Professora conteudista: Maria Ester Domingues de Oliveira. Revisor: Francisco Roberto Crisóstomo

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1 Estatística Básica

2 Professora conteudista: Maria Ester Domingues de Oliveira Revisor: Francisco Roberto Crisóstomo

3 Sumário Estatística Básica Unidade I 1 CICLO SEMPRE CRESCENTE ESTATÍSTICA: CIÊNCIA DA QUAL DERIVAM DOIS CAMPOS ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA DESCRITIVA ESTATÍSTICA DE TESTE Estatística F Estatística T ESTATÍSTICA DESCRITIVA (ESTUDO) Etapas estudadas na estatística descritiva Coleta de dados (dados brutos) Dados coletados (dados brutos) Rol (dados organizados em certa ordem) Definição dos limites do Rol Amplitude Classes NÚMERO DE CLASSES (NC) RAIZ E STURGES FÓRMULA DA RAIZ QUADRADA FÓRMULA DE STURGES INTERVALO DE CLASSE (IC) LIMITES DE CLASSES DEFINIÇÃO DE CLASSES PONTO MÉDIO DE CLASSE FREQUÊNCIA DE CLASSE FREQUÊNCIA ACUMULADA DE CLASSES FREQUÊNCIA RELATIVA DE CLASSES FREQUÊNCIA PERCENTUAL FATOR DE REFERÊNCIA (I) E F (I) FATOR DE REFERÊNCIA AO QUADRADO F (I)...39 Unidade II 20 OBJETIVOS DA ESTATÍSTICA MEDIDAS DE POSIÇÃO... 41

4 22 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA MÉDIA GEOMÉTRICA MÉDIA HARMÔNICA MÉDIA DE DADOS AGRUPADOS MEDIANA MEDIANA DADOS AGRUPADOS (INTERPOLAÇÃO) MODA MODA DADOS AGRUPADOS (INTERPOLAÇÃO) SITUAÇÃO ESPECIAL DE MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO DESVIO PADRÃO DOS ELEMENTOS (Σ) DESVIO PADRÃO DE DADOS AGRUPADOS HISTOGRAMA HISTOGRAMA E POLÍGONO DE FREQUÊNCIA POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA... 70

5 ESTATÍSTICA BÁSICA Unidade I ESTATÍSTICA, LÓGICA E CICLO CRESCENTE Introdução Ciência: conjunto de conhecimento para o estudo de um determinado objeto. Método científico: objetividade; lógica. Fatos Bases para a teoria Teorias Explicam os fatos Estão ligados pela lógica e pela teoria 1

6 Unidade I 1 CICLO SEMPRE CRESCENTE Observação Previsão de novos eventos Abstração dos elementos essenciais para servir de base para a teoria lógica. Desenvolvimento da teoria 2 ESTATÍSTICA: CIÊNCIA DA QUAL DERIVAM DOIS CAMPOS 1. Observação dos dados: Estatística descritiva. Caracterizada como a organização e descrição dos dados experimentais. Exemplo:: índice de inflação; número de acidentes. 2. Comparações das observações (previsões/teorias): Estatística indutiva. Exemplo:: análise e interpretação dos dados. População: conjunto de elementos com pelo menos uma característica comum. 2

7 ESTATÍSTICA BÁSICA Exemplo:: conjunto de alunos numa sala de aula; lote de peças de uma máquina. Amostra: subconjunto de uma população. Necessidade de se recorrer aos elementos da amostra: população muito grande; tempo; custo. Estatística descritiva Amostra Cálculo de probabilidade Estatítica indutiva 3 ESTATÍSTICA Estudo da análise dos dados; compreendida a estatística descritiva e a inferência estatística. As grandezas são calculadas com base nos elementos de uma amostra como a média; costuma-se usar a estatística como instrumento para estimar os parâmetros populacionais desconhecidos (medida estatística). 4 ESTATÍSTICA DESCRITIVA Pode ser definida como um segmento que busca interpretar por meio de observações de fenômenos de mesma natureza a coleta de dados observados e a sua organização e apresentação das informações através de gráficos, tabelas, listagens etc., além de cálculos de coeficientes estatísticos que permitem descrever resumidamente os fenômenos. 5 ESTATÍSTICA DE TESTE A estatística de teste é uma grandeza calculada com base em observações usadas para o teste da hipótese nula (teste de 3

8 Unidade I validação de uma determinada hipótese). Com ela, é possível identificar (a partir da distribuição conhecida) se a hipótese nula é verdadeira ou não. Se o valor da estatística de teste não fizer parte de um intervalo que represente a distribuição, a hipótese será considerada sem validade de pertinência ou nula. 5.1 Estatística F Considerando a análise de variância de uma estatística que testa a hipótese nula de que todos os grupos provêm de populações com mesma média, na análise de regressão, uma estatística testa a hipótese nula de que não há relacionamento entre as variáveis independentes e dependentes. 5.2 Estatística T Estatística usada para testar a hipótese nula de que o verdadeiro valor de um coeficiente na análise de regressão é sempre zero. EXERCÍCIOS 1. Ciclo crescente: o que pode ocorrer após desenvolver uma teoria? 2. Qual o objetivo da estatística descritiva? 3. Qual a utilidade da estatística de teste? 4. Qual a utilidade da estatística F? 5. Qual a utilidade da estatística t? 6. Qual a utilidade da estatística indutiva? Resolução dos exercícios 1. Previsão de novos eventos. 4

