Bioestatística. October 28, UFOP October 28, / 57

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1 Bioestatística October 28, 2013 UFOP October 28, / 57

2 NOME 1 Medidas de Tendência Central Média aritmética Mediana Moda Separatrizes 2 Medidas de Dispersão Amplitude Total Variância e Desvio-padrão Coeficiente de Variação de Pearson UFOP October 28, / 57

3 Medidas de Tendência Central Uma medida de tendência central procura sintetizar as informações da amostra em um único e informativo valor. As principais medidas de posição estão apresentadas a seguir. UFOP October 28, / 57

4 Média aritmética A média é a principal medida de posição, sendo utilizada principalmente quando os dados apresentam distribuição simétrica ou aproximadamente simétrica, como acontece com a maioria das situações práticas. Simbologia: µ para a média populacional. X para a média amostral. UFOP October 28, / 57

5 A média populacional é calculada pela expressão a seguir: Para dados brutos µ = X 1 + X X N N em que, N é o tamanho da população. µ = N i X i N UFOP October 28, / 57

6 O estimador da média populacional é: Para dados brutos X = X 1 + X X n n em que, n é o tamanho da amostra. X = n i X i n Para dados agrupados em Tabela de Frequências k i X = X if i n em que, k é o número de classes. UFOP October 28, / 57

7 Exemplo Dados Brutos Vamos voltar ao exemplo das alturas,expressas em centímetros, de 30 atletas do sexo masculino de uma universidade: A média aritmética será dada por: X = X 1 + X X n n X = X = 173, 37 UFOP October 28, / 57

8 Exemplo Para dados agrupados em Tabela de Frequências A tabela de distribuição de frequências foi apresentada na aula anterior: UFOP October 28, / 57

9 Assim, a média aritmética será dada por: X = 5 i=1 X = X if i n 166, , , = 173, 53 UFOP October 28, / 57

10 Hipótese Tabular Básica Alguém pode questionar a razão da diferença observada no uso dos dois estimadores. A resposta é dada pela hipótese tabular básica, a qual considera que todos os elementos de uma classe são representados pelo seu ponto médio, fato este, que não é verdadeiro em praticamente todas as situações. Desta forma, este último resultado é apenas aproximado. No entanto, o erro cometido é mínimo e, portanto, pode ser desprezado. UFOP October 28, / 57

11 Propriedades da média A soma algébrica dos desvios em relação à média aritmética é nula. n (X i X) = 0 i A soma dos quadrados dos desvios de um conjunto de dados em relação a sua média e um valor mínimo. D = n (X i X) 2 i UFOP October 28, / 57

12 Propriedades da média A média de um conjunto de dados acrescido em cada elemento por uma constante e igual à média original mais essa constante. X = X + k em que X é a média do novo conjunto de dados e k é a constante. Multiplicando todos os dados por uma constante a nova média será igual ao produto da média anterior pela constante. X = X k A média é influenciada por valores extremos. UFOP October 28, / 57

13 Mediana A mediana divide as observações ordenadas em partes iguais. Para sua determinação é necessário o conhecimento da posição central. Para dados ordenados, temos basicamente têm-se duas situações distintas: Se n for par: Se n for ímpar: m d = X (n/2) + X ((n+2)/2) 2 m d = X (n+1) 2 UFOP October 28, / 57

14 Exemplo Dados ordenados No caso dos atletas a posição central está entre o 15 o e o 16 o elemento. Portanto, a mediana é a média aritmética destas duas observações. Logo, m d = X (30/2) + X (30+2)/2 m d = X (15) + X (16) 2 2 m d = 172, 5cm UFOP October 28, / 57

15 Dados agrupados em Tabela de Frequências No caso de dados agrupados a mediana pode ser calculada de acordo com a seguinte expressão: [ ] n/2 Fant m d = LI md + c md em que f md f md é a freqüência da classe mediana; c md é a amplitude da classe mediana; F ant é a frequência acumulada das classes anteriores à classe mediana; LI md é o limite inferior da classe mediana. A classe mediana é a classe que contém a posição n/2 (posição mediana) da distribuição de freqüência. UFOP October 28, / 57

