) e Q3+1,5*IQ (ajustar o valor de 1,5 dependendo da amostra) Leitura Indicativa Weiss, Capítulo 3 (até página 131 do livro). Barrow, Capítulo 1. Opcionais: Salkind, Capítulo 2 e 3 (não considerar as partes sobre SPSS). Bussab, Capítulo 3.