Estatística descritiva

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2 Estatística descritiva

3 Para que serve a estatística? Qual o seu principal objectivo? obter conclusões sobre a população usando uma amostra? População Amostragem Amostra Uma ou mais variáveis (X) são observadas Algumas Noções

4 População Amostragem Amostra Uma ou mais variáveis (X) são observadas Verdadeiro valor µ medição média

5 Exatidão + - Precisão + * * * * * * µ * µ * * * * * * * - * * * * * * µ * µ * * * * * * * * *

6 ESTATÍSTICA 1. Estatística Descritiva Explorar, apresentar e resumir os dados da amostra. (tabelas, Gráficos, medidas de localização, medidas de dispersão, etc.). Inferência Estatística Afirmações sobre parâmetros da população. (Estimativas pontuais, intervalos de confiança, Testes de hipóteses) Algumas Noções

7 Exemplos de variáveis X - indica o Sexo (Masculino, Feminino). X - representa a Altura (cm). X - representa o Número de filhos. X - representa o Grupo Sanguíneo. X - representa o Resultado do Tratamento (melhoria, sem alterações, pioria). Tipos de Variáveis Qualitativas Quantitativas Algumas Noções

8 Qualitativas Nominais Não existe uma ordem entre as categorias Exemplos: Sexo (dicotómica), Grupo sanguíneo (policotómico). Ordinais Existe uma ordem natural Exemplos: Resultado do tratamento ( - ; = ; + ) Habilitações literárias Classe social. Algumas Noções

9 Quantitativas Discretas (contagens) Exemplos: Nº. de elementos do agregado familiar. Número de glóbulos brancos numa amostra de sangue. Contínuas Exemplos: Altura, Idade, Pressão arterial. Algumas Noções

10 Como descrever Distribuições? Variável qualitativa Tabelas Tabela de Frequências (Qual a frequência de cada categoria). SEXO Valid Total Masculino Feminino Total Frequencia % % válida 18 45,0 45,0 45,0 55,0 55,0 100, ,0 100, ,0?X % cumulativa Não faz sentido usar frequências acumuladas! Menor que sexo Feminino? Gráficos Diagrama de barras Percentagem Masculino Feminino Percentagem 40 Masculino Feminino SEXO SEXO Exploração e representação de Dados

11 etc. Sectogramas ( queijos ) Masculino 18,00 / 45,0% Feminino Masculino 18,00 / 45,0%,00 / 55,0% Feminino,00 / 55,0%

12 Variável quantitativa PESO Tabelas Tabela de frequências Diagrama de Caule-e-Folhas Etc. Valid 50,0 50,5 53,0 54,5 57,0 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent 1,5,6,6 1,5,6 5,1 1,5,6 7,7 1,5,6 10,3 5,0 5,1 15,4 58,0 5,0 5,1 0,5 59,0 5,0 5,1 5,6 PESO Stem-and-Leaf Plot 60,5 6,0 63,0 1,5,6 8, 5,0 5,1 33,3 1,5,6 35,9 Frequency Stem & Leaf 65,0 66,5 5,0 5,1 41,0 1,5,6 43,6 4, , , , , , , , , , , ,00 Extremes (>=118) 67,0 67,5 68,0 70,0 71,0 73,0 75,0 77,0 77,5 78,0 79,0 79,5 8,0 87,0 1,5,6 46, 1,5,6 48,7 1,5,6 51,3 5,0 5,1 56,4 1,5,6 59,0 5,0 5,1 64,1 1,5,6 66,7 1,5,6 69, 1,5,6 71,8 1,5,6 74,4 1,5,6 76,9 1,5,6 79,5 1,5,6 8,1 1,5,6 84,6 Stem width: 10,0 Each leaf: 1 case(s) 91,0 9,0 96,5 97,0 1,5,6 87, 1,5,6 89,7 1,5,6 9,3 1,5,6 94,9 100,5 1,5,6 97,4 118, 1,5,6 100,0 Total 39 97,5 100,0 Missing,0 1,5 Total 1,5 Total ,0

13 Gráficos Diagrama de barras Percentagem Histogramas IDADE ,7 45,0 53,3 61,7 70,0 78,3 Std. Dev = 10,65 Mean = 63,7 N = 40,00 0 Std. Dev = 10,65 Mean = 63,7 N = 40,00 35,0 45,0 55,0 65,0 75,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 IDADE IDADE

14 Diagrama de Caule-e-folhas IDADE Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 1, , , , , , , , , , Stem width: 10 Each leaf: 1 case(s)

15 Caixa-de-bigodes N = 40 IDADE IDADE

16 Como se obtêm estas representações gráficas? Usando o SPSS... Statistics Analyse Descriptive Satatistics Summarize Explore Dependent List aqui colocamos a varoável que queremos estudar Factor List Se quisermos estudar a Variável por outros níveis, Por exemplo, sexo, grupo etário, Colocamos aqui essa variável Label Cases by Por vezes existem observações que são discrepantes das restantes se as quisermos identificar de algum modo, colocamos aqui a variável que contém essa identificação.

