Medidas de Posição. Gilson Barbosa Dourado 18 de maio de 2010

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Isaac de Andrade de Miranda
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1 Medidas de Posição Gilson Barbosa Dourado 18 de maio de 2010

2 Introdução As medidas de posição permitem a compração entre duas ou mais séries de dados. Duas ou mais distribuições podem ser diferenciadas pela comparação dos valores da varável em torno do qual se concentram as frequências. Se estes valor tende a se localizar no centro das distribuição, damos o nome de medidas de tendência central. As medidas de posição são: 1. Médias (aritmética, geométrica,harmônica e quadratica); 2. Separatrizes (mediana, quatris, decis e centis); 3. Moda.

3 Média São medidas de tendência central mais comumente utilizadas para desrever resumidamente uma distribuição de frequência. Média Aritmética Simples Para dados não tabelados Sejam x 1, x 2,..., x n, n valores que a váriável aleatória X pode assumiir. A média aritmética simples de X é definida como X = 1 n n i=1 x i

4 Para dados tabelados Sejam x 1, x 2,..., x k, k valores da variável X assume e f 1,..., f k as respectivas frequências absolutas. A média aritmética X é definida como X = k x i f i e k i=1 f i = n, onde n é igual ao número total de observações. i=1 k i=1 f i

5 Média Aritmética Ponderada Está média é utilizada quando atribuimos um peso (ou ponderação) aos valores possíveis da variável. A média ponderada dos números x 1, x 2,..., x n, com pesos p 1, p 2,..., p n representado por X p é definido como X = x 1 p 1 + x 2 p x n p n p 1 + p 2 + p n

6 Vatagens da Média Aritmética É definida rigorosamente e pode ser interpretada sem ambiguidades; Leva em consideração todas a observações efetuadas; e Calcula-se com facilidade. A desvantagem da média aritmética relaciona-se com a existência de valores extremos (muito grande ou muito pequenos), que podem distorcer o resultado final Obs: Quando interpretamos uma média aritmética, devemos ter em mente que ela geralmente é um valor que não pertence a sucessão original dos dados e que, portanto, pode não ter uma existência real.

7 Média Geométrica A média geométrica é usada principalmente em problemas envolvendo mudanças proporcionais e juros compostos e outros valores q assumem um comportamento exponencial, como inflação acumulada, retorno de carteira, etc. Para dados não tabelados Dados n valores x 1, x 2,..., x n, a média geométrica desses valores será X g = n x 1 x 2... x n

8 Para dados tabelados Sejam x 1, x 2,..., x k, k valores da variável X assume e f 1,..., f k as respectivas frequências absolutas. A média geométrica de X é definida como e X g = k i=1 f i x f 1 1 x f 2 2 x f k k k f i = n, onde n é igual ao número total de observações. i=1 Obs: - A média geométrica é menor ou igual a média aritmética; - Não é possível calcular a média geométrica quando existem valores negativos na série de dados; - Quando um ou mais valores da série de dados forem nulos a média goemétrica será igual a zero.

9 Média Harmônica A média harmônica de um conjunto de valores é o inverso da média aritmética dos inversos. Esta medida é utilizada na construçãode números-índices e é particularmente recomendado para séries de valores que são inversamente proporcionais (cálculos de velocidades média e custos médios de bens compardos com uma quantia fixa) ou a problemas onde não faz sentido somar os valores da variável. Para dados não tabelados Dado o conjunto de n valores x 1, x 2,..., x n, a média harmônica do conjunto será X h = n n 1 x i i=1

10 Para dados tabelados Dados os valores x 1, x 2,..., x k da variável X e f 1,..., f k as respectivas frequências absolutas. A média harmônica de X é definida como k Obs: X h = i=1 k i=1 1 x i f i - A média harmônia é menor ou igual á média geométrica e, esta por sua vez é menor que a mádia aritmética. X h X g X

11 Separatrizes As separatrizes são medidas de posição que permitem calcularmos valores da variável que dividem ou separam a distribuiçõa em partes iguais. Tipos de separatrizes: - mediana; - quantis ou quartis; - centis; - decis ou percentis.

12 Mediana - Md É definida como o valor que divide uma série ordenada de tal forma que pelo menos a metade dos itens sejam iguais ou maiores do que ela, e que a outra metade dos itens sejam menores do que ela. A mediana é muito útil quando exitem valores extremos, ou atipicos, na distribuição (valores muito maiores ou muito menores que os demais). Entretanto, essa separatriz não leva em consideração todos os valores observados.

13 Determinação da Médiana Para dados não tabelados - se o número de observações é ímpar, a posição da mediana (E Md ) é determinado por E Md = n A mediana é o valor que divide o número de observações ao meio. - se o número de observações é par, a mediana será um valor compreendido entre as posições E Md = { n 2 n Neste caso, convenciona-se adotar como valor mediano a média aritmética ente os valores centrais.

14 Para dados tabelados não agrupados em classe A posição da mediana é determinado da mesma forma que calculado para dados não tabulados. Para encontrar a posição do elemento mediando (posião da mediana) é acrescido uma coluna na tabela de frequência acumulada abaixo de absoluta.

15 Para dados tabelados agrupados em classe Independente de termos n ser ímpar ou par, a posição da mediana será dada por: E Md = n 2

16 A partir daí, determina a classe da mediana, após a qual a mediana será determinada através da seguinte expressão: ( ) EMd Fant Md = l inf + h f Md onde, l inf - é o limite inferior da classe mediana; h - a amplitude do intervalo da classe da mediana; E Md - a posição da mediana; Fant - a Fab anterior a classe da mediana; e f Md a frequência simples absoluta da classe da mediana.

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