16 Exemplo No caso dos atletas temos: Posição mediana = 30/2 = 15 (contida na 2 a classe), F ant = 6; LI md = 168, 4, f md = 9 e c md = 4, 40. Logo, [ ] 15 6 m d = 168, 4 + 4, 40 9 m d = 172, 8cm UFOP October 28, / 57

17 Propriedades da mediana A mediana de um conjunto de dados acrescido em cada elemento por uma constante e igual à mediana original mais essa constante. md = md + k em que md é a mediana do novo conjunto de dados e k é a constante. Multiplicando todos os dados por uma constante a nova mediana será igual ao produto da mediana anterior pela constante. md = md k UFOP October 28, / 57

18 Observação Muitas vezes existem dúvidas de qual medida utilizar para sintetizar os dados amostrais. Como uma regra geral, pode-se definir qual medida é mais conveniente para uma dada situação com base na análise do histograma ou do polígono de freqüências. Se a distribuição dos dados for assimétrica, isto é quando valores extremos predominam em uma das caudas da distribuição, deve se preferir a mediana como medida sintetizadora. Isto se deve ao fato da mediana ser pouco sensível a presença de valores extremos, sendo considerada mais robusta que a média. O termo robusto é o termo técnico usado para indicar esta propriedade da mediana em relação à média aritmética, que quando a situação de simetria é violada a mediana é uma medida que sofre menos interferências nas suas estimativas. UFOP October 28, / 57

19 Moda A moda é definida para dados qualitativos ou para quantitativos discretos como sendo o valor de maior freqüência na amostra. Para dados quantitativos contínuos a moda é o valor de maior densidade. Portanto para dados quantitativos contínuos o estimador da moda é baseado na distribuição de freqüências. Esse estimador busca encontrar o ponto de máximo do polígono de freqüências. Um conjunto pode ter mais de uma moda ou até mesmo não ter moda. UFOP October 28, / 57

20 O estimador da moda para dados quantitativos contínuos é definido a partir da distribuição de freqüência por meio de um método geométrico, o qual conduz a seguinte expressão: em que: mo = LI mo + LI mo : limite inferior da classe modal; c mo 1 : diferença entre as freqüências da classe modal e a classe anterior; 2 : diferença entre as freqüências da classe modal e a classe posterior; c mo : amplitude da classe modal. A classe modal é a classe com maior freqüência. UFOP October 28, / 57

21 Propriedades da moda A moda de um conjunto de dados acrescido em cada elemento por uma constante e igual à moda original mais essa constante. mo = mo + k em que mo é a mediana do novo conjunto de dados e k é a constante. Multiplicando todos os dados por uma constante a nova moda será igual ao produto da moda anterior pela constante. mo = mo k UFOP October 28, / 57

22 Relações empíricas entre média, mediana e moda X = md = mo (distribuição simétrica) X > md > mo (distribuição assimétrica à direita) X < md < mo (distribuição assimétrica à esquerda) UFOP October 28, / 57

23 Separatrizes São as medidas que separam a distribuição de freqüências em partes iguais. Vimos que a mediana divide a distribuição em duas partes iguais quanto ao número de elementos de cada parte. Agora vamos estudar outras medidas que dividem a distribuição em partes iguais, que serão as chamadas separatrizes. Lembrem-se: os dados deves etar ordenados em ordem crescente!!! UFOP October 28, / 57

24 Quartis Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim: Q 1 : 1 o quartil. Deixa 25% dos elementos antes do seu valor Q 2 : 2 o quartil. Deixa 50% dos elementos antes do seu valor. Coincide com a mediana. Q 3 : 3 o quartil. Deixa 75% dos elementos antes do seu valor. UFOP October 28, / 57

25 Genericamente, para determinar a ordem ou posição do quartil a ser calculado, usaremos a seguinte expressão: em que: E Qi = in/4 i é o número do quartil a ser calculado. n é o número de observações. UFOP October 28, / 57