9 ESTATÍSTICA BÁSICA 2. Organizar e apresentar informes através de gráficos e tabelas visando descrever fenômenos de forma resumida. 3. A estatística de teste tem como finalidade definir a validade de observações consideradas, visando estabelecer uma hipótese nula. 4. Considerando análise de variância, testa a hipótese nula de todos os grupos (populações de mesma média) avaliando as variáveis dependentes e independentes. 5. Testa a hipótese nula de que o verdadeiro valor de um coeficiente na análise de regressão é sempre zero. 6. Representa comparar e observar previsões e teorias (análise e interpretação de dados coletados). 6 ESTATÍSTICA DESCRITIVA (ESTUDO) A estatística descritiva representa uma sequência de etapas que visam estabelecer uma organização, tabulação, listagem, e ainda procedimentos de análise de interesse sobre um determinado estudo. 6.1 Etapas estudadas na estatística descritiva 1. Coleta de dados brutos. 2. Organizar dados (Rol). 3. Definir limites do rol. 4. Determinar amplitude. 5. Classes. 6. Número s (Raiz). 7. Número s (Sturges). 5

10 Unidade I 8. Intervalo. 9. Limites. 10. Ponto médio acumulada. 13. relativa/porcentual. 14. Valor referencial (i). 15. de i (f i). 16. de i2 (f i2). 17. Medidas de posição. 18. Média aritmética. 19. Média aritmética ponderada. 20. Média geométrica. 21. Média harmônica. 22. Média de dados agrupados. 23. Média harmônica. 24. Mediana. 25. Moda. 26. Medidas de dispersão. 27. Desvio padrão de elementos. 28. Desvio padrão de dados (classe). 6.2 Coleta de dados (dados brutos) Dados iniciais pós-coletados, que o pesquisador obtém no início do trabalho (dados desorganizados e desordenados), não são válidos como referenciais e não permitem qualquer tipo de análise. 6

11 ESTATÍSTICA BÁSICA 6.3 Dados coletados (dados brutos) Os dados abaixo relacionados representam um conjunto de informações coletadas que (conforme podemos observar visualmente) estão totalmente desorganizadas e desordenadas, ou seja, não permitem qualquer análise ou possibilidade de estudo. Colunas 165,30 152,60 147,70 137,10 156,60 188,40 119,40 153,70 Linhas 146,30 172,00 159,20 155,10 188,60 133,10 165,80 141,50 173,00 119,00 152,10 175,10 Bruto: rudes; toscos; grosseiros; como veio da natureza; totais; dados sem qualquer ordem; desorganizados (antônimo: ordenados; civilizados; organizados). Espanhol: bruto. Inglês: rough. Francês: brut. Alemão: grob. Italiano: greggio. 6.4 Rol (dados organizados em certa ordem) Caracteriza uma organização dos dados em ordem crescente ou decrescente de valores e, com essa ordem, permite uma análise primária dos dados. Exemplo:: os dados abaixo relacionados representam um conjunto de informações coletadas, porém, diferentemente, se apresentam de forma ordenada (crescente, do menor para o maior), o que já permite observar visualmente como estão 7

12 Unidade I distribuídos os dados e possibilita uma visão preliminar dos mesmos. Rol (dados em ordem crescente) 119,00 146,30 155,10 172,00 119,40 147,70 156,60 173,00 133,10 152,10 159,20 175,10 137,10 152,60 165,30 188,40 141,50 153,70 165,80 188,60 EXERCÍCIOS 1. O que significa dados brutos? 2. Como se denomina o quadro com dados organizados? 3. Qual o procedimento para se obter a amplitude? 4. O que significa rol com ordem crescente? 5. Como se denominam os dados, logo após a coleta? 6. Ordenar os dados apresentados (5 linhas e 4 colunas): 167,70 144,20 170,30 186,20 130,50 199,50 148,20 163,70 184,90 166,20 199,70 176,40 164,80 157,40 163,20 152,60 158,80 129,80 183,10 176,90 7. Ordenar os dados apresentados (5 linhas e 4 colunas): 158,80 129,80 186,20 163,70 167,70 142,40 170,30 176,40 150,50 199,50 148,20 152,60 184,90 166,20 199,70 176,90 164,80 158,40 163,20 183,10 8

13 ESTATÍSTICA BÁSICA 8. Ordenar os dados apresentados (5 linhas e 4 colunas): 167,70 144,20 170,30 185,20 163,70 199,50 148,20 158,80 176,40 166,20 199,70 129,80 152,60 157,40 163,20 183,10 176,90 130,50 184,90 164,80 Resolução dos exercícios 1. Dados coletados sem ordem, sem organização, sem base para análise. 2. O quadro de dados organizados denomina-se ROL. 3. Amplitude representa a diferença entre o limite máximo do ROL e o limite mínimo do ROL. 4. Significa do menor valor do ROL para o maior valor contido no ROL. 5. Os dados recém-coletados são denominados dados brutos. 6. Dados ordenados: 129,80 157,40 166,20 183,10 130,50 158,80 167,70 184,90 144,20 163,20 170,30 186,20 148,20 163,70 176,40 199,50 152,60 164,80 176,90 199,70 7. Dados ordenados: 129,80 158,40 166,20 183,10 142,40 158,80 167,70 184,90 148,20 163,20 170,30 186,20 150,50 163,70 176,40 199,50 152,60 164,80 176,90 199,70 9

