Medidas Estatísticas de Posição

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Leandro Victor Gabriel Stachinski César
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1 Medidas Estatísticas de Posição

2 1 - Medidas de Tendência Central Denição medida de tendência central é um único valor que representa ou tipica um conjunto de valores. Nunca pode ser menor que o menor valor do conjunto considerado nem maior do que o maior valor do mesmo conjunto. Os dados quantitativos, apresentados em tabelas e grácos, constituem a informação básica do problema em xi x estudo. Mas é conveniente apresentar, n além dos dados, medidas que mostrem a informação de uma maneira resumida. As medidas de tendência central, dão o valor do ponto em torno do qual os dados se distribuem. São medidas de tendência central: a média aritmética (ou simplesmente média), a mediana e a moda.

3 1.1 Médias Para Dados Grupados Média Aritmética Simples x n x (Amostra) x (População) N Tabela 5.1: Peso, em gramas, de ratos machos da raça Wistar com 30 dias de idade

4 Propriedades Média Aritmética Simples 1 A média de um conjunto de números pode sempre ser calculada; 2 Para um dado conjunto de números, a média é única; 3 A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto. Assim, se um valor se modica, a média também. 4 Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a cada valor do conjunto, a média cará aumentada (ou diminuída do valor; 5 A soma dos desvios dos números de um conjunto a contar da média é zero. Ou seja, ( x x) 0 Ex: 2, 4, 6 e 8 i

5 Média Aritmética Ponderada x p x. p i p Ex.: Um aluno tem as seguintes notas, em Estatística, para o 1º semestre: Prova escrita 7,3; gráco 8,5 e trabalho de pesquisa 6,4. Sabendo que os pesos atribuídos a essas notas são, respectivamente 5, 2 e 3, qual é a média deste aluno, em Estatística no 1º bimestre? Média Harmônica - A média harmônica nunca é maior do que a média geométrica ou do que a média aritmética. A média harmônica provê a correta noção de média. - Uma característica de média harmônica é o fato de o resultado estar mais "próximo" do menor número do que do maior. i i x h n 1 x i

6 Média Harmônica Ponderada x hp p p x i i i Ex: Calcule a média harmônica dos valores do conjunto 5, 3, 4, 9 e 6; sabendo que lhes são atribuídos os pesos: 1, 2, 4, 7 e 2, respectivamente Média Geométrica x n x i - É denida como o produto de todos os membros do conjunto elevado ao inverso do número de membros. - A média geométrica apresenta menor variância, o que reduz o impacto de valores individuais elevados

7 2 - Mediana 1º - Se o número de elementos for ímpar, o elemento mediano será dado pelo valor central do rol º - Se o número de elementos for par, a mediana será igual a média aritmética dos dois valores centrais do rol A mediana de um conjunto de números é maior que uma metade dos valores e menor que a outra metade.

8 3 - Moda É o valor que ocorre com maior freqüência no conjunto, ou seja, é o valor que se repete mais vezes. A moda é chamada de medida especial porque tem características bem diferentes das de outras medidas de tendência central, ou seja, um conjunto pode apresentar uma moda (unimodal), duas modas (bimodal), várias modas (plurimodal), ou ainda não apresentar moda (amodal). a) b) c)

9 Dados Agrupados

10 1.1. Média Aritmética Quando os dados são expostos numa distribuição de freqüências, todos os valores incluídos em uma classe são considerados coincidentes com seu ponto médio, por isso, sempre que trabalhamos com dados agrupados numa distribuição de freqüências, em primeiro lugar calculamos os pontos médios de todas as classes. As freqüências absolutas nada mais são do que os pesos, já que representam a quantidade de valores existentes em cada classe. x i Classes.xi Notação: x. xi Total

11 1.2. Mediana Em dados grupados, devemos calcular primeiro o ponto de localização da mediana através da fórmula 2, já que a quantidade de valores nos é dado pela soma das freqüências. Depois de calculado 2, vamos localizar nas freqüências acumuladas para vericar em que classe se encontra a mediana do conjunto. Feito isso, devemos aplicar a seguinte fórmula: onde: h fa ant Md li 2 2 li limite inferior da classe localizada pelo. h intervalo de classe. freqüência simples da classe que contém a mediana. fa ant freqüência acumulada da classe anterior à localizada.

12 2 li 168 h 6 25 fa ant , 5 2 Md Md Md Md li h 1 2 fa 6 64, , ,12 ant

13 1.3. Moda Tome a classe que apresenta a maior freqüência classe modal A moda será ponto médio da classe modal: (lim inf + lim sup )/2 Método de King Onde li: limite inferior da classe modal ant : freqüência da classe anterior à classe modal pos : freqüência da classe posterior à classe modal h: amplitude da classe modal. pos 0 ant pos M li h

14 Moda Métodos Método de CZUBER que leva em consideração as freqüências anterior e posterior à classe modal. Notação: ( mo ant ) Mo li h. [2 f ( )] mo mo ant Onde: li: limite inferior da classe modal Mo : freqüência da classe modal ant : freqüência da classe anterior a modal pos : freqüência da classe posterior a modal h: amplitude da classe modal

15 Método de Pearson: Moda - Métodos Onde M 3Md 2x 0 Md: Mediana e x: Média Relação entre Média, a Moda e a Mediana. (Relação de Pearson) x Mo 3( x Md ) Mostrar as variações.

18 1.4. Medidas Separatrizes Quartis Os Quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais: Notação: Q 1 Q 1 = 25% dos valores menores do que ele e 75% maiores. Q 2 = 50% dos valores menores do que ele e 50 maiores. ETC... h i 1. 4 faant li hi 2. 4 Q Md li 2 Q 3 fa ant h i 3. 4 li fa ant

19 Decis Os Decis são os valores que dividem a amostra em 10 partes iguais. Notação: D i h i. 10 li Fa ant Percentis Os Percentis são as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais. Notação: P i h i. 100 li Fa ant

20 Exercícios Um representante comercial, fornecedor de supermercados, fez levantamento do consumo de seu principal produto em vários supermercados obtendo em determinado mês a tabela: Nº Unidades Consumidas xi xi. Fi Ache o consumo médio do produto por supermercado. 2. Calcule a mediana de consumo. O que ela representa? 3. Sabendo que o consumo máximo por supermercado é de 6000 unidades, calcule a Moda de Czuber e interprete o valor.

21 Exercícios

22 Exercícios Uma amostra de tempo de vida útil de uma peça forneceu a seguinte distribuição: Nº Horas de Vida Útil Fi Se o produtor deseja estabelecer uma garantia mínima para o nº de horas de vida útil de uma peça trocando a peça que não apresentar este nº de horas, qual é a garantia, se ele está disposta a trocar até 8% das peças?

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