17 Estatísticas descritivas que caracterizam a distribuição Medidas de Localização Valid Frequency IDADE Percent Valid Percent Cumulative Percent 1,5,5,5 1,5,5 5,0 1,5,5 7,5 Média, Mediana, Moda Quantis (e.g. 1º. Tercil, Decis, percentis, quartis) ,5,5 10,0 1,5,5 1,5 1,5,5 15,0 1,5,5 17,5 1,5,5 0,0 56 5,0 5,0 5,0 57 5,0 5,0 30,0 59 5,0 5,0 35,0 60 1,5,5 37,5 61 5,0 5,0 4,5 64 1,5,5 45,0 65 1,5,5 47,5 66 5,0 5,0 5,5 67 5,0 5,0 57,5 68 5,0 5,0 6, ,5 7,5 70,0 70 1,5,5 7,5 71 5,0 5,0 77,5 73 1,5,5 80,0 74 1,5,5 8,5 75 5,0 5,0 87,5 76 1,5,5 90,0 77 5,0 5,0 95,0 81 1,5,5 97,5 8 1,5,5 100,0 Total ,0 100,0 Total ,0

18 Mínimo e Máximo Descriptive Statistics IDADE Valid N (listwise) N Minimum Maximum Quantis Statistics N Percentiles IDADE Valid Missing ,10 47,30 56,5 59,00 66,00 71,00 76,90

19 Medidas de tendência central Média Média (População ) População Amostragem Amostra média = Soma de todos os valores x na População Tamanho da População Média (Amostral) População Amostragem Amostra x = Soma de todos os valores x na Amostra Tamanho da Amostra

20 Exemplos individuo SEXO PESO TRIG IDADE 1 Masculino Masculino Masculino 77, Masculino 50, Masculino Masculino Masculino Masculino Masculino Masculino 96, Masculino Masculino Masculino Masculino Masculino Masculino Masculino 100, Masculino Soma N média 76, ,778 6,

21 Medidas de tendência central Mediana Valor que divide a amostra em 50% para cada lado A fórmula de cálculo desta estatística depende do tamanho, n par ou impar. 0, 0, 0,, 58 0, 0,, 58 mediana = 0 + = 1 Nota: Dados ordenados

22 0, 0, 0,, 58 Mediana = 0 Média=8 0, 0,, 58 Mediana = 1 Média=30 Exemplo Valid 46 Frequency IDADE a Percent Valid Percent Cumulative Percent 1 5,6 5,6 5, ,6 5,6 11, ,6 5,6 16, ,6 5,6, 56 11,1 11,1 33, ,6 5,6 38, ,6 5,6 44, ,6 5,6 50, ,6 5,6 55, ,6 5,6 61, ,6 5,6 66, ,7 16,7 83, ,6 5,6 88, ,6 5,6 94, ,6 5,6 100,0 Total ,0 100,0 Total ,0 a. SEXO = Masculino

23 Medidas de tendência central Moda Valor da amostra com maior frequência Nem sempre faz sentido, porque existem muitos valores com a mesma frequência (variáveis contínuas), nestes casos Faz mais sentido falar na classe modal e num valor que representa essa classe.

24 Exemplo Idade 16 IDADE Stem-and-Leaf Plot 14 Frequency Stem & Leaf ,7 45,0 53,3 61,7 70,0 78,3 Std. Dev = 10,65 Mean = 63,7 N = 40,00 1, , , , , , , , , , IDADE Stem width: 10 Each leaf: 1 case(s) Medidas de tendência central Statistics N IDADE Valid Missing Mean Median Mode ,70 66,00 69

25 Medidas de Dispersão Desvio padrão, Variância Amplitude amostral, Dispersão Quartal As medidas de dispersão dão informação sobre a precisão da média observada. σ pequeno σ grande µ µ

26 Variância e Desvio padrão Desvio padrão (Populacional) σ = Soma ( dos desvios dos x em relação à media ao quadrado) Tamanho da População Desvio padrão amostral s = ( ) x x i n 1

27 X - Idade dos indivíduos do sexo masculino ( X X) Indivíduo X X X 1 65, , , , , , , , , , , 5, , , , 15, , 7, , , , 63, , 38, , 31, , , ,777778, , 1, , , , 38,71605 Soma ,111 N 18 Média 6, s 80,4183 s 8,96765

28 Estatística descritiva para variáveis Quantitativas Se distribuição simétrica Gaussiana (Normal), então Média Desvio Padrão Simetria

