Medidas Descritivas de Posição, Tendência Central e Variabilidade

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1 Medidas Descritivas de Posição, Tendência Central e Variabilