Introdução à Estatística Estatística Descritiva 22

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1 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 22 As tabelas de frequências e os gráficos constituem processos de redução de dados, no entanto, é possível resumir de uma forma mais drástica esses dados nalguns índices ou estatísticas. Duas características de um conjunto de dados são a sua localização (ou tendência central) e a sua variabilidade (ou dispersão). A primeira será traduzida por uma medida de localização e a segunda por uma medida de dispersão.

2 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 23 Medidas de Localização De entre as medidas de localização mais populares tem-se a média amostral. Definição Dado um conjunto de n observações (x, x 2,...,x n ), a média amostral é dada por x + x2 + L+ xn x = = n n n i= x i Se os dados se encontram agrupados, então temos dois casos: Dados agrupados em classes x = n onde k número de classes F i frequência absoluta da classe i x i observação da classe i k i= F i x i

3 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 24 Dados agrupados em intervalos de classe k x = Fy i i n i= onde k número de classes F i frequência absoluta da classe i y i ponto médio da classe i A média amostral será sempre uma medida representativa dos dados? Exemplo.8 Ao determinar a média dos seguintes dados obteve-se x =32,84. 2,4 3,5 3,6,2 3,5 O exemplo anterior revela a sensibilidade da média a observações extremas, isto é, observações muito grandes ou muito pequenas. A popularidade da média é consequência de ser uma medida de cálculo fácil, mas principalmente pelo papel desempenhado na Inferência Estatística.

4 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 25 Definição Dado um conjunto de n observações (x, x 2,...,x n ), a mediana amostral, representada por M, é o valor, pertencente ou não à amostra, que a divide ao meio; por outras palavras 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana amostral e os restantes 50% são maiores ou iguais à mediana amostral. Se se representar por x (), x (2),,x (n) os valores que resultam da ordenação da amostra x, x 2,...,x n por ordem crescente, então x( (n+ )/2) M = x + x + 2 ( n/2) ( n/2 ), se n ímpar, se n par Exercício. Obter as medianas dos seguintes conjuntos de observações:

5 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 26 Exemplo.8 (cont.) A mediana dos dados 2,4 3,5 3,6,2 3,5 é M=3.5 que nos dá uma melhor ideia sobre o conjunto dos dados. Como vemos a mediana amostral é mais resistente a observações díspares. No caso de termos dados agrupados em intervalos de classes, a identidade das observações perde-se; nesse caso, a mediana nunca pode ser calculada exactamente. Uma forma de o fazer é através da seguinte expressão: M = l Md n ( F) 2 l Md = limite inferior da classe Md n = dimensão da amostra ΣF = soma das frequências absolutas anteriores à classe Md h = amplitude da classe Md F Md = frequência absoluta da classe Md + F Md. h

6 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 27 Exemplo.9 A tabela seguinte contém as taxas de analfabetismo dos concelhos da região de Lisboa e Vale do Tejo. Agrupando os 5 valores em classes, obtém-se: Classes Frequência Absoluta Frequência Absoluta acumulada Frequência relativa Frequência Relativa acumulada [0,00, 5,00[ 2 2 0,0392 0,0392 [5,00, 0,00[ 2 4 0,2353 0,2745 [0,00, 5,00[ ,434 0,7059 [5,00, 20,00[ 47 0,257 0,926 [20,00, 25,00[ ,0392 0,9608 [25,00, 30,00[ 2 5 0,0392 Total 5 O valor aproximado da mediana é 2,6.

7 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 28 Qual das medidas, média ou mediana, se deve utilizar? Quando a distribuição é simétrica é indiferente usar uma ou outra dado que coincidem; Como a mediana amostral é mais resistente que a média amostral, deve ser utilizada sempre que exista dados díspares. No entanto, no seu cálculo só intervém a observação ou as duas observações centrais. Se os dados forem qualitativos não faz sentido calcular a média amostral nem a mediana amostral.

8 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 29 Uma outra medida de localização é a moda. Definição A moda de um conjunto de n observações (x, x 2,...,x n ), é a observação que ocorre com mais frequência na amostra, caso exista. Quando existe mais do que um valor com a frequência mais elevada, o conjunto de valores mais frequentes (valores da moda) constituem uma classe modal. Quando os dados estão agrupados em intervalos de classes, a classe modal é a classe com maior frequência absoluta (relativa), podendo existir mais do que uma classe com esta propriedade. Exercício.3 Determinar a moda dos dados apresentados no exemplo.3 (pag. 8).