14 Unidade I 8. Dados ordenados: 129,80 157,40 166,20 183,10 130,50 158,80 167,70 184,90 144,20 163,20 170,30 185,20 148,20 163,70 176,40 199,50 152,60 164,80 176,90 199, Definição dos limites do Rol Os limites do Rol, de ordem crescente, são representados pelos valores extremos posicionados no limite mínimo (menor valor) e limite máximo (maior valor), ou seja, o primeiro valor e o último valor. Podemos observar que os limites do Rol, de ordem decrescente, são representados pelos valores extremos posicionados no limite máximo (maior valor) e no limite mínimo (menor valor), ou seja, ordem do maior para o menor. É importante ressaltar que geralmente se utiliza a ordem crescente para a organização do rol, isto é, do menor para o maior. Exemplo: Rol 119,00 146,30 155,10 172,00 119,40 147,70 156,60 173,00 133,10 152,10 159,20 175,10 137,10 152,60 165,30 188,40 141,50 153,70 165,80 188,60 Maior valor do Rol =188,60 (limite superior, maior valor). Menor valor do Rol =119,00 (limite inferior, menor valor). EXERCÍCIOS Amostra com reposição: método de escolha de uma amostra em que os elementos coletados devem ser devolvidos à população. Observa-se que todos os elementos dessa população têm a chance de serem escolhidos mais de uma vez. 1. Ordenar os dados apresentados (5 linhas e 4 colunas) e determinar os limites do rol: 10

15 ESTATÍSTICA BÁSICA 167,70 144,20 170,30 186,20 130,50 199,50 148,20 163,70 184,90 166,20 196,70 176,40 164,80 157,40 163,20 152,60 158,80 129,80 183,10 176,90 2. Ordenar os dados apresentados (5 linhas e 4 colunas) e determinar os limites do rol: 158,80 129,80 186,20 163,70 167,70 142,40 170,30 176,40 150,50 199,50 148,20 152,60 184,90 166,20 199,70 176,90 164,80 158,40 163,20 183,10 3. Ordenar os dados apresentados (5 linhas e 4 colunas) e determinar os limites do rol: 167,70 144,20 170,30 185,20 163,70 199,50 148,20 158,80 176,40 166,20 199,70 129,80 152,60 157,40 163,20 183,10 176,90 130,50 184,90 164,80 Resolução dos exercícios 1. Dados ordenados: 129,80 157,40 166,20 183,10 130,50 158,80 167,70 184,90 144,20 163,20 170,30 186,20 148,20 163,70 176,40 199,50 152,60 164,80 176,90 199,70 Limite mínimo 129,80 Limite máximo 199,70 11

16 Unidade I 2. Dados ordenados: 129,80 158,40 166,20 183,10 142, ,70 184,90 148,20 163,20 170,30 186,20 150,50 163,70 176,40 199,50 152,60 164,80 176,90 199,70 Limite mínimo 129,80 Limite máximo 199,70 3. Dados ordenados: 129,80 157,40 166,20 183,10 130, ,70 184,90 144,20 163,20 170,30 185,20 148,20 163,70 176,40 199,50 152,60 164,80 176,90 199,70 Limite mínimo 129,80 Limite máximo 199, Amplitude Caracteriza-se como a diferença entre os valores extremos de um rol, ou seja, deve ser representada matematicamente pelo valor máximo menos valor mínimo do rol. Exemplo: Os dados relacionados no rol representam um conjunto de informações coletadas e apresentadas de forma organizada e ordenada, portanto podemos detectar o maior e o menor elemento do rol e, consequentemente, definir a amplitude (medida de dispersão). 12

17 ESTATÍSTICA BÁSICA A amplitude representa uma medida de dispersão entre os elementos do rol, ou seja, a amplitude caracteriza as variações dos valores dos elementos que estão no rol. Devemos ressaltar que além da amplitude devemos considerar como medida de dispersão o desvio padrão. Amplitude (R) Limite Máximo Limite Mínimo Amplitude (R) 188,60 119,00 R = 69,60 Amplitude: extensão em largura e comprimento; largueza de espaço; amplidão; extensão; âmbito; comprimento; vastidão; variação entre valores extremos. Espanhol: amplitud. Inglês: width. Francês: ampleur. Alemão: weite. Italiano: amplitudine. 13

18 Unidade I EXERCÍCIOS 1. Ordenar os dados apresentados (5 linhas e 4 colunas) e determinar a amplitude: 167,70 144,20 170,30 185,20 163,70 199,50 148,20 158,80 176,40 166,20 199,70 129,80 152,60 157,40 163,20 183,10 176,90 130,50 184,90 164,80 2. Ordenar os dados apresentados (5 linhas e 4 colunas) e determinar a amplitude: 167,70 144,20 170,30 186,20 130,50 199,50 148,20 163,70 184,90 166,20 196,70 176,40 164,80 157,40 163,20 152,60 158,80 129,80 183,10 176,90 3. Ordenar os dados apresentados (5 linhas e 4 colunas) e determinar a amplitude: 158,80 129,80 186,20 163,70 167,70 142,40 170,30 176,40 150,50 209,50 148,20 152,60 184,90 166,20 199,70 176,90 164,80 158,40 163,20 183,10 Resolução dos exercícios 1. Dados ordenados: 129,80 157,40 166,20 183,10 130,50 158,80 167,70 184,90 144,20 163,20 170,30 185,20 148,20 163,70 176,40 199,50 152,60 164,80 176,90 199,70 Amplitude 69,90 14

