Prof. Dr. Engenharia Ambiental, UNESP

Transcrição

1 INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA ESPACIAL Análise Exploratória dos Dados Estatística Descritiva Univariada Roberto Wagner Lourenço Roberto Wagner Lourenço Prof. Dr. Engenharia Ambiental, UNESP

2 Estrutura da Apresentação Estatística descritiva e inferencial Tipos de dados Variável aleatória Apresentação estatística Distribuição de freqüências Medidas descritivas Modelos de distribuição Populações estatísticas

3 Estatística descritiva e inferencial A estatística descritiva tem por objetivo descrever a realidade observada (população ou amostra), usando métodos numéricos e métodos gráficos e realizando comentários simples de maneira mais informativa possível. Pode-se dizer que a estatística descritiva ocupa-se do tratamento de dados quantitativos (ordenação, exposição e sumarização de registros de dados) do fenômeno em estudo. A estatística inferencial (ou indutiva) ocupa-se em formular inferências sobre uma população, com base em informações contidas na amostra. Ou seja, através de técnicas inferenciais conclui-se para o todo, a partir da observação de uma parte. Assim, os métodos de estatística inferencial só podem ser utilizados, com algum sentido, sobre dados amostrais.

4 Tipos de dados A experiência diária mostra a necessidade de se fazer generalizações sobre assuntos e circunstâncias que freqüentemente ultrapassam as fronteiras do quotidiano indicando que, dentro de certos limites, o conhecimento de uma parte do todo é uma informação prática e útil que pode ser aplicável à totalidade. Essa parte representativa do todo é denominada amostra. O procedimento de obtenção de uma amostra chama-se levantamento por amostragem e é utilizado para diminuir o custo total do levantamento de dados. As características numéricas de uma população chama-se parâmetros, enquanto que estatísticas são características de uma amostra. Normalmente, as estatísticas são utilizadas como base para se estimar os parâmetros populacionais.

5 Variável aleatória Variável em estatística, é a atribuição de um número a cada característica da unidade de observação, ou seja, é uma função matemática definida na população. É importante que se saiba distinguir entre variáveis quantitativas e qualitativas. Uma outra distinção importante é entre variáveis discretas e variáveis contínuas. Uma variável aleatória é uma variável que tem associada a si as possibilidades de assumir seus diferentes valores (no caso de a variável ser discreta) ou se encontrar dentro de intervalos determinados (no caso de ser contínua).

6 Uma variável aleatória também possui média e variância. A sua média, também chamado valor esperado ou esperança matemática, e que se representa por E(x), é a média aritmética dos valores assumidos pela variável ponderados por suas respectivas probabilidades. Quando a variável é discreta, tais probabilidades são dadas pela chamada função de probabilidade e, para variáveis aleatórias contínuas, pela função distribuição de probabilidade.

7 Apresentação estatística Uma vez coletados, os dados devem ser reunidos de forma utilizável. Geralmente isso é feito por meio de tabelas e gráficos, constituindo a chamada apresentação estatística. A forma mais simples de apresentar um banco de dados, por exemplo, é simplesmente listá-lo. A única informação, no entanto, que esse tipo de apresentação fornece é o valor da variável em cada posição espacial. Nenhum conhecimento quanto à natureza da distribuição global é agregado. γ G

8 Distribuição de freqüências A distribuição de freqüências de uma variável é o conjunto das freqüências de todos os diferentes valores observados da variável. O perfil da distribuição de freqüências ajuda a identificar a forma (o padrão, o tipo) de distribuição da variável. Quando a variável for contínua ou quando houver um grande número de valores observados diferentes, deve-se agrupar as observações em intervalos de classe. As freqüências, no caso, estarão associadas não a valores individuais mas ao intervalo como um todo. Para efeitos de cálculos, supõem-se que todos os valores observados dentro de um mesmo intervalo sejam iguais ao respectivo ponto médio.

9 Dados Dados Tabela de Freqüência Intervalos Freqüência Freqüência Freqüência Freqüência de Classes Absoluta RelativaPercentual Acumulada Total

10 O histograma é um diagrama de colunas justapostas tal que a área de cada retângulo (coluna) é proporcional à freqüência (absoluta ou relativa) da classe particular. Se os intervalos possuírem todos igual amplitude, o histograma é obtido desenhando-se colunas cujas alturas sejam iguais às freqüências (absolutas ou relativas) da classe respectiva. Uma das ferramentas estatísticas mais amplamente utilizadas, permite representar graficamente a tabela de freqüências.

11 O histograma pode ser construído de maneira a contemplar toda a distribuição dos dados ou somente uma parte que se deseja detalhar; Em caso de dados espalhados em um intervalo de várias ordens de magnitude, o uso de escala logarítmica é recomendado permite que se veja toda a distribuição; Usando intervalos de classes regulares é possível ver toda a distribuição sem perda de detalhes; É útil quando se procura identificar a existência de múltiplas populações.