9 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 30 Definição Dado um conjunto de n observações (x, x 2,...,x n ), o Quantil de ordem p ou percentil 00p%, com 0<p< é o valor Q p tal que 00p% dos elementos da amostra são menores ou iguais a Q p e os restantes 00(-p)% elementos da amostra são maiores ou iguais a Q p. Existem alguns quantis, que merecem referência especial: Quartis º quartil (ou quartil inferior) é o percentil correspondente à percentagem de 25%, o que significa que 25% dos elementos da amostra são menores ou iguais a ele, e os restantes são maiores ou iguais. 3º quartil (ou quartil superior) é o percentil correspondente à percentagem de 75%, o que significa que 75% dos elementos da amostra são menores ou iguais a ele, e os restantes são maiores ou iguais Mediana (ou 2º quartil)

10 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 3 Quantil amostral de ordem p: x( [ np] + ) Q p = x( np) + x( np+ ) 2 onde [np] representa a parte inteira de np., se np não inteiro, se np inteiro No caso dos dados se encontrarem classificados a partir de intervalos de classe, utiliza-se as seguintes expressões para a determinação do º e 3º quartil, respectivamente: Q 0.25 = l Q ( n F). 4 F Q 0.25 h Q 0.75 = l Q ( 3n F). 4 F Q 0.75 h

11 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 32 Exercício.2 Tendo-se decidido registar os pesos dos alunos de uma determinada turma de História do 2º ano, obtiveram-se os seguintes valores (em Kg): Um aluno com peso de 62 kg, pode ser considerado normal, isto é, nem demasiado magro nem demasiado gordo?

12 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 33 Medidas de Dispersão As medidas de localização não são por si só capazes de descrever completamente os dados. Exemplo.0 Considere-se as seguintes amostras Amostra : Amostra 2: Apesar de terem a mesma média (48) e mediana (47,5), não quer dizer que as duas amostras são iguais. Definição Dado um conjunto de n observações (x, x 2,...,x n ), a amplitude amostral é a diferença entre o máximo e o mínimo dos x i s. Simbolicamente, R=max(x i )-min(x i )

13 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 34 Tal como a média amostral, verifica-se que a amplitude amostral é muito sensível às observações extremas. Exemplo. Considere-se as seguintes amostras: Amostra : Amostra 2: Apesar de terem a mesma amplitude a variabilidade da 2ª amostra depende apenas dos valores extremos. O exemplo anterior mostra que a amplitude amostral pode não ser uma boa medida de dispersão, uma vez que depende apenas das observações mínima e máxima tornando-a por isso sensível a observações extremas.

14 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 35 Definição Dado um conjunto de n observações (x, x 2,...,x n ), o desvio médio absoluto é a média dos valores absolutos das observações em relação à média. Dados não Classificados n d = x i x n i= Dados Classificados k d = Fi xi x n i= Exercício.3 Calcular os desvios absolutos médios dos dados apresentados no exemplo.8. Apesar da sua simplicidade o desvio absoluto médio é uma medida pouco utilizada.

15 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 36 Definição Dado um conjunto de n observações (x, x 2,...,x n ), a variância amostral ( S ou S 2 ) é a média dos quadrados dos desvios em relação à média. 2 n Dados não Classificados S = n 2 n ( x i x) i= 2 Dados Classificados S = n 2 k i= F i ( x x) i 2 O desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância amostral, 2 S = S. Se quisermos uma medida de dispersão que venha expressa na unidade de medida das observações, devemos optar pelo desvio padrão amostral. A variância (ou desvio padrão) amostral é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados. Exercício.4 Determine a variância amostral das notas do teste de Geografia (exemplo.4).

16 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 37 A variância amostral não é uma medida de dispersão resistente. Se quisermos utilizar uma que o seja, podemos considerar a amplitude inter-quartis, isto é, a diferença IQR=Q Q 0.25 Com os quartis podemos obter um outro tipo de representação gráfica, o box-plot (Caixa de Bigodes). Para construir um box-plot deve-se: ) construir uma caixa rectangular, disposta horizontal ou verticalmente, tal que a mediana seja indicada por um traço dentro da caixa, e os lados sejam, respectivamente, o º e 3º quartis; 2) unir com um traço os lados da caixa com os valores mais extremos da amostra compreendidos entre Q x IQR e Q x IQR, inclusive; 3) marcar as observações que não pertencem ao intervalo [Q x IQR, Q x IQR]

17 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 38 Exercício.5 Os resultados obtidos num teste de Matemática do 0º Ano foram os que se seguem Nota F i Construa um box-plot para os resultados do teste.

18 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 39 A fim de comparara variabilidade de conjuntos de dados diferentes, convém utilizar uma medida independente de unidades. Definição Dado um conjunto de n observações (x, x 2,...,x n ), o coeficiente de dispersão define-se por x s. Ao coeficiente anterior, quando expresso em percentagem, dá-se o nome de coeficiente de variação, isto é, CV= x s *00%

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