19 ESTATÍSTICA BÁSICA 2. Dados ordenados: 129,80 157,40 166,20 183,10 130,50 158,80 167,70 184,90 144,20 163,20 170,30 186,20 148,20 163,70 176,40 199,50 152,60 164,80 176,90 199,70 Amplitude 69,90 3. Dados ordenados: 129,80 158,40 166,20 183,10 142, ,70 184,90 148,20 163,20 170,30 186,20 150,50 163,70 176,40 199,50 152,60 164,80 176,90 199,70 Amplitude 69, Classes O objetivo de se utilizar classes no estudo de estatística está diretamente relacionado ao aspecto da análise de grupos especiais dentro das informações obtidas. No caso de um rol de valores numéricos, o fator mais importante está relacionado à quantidade, ou seja, o aspecto quantitativo deve prevalecer. Exemplo: em determinado rol, definir quantos elementos existem entre o valor qualquer x (limite inferior da classe) e outro valor qualquer y (limite superior da classe). Classe: categoria social; grupo; divisão dum conjunto; aula; alunos de uma aula; anos de certos cursos; sociologia (classes sociais: grandes grupos humanos que se diferenciam pelo lugar que ocupam em um sistema de produção social, historicamente determinado pelas relações em que se encontram relativamente aos meios de produção); valores numéricos em determinada ordem. 15

20 Unidade I Espanhol: classe. Inglês: class. Francês: classe. Alemão: klasse. Italiano: classe. 7 NÚMERO DE CLASSES (NC) RAIZ E STURGES Fórmula com a qual se define o número (grupos de elementos) no estudo de um determinado rol. Observa-se que os métodos apresentados têm como referência o número de elementos do rol (n) e deve-se observar que o resultado dessa estimativa do número deve ser número inteiro (arredondado). 8 FÓRMULA DA RAIZ QUADRADA Número s (NC) = n Exemplo: de número s através da raiz quadrada: número de elementos do Rol (n) = 20 número s (NC) = 20 número s (NC) = 4,47... número s (NC) = 5 (números inteiros). Amostra estratificada: método de amostragem em que a população deve ser dividida em camadas ou estratos que apresentem características semelhantes entre si para evidenciar o agrupamento. 16

21 ESTATÍSTICA BÁSICA 9 FÓRMULA DE STURGES Número s (NC) = 1 + 3,3. log n. Número de elementos do rol (n) = 20. Número s (NC) = 1 + 3,3. log 20 (log 20 = 1,301...). Número s (NC) = 1 + 3,3. 1, Número s (NC) = 1 + 4,293. Número s (NC) = 5,293. Número s (NC) = 5 (números inteiros). Intervalo: distância; espaço de lugar ou de tempo; intermitência; (música) distância de um som a outro; espaço compreendido entre valores extremos. Espanhol: intervalo. Inglês: interval. Francês: intervalle. Alemão: pause. Italiano: intervallo. EXERCÍCIOS 1. Considerando um rol com 40 elementos, qual o número de classes a serem consideradas através da raiz quadrada? 2. Considerando um rol com 46 elementos, qual o número de classes a serem consideradas através do método Sturges (log 46 =1,663)? 17

22 Unidade I 3. Considerando um rol com 38 elementos, qual o número de classes a serem consideradas através da raiz quadrada? 4. Considerando um rol com 60 elementos, qual o número de classes a serem consideradas através do método Sturges (log 60 =1,778)? 5. Considerando um rol com 31 elementos, qual o número de classes a serem consideradas através da raiz quadrada? 6. Considerando um rol com 26 elementos, qual o número de classes a serem consideradas através do método Sturges (log 26 =1,881)? 7. Considerando um rol com 68 elementos, qual o número de classes a serem consideradas através da raiz quadrada? 8. Considerando um rol com 95 elementos, qual o número de classes a serem consideradas através do método Sturges (log 95 =1,978)? Resolução dos exercícios 1. 7 (arredondamento de 6,325) 2. 7 (arredondamento de 6,488) 3. 7 (arredondamento de 6,164) 4. 7 (arredondamento de 6,867) 5. 5 (arredondamento de 5,567) 6. 5 (arredondamento de 5,669) 7. 9 (arredondamento de 8,246) 8. 7 (arredondamento de 7,526) 18

23 ESTATÍSTICA BÁSICA 10 INTERVALO DE CLASSE (IC) O valor do intervalo será representado pelo limite superior do rol menos o limite inferior do rol, ou seja, a amplitude dividida pelo número s. As classes serão determinadas através da adição do intervalo ao primeiro elemento do rol. O primeiro elemento será o limite inferior da primeira classe, e o resultado do primeiro elemento adicionado do intervalo de classe será o limite superior de primeira classe. Intervalo de classes (IC) R NC Intervalo de classes (IC) 69,60 5 IC = 13,92 EXERCÍCIOS 1. Considerando os dados apresentados no quadro a seguir, definir os limites do intervalo do rol: 116,50 146,30 155,10 172,00 119,40 147,70 156,60 173,00 133,10 152,10 159,20 175,10 137,10 152,60 165,30 188,40 141,50 153,70 165,80 198,10 2. Considerando os dados apresentados no quadro a seguir, definir os limites do intervalo do rol: 167,70 144,20 170,30 185,20 163,70 199,50 148,20 158,80 176,40 166,20 199,70 119,80 152,60 157,40 163,20 183,10 176,90 130,50 184,90 164,80 19

