I.1. Seleccionado um passageiro ao acaso, qual a probabilidade de ter idade no intervalo [20 a 50) anos e ser fraudulento?

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1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE DADOS INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS SOCIAIS E POLÍTICAS UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA Frequência - 29 de Janeiro de 8 Grupo I (4, v) No seguimento de um estudo efectuado pela Autoridade de Transportes de Lisboa para caracterizar o nível de utilização fraudulenta, obtiveram-se os seguintes resultados: 4% dos passageiros têm menos de 15 anos. % têm idades no intervalo [15 a ) anos. 3% têm idade superior ou igual a 5 anos. 1% são fraudulentos e têm menos de 15 anos. 14% viajam em situação legal e têm idades no intervalo [15 a ) anos. 2% têm idade superior ou igual a 5 anos e são fraudulentos. 8% de todos os passageiros viajam em situação legal (não fraudulenta). I.1. Seleccionado um passageiro ao acaso, qual a probabilidade de ter idade no intervalo [ a 5) anos e ser fraudulento? Classes < 15 [15 - ) [ - 5) >= 5 TOTAL Situação anos anos anos anos Fraudulenta,1,6,2,2, Legal,3,14,8,28,8 TOTAL,4,,1,3 1, Probabilidade Total = 1 P( Fraudulento ) = 1 - P( Legal ) = 1,8 =,2 P([ a 5) anos) = 1 [P(< 15 anos) + P([15 -)anos) + P(>= 5 anos)] = 1 (,4 +,2 +,3)=,1 P(<15 anos E Legal) = P(< 15 anos) - P(<15 anos E Fraudulento) =,4,1 =,3 P([15 -)anos E Fraudulento) = P([15 -)anos) P([15 -)anos E Legal) =,2,14 =,6 P(>= 5 anos E Legal) = P(>= 5 anos) P(>= 5 anos E Fraudulento) =,3,2 =,28 P([ -5)anos E Legal) = P(Legal) [P(<15 anos E Legal) + P([15 -)anos E Legal) + P(>= 5 anos E Legal)] = =,8 (,3 +,14 +,28) =,8 P([ a 5) anos E Fraudulento) = P([ a 5) anos) - P([ -5)anos E Legal) =,1,8 =,2 I.2. Dado um passageiro fraudulento, qual a probabilidade de ter menos de 15 anos? P(<15 anos Fraudulento) = P(<15 anos E Fraudulento) / P( Fraudulento ) =,1 /,2 =,5 I.3. Dado um passageiro com idade no intervalo [ a 5) anos, qual a probabilidade de viajar em situação legal? P(Legal [ a 5) anos) = P([ -5)anos E Legal) / P([ a 5) anos) =,8 /,1 =,8 Grupo II (5, v) Considere os quadros seguintes referentes à análise descritiva da idade e da quantidade de viagens realizadas por mês por um conjunto de 5 passageiros de transportes colectivos. Página 1 de 6 páginas