29 Se os dados não são simétricos, então Assimetria Bimodal Mediana Dispersão quartal Amplitude interquartil

30 Mediana Quantil 5% Quantil 75% - Amplitude interquartil - Dispersão quartal

31 Exemplo: Idade Descriptives IDADE Mean 95% Confidence Interval for Mean 5% Trimmed Mean Median Variance Std. Deviation Minimum Maximum Range Interquartile Range Skewness Kurtosis Lower Bound Upper Bound Statistic Std. Error 63,70 1,68 60,9 67,11 64,00 66,00 113,446 10, ,75 -,473,374 -,66,733

32 Exemplo: Peso Descriptives PESO Mean Statistic Std. Error 71,531,445 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound Upper Bound 66,580 76,481 5% Trimmed Mean 70,600 Median 68,000 Variance 33,13 Std. Deviation 15,71 Minimum 50,0 Maximum 118, Range Interquartile Range 68, 0,000 PESO 37 Skewness 1,015,378 Kurtosis 1,007,

33 Como se interpreta uma Caixa-de-bigodes A construção da caixa de bigodes baseia-se em 5 estatísticas também chamadas as 5 Letras resumo: a mediana, o quarto inferior, o quarto superior, o mínimo e o máximo. Caixa das 5 Letras Resumo # 39 Profundidade PESO me 0 68 F 10,5 59,75 78, , Barreiras de Outlies (50 ; 106,65) Existem Outliers na cauda superior Localização, Dispersão, Assimetria, Outliers (valores discrepantes). PESO

34 A dispersão dos dados é dada nas caixas de bigodes pelo tamanho da caixa. O equivalente do desvio padrão é a dispersão quartal. As barreiras de outliers são definidas por forma a incluir 3 dispersões, baseando-se em pressupostos teóricos de que 99,9 dos dados estão dentro de 3 dispersões dos dados.

35 Exemplo: trigliceridos transformações TRIG TRIGLOG 3 TRIGLOG 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

36 Comparar duas distribuições Exemplo: Trigliceridos 3,5 3,0,5,0 1,5 1,0,5 0,0 SEXO: 1 Masculino 35,0 300,0 75,0 50,0 5,0 00,0 175,0 150,0 15,0 100,0 75,0 50,0 Std. Dev = 64,38 Mean = 140,3 N = 18, SEXO: Feminino 450,0 400,0 350,0 300,0 50,0 00,0 150,0 100,0 50,0 Std. Dev = 97,46 Mean = 169,5 N =,00 TRIG TRIG

37 Caixas de bigodes paralelas Masculino 17 Feminino 3 SEXO TRIG

38 SEXO = Masculino SEXO = Feminino Descriptives a Descriptives a Statistic Std. Error Statistic Std. Error TRIG Mean 140,8 15,17 TRIG Mean 169,55 0,78 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound 108,6 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound 16,34 Upper Bound 17,9 Upper Bound 1,76 5% Trimmed Mean 135,09 5% Trimmed Mean 159,56 Median 137,50 Median 14,50 Variance 4144,683 Variance 9497,784 Std. Deviation 64,38 Std. Deviation 97,46 Minimum 59 Minimum 6 Maximum 315 Maximum 47 Range 56 Range 410 Interquartile Range 85,5 Interquartile Range 15,5 Skewness 1,091,536 Skewness 1,566,491 Kurtosis 1,845 1,038 Kurtosis 3,0,953 a. SEXO = Masculino a. SEXO = Feminino

39 Dados bi-variados Relação entre o peso e os trigliceridos? 110 SEXO: 1 Masculino 10 SEXO: Feminino PESO PESO TRIG TRIG Diagramas de dispersão

40 Dados bi-variados Relação entre o peso e os trigliceridos? Correlação paramétrica O coeficiente de correlação de Pearson SEXO = Masculino Correlations a SEXO = Feminino Correlations a Pearson Correlation Sig. (-tailed) N PESO TRIG PESO TRIG PESO TRIG PESO TRIG 1,000,549*,549* 1,000,,0,0, *. Correlation is significant at the 0.05 level (-tailed). a. SEXO = Masculino Pearson Correlation Sig. (-tailed) N PESO TRIG PESO TRIG PESO TRIG a. SEXO = Feminino PESO TRIG 1,000,331,331 1,000,,133,133,

41 Dados bi-variados Relação entre o peso e os trigliceridos? Correlação não paramétrica O coeficiente de correlação de Spearman SEXO = Masculino Correlations a SEXO = Feminino Correlations a Spearman's rho Correlation Coefficient Sig. (-tailed) N PESO TRIG PESO TRIG PESO TRIG PESO *. Correlation is significant at the.05 level (-tailed). a. SEXO = Masculino TRIG 1,000,50*,50* 1,000,,033,033, Spearman's rho Correlation Coefficient Sig. (-tailed) N a. SEXO = Feminino PESO TRIG PESO TRIG PESO TRIG PESO TRIG 1,000,319,319 1,000,,148,148,

