MAIS SOBRE MEDIDAS RESUMO. * é muito influenciada por valor atípico

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Juan Alves Casqueira
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1 MAIS SOBRE MEDIDAS RESUMO Medidas de Tendência Central (1) média (aritmética) * só para variáveis quantitativas exceção: variável qualitativa nominal dicotômica, com categorias codificadas em 0 e 1; neste caso, média = proporção de 1 s * é muito influenciada por valor atípico

2 a média nem sempre é o valor central a média nem sempre é o valor que mais ocorre Por que a média é uma medida de tendência central?

3 Pode ser demonstrado que: a) n i=1 ( x i x)=0 b) média como ponto de equilíbrio: Exemplo (cont.): 8 equipamentos média

4 (2) mediana * para variáveis quantitativas e qualitativas ordinais * não é uma medida influenciada por um valor atípico Exemplo (cont.): 8 equipamentos Suponha que houve um erro de digitação: o correto é 1000 em vez de 2000 dias de vida dados: 600, 700, 750, 1000, 550, 500, 550, 550 dados ordenados: 500, 550, 550, 550, 600, 700, 750, 1000 x= n i=1 x i n = =650 dias md = x (4) + x (5 ) 2 Fórmula alternativa para mediana: = md=x ( n+1 2 ) =x (4,5)=x (4) +0,5[ x (5) x (4) ]=575 dias não muda =575 dias

5 (3) moda * pode ser obtida para qualquer tipo de variável * é a medida resumo mais simples * uma variável pode ter mais de uma moda: conjunto de dados bimodal duas modas conjunto de dados multimodal mais de duas modas * moda pode não existir: conjunto de dados amodal todas as frequências iguais

6 Quando os valores observados de X estão concentrados nos dois extremos, o que fazer? variável X não tem tendência central nenhuma das três medidas é adequada!!

7 descrever X somente por medidas de tendência central pode não ser suficiente! Exemplo Desempenho de três turmas A, B e C: Turma Notas dos alunos Desempenho médio A ,0 B ,0 C ,5 7,5 6,0 em média, as 3 turmas tem mesmo desempenho porém a distribuição das notas de cada turma é bem diferente

8 Medidas de Dispersão *só para variáveis quantitativas (1) amplitude total *distância entre o máximo e o mínimo Exemplo (cont.): 8 equipamentos Δ = = 1500 dias desvantagem: não considera a variação entre os valores que estão fora dos extremos Como considerar a variação entre todos os valores?

9 ideia 1 Comparar cada valor x i com a média: x i x desvio de x i em relação a média *mas são n desvios deve ser uma medida única! ideia 2 Somar os desvios e dividir por n: n i=1 (x i x ) n *mas esta soma é algebricamente igual a zero, sempre!

10 solução: transformar o desvio para não poder ser negativo aplicar o módulo (desvio absoluto) ou elevar ao quadrado (desvio quadrático) *desta forma a soma dos desvios transformados não será sempre igual zero desvio médio soma dos desvios absolutos dividida por n (2) variância soma dos desvios quadráticos dividida por n

11 Duas fórmulas alternativas para variância amostral (var) Exemplo (cont.): 8 equipamentos

12 Fórmula segundo a definição x i x i x ( x i x ) 2 i Total var= n i=1 ( x i x ) 2 n = = dias 2

13 Fórmula alternativa para cálculo var= n i=1 n ( x 2 i=1 i n n x i)2 = i (6200)2 8 8 x i x i Total = = dias 2

14 desvantagem da variância: unidade de medida ao quadrado solução: calcular a raiz quadrada da variância (3) desvio padrão

15 Exemplo (continuação) dp= var= =469,71 dias Este valor é alto ou baixo? Indica alta ou baixa dispersão dos dados? desvantagem do desvio padrão: interpretação pobre se não há um valor de referência solução: comparar desvio padrão com a média