2 II.1. Comente os valores das medidas de tendência central e de dispersão; A idade média dos passageiros observados é de 3,52 anos, enquanto que o passageiro mediano em termos de idade tem 17,5 anos e a maior quantidade de passageiros observados tem 13 anos. A quantidade média de viagens efectuadas mensalmente por passageiro observado é de 56,44, enquanto o passageiro mediano realiza 56 viagens por mês e a maior parte dos passageiros observados realizam 65 viagens por mês. A amplitude do intervalo de idades dos passageiros observados é de 7 anos, sendo a idade mínima 1 anos e a máxima 8 anos. Porém, o intervalo inter-quartis (Intervalo Inter-Quartis = 3º.Quartil 1º. Quartil) é de 39,5 anos. (O desvio padrão das idades dos passageiros observados apresenta o valor de 23,179 anos e o coeficiente de variação das idades é de 75,95 %: coef. variação = (desvio padrão / média aritmética) * 1 A amplitude dos valores da quantidade de viagens realizadas mensalmente pelos passageiros observados é de 27, variando entre um mínimo de 43 e um máximo de 7, e o intervalo inter-quartis é de 12 viagens; o desvio padrão das quantidades de viagens realizadas mensalmente pelos passageiros observados é 7,762 viagens, enquanto o coeficiente de variação é de 13,75%. Portanto, a dispersão relativa das idades é bastante superior à dispersão da quantidade de viagens: 75,95 % contra 13,75%. II.2. Refira-se ao significado dos valores da assimetria e do achatamento; A assimetria de uma distribuição de frequências traduz o modo como os valores observados da variável se distribuem em torno dos valores centrais desta: caso se distribuam de forma equilibrada, a distribuição diz-se simétrica, sendo assimétrica no caso de se verificarem situações em que de algum dos lados haja maior proporção de observações por amplitude de variação da variável. Ambas as distribuições representadas nos quadros apresentados são assimétricas: a distribuição das idades é assimétrica positiva (Skewness=,858 e média aritmética moda > ) e a distribuição das viagens realizadas por semana é assimétrica negativa (Skewness= -,15 e média aritmética moda < ). O achatamento de uma distribuição de frequências traduz o modo como as frequências se distribuem pelos diversos valores da variável. Se na zona central de uma distribuição houver frequências bastante mais elevadas do que nas extremidades das abas dessa distribuição, ela tem uma forma mais esguia (menos achatada) do que se houver mais equilíbrio entre as frequências dos valores extremos e as dos valores centrais da variável (mais achatada). É frequente medir-se o grau de achatamento (curtose) das distribuições de frequências por comparação com o achatamento da distribuição normal (achatamento médio ou mesocúrtico). Assim, se a curtose de uma distribuição for igual a zero (kurtosis=), a distribuição é mesocúrtica; se fôr negativa (Kurtosis <), essa distribuição é mais achatada (platicúrtica) do que a distribuição normal e, se for positiva (Kurtosis >), é menos achatada (leptocúrtica). Relativamente às distribuições apresentadas nos quadros, ambas são platicúrticas, sendo a distribuição da quantidade de viagens mensais (Kurtosis = -1,124) mais achatada do que a das idades dos passageiros (Kurtosis = -,93). II.3. Interprete os diagramas de extremos e quartis (BOXPLOT) aqui apresentados. Como o próprio nome refere, o diagrama de extremos e quartis representa graficamente os extremos e os quartis de uma distribuição. Assim, os 1º. e 3º. Quartis correspondem às ordenadas dos topos inferior e superior da caixa, correspondendo o valor da mediana à ordenada da linha horizontal traçada no interior da mesma caixa. Os segmentos de recta perpendiculares, que saem de cada um dos topos da caixa, marcam as distâncias a que se situam os valores extremos observados da variável (mínimo e máximo) ou, caso haja valores extremos que estejam afastados abaixo do 1º. ou acima do 3º. Quartil, mais do que 1,5 vezes a extensão do intervalo inter-quartis, marcam essa distância permitindo identificar as observações que apresentam valores aquém ou além desses extremos (outliers). Página 2 de 6 páginas

3 Statistics Frequency Mean =3,52 Std. Dev. =23,179 N =5 N Mean Median Mode Std. Deviation Variance Skewness Std. Error of Skewness Kurtosis Std. Error of Kurtosis Range Minimum Maximum Percentiles Valid Missing ,52 17, , ,275,858,337 -,93, , 17,5 52,5 Statistics Frequency Histogram Quant. viagens por mês 65 7 Mean =56,44 Std. Dev. =7,762 N =5 Quant. viagens por mês N Mean Median Mode Std. Deviation Variance Skewness Std. Error of Skewness Kurtosis Std. Error of Kurtosis Range Minimum Maximum Percentiles Valid Missing ,44 56, 65 7,762 6,251 -,15,337-1,124, , 56, 62, Quantidade de viagens efectuadas por mês Página 3 de 6 páginas

