Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Viali, Dr. PUCRS FAMAT: Departamento de Estatística

Transcrição

1 Prof. Lorí Viali, Dr.

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3 Coleção de números n estatísticas sticas O número n de carros vendidos no país aumentou em 30%. A taxa de desemprego atinge, este mês, 7,5%. As ações a da Telebrás s subiram R$,5, hoje. Resultados do Carnaval no trânsito: 45 mortos, 430 feridos.

4 Estatística: stica: uma definição A ciência de coletar, organizar, apresentar, analisar e interpretar dados com o objetivo de tomar melhores decisões.

5 Estatística (divisão) Os procedimentos usados Descritiva para organizar, resumir e apresentar dados. A coleção de métodos e Indutiva técnicas utilizados para estudar uma população baseado em amostras probabilísticas desta população.

6 População Uma coleção de todos os possíveis elementos, objetos ou medidas de interesse.

7 Censo Um levantamento efetuado sobre toda uma população é denominado de levantamento censitário ou simplesmente censo.

8 Amostra Uma porção ou parte de uma população de interesse.

9 Amostragem O processo de escolha de uma amostra da população é denominado de amostragem.

10 Trabalha com uma única característica dos dados PROBABILIDADE (Matemática) Univariada ESTATÍSTICA (Matemática Multivariada Aplicada) Trabalha com duas ou mais características dos dados

11 P R O BA POPULAÇÃO (Censo) B IL Erro Inferência I D A D E AMOSTRA (Amostragem)

12 Estatística Descritiva Probabilidade Amostragem Estatística Indutiva

13 Estatística x Probabilidade Faces Probabilidades Faces Freqüências /6 5 /6 8 3 / / /6 5 6 /6 6 7 Total Total 0

14 Arredondamento Todo arredondamento é um erro. O erro deve ser evitado ou então minimizado.

15 Regra básica: Arredondar sempre para o mais próximo.

16 Exemplos:,456,46,454,45,475,48,485,49

17 V A R I Á V E I S Qualitativas Quantitativas Nominal Ordinal Discreta Contínua nua

18 Variável Qualitativa NOMINAL ORDINAL Sexo Religião Estado civil Curso Conceito Grau de Instrução Mês Dia da semana

19 Variável Quantitativa DISCRETA Número de faltas Número de irmãos Número de acertos Altura Área CONTÍNUA Peso Volume

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21 Organização; Resumo; Apresentação. Conjunto de dados: Amostra ou População

22 Um conjunto de dados é resumido de acordo com as seguintes características: Amostra ou População Tendência ou posição central Dispersão ou variabilidade Assimetria (distorção) Achatamento ou curtose

23 Tendência ou Posição Central S Aritmética i Geométrica m (a) As médias p Harmônica l e Quadrática s Interna

24 A média Aritmética n x x n n x... x x x i i n A média Geométrica n i n n g x x.... x. x m

25 A média Harmônica x n x... x x n n x... x x m i n n h A média Quadrática n x n...x x x m i n q + +

26 A média m Interna É a mesma média aritmética só que aplicada sobre o conjunto onde uma parte dos dados (extremos) é descartada.

27 Exemplo Médias Conjuntos x m g m h ,9 4, ,8

28 Relação entre as médias Dado um conjunto de dados qualquer, as médias aritmética, geométrica e harmônica mantém a seguinte relação: x m g m h

29 Tendência ou Posição Central (a) As médias P o n d er a d as Aritmética Geométrica Harmônica Quadrática

30 A média Aritmética Ponderada m ap x.w w + x + w.w w x k k.w k x.w i i w i

31 A média Geométrica Ponderada m gp w i x w.x w.... x w k k w i x w i i

32 A média Harmônica Ponderada x w w x w... x w x w w w w m i i i k k k h P

33 Exemplo Produtos p 0 p 0 q Carne 6,80 7,5 6 Cana 5,0 4,95 Carvão 4,50 5,00 Ceva,0,5 Limão,0,95 Pão,50,80

34 Ponderações Produtos Carne Cana Carvão Ceva Limão Pão Total p 6,80 5,0 4,50,0,0,50 p 7,5 4,95 5,00,5,95,80 q 6 36 p.q 40,80 5,0 4,50 39,60,0 3,00 95,0 Pesos 0,486 0,0546 0,0473 0,460 0,0 0,035,0000

35 Produtos Carne Cana Carvão Ceva Limão Pão Total p 6,80 5,0 4,50,0,0,50 p 7,5 4,95 5,00,5,95,80 p.q 40,80 5,0 4,50 39,60,0 3,00 95,0 Pesos 0,486 0,0546 0,0473 0,460 0,0 0,035,0000 Relativos,059 0,959,,364,4048,000