16 (4) coeficiente de variação razão entre o desvio padrão e a média Exemplo (cont.): 8 equipamentos cv= dp x = 469, =0,606=60,6 % *cv é medida adimensional, por isso, é comum ser apresentada na forma de porcentagem *em geral, a dispersão é considerada alta, se cv > 30%

17 CUIDADO com comparações inadequadas de desvios padrão: entre variáveis com unidades de medida diferentes entre grupos com médias muito distintas

18 Exemplo X: peso (kg) e Y: comprimento (cm) de cães Em qual característica os cães são mais parecidos? Medida média dp cv peso 12,5 5,5 44,0% comprimento 33,0 4,0 12,1%

19 Exemplo X: idade (anos) de crianças e adultos Qual grupo é mais homogêneo? Grupo média dp cv criança 5,4 2,0 37,0% adulto 23,0 2,0 8,7%

20 Medidas de Posição (Separatrizes) valores de referência que separam o conjunto de dados ordenados (de uma variável) em subgrupos *para variáveis quantitativas e qualitativas ordinais a mediana é uma separatriz pois divide o conjunto de dados ordenados em duas partes aproximadamente iguais se houver empates, os tamanhos das duas podem ser diferentes

21 (1) quartis são 3 valores (Q 1, Q 2 e Q 3 ) que dividem o conjunto de dados ordenados em 4 partes iguais : Q 1 =x ( n 4) Q 2 =md =x ( n+1 2 ) Q 3 =x ( 3n 4 ) Exemplo (cont.) 8 equipamentos Q 1 =x (2) =550 dias Q 2 =md =x (4,5) =x (4) +0,5[ x (5) x (4) ]=575 dias Q 3 =x (6) =700 dias Q 1 Q 2 Q 3

22 Exemplo: Diâmetro de 9 peças, em mm Dados i x i 3,0 1,5 2,5 3,5 4,0 2,0 3,5 2,0 1,5 x (i) 1,5 1,5 2,0 2,0 2,5 3,0 3,5 3,5 4,0 quartis posição Q 1 n/4 = 9/4 = 2,25 Q 2 (n + 1)/2 =10/2 = 5 Q 3 3n/4 = 27/4 = 6,75 Q 1 =x (2,25) =x (2) +0,25[ x (3) x (2) ]=1,625 mm Q 2 =md =x (5) =2,500 mm Q 3 =x (6,75) = x (6) +0,75[ x (7) x (6) ]=3,375 mm Q 1 Q 2 Q 3

23 Exemplo (cont.): Emissão de Dióxido de Enxofre de 70 dias Conjunto de dados ordenados: 6,2 7,7 8,3 9,0 9,4 9,8 10,5 10,7 11,0 11,2 11,8 12,3 12,8 13,2 13,3 13,5 13,9 14,5 14,7 15,2 15,5 15,8 15,9 16,2 16,7 16,9 17,3 17,5 17,6 17,9 18,0 18,0 18,1 18,5 18,7 19,0 19,1 19,2 19,3 19,4 20,0 20,1 20,1 20,4 20,5 20,9 21,4 21,6 21,9 22,3 22,7 22,7 22,9 23,0 23,5 23,7 23,9 24,1 24,6 24,8 25,7 25,9 26,1 26,4 26,6 26,8 27,5 28,5 28,6 31,8 quartis posição Q 1 n/4 = 17,5 Q 2 (n + 1)/2 = 35,5 Q 3 3n/4 = 52,5 Q 1 = x (17,5) = x (17) + 0,5(x (18) x (17) ) = 14,20 ton Q 2 = x (35,5) = x (35) + 0,5(x (36) x (35) ) = 18,85 ton Q 3 = x (52,5) = x (52) + 0,5(x (53) x (52) ) = 22,80 ton

24 (2) decis são 9 valores (D 1, D 2,, D 9 ) que dividem os dados ordenados em 10 partes iguais : D i =x ( i n 10 ) i=1,2,3,,9