26 Para dados não agrupados, vejamos um exemplo simples: Considere os dados ordenados: Neste caso temos n = 10 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Se eu estiver interessado em encontrar o terceiro quartil, temos: E Q3 = 3 10/4 = 7, 5 Se o número resultante for decimal, a regra é arredondar sempre para cima. Logo, Q 3 = 8. Assim, 75% dos valores estão abaixo de 8 e 25% dos valores estão acima de 8 na distribuição de dados apresentada no exemplo. UFOP October 28, / 57

27 Para dados agrupados em classes temos: [ ] EQi F ant Q i = LI + c em que f Qi LI = limite inferior da classe que contém o quartil desejado c = amplitude do intervalo de classe E Qi = elemento quartílico F ant = frequência acumulada até a classe anterior à classe que contém E Qi f Qi = frequência absoluta simples da classe quartílica. UFOP October 28, / 57

28 Decis Os decis dividem um conjunto de dados em dez partes iguais. De maneira geral, para calcular os decis, recorreremos à expressão que define a ordem em que o decil se encontra: E Di = in/10 em que: i é o número do decil a ser calculado. n é o número de observações. UFOP October 28, / 57

29 Para dados não agrupados, vejamos o exemplo anterior: Considere os dados ordenados: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} em que n = 10 Se eu estiver interessado em encontrar o D 6, temos: E D6 = 6 10/10 = 6 Se o número resultante for inteiro, a regra é fazer a média dele com o númeor imediatamente posterior a ele na ordem dos dados. Logo, D 6 = = 6, 5. Assim, 60% dos valores estão abaixo de 6, 5 e 40% dos valores estão acima de 6, 5 na distribuição de dados apresentada no exemplo. UFOP October 28, / 57

30 Para dados agrupados em classes temos: [ ] EDi F ant D i = LI + c em que f Di LI = limite inferior da classe que contém o decil desejado c = amplitude do intervalo de classe F ant = frequência acumulada até a classe anterior à classe que contém E Di f Di = frequência absoluta simples da classe que contém E Di. UFOP October 28, / 57

31 Percentis ou Centis Os percentis dividem um conjunto de dados em cem partes iguais. O elemento que definirá a ordem do centil será encontrado pelo emprego da expressão: E Ci = in/100 em que: i é o número do percentil a ser calculado. n é o número de observações. UFOP October 28, / 57

32 Para dados não agrupados, consideremos novamente: Considere os dados ordenados: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Se estivermos interessados em encontrar o P 75, temos: E P75 = 75 10/100 = 7, 5 Como o número resultante é decimal, temos, P 75 = 8. Assim, 75% dos valores estão abaixo de 8 e 25% dos valores estão acima de 8 na distribuição de dados apresentada no exemplo. Note que P 75 coincide com Q 3 UFOP October 28, / 57

33 Para dados agrupados em classes temos: [ ] ECi F ant C i = LI + c em que LI = limite inferior da classe que contém o percentil desejado c = amplitude do intervalo de classe F ant = frequência acumulada até a classe anterior à classe que contém E Ci f Ci = frequência absoluta simples da classe que contém E Ci. f Ci UFOP October 28, / 57

34 Exemplo Com base na tabela de distribuição de frequências abaixo encontre: Primeiro quartil Septuagésimo quinto centil Nono decil UFOP October 28, / 57

35 Exemplo Tabela 1 - consumo médio de eletricidade (kwh) entre 80 consumidores - RJ Consumo (Kwh) f i F A UFOP October 28, / 57

36 Resolução: Encontrar a posição do primeiro quartil: E Qi = in/4 = = 20 O Q 1 está localizado na 20 a posição, logo encontra-se na 3 a classe. Então, [ ] [ ] EQi F ant Q i = LI + c = = 59, f Qi Interpretação: 25% dos usuários consomem até 59,59 kwh. De maneira análoga, 75% dos usuários consomem mais de 59,59 kwh. UFOP October 28, / 57

37 Resolução: Encontrar a posição do septuagésimo quinto percentil: E Ci = in/100 = = 60 O C 75 está localizado na 60 a posição, logo encontra-se na 5 a classe. Então, [ ] [ ] ECi F ant C i = LI + c = = 99, f Ci Interpretação: 75% dos usuários consomem até 99,29 kwh. De maneira análoga, 25% dos usuários consomem mais de 99,29 kwh. UFOP October 28, / 57