36 Solução Média aritmética ponderada dos relativos (aumentos) será: m ap,.0,43+ 0,95.0,05+,.0,05+,40.0,4 +,40.0,0+,0.0,03 0,43+ 0,05+ 0,05+ 0,4+ 0,0+ 0,03,00,00%,00%. Por este critério o aumento foi de

37 Média geométrica ponderada dos relativos (aumentos) será: m gp 0,43 0,05 0,05 0,4 0,0 0, 03,, 0,43 0,95 0,95 0,05,,83,83%, 0,05,3,3 0,4.,40.,40 0,0.,0.,0 0,03,83%. Por este critério o aumento foi de

38 Média harmônica ponderada dos relativos (aumentos) será: m h P 0,43, + 0,05 0,95 + 0,05, + 0,4,4 + 0,0,40 + 0,03,0 0,86,67,67 %,67%. Por este critério o aumento foi de

39 Tendência ou Posição Central (b) A mediana (median) É o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos do mesmo tamanho. m e [x (n/) + x (n/)+ ]/ se n é par m e x (n+)/ se n é ímpar

40 Tendência ou Posição Central (b) Separatrizes A idéia de repartir o conjunto de dados pode ser levada adiante. Se ele for repartido em 4 partes tem-se os QUARTIS, se em 0 os DECIS e se em 00 os PERCENTIS.

41 Exemplo Considere o seguinte conjunto: Como n 7 (ímpar), então x (n+)/ x 4 Ordenando o conjunto, tem-se: Então: m e x 4

42 Se o conjunto for: Tem-se: n 8 (par) Então m e [x n/ +x n/+) ]/ (x 4 + x 5 )/ Ordenando o conjunto, tem-se: m e (x 4 + x 5 )/ ( + )/,50

43 Tendência ou Posição Central (c) A moda (mode) É o(s) valor(es) do conjunto que mais se repete(m).

44 Exemplo Considere o conjunto Então: m o Pois, o dois é o que mais se repete (três vezes).

45 Exemplo Considere o conjunto: Então: m o e m o Conjunto bimodal

46 Exemplo 3 Considere o conjunto: Este conjunto é amodal, pois todos os valores apresentam a mesma freqüência.

47 Dispersão ou Variabilidade (a) A amplitude (h) (b) O Desvio Médio (dma) (c) A Variância (s ) (d) O Desvio Padrão (s) (e) A Variância Relativa (g ) (f) O Coeficiente de Variação (s)

48 A Amplitude (range) h x máx - x mín Considere o conjunto: h 5 (-) 7

49 O dma (average deviation) Considere o conjunto: A média é: x 5 5

50 Calculando os desvios: xi x Tem-se: d - -3 d - - d d 4 3 d 5 5 4

51 Como pode ser visto a soma é igual a zero. Tomando o módulo vem: dma 5 3 x i x n + + 5,

52 Se ao invés de tomar o módulo, elevarmos ao quadrado, tem-se:, ) ( ) ( 3 ) ( n ) x x ( s i A variância (variance)

53 A variância de um conjunto de dados será: s ( x x ) ( x i n + ( x x ) x ) n ( x x i s n n x x )

54 O Desvio Padrão (standard deviation) É a raiz quadrada da variância x ) i s ( x i n x n x

55 Se extrairmos a raiz quadrada teremos do resultado anterior teremos: s ( x i n x ) 6,80,6

56 A Variância Relativa g s x O Coeficiente de Variação g s x

57 O coeficiente de variação do exemplo anterior, será: s,6077 g x 60,77 %

58 Grande Conjuntos de Dados Organização; Resumo; Apresentação. Amostra ou População

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61 Conceitos em Matemática Escola Virgulina Travessão - Segundo Bimestre de 007 Ótimo Muito Bom Bom Regular Insuficiente Insuficiente Regular Bom Muito Bom Ótimo... Regular Muito Bom Insuficiente Regular Bom Muito Bom Ótimo Ótimo Ótimo Muito Bom...

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63 Distribuição de freqüências Conceito Ótimo Muito Bom Bom Regular Insuficiente Total Alunos % 3,5,5 3,0 8,0 5,0 00

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65 F R E Q Ü Ê N C I A S Absoluta Simples Relativa Absoluta Acumuladas Relativa Apresentação Decimal Percentual Apresentação Decimal Percentual

66 Freqüências: representação Valores 0 f i 60 F i 60 fr i 0,30 fr i 30 Fr i Total ,5 0,0 0,5 0,05 0,03 0,0,

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68 Conceitos em Matemática % 5% 4% 0% 7% 4% 9%

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70 Número de irmãos dos alunos da turma C - Estatística - UFRGS - 007/

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72 Distribuição de freqüências por ponto ou valores da variável: Número de irmãos dos alunos da turma C da disciplina: Estatística UFRGS - 007/0.