42 Dados bi-variados Exemplo Relação entre peso e idade SEXO = Masculino 110 SEXO: Masculino SEXO = Feminino 10 SEXO: Feminino PESO PESO IDADE IDADE

43 Dados bi-variados Relação entre peso e idade SEXO = Masculino SEXO = Feminino Correlations a Correlations a Spearman's rho Correlation Coefficient PESO IDADE PESO IDADE 1,000,46,46 1,000 Spearman's rho Correlation Coefficient PESO IDADE PESO IDADE 1,000 -,191 -,191 1,000 Sig. (-tailed) PESO IDADE,,34,34, Sig. (-tailed) PESO IDADE,,394,394, N PESO N PESO IDADE IDADE a. SEXO = Masculino a. SEXO = Feminino Não há evidência de que o peso e a idade estejam relacionados. No entanto, delineia-se uma tendência positiva nos homens e uma tendência negativa nas mulheres.

44 Intervalos de confiança

45 Intervalos de confiança Estimação em forma de intervalo de parâmetro populacional, com base na informação amostral disponível e no conhecimento da distribuição amostral do estimador do parâmetro X para µ S para σ

46 Intervalos de confiança mais usuais Uma amostra ou Duas amostras Média Proporções Variância Uma proporção é a média de uma amostra proveniente de uma população de Bernoulli

47 Intervalos de confiança uma amostra Média σ conhecido σ desconhecido X N µ; σ n estimar s por s X µ σ n N ( 0;1 ) X µ s n t n ( 1)

48 Intervalos de confiança uma amostra Média σ conhecido Intervalo (1-α)*100% de confiança para a média x z σ σ + α ; x z 1 n 1 α n

49 amostra1 61 Média 71, desvio padrão conhecido erro padrão 5, Intervalo de 95% de confiança limite inferior Limite superior 73 61,309 8, Intervalo de 90% de confiança limite inferior Limite superior 6,994 80,578 Intervalo de 99% de confiança limite inferior Limite superior 58,017 85,554

50 Intervalos de Confiança (IC) ou Outros usos para o erro Padrão Exemplo IC para a média da população µ. Construção A distribuição da média amostral x é aproximadamente Normal com parâmetros µ e s n. O intervalo X ± 1, 96 s n é o intervalo de 95% de confiança para µ. (aproximado)

51 Interpretação: Se a experiência for repetida muitas vezes, 95% dos IC conterão o verdadeiro µ. Original 5% 1 Amostra e sub-amostras 5% 5% 3 10% 1 10% 30% 1 30% % CI TRIG

52 Genericamente X z ± 1 α s n é o intervalo de ( ) (aproximado) 1 α 100% de confiança para µ. z 1 α é de tal forma que P Z > z α = α 1 α/ 1- α α/ -z α/ 0 z α/ -z 1-α/ z 1-α/ e.g. α = 0.05 z α 1 = α = 0.10 z α 1 = α = 0.01 z α 1 = 1,96 1,645,576

53 Intervalos de confiança uma amostra Média σ desconhecido Intervalo (1-α)*100% de confiança para a média ( ) ( ) + ; n s n n s n t x t x α α

54 amostra1 61 Média 71, desvio padrão conhecido 19, erro padrão 5, Intervalo de 95% de confiança limite inferior Limite superior 73 60,318 83, Intervalo de 90% de confiança limite inferior Limite superior 6,385 81,186 Intervalo de 99% de confiança limite inferior Limite superior 55,796 87,776

55 Intervalos de confiança uma amostra Proporção ( ) = n p p p N X P 1 ; Intervalo (1-α)*100% de confiança para a média ( ) ( ) + ; n p p n p p z x z x α α

56 bern 1 p=média 0, dp 0, erro padrão 0, Intervalo de 95% de confiança 0 0 limite inferior Limite superior 0 0,197 0, Intervalo de 90% de confiança 1 0 limite inferior Limite superior 1 0,1 0, Intervalo de 99% de confiança 0 0 limite inferior Limite superior 0 0,148 0,55

57 Intervalos de confiança uma amostra Variância S σ ( n 1) χ ( n 1) onde S = ( X ) X i n 1 Intervalo (1-α)*100% de confiança para a média χ ( n -1) 1 α S ( n 1) ; ( n -1) χ α S ( ) n 1

58 amostra1 61 Média 71, desvio padrão conhecido 19, variância 394,49 4 erro padrão 5, Intervalo de 95% de confiança para a variância limite inferior Limite superior 73 07, Intervalo de 90% de confiança a variância limite inferior Limite superior 9,3 870,4 Intervalo de 99% de confiança a variância limite inferior Limite superior