12 Medidas descritivas Medidas de tendência central: Média: aritmética, é o centro de gravidade da distribuição da variável. Requer que a variável seja quantitativa e é pouco sensível a variações nos valores centrais, enquanto que (e esta é sua maior desvantagem) é grandemente afetada pelos valores extremos da variável. m = 1 n n i= 1 v i Mediana: é o valor que divide o conjunto de observações exatamente ao meio, de tal maneira que o número de observações maiores do que a mediana seja igual ao número de observações menores do que a mediana.

13 A aplicação da mediana requer que a variável possa ser ordenável. Uma desvantagem da mediana é ser muito afetada por ligeiras variações nos valores centrais da variável. Em compensação, ela permanece inalterada para mudanças ainda que grandes nos valores extremos da distribuição. Moda: é a medida de tendência central mais simples e é aplicável a qualquer variável, seja quantitativa ou qualitativa. É o valor médio do intervalo de freqüência com maior quantidade de valores e é extremamente sensível a pequenas alterações nos valores observados.

14 Em distribuições simétricas: Média = Mediana = Moda Em distribuições com assimetria positiva ou para a direita: Moda < Mediana < Média Em distribuições com assimetria negativa ou para a esquerda: Média < Mediana < Moda Assimetria Negativa Simétrica Assimetria Positiva

15 Medidas de localização: Quartis: Q1: valor no qual temos histograma cumulativo igual a 25% Q3: valor no qual temos histograma cumulativo igual a 75% Mínimo: valor no qual temos histograma cumulativo igual a 0% Máximo: valor no qual temos histograma cumulativo igual a 100% Quantis: q(p) = valor no qual temos histograma cumulativo igual a p% (divide a distribuição em duas partes) M=q(0,5) Q1=q(0,25) Q3=q(0,75) min=q(0) max=q(1)

16 Medidas de espalhamento: Variância: é a diferença quadrática média entre os valores observados e sua média. É muito sensível a valores extremos e é medida na mesma unidades das amostras ao quadrado. σ 2 = 1 n n i= 1 (v i m) 2 Desvio padrão: é igual à raiz quadrada da variância. É mais freqüentemente usado, já que tem unidade igual à das amostras. Distância interquartil (IQR): não usa a média como centro da distribuição, sendo preferido como medida de espalhamento quando poucos valores extremos influenciam a média. IQR = Q3 Q1

17 Medidas de forma: Coeficiente de assimetria ( skewness ): extremamente sensível a valores extremos, é dado por: CS = 1 n n i= 1 (v σ 3 i m) 3 CS < 0 CS 0 CS > 0

18 Medidas de forma: Curtose: Caracterizar a forma da distribuição quanto a seu achatamento Assim, quanto ao seu achatamento, a distribuição normal é mesocúrtica. As distribuições mais achatadas que a normal são ditas platicúrticas e as menos achatadas são ditas leptocúrticas. Esse coeficiente é admensional, sendo menor que 0 para as platicúrticas, = 0 para mesocúrtica e > 0 para leptocúrticas.

19 Coeficiente de variação (CV): útil como medida de assimetria para distribuições assimétricas positivas com valor mínimo igual a 0. Fornece uma indicação do grau de dificuldade para estimativas locais: < 1 problema simples CV = σ/m 1-2 alguma dificuldade com valores extremos, > 2 valores extremos devem gerar grande dificuldade na estimativa

20 Valores extremos: valores erráticos que pertencem à solução do problema e devem ter impacto significativo na estimativa. Outliers: valores normalmente elevados que não são relevantes para a solução da meta imposta pelo estudo. O que fazer com os valores extremos? i. Declará-los valores errôneos e removê-los? ii. Classificá-los como pertencentes à outra população? iii. Levantar a hipótese de tamanho diferente da amostra? iv. Estratificação da região? Utilizar parâmetros estatísticos mais robustos, que não sejam afetados pela média. Ex.: mediana, distância entre quartis (IQR). Trabalhar com dados transformados (ex.: log). Cuidado ao retornar os valores ao espaço original dos dados.

21 Sumário estatístico Vantagens Compacto e portável; Algumas estatísticas correspondem diretamente a parâmetros físicos relevantes; média = concentração esperada Mediana = permeabilidade efetiva Podem ser usados como parâmetros de um modelo de distribuição. Desvantagens Freqüentemente muito condensados; Algumas estatísticas são fortemente influenciadas por valores extremos (m, σ, σ 2, assimetria, curtosidade); Certas estatísticas são afetadas por vazios no meio da distribuição (M, Q 1, Q 3, IQR).