73 N 0 de irmãos N 0 de alunos

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75 Diagrama de colunas simples da variável: Número de irmãos dos alunos da turma C, Disciplina: Estatística, UFRGS - 007/0

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79 A média m Aritmética tica Neste caso, a média a dada por: x f x + f f +. x f f f k k.x k f i. n x i

80 Exemplo x i f i f i x i

81 A média será, então: x f i.xi 95 n 50,90 irmãos

82 A Mediana Como n 50 é par, tem-se: me + x n / x(n / ) + x50 / x( 50 / ) + + x 5 + x 6 + irmão

83 Exemplo x i f i F i Total de dados n 50 (par) Metade dos dados n/ 5

84 A Moda m o valor(es) que mais se repete(m)

85 Exemplo x i f i A Pois moda ele se é repete mais igual a vezes (um)

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87 A Amplitude h x máx - x mín h irmãos

88 O Desvio Médio Neste caso, o dma será dado por: dma f f x. x n i x + f f x i x x f + f f k k x k x

89 Exemplo x i f i x f i x i ,90 3,30.,90 8,90 8.,90 0, ,90 5, ,90 8, ,90 9,30. 6,90 8,0 64,40

90 O dma será, então: dma f i. x n i x 64,40 50,9 irmãos

91 A Variância Neste caso, a variância será: s f (x f x) i (x n i + f x) (x x) n f i n x i x f k (x k x)

92 Exemplo x i f i f i x i

93 A variância será, então: s f i n x i x 99 50,90,3700 irmãos

94 O Desvio Padrão O desvio padrão será dado por: s f n i x i x,3700,5395,54 irmãos

95 O Coeficiente de Variação Dividindo o desvio padrão pela média, tem-se o coeficiente de variação:, g,90 8,03 %

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97 Idade (em meses) dos alunos da turma C da disciplina Estatística - UFRGS - 007/0

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100 Distribuição por classes ou intervalos da variável idade dos alunos da turma C da disciplina: Estatística da UFRGS - 007/0

101 Idades Total Número de alunos

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103 Histograma de freqüências da variável Idade dos alunos da turma C de Estatística da UFRGS - 007/0.

104 fi / hi 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,

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106 Antes de apresentar as medidas, i. é, representantes do conjunto, é necessário estabelecer uma notação para alguns elementos da distribuição.

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108 x i ponto médio da classe; f i freqüência simples da classe; li i limite inferior da classe; ls i limite superior da classe; h i amplitude da classe.

109 O Ponto Médio M da Classe x i f i x i

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111 A Média M da Distribuição x i f i f i.x i

112 Exemplo A média será: x f i.x n i ,0 meses

113 A Mediana Neste caso, utilizam-se as freqüências acumuladas para identificar a classe mediana, i. é, a que contém o(s) valor(es) central(is).

114 Exemplo x i f i F i Total de dados n 50 (par) Metade dos dados n/ 5

115 Portanto, a classe mediana é a terceira. Assim i 3. A mediana será obtida através da seguinte expressão:

116 meses f F n h li m i i i i e

117 A Moda Neste caso é preciso inicialmente apontar a classe modal, i. é, a de maior freqüência. Neste exemplo é a primeira com f i. Assim i.

118 Exemplo i x i f i Classe modal, pois f i.

119 Portanto a moda poderá ser obtida através de uma das seguintes expressões:

120 Critério de King: 50meses f f f h li m i i i i i o

121 Critério de Czuber: meses ) 9 0 ( ) f f (.f f f h li m i i i i i i i o

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123 A Amplitude h x máx - x mín h meses

124 O Desvio Médio M Absoluto Neste caso, o dma será dado por: dma f f x. x n i x + f f x i x x f + f f k k x k x

125 Exemplo x i f i f i. x i - x ,0 54, ,0 6, ,0 4, ,0 03, ,0 08, ,0 74, ,0 4,40 6,60

126 O dma será, então: dma f. x n i i x 6, ,43 meses

127 A Variância Neste caso, a variância será: s f (x x) + f (x x) n f k (x k x) f i (x n i x) f i n x i x

128 Exemplo x i f i f i. x i

129 A variância será, então: s f i n x i x ,0 40,96 meses

130 O Desvio Padrão O desvio padrão será dado por: s f n i x i x 40,96 37, ,70 meses

131 O Coeficiente de Variação Dividindo a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiente de variação: 37,69563 g 85,0 3,%