38 Resolução: Encontrar a posição do nono decil: E Di = in/10 = = 72 O d 9 está localizado na 72 a posição, logo encontra-se na 6 a classe. Então, [ ] [ ] EDi F ant D i = LI + c = = f Di Interpretação: : 90% dos usuários consomem até 125 kwh. De maneira análoga, 10% dos usuários consomem mais de 125 kwh. UFOP October 28, / 57

39 Medidas de dispersão ou de variabilidade As medidas de posição não informam sobre a variabilidade dos dados e são insuficientes para sintetizar as informações amostrais. Para exemplificar este fato, tem-se a seguir três amostras com a mesma média: A = {8, 8, 9, 10, 11, 12, 12} X A = 10 B = {5, 6, 8, 10, 12, 14, 15} X B = 10 C = {1, 2, 5, 10, 15, 18, 19} X C = 10 UFOP October 28, / 57

40 Pode-se observar que as amostras diferem grandemente em variabilidade. Por esta razão torna-se necessário estabelecer medidas que indiquem o grau de dispersão, ou variabilidade em relação ao valor central. Desta forma pode-se afirmar que uma amostra deve ser representada por uma medida de posição e dispersão. As principais medidas de dispersão que são: Amplitude total Variância e Desvio-padrão Coeficiente de Variação de Pearson UFOP October 28, / 57

41 Amplitude total A amplitude total é definida como a diferença entre o maior e o menor valor de uma amostra. A = X (n) X (1) Note que para os conjuntos de dados A, B, C, temos: A A = 12 8 = 4 A B = 15 5 = 10 A C = 19 1 = 18 UFOP October 28, / 57

42 Desvantagens A amplitude tem as seguintes desvantagens: só considerar os valores extremos para o seu cálculo, e principalmente se houver outlier ela será grandemente afetada; ser influenciada pelo tamanho da amostra, pois à medida que a amostra aumenta a amplitude tende a ser maior. UFOP October 28, / 57

43 Variância e Desvio-padrão A variância é uma medida da variabilidade que considera todas as observações e, devido às propriedades que possui, é a mais utilizada na maioria das situações na estatística. A variância relaciona os desvios em torno da média e sua raiz quadrada é conhecida como desvio-padrão. Simbologia σ 2 para a variância populacional e σ para o desvio-padrão populacional s 2 para a variância amostral e s para o desvio-padrão amostral UFOP October 28, / 57

44 A variância populacional é dada por: σ 2 = N i=1 (X i µ) 2 N em que N é o tamanho da População. UFOP October 28, / 57

45 A variância amostral é dada por: s 2 = n i=1 (X i X) 2 n 1 em que n é o tamanho da amostra e (n 1) é denominado graus de liberdade.. UFOP October 28, / 57

46 Numa amostra de tamanho n deveria ser utilizado este valor (n) como divisor desta soma de quadrados de desvios. No entanto, devido a motivos associados a propriedades dos estimadores, o divisor da variância amostral é dado por n-1 em lugar de n na expressão do estimador da variância. A unidade da variância é igual ao quadrado da unidade dos dados originais. O desvio padrão, por sua vez, é expresso na mesma unidade do conjunto de dados, sendo obtido pela extração da raiz quadrada da variância. UFOP October 28, / 57

47 Para o cálculo da variância ou desvio padrão amostral a partir dos dados elaborados é preferível utilizar as seguintes expressões: [ n ] s 2 = 1 Xi 2 ( n i=1 X i) 2 n 1 n e i=1 s = s 2 UFOP October 28, / 57

48 Para dados agrupados temos: [ k ] s 2 = 1 f i X 2 i ( k i=1 f ix i ) 2 n 1 n i=1 em que k é o número de classes. Exemplo Assim, para os conjuntos de dados A, B, C, temos: s 2 A = 3 s2 B = 15 s2 C = 56, 57 s A = 1, 77 sb = 3, 87 sc = 7, 53 UFOP October 28, / 57

