MEDIDAS DE DISPERSÃO. Os dados a seguir referem-se ao índice pluviométrico de três cidades no Estado de São Paulo, em 3 diferentes ocasiões

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1 MEDIDAS DE DISPERSÃO Os dados a seguir referem-se ao índice pluviométrico de três cidades no Estado de São Paulo, em 3 diferentes ocasiões Cidade A: 185, 185, 185 x 185mm Cidade B: 18, 184, 189 x 185mm Cidade C: 176, 180, 199 x 185mm Com base apenas nas médias, as três cidades são consideradas iguais em relação ao índice pluviométrico médio. Porém, na cidade A, todos os dados são iguais à média e nas cidades B e C verifica-se uma variação nos dados sendo que, na cidade C essa variação é mais expressiva. As medidas de posição (média, mediana e moda) não informam sobre a variabilidade amostral VARIABILIDADE é a dispersão de um conjunto de dados ao redor de um valor central MEDIDAS DE DISPERSÃO 1) Amplitude total; ) Variância e Desvio padrão; 3) Coeficiente de Variação; 4) Erro-padrão da média

2 1) AMPLITUDE TOTAL - Já vimos É a diferença entre o maior (x á ) e menor (x ) valor da amostra Exemplo: Índice pluviométrico A x á x Cidade A: 185, 185, 185 Cidade B: 18, 184, 189 Cidade C: 176, 180, 199 A 0mm A mm A mm A Amplitude não é uma boa medida de variabilidade, pois se baseia em apenas dois valores da amostra (o maior e o menor). Em dados agrupados: A Ponto Médio da última classe Ponto Médio da primeira classe Classes ( ; 8 ] ( 8; 14] 5 (14; 0] 4 (0; 6] Total 13 f i Ponto médio da primeira classe: PM ª 5 Ponto médio da última classe: PM ª 3 Amplitude

3 ) Variância e desvio padrão Em uma POPULAÇÃO, a variância é definida pela razão entre soma de quadrados dos desvios tomados em relação à média - SQD e o número total de elementos na população (N). População: x, x, x,, x Média populacional: μ Desvios em relação à média: d x μ Soma de quadrados dos desvios (SQD): SQD (d ) (x μ) Variância populacional ( σ ) σ SQD N (x μ) N Em uma AMOSTRA, a variância é definida pela razão entre a SQD, soma de quadrados dos desvios em relação à média amostral (x ) e o tamanho da amostra menos um, ou seja, (n-1).

4 Amostra: x, x, x,, x Média amostral: x Desvios em relação à média: d x x Soma de quadrados dos desvios (SQD): SQD (d ) (x x ) Variância amostral (s ) s SQD n 1 (x x ) n 1 Exemplo: Índice Pluviométrico Cidade A: 185, 185, 185 x 185mm s (x x ) 3 1 (x x ) + (x x ) + (x x ) ( ) + ( ) + ( ) 0 0mm s 0mm

5 Cidade B: 18, 184, 189 x 185mm s (x x ) 3 1 (x x ) + (x x ) + (x x ) (18 185) + ( ) + ( ) ( 3) + ( 1) + (4) mm s 13mm Cidade C: 176, 180, 199 x 185mm s (x x ) 3 1 (x x ) + (x x ) + (x x ) ( ) + ( ) + ( ) ( 9) + ( 5) + (14) mm s 151mm s 0mm s 13mm s 151mm A cidade C apresentou maior variância que as cidades A e B, indicando que seus dados dispersam mais ao redor do Índice Pluviométrico Médio Variância (amostral ou populacional) tem a unidade dos dados ao quadrado

6 FÓRMULA PRÁTICA PARA CÁLCULO DA SQD SQD (x x ) x ( x ) n Logo, a variância amostral (s ), pode ser obtida por: s SQD n 1 (x x ) n 1 x ( x n n 1 ) Cidade B: 18, 184, 189 x (18) + (184) +(189) x s (555) mm As vezes é difícil interpretar a medida de variabilidade dada pela variância pois a unidade está expressa ao quadrado. Para isso, utilizamos a medida desvio padrão, dada pela raiz quadrada da variância s s

7 s s 0mm 0mm s s 13mm 3,6mm s s 151mm 1,3mm Variância e Desvio padrão em dados agrupados: No exemplo: Classes f i x x f x s ( f x n n 1 f x ( ; 8 ] ) f x ( 8; 14] (14; 0] (0; 6] Total f x 0 f x Variância (dados agrupados): s (0) ,01u Desvio padrão (dados agrupados): s s 15,01u 3,87u

8 3) Coeficiente de Variação (CV) O CV é uma medida de dispersão relativa que expressa o desvio padrão em porcentagem da média CV s 100 x O CV é bastante útil para comparar a variabilidade entre amostras em duas situações específicas: a) Amostras com mesma unidade (mesma variável medida) e médias diferentes Exemplo: Altura de plantas Amostra A: x 58,3cm Amostra B: x 79,4cm s 6,9cm s 7,6cm Qual amostra (A ou B) apresenta a maior variabilidade? CV s 100 6, ,84% x 58,3 CV s 100 7, ,57% x 79,4 A amostra A apresenta maior variabilidade dos dados

9 b) Amostras com unidades diferentes (medição de variáveis diferentes) Exemplo: Altura de plantas (em cm) e produção de frutos (em gramas) Altura: x 5,1cm Produção: x 1,1g s 5,8cm s 1,9g Qual característica (Altura ou Produção) apresenta a maior variabilidade? CV s x CV çã s x 100 5, ,13% 5, , ,70% 1,1 A característica Produção de frutos apresenta maior variabilidade que a Altura das plantas 4) Erro padrão da média O erro padrão da média é uma medida de dispersão que informa a precisão com que uma média populacional é estimada pela média amostral

10 amostragem POPULAÇÃO N elementos Média (μ) amostra n elementos Média (x ) A média amostral (x ) estima a média populacional (μ) com que precisão? s(x ) s n em que: s(x ) é o erro padrão da média; s é o desvio padrão da amostra; n é o tamanho da amostra. Exemplo: amostragem POPULAÇÃO de plantas (N) Altura Média das plantas μ Amostra de 60 plantas (n) Altura Média x 190cm Desvio padrão s 15cm Qual é o valor de μ (média populacional)? NÃO SEI!!!!! Uma estimativa para o valor de μ é dada por x 190cm. Mas com que precisão essa média foi estimada?

11 s(x ) ,9cm A Altura média das plantas na população (μ) foi estimada com um erro padrão de 1,9cm, ou seja, com uma precisão de 1,9cm. Considerações a respeito do erro padrão da média s(x ) s n a) O s(x ) é diretamente proporcional ao desvio padrão da amostra s; s implica em s(x ) s implica em s(x ) b) O s(x ) é inversamente proporcional ao tamanho da amostra n; n implica em s(x ) n implica em s(x ) c) Em todos os casos valores altos para s(x ) indica que a média populacional foi estimada com baixa precisão;

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