132 Skewness

133 Primeiro Coeficiente ( de Pearson) a (Média - Moda) / Desvio Padrão Segundo Coeficiente ( de Pearson) a 3.(Média - Mediana) / Desvio Padrão

134 Coeficiente Quartílico CQA [(Q 3 - Q ) - (Q - Q )]/(Q 3 - Q ) Coeficiente do Momento a 3 m 3 /s 3, onde m 3 Σ(X - x ) 3 /n

135 Coeficiente 0 Conjunto Simétrico Provão 000 Curso: Odonto

136 Coeficiente < 0 Conjunto: Negativamente Assimétrico Provão 000 Curso: Jornalismo

137 Coeficiente > 0 Conjunto: Positivamente Assimétrico Provão 000 Curso: Eng. Elétrica

138 (Kurtosis)

139 Coeficiente de Curtose (momentos) a x 4 m 4 /s 4, onde m 4 Σ(X - ) 4 /n

140 Coeficiente 3 ou 0 Conjunto: Mesocúrtico Provão 000 Curso: Odonto

141 Coeficiente > 3 ou (> 0) Conjunto: Leptocúrtico Provão 000 Curso: Matemática

142 Coeficiente < 3 ou (< 0) Conjunto: Platicúrtico Provão 999 Curso: Eng. Civil

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144 Se y ax +b Então: y ax + b s y a s x s y a s x

145 Posições Relativas A média e o desvio padrão são as duas principais medidas utilizadas para descrever um conjunto de dados. Elas, também, podem ser utilizadas para comparações, isto é, para fornecer a posição relativa de um valor em relação ao conjunto como um todo.

146 O escore z Seja (x, x,..., x n ) uma amostra de n x observações. Sejam e s a média e o desvio padrão da amostra. Então o escore z i é o valor que fornece a posição relativa de cada x i da amostra, tendo como ponto de referência a média e como medida de afastamento o desvio padrão.

147 O escore z zi x i - s x O escore z fornece o número de desvios padrão que cada valor está acima ou abaixo da média. O escore,5, significa que este valor está um desvio e meio abaixo da média.

148 O escore Z é também uma variável, que é obtida pela transformação da amostra original. Ela apresenta média igual a zero e desvio padrão igual a um.

149 Exemplo Considere o seguinte amostra:

150 Assimetria Curtose 0,33-0,

151 Calcular os escores z para cada valor da amostra. Representar os valores da amostras e os escores em diagramas para verificar se houve alteração no formato da distribuição dos dados.

152 Solução: A média e o desvio padrão da amostra são: 40 e 3,69. Então os escores padronizados serão: 0,3066 0,997-0,997-0,63-0,63 -,63-0,3066-0,63 0,3066,538,63 -,538,456 -,538 0,0000 0,0000 0,0000 -,63 0,3066-0,997-0,63-0,997-0,3066-0,3066,63 0,63 0,63-0,3066 0,997 0,63 0,3066-0,3066 0,3066 -,538 0,0000,63 -,63 0,0000-0,997 0,0000 -,63-0,3066,460 0,0000 0,997 -,8394,538-0,63 0,63,8394

153 Assimetria Curtose 0,37-0,3 0 -,84 -,3-0,6 0,00 0,6,3,84,45

154 Propriedades A média do escore padronizado é zero; O desvio padrão do escore padronizado é um. A forma da distribuição do escore padronizado é a mesma dos dados originais.

155 Escalas O escore Z não é utilizado normalmente da forma como é calculado. É comum a utilização de uma escala linear de transformação. As duas mais utilizadas são:

156 Escalas A escala T que é obtida através da seguinte transformação T 0.Z + 50 A escala A que é utilizada nos vestibulares é obtida por: A 00.Z + 500

157 Teorema de Chebyshev O teorema de Chebyshev permite verificar qual é o percentual mínimo de valores de um conjunto de dados que deve estar um certo número de desvios em torno da média.

158 Em qualquer conjunto de dados com desvio padrão s, pelo menos ( /z ) dos valores do conjunto devem estar entre z desvios em torno da média, onde z é um valor tal que z >.

159 Exemplos: Assim pelo menos: 75% dos valores estão dentro de z desvios a partir da média; 89% dos valores estão dentro de z 3 desvios a contar da média; 94% dos valores estão dentro de z 4 desvios a contar da média.

160 Graficamente X - X < S - /4 75%.