24 Unidade I 3. Considerando os dados apresentados no quadro a seguir, definir os limites do intervalo do rol: 167,70 144,20 170,30 186,20 130,50 199,50 148,20 163,70 184,90 166,20 196,70 176,40 164,80 157,40 163,20 152,60 158,80 129,80 183,10 176,90 4. Considerando os dados apresentados no quadro a seguir, definir os limites do intervalo do rol: 158,80 129,80 186,20 163,70 167,70 142,40 170,30 176,40 150,50 209,50 148,20 152,60 184,90 166,20 199,70 176,90 164,80 158,40 163,20 183,10 Resolução dos exercícios ,50 146,30 155,10 172,00 163, ,82 119,40 147,70 156,60 173,00 132, ,14 133,10 152,10 159,20 175,10 149, ,46 137,10 152,60 165,30 188,40 165, ,78 141,50 153,70 165,80 198,10 171, , ,70 144,20 170,30 185,20 119, ,78 163,70 199,50 148,20 158,80 137, ,76 176,40 166,20 199,70 119,80 151, ,74 152,60 157,40 163,20 183,10 167, ,82 176,90 130,50 184,90 164,80 183, ,70 20

25 ESTATÍSTICA BÁSICA ,70 144,20 170,30 186,20 129, ,74 130,50 199,50 148,20 163,70 143, ,68 184,90 166,20 196,70 176,40 157, ,62 164,80 157,40 163,20 152,60 171, ,56 158,80 129,80 183,10 176,90 185, , ,80 129,80 186,20 163,70 129, ,74 167,70 142,40 170,30 176,40 145, ,68 150,50 209,50 148,20 152,60 161, ,62 184,90 166,20 199,70 176,90 177, ,56 164,80 158,40 163,20 183,10 193, ,50 11 LIMITES DE CLASSES De forma geral, são caracterizados como as duas fronteiras de uma determinada classe usada para agrupar dados. Essas fronteiras são denominadas de limite inferior e limite superior de cada classe. Observa-se ainda que entre cada fronteira deve ser considerada a diferença denominada intervalo. Exemplo: Limite Inferior Limite Superior Definição 119, ,92 119,00 132,92 132, ,84 132,92 146,84 Maior Menor que: 146, ,76 ou 146,84 160,76 160, ,68 igual a: 160,76 174,68 174, ,60 174,68 ou igual a: 188,60 21

26 Unidade I Observação: Intervalo fechado: tem números extremos. Exemplo:: 3 e 7. Menor valor ou número extremo = 3. Maior valor ou número extremo = 7. Intervalo aberto: não tem números extremos. Exemplo:: > 3 e < 7. Não existe menor valor ou número extremo, pode ser 3,1 ou 3, Não existe maior valor ou número extremo, pode ser 6,9 ou 6, Símbolos de intervalo usados em estatística -- aberto à esquerda aberto à direita --- fechado à esquerda aberto à direita Intervalo e -- aberto à esquerda fechado à direita --- fechado à esquerda fechado à direita Exemplo: Intervalo fechado (tem números extremos). Exemplo: Maior ou igual a -- Maior que Maior ou igual a --- Maior que 3 Menor ou igual a Menor que 7 EXERCÍCIOS 1. Demonstrar através de símbolos utilizados em estatística os seguintes intervalos: 22

27 ESTATÍSTICA BÁSICA a) maior que 12 e menor ou igual a 27. b) maior que 19 e menor que 23. c) maior ou igual a 18 e menor que 23. d) maior ou igual a 9 e menor ou igual a 14. e) maior que 11 e menor ou igual a 16. f) maior que 12 e menor que 21. g) maior ou igual a 8 e menor que 13. h) maior ou igual a 5 e menor ou igual a 8. Resolução dos exercícios 1. a) b) c) d) e) f) g) h) DEFINIÇÃO DE CLASSES Tem como característica demonstrar o rol por meio de agrupamentos de valores, ou seja, classes (grupos) de elementos. A primeira classe está representada pelo limite mínimo maior ou igual a 119,00 e o limite máximo menor que 132,92, ou seja, todos os elementos dentro desse intervalo pertencem à primeira classe. 23

28 Unidade I A segunda classe está representada pelo limite mínimo maior ou igual a 132,92 e o limite máximo menor que 146,84, ou seja, todos os elementos dentro desse intervalo pertencem à segunda classe. A terceira classe está representada pelo limite mínimo maior ou igual a 146,84 e o limite máximo menor que 160,76, ou seja, todos os elementos dentro desse intervalo pertencem à terceira classe. A quarta classe está representada pelo limite mínimo maior ou igual a 160,76 e o limite máximo menor que 174,68, ou seja, todos os elementos dentro desse intervalo pertencem à quarta classe. A quinta classe está representada pelo limite mínimo maior ou igual a 174,68 e o limite máximo menor ou igual a 188,60, ou seja, todos os elementos dentro desse intervalo pertencem à quinta classe. Rol Classes 119,00 146,30 155,10 172,00 119, ,92 119,40 147,70 156,60 173,00 132, ,84 133,10 152,10 159,20 175,10 146, ,76 137,10 152,60 165,30 188,40 160, ,68 141,50 153,70 165,80 188,60 174, ,60 EXERCÍCIOS 1. Considerando o quadro (rol), determine a amplitude, o intervalo e as classes: 115,70 146,30 155,10 172, ,40 147,70 156,60 173, ,10 152,10 159,20 175, ,10 152,60 165,30 188, ,50 153,70 165,80 199,