4 Grupo III (4, v) Os seguintes dados referem-se às observações da idade e da quantidade de viagens realizadas mensalmente por 5 passageiros III.1. A recta apresentada tem uma boa capacidade de previsão da quantidade de viagens por mês a partir da idade do passageiro? Justifique. A recta apresentada não tem uma boa capacidade de previsão da quantidade de viagens realizadas por mês a partir da idade do passageiro, porque esta variável só explica % da variação da quantidade de viagens, através desta recta de regressão. III.2. Que quantidade mensal de viagens prevê que um passageiro de 5 anos efectue? Comente o valor encontrado. Recorrendo à recta de regressão apresentada, prevê-se que um passageiro com 5 anos faça 59 viagens: Qtd. Viagens = 51,82 +,15 *, ou seja, 51,82 +,15 * 5 = 59,32. Contudo, esta previsão não pode ser considerada muito fiável, dado que, com a recta de regressão, a variação da idade dos passageiros apenas explica % da variação da quantidade de viagens realizadas mensalmente por esses passageiros. 7 Linear Regression Quant. viagens por mês 6 Quant. viagens por mês = 51,82 +,15 * R-Square =, III.3. Para três alternativas de ajustamento (linear, quadrática e cúbica) obtiveram-se os resultados abaixo apresentados. Qual a melhor opção de regressão entre as variáveis? Justifique. A melhor opção de regressão da variável Quantidade de viagens realizadas por mês sobre a variável idade dos passageiros é, sem dúvida, a regressão cúbica, pois com esta a percentagem da variação da quantidade de viagens explicada pela variável idade é 4,5%, enquanto que para as regressões quadrática e linear a percentagem de explicação é, respectivamente, de 28,4% e,5%. Página 4 de 6 páginas

5 7 Quantidade de viagens efectuadas por mês 6 5 R Sq Linear =,5 R Sq Quadratic =,284 R Sq Cubic =, Grupo IV (2, v) Classifique cada uma das seguintes afirmações: IV.1 O grau de confiança associado aos resultados obtidos, quando se utiliza um processo de amostragem aleatório, pode ser medido e controlado. Verdadeiro X Falso IV.2 A precisão e o custo inerente ao processo de amostragem não são factores determinantes na escolha do tipo de método a utilizar. Verdadeiro Falso X IV.3 A amostragem aleatória é um processo mais caro, mas os custos tendem a tornar-se pouco importantes face à fiabilidade dos resultados. Verdadeiro X Falso Grupo V (5, v) Foi seleccionada uma amostra aleatória simples de 1 passageiros, para os quais se apurou uma quantidade média de 5 viagens efectuadas mensalmente e uma variância de 1. V.1. Calcule e interprete o intervalo de confiança a 9% para a média da quantidade mensal de viagens efectuadas pela totalidade da população donde se extraiu a amostra; P( -Z,5 < { (X barra µ ) / [σ / Raiz (n) ] } < Z,5% ) =,9; consultando a tabela da distribuição normal, vem: P( -1,6449 < [ (5 µ ) / (1 / 1 ) ] < 1,6449) =,9 P( 48,3551 < µ < 51,6449) =,9 Com 9% de probabilidade, a quantidade média mensal de viagens realizadas por todos os passageiros está compreendida entre 48,3551 e 51,6449 Página 5 de 6 páginas

6 V.2. Para a mesma amostra, qual o impacto no intervalo de confiança para esta média, se reduzirmos o nível de confiança para 82%? Justifique; P( -Z,9 < { (X barra µ ) / [σ / Raiz (n) ] } < Z,9% ) =,82; consultando a tabela da distribuição normal, vem: P( -1,348 < [ (5 µ ) / (1 / 1 ) ] < 1,348) =,82 P( 48,6592 < µ < 51,348) =,82 Utilizando a mesma amostra e reduzindo o nível de confiança, de 9% para 82%, a amplitude do intervalo de passa de 3,2898 para 2,6816. Este resultado compreende-se porque, para uma mesma amostra, a precisão das estimativas é tanto maior (menor amplitude do intervalo) quanto menor for o nível de confiança. V.3. Mantendo-se a inicial média e desvio-padrão, como variará o intervalo de confiança se a amostra for de 36 passageiros? Calcule e comente e quantifique. P( -1,6449 < [ (5 µ ) / (1 / 6 ) ] < 1,6449) =,9 P( -1,6449 * (1 / 6) - 5 < µ < 1,6449 * (1 / 6) - 5 ) =,9 P( 47,2585 < µ < 52,7415 ) =,9 => amplitude do intervalo = 5,483 Se a amostra mantiver as mesmas estatísticas, mas tiver menor dimensão, para um mesmo nível de confiança a estimação é menos precisa (maior amplitude do intervalo), o que se compreende pelo facto de se estar a fazer estimativas com menos informação sobre a população (menor quantidade de elementos na amostra). Boa Sorte Página 6 de 6 páginas

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