25 Exemplo (cont.): Emissão de Dióxido de Enxofre de 70 dias decis i posição (i n/10) D D D D D D D D 1 = x (7) = 10,5 ton D 2 = x (14) = 13,2 ton D 3 = x (21) = 15,5 ton... D 9 = x (63) = 26,1 ton D D

26 (3) percentis são 99 valores (P 1, P 2,, P 99 ) que dividem os dados ordenados em 100 partes iguais : P i =x ( i n 100 ) i=1,2,3,,99 percentil P i indica que há i % de dados inferiores a P i É evidente que: P 25 = Q 1 P 75 = Q 3 P 10 = D 1 P 90 = D 9

27 CUIDADO!! Tanto a média como o desvio padrão nem sempre são medidas adequadas para representar um conjunto de dados: são afetados, de forma exagerada, por valores atípicos com apenas estes dois valores, não temos ideia da simetria ou assimetria dos dados da variável As medidas de posição são resistentes: Uma medida de tendência central alternativa a média é a mediana Uma medida de dispersão alternativa ao desvio padrão é a amplitude interquartil (AIQ) AIQ = Q 3 Q 1

28 Todas as medidas de posição são quantis!! Quantil (empírico) de ordem p, com 0 < p < 1 Notação: q(p) Definição: 100p% das observações são menores ou iguais a q(p) e 100(1 - p)% das observações são maiores ou iguais a q(p) Fórmula: q( p)=x ( p n )

29 Nomes particulares de alguns quantis: q(0,25) = Q 1 q(0,75) = Q 3 q(0,10) = D 1 q(0,20) = D 2 q(0,80) = D 8 q(0,90) = D 9 q(0,01) = P 1 q(0,02) = P 2 q(0,98) = P 98 q(0,99) = P 99 Note que: md=x ( n+1 2 ) q(0,50)=x (0,5 n ) =x ( n 2)

30 Localização de alguns quantis em histogramas suavizados de duas variáveis assimétricas positivas

31 Script do R para obter as medidas resumo #Exemplo do tempo de vida de 8 equipamentos vida <- c(600, 700, 750, 2000, 550, 500, 550, 550) #medidas de tendência central #média mean(vida) #mediana median(vida) #moda Mode(vida) #medidas de dispersão #amplitude total ##como não encontrei no R uma função para calcular amplitude total ##temos que criar uma função nova delta <- function(x) return(max(x)-min(x)) delta(vida) var(vida) #usa o denominador n-1 sd(vida) #usa o denominador n-1 ##como não encontrei no R não existe uma função que usa o denominador n ##temos que criar uma função para calcular a variância desejada Var <- function(x) return(sum((x-mean(x))^2)/length(x))

32 #variância v <- Var(vida) v #desvio padrão dp <- sqrt(v) dp #usa o denominador n #medidas de posição ##vamos usar a função quantile que calcula quantis #primeiro e terceiro quartis Q1 <- quantile(vida,probs = 0.25, type=4) Q3 <- quantile(vida,probs = 0.75, type=4) Q1 Q3 #decis para o exemplo de Emissão diária de dióxido de enxofre oxido <- c(15.8, 26.4, 17.3, 11.2, 23.9, 24.8, 18.7, 13.9, 9.0, 13.2, 22.7, 9.8, 6.2, 14.7, 17.5, 26.1, 12.8, 28.6, 17.6, 23.7, 26.8, 22.7, 18.0, 20.5, 11.0, 20.9, 15.5, 19.4, 16.7, 10.7, 19.1, 15.2, 22.9, 26.6, 20.4, 21.4, 19.2, 21.6, 16.9, 19.0, 18.5, 23.0, 24.6, 20.1, 16.2, 18.0, 7.7, 13.5, 23.5, 14.5, 8.3, 21.9, 12.3, 22.3, 13.3, 11.8, 19.3, 20.0, 25.7, 31.8, 25.9, 10.5, 15.9, 27.5, 18.1, 17.9, 9.4, 24.1, 20.1, 28.5) quantile(oxido,probs = seq(0,1,0.10), type=4) #inclui os extremos

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