29 ESTATÍSTICA BÁSICA 2. Considerando o quadro (rol), determine a amplitude, o intervalo e as classes: 116,70 146,30 155,10 172, ,40 147,70 156,60 173, ,10 152,10 159,20 175, ,10 152,60 165,30 179, ,50 153,70 165,80 188, Considerando o quadro (rol), determine a amplitude, o intervalo e as classes: 111,70 146,30 155,10 172, ,40 147,70 156,60 173, ,10 152,10 159,20 175, ,10 152,60 165,30 188, ,50 153,70 165,80 189, RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 115,70 146,30 155,10 172,00 115, ,54 119,40 147,70 156,60 173,00 132, ,38 133,10 152,10 159,20 175,10 149, ,22 137,10 152,60 165,30 188,40 166, ,06 141,50 153,70 165,80 199,90 183, ,90 Amplitude 84,20 Intervalo 16, ,70 146,30 155,10 172,00 116, ,04 119,40 147,70 156,60 173,00 131, ,38 133,10 152,10 159,20 175,10 145, ,72 137,10 152,60 165,30 179,90 159, ,06 141,50 153,70 165,80 188,40 174, ,40 Amplitude 71,70 Intervalo 14,34 25

30 Unidade I ,70 146,30 155,10 172,00 111, ,34 119,40 147,70 156,60 173,00 127, ,98 133,10 152,10 159,20 175,10 142, ,62 137,10 152,60 165,30 188,40 158, ,26 141,50 153,70 165,80 189,90 174, ,90 Amplitude 78,20 Intervalo 15,64 13 PONTO MÉDIO DE CLASSE Valor médio obtido entre os valores extremos de uma determinada classe, ou seja, a soma dos valores extremos (superior e inferior) de uma classe dividida por dois. O valor do ponto médio será de muita valia para análise das variações e dispersões presentes no rol. Exemplo: A 1ª classe (Limite inferior = 119,00 e Limite superior =132,92): (119, ,92) / 2 251,92 / 2 125,96. A 2ª classe (Limite inferior = 132,92 e Limite superior =146,84): (132,92+146,84 ) / 2 279,76 / 2 139,88. A 3ª classe (Limite inferior = 146,84 e Limite superior =160,76): 26

31 ESTATÍSTICA BÁSICA (146,84+160,76) / 2 307,60 / 2 153,80. A 4ª classe (Limite inferior = 160,76 e Limite superior =174,68): (160,76+174,68) / 2 335,44 / 2 167,72. A 5ª classe (Limite inferior = 174,68 e Limite superior =188,60): (174,68+188,60) / 2 363,28 / 2 181,64. Rol Classes Ponto médio de classe 119,00 146,30 155,10 172,00 119, ,92 125,96 119,40 147,70 156,60 173,00 132, ,84 139,88 133,10 152,10 159,20 175,10 146, ,76 153,80 137,10 152,60 165,30 188,40 160, ,68 167,72 141,50 153,70 165,80 188,60 174, ,60 181,64 EXERCÍCIOS 1. O que significa ponto médio? 2. O que representa limites? 3. Analisar e obter a amplitude, o intervalo, a definição das classes e o ponto médio das classes: 27

32 Unidade I Rol Classes Ponto médio 111,70 146,30 155,10 172, ,40 147,70 156,60 173, ,10 152,10 159,20 175, ,10 152,60 165,30 188, ,50 153,70 165,80 189, Analisar e obter amplitude, intervalo, definição das classes e ponto médio das classes: Rol Classes Ponto médio 115,70 146,30 155,10 172, ,40 147,70 156,60 173, ,10 152,10 159,20 175, ,10 152,60 165,30 188, ,50 153,70 165,80 199, Resolução dos exercícios 1. Valor médio entre os limites inferior e superior, isto é, a média dos limites. 2. Limite representa os valores extremos de uma determinada classe, ou seja, limite inferior e limite superior da classe. 3. Rol Classes Ponto médio 111,70 146,30 155,10 172,00 111, ,34 119,52 119,40 147,70 156,60 173,00 127, ,98 135,16 133,10 152,10 159,20 175,10 142, ,62 150,80 137,10 152,60 165,30 188,40 158, ,26 166,44 141,50 153,70 165,80 189,90 174, ,90 182,08 Amplitude 78,20 Intervalo 15,64 28

33 ESTATÍSTICA BÁSICA 4. Rol Classes Ponto médio 115,70 146,30 155,10 172,00 115, ,54 124,12 119,40 147,70 156,60 173,00 132, ,38 140,96 133,10 152,10 159,20 175,10 149, ,22 157,80 137,10 152,60 165,30 188,40 166, ,06 174,64 141,50 153,70 165,80 199,90 183, ,90 191,48 Amplitude 84,20 Intervalo 16,84 14 FREQUÊNCIA DE CLASSE Representa o número de elementos de cada classe (a soma de todas as frequências deve corresponder à soma total dos elementos contidos no rol). Exemplo:: A 1ª classe (2 elementos): valor igual ou maior que 119,00 e menor que 132,92 {119,00 e 119,40}. A 2ª classe (4 elementos): valor igual ou maior que 132,90 e menor que 146,84 {133,10; 137,10; 141,50; 146,30} A 3ª classe (7 elementos): valor igual ou maior que 146,84 e menor que 160,76 {147,70; 152,10; 152,60; 153,70; 155,10; 156,60; 159,20}. 29