49 O Desvio-padrão A variância é expressa pelo quadrado da unidade de medidad da variável que está sendo estudada. Assim, e a variável sob análise for medida em metro, então a variância será expressa em m 2. Para melhr interpretar a dispersão de uma variável, usaremos o desvio padrão, que será expresso na unidade de medida original dos dados. Trata-se da mais importante das medidas de dispersão, pois indica a dispersão média absoluta dos dados em torno da própria média aritmética. UFOP October 28, / 57

50 Interpretação do Desvio-padrão Numa linguagem mais simplista, devemos ter em mente que o desvio-padrão mede a variação entre valores. Assim: Se os valores estiverem próximos uns dos outros, então o desvio-padrão será pequeno, e conseqüentemente os dados serão homogêneos. Ou seja, haverá uma grande concentração de dados em torno da média. Se os valores estiverem distantes uns dos outros, então o desvio-padrão será grande, e conseqüentemente os dados serão heterogêneos. Ou seja, os valores não se concentrarão com tanta intensidade em torno da média. UFOP October 28, / 57

51 Propriedades Variância Somando ou subtraindo uma constante aos dados a variância não se altera; Multiplicando todos os dados por uma constante K a nova variância ficara multiplicada por K 2. Desvio-padrão Somando ou subtraindo uma constante K aos dados o desvio padrão não se altera; Multiplicando todos os dados por uma constante K o novo desvio padrão fica multiplicado por K. UFOP October 28, / 57

52 Coeficiente de Variação de Pearson A variância e o desvio padrão medem a variabilidade absoluta de uma amostra. Portanto, a variabilidade de amostras de grandezas diferentes ou de médias diferentes não pode ser comparada diretamente pelas estimativas da variância ou do desvio padrão obtidas. O desvio padrão ou variância permitem a comparação da variabilidade entre conjuntos numéricos que possuem a mesma média e a mesma unidade de medida ou grandeza. Nos casos em que os conjuntos possuem diferentes unidades ou possuem médias diferentes, uma medida de dispersão relativa, como o coeficiente de variação (CV), é indispensável para se comparar à variabilidade. UFOP October 28, / 57

53 O coeficiente de variação refere-se à variabilidade dos dados mensurada em relação a sua média, sendo obtido pela expressão seguinte: CV p = σ µ x100 O estimador do Coediciente de Variação populacional CV p é dado por CV = s X x100 O coeficiente de variação é a expressão do desvio-padrão como porcentagem da média do conjunto de dados. É uma medida adimensional de variabilidade, ou seja, não possui unidade de medida. UFOP October 28, / 57

54 Algumas regras empíricas para a interpretação do coeficiente de variação Se CV < 15% há baixa dispersão boa representatividade da média aritmética como medida de posição. Se 15% CV < 30% há média dispersão a representatividade da média aritmética como medida de posição é apenas regular. Se CV 30% há elevada dispersão a representatividade da média aritmética como medida de posição é ruim. UFOP October 28, / 57

55 Exemplo A média e o desvio-padrão da produtividade de duas cultivares de milho são: X = 4, 0t/ha e s A = 0, 8t/ha para a variedade de polinização aberta A e X = 8, 0t/ha e s A = 1, 2t/ha para o híbrido simples B. Qual das cultivares possui maior uniformidade de produção? UFOP October 28, / 57

56 Se ao inspecionar as estatísticas apresentadas, você respondesse que variedade de polinização aberta A seia a demaior uniformidade e que a razão seria o menordesvio padrao apresentado, você teria cometido um engano. Embora as unidades não sejam diferentes, as médias das amostras o são. Assim, não é correto utilizar uma medida de varabilidade absoluta, como o desvio-padrão, para compará-las. O procedimento adequado é calcular o CV para as cultivares e aí sim, proceder a comparação. UFOP October 28, / 57

57 CV A = 0, 8 x100 = 20% 4, 0 CV p = 1, 2 x100 = 15% 8 Assim, é fácil observar que o milho híbrido simples (B) é o mais uniforme, pois possui menor CV do que a variedade de polinização aberta A. UFOP October 28, / 57