34 Unidade I A 4ª classe (4 elementos): valor igual ou maior que 160,76 e menor que 174,68 {165,30; 165,80; 172,00; 173,00}. A 5ª classe (3 elementos): valor igual ou maior que 174,68 e menor ou igual a 188,60 {175,10; 188,40; 188,60}. Rol Classes Ponto médio 119,00 146,30 155,10 172,00 119, ,92 125, ,40 147,70 156,60 173,00 132, ,84 139, ,10 152,10 159,20 175,10 146, ,76 153, ,10 152,60 165,30 188,40 160, ,68 167, ,50 153,70 165,80 188,60 174, ,60 181,64 3 EXERCÍCIOS 1. Qual a finalidade da frequência? 2. Como se determina a frequência? 3. Considerando os dados, analisar, interpretar e determinar frequência s e frequência acumulada: Rol Classes Ponto médio Freq. Freq. Acum. 111,70 146,30 155,10 172,00 111, ,34 119,52 119,40 147,70 156,60 173,00 127, ,98 135,16 133,10 152,10 159,20 175,10 142, ,62 150,80 137,10 152,60 165,30 188,40 158, ,26 166,44 141,50 153,70 165,80 189,90 174, ,90 182,08 4. Considerando os dados, analisar, interpretar e determinar frequência s e frequência acumulada: 30

35 ESTATÍSTICA BÁSICA Rol Classes Ponto médio Freq. Freq. Acum. 115,70 146,30 155,10 172,00 115, ,54 124,12 119,40 147,70 156,60 173,00 132, ,38 140,96 133,10 152,10 159,20 175,10 149, ,22 157,80 137,10 152,60 165,30 188,40 166, ,06 174,64 141,50 153,70 165,80 199,90 183, ,90 191,48 5. Como definimos a frequência acumulada em estatística? Resolução dos exercícios 1. Determinar o número de elementos ontidos em cada classe. 2. Determinando o número de elementos contidos em cada classe, ou seja, número de elementos contidos entre o limite mínimo e o limite máximo. 3. Determinação da frequência s e da frequência acumulada: Rol Classes Ponto médio Freq. Freq Acum. 111,70 146,30 155,10 172,00 111, ,34 119, ,40 147,70 156,60 173,00 127, ,98 135, ,10 152,10 159,20 175,10 142, ,62 150, ,10 152,60 165,30 188,40 158, ,26 166, ,50 153,70 165,80 189,90 174, ,90 182, Determinação da frequência s e da frequência acumulada: Rol Classes Ponto médio Freq. Freq. Acum. 115,70 146,30 155,10 172,00 115, ,54 124, ,40 147,70 156,60 173,00 132, ,38 140, ,10 152,10 159,20 175,10 149, ,22 157, ,10 152,60 165,30 188,40 166, ,06 174, ,50 153,70 165,80 199,90 183, ,90 191,

36 Unidade I 5. Representa uma somatória das frequências, classe a classe, até a última classe que deverá resultar no valor total de elementos do rol. 15 FREQUÊNCIA ACUMULADA DE CLASSES Apresenta os valores acumulados das classes de um determinado rol. Os valores acumulados são representados pelo número de elementos de cada classe somados ao número de elementos das classes posteriores. Exemplo: A 1ª classe (2 elementos) (10 classe = 2). A 2ª classe (6 elementos) (10 classe = 2) + (20 classe = 4). A 3ª classe (13 elementos) (10 classe = 2) + (20 classe = 4) + (30 classe = 7). A 4ª classe (17 elementos) (10 classe = 2) + (20 classe = 4) + (30 classe = 7) + (40 classe = 4). A 5ª classe (20 elementos) (10 classe = 2) + (20 classe = 4) + (30 classe = 7) + (40 classe = 4) + (50 classe = 3). Rol Classes Ponto médio acumulada 119,00 146,30 155,10 172,00 119, ,92 125, ,40 147,70 156,60 173,00 132, ,84 139, ,10 152,10 159,20 175,10 146, ,76 153, ,10 152,60 165,30 188,40 160, ,68 167, ,50 153,70 165,80 188,60 174, ,60 181,

37 ESTATÍSTICA BÁSICA 16 FREQUÊNCIA RELATIVA DE CLASSES Representa o número de elementos de cada classe dividido pelo total de elementos do rol. A soma de todas as frequências relativas será igual a um (1). É muito importante ressaltar que a frequência relativa será utilizada para se obter a frequência percentual. Exemplo: A 1ª classe (2 elementos): 2 / 20 0,10. A 2ª classe (4 elementos): 4 / 20 0,20. A 3ª classe (7 elementos): 7 / 20 0,35. A 4ª classe (4 elementos): 4 / 20 0,20. A 5ª classe (3 elementos): 3 / 20 0,15. Classes Ponto médio de classe acumulada relativa 119, ,92 125, ,10 132, ,84 139, ,20 146, ,76 153, ,35 160, ,68 167, ,20 174, ,60 181, ,15 33

38 Unidade I Índice de preços: uma medida do nível de preços. Índice de Preços ao Consumidor (IPC), de forma geral, representa a medida do nível em uma determinada época e baseia-se no preço de aquisição de uma cesta básica para o consumidor. Índice de Preços ao Produtor (IPP) representa a medida do nível de preços dos produtos para o produtor. EXERCÍCIOS 1. O que representa a frequência relativa? 2. Como fazer para obter a frequência relativa? 3. Considerando o quadro abaixo, determine a frequência relativa: Classes Ponto médio acumulada 129, ,78 136, , ,76 150, , ,74 164, , ,72 178, , ,70 192, relativa 4. Considerando o quadro abaixo, determine a frequência relativa: Classes Ponto médio acumulada 129, ,78 136, , ,76 150, , ,74 164, , ,72 178, , ,70 192, relativa 34

39 ESTATÍSTICA BÁSICA Resolução dos exercícios 1. Representa um valor decimal, que posteriormente será multiplicado por 100 para se obter a frequência percentual. 2. A frequência acumulada (valor decimal) é resultante da divisão no número de elementos de cada classe dividido pelo número de elementos do rol. 3. Determinação da frequência relativa: Classes Ponto médio acumulada relativa 129, ,78 136, ,15 143, ,76 150, ,15 157, ,74 164, ,35 171, ,72 178, ,25 185, ,70 192, ,10 4. Determinação da frequência relativa: Classes Ponto médio acumulada relativa 129, ,78 136, ,05 143, ,76 150, ,25 157, ,74 164, ,35 171, ,72 178, ,25 185, ,70 192, ,10 17 FREQUÊNCIA PERCENTUAL Representada pela frequência relativa multiplicada por 100. A soma de todas as frequências percentuais deve ser 100%. 35

40 Unidade I Exemplo: A 1ª classe (2 elementos): 2 / 20 0,10 0, = 10%. A 2ª classe (4 elementos): 4 / 20 0,20 0, = 20%. A 3ª classe (7 elementos): 7 / 20 0,35 0, = 35%. A 4ª classe (4 elementos): 4 / 20 0,20 0, = 20%. A 5ª classe (3 elementos): 3 / 20 0,15 0, = 15%. Classes Ponto médio acumulada relativa (%) percentual 119, ,92 125, ,10 10% 132, ,84 139, ,20 20% 146, ,76 153, ,35 35% 160, ,68 167, ,20 20% 174, ,60 181, ,15 15% 36

41 ESTATÍSTICA BÁSICA EXERCÍCIOS 1. O que representa para um estudo estatístico a frequência percentual? 2. Considerando o quadro a seguir, determine a frequência percentual: Classes Ponto médio acumulada relativa 129, ,78 136, ,05 143, ,76 150, ,25 157, ,74 164, ,35 171, ,72 178, ,25 185, ,70 192, ,10 (%) percentual 3. Considerando o quadro a seguir, determinar a frequência percentual: Classes Ponto médio acumulada relativa 129, ,78 136, ,15 143, ,76 150, ,15 157, ,74 164, ,35 171, ,72 178, ,25 185, ,70 192, ,10 (%) percentual Resolução dos exercícios 1. A frequência percentual determina a percentagem representada em cada classe. 2. Determinação da frequência percentual: 37

42 Unidade I Classes Ponto médio acumulada relativa (%) percentual 129, ,78 136, ,05 5% 143, ,76 150, ,25 25% 157, ,74 164, ,35 35% 171, ,72 178, ,25 25% 185, ,70 192, ,10 10% 3. Determinação da frequência percentual: Classes Ponto médio acumulada relativa (%) percentual 129, ,78 136, ,15 15% 143, ,76 150, ,15 15% 157, ,74 164, ,35 35% 171, ,72 178, ,25 25% 185, ,70 192, ,10 10% 18 FATOR DE REFERÊNCIA (I) E F (I) Números inteiros que representam e demonstram o posicionamento da frequência em relação ao valor central das classes (classe que apresenta maior frequência), com a maior frequência de elementos. As frequências f (i) representam o conjunto das frequências s multiplicadas pelo fator de referência, obtendo-se (fi). Exemplo: Classes Ponto médio acumulada relativa (%) percentual Fator (i) (i) 119, ,92 125, ,10 10% , ,84 139, ,20 20% , ,76 153, ,35 35% , ,68 167, ,20 20% , ,60 181, ,15 15% 2 6 (f i ) 2 38

43 ESTATÍSTICA BÁSICA Observação: com o resultado (fi) = 2, temos que as classes apresentam elementos com um relativo posicionamento para valores acima. Considerando o ponto médio da classe de maior frequência, o resultado (fi) = 2 demonstra que as classes acima do ponto médio (valores superiores) apresentam maior número de elementos. 19 FATOR DE REFERÊNCIA AO QUADRADO F (I) 2 Números inteiros que representam e demonstram o posicionamento da frequência em relação ao valor central das classes (classe que apresenta maior frequência) com a maior frequência de elementos. As frequências f (i)2, representam o conjunto das frequências s multiplicadas pelo fator de referência elevado ao quadrado, obtém-se f (i) 2. Exemplo: Classes Ponto médio acumulada relativa (%) percentual Fator (i) (i) (i) f(i) 2 119, ,92 125, ,10 10% , ,84 139, ,20 20% , ,76 153, ,35 35% , ,68 167, ,20 20% , ,60 181, ,15 15% Observação: o resultado f (i) 2 será utilizado no cálculo do desvio padrão de dados agrupados (classes). (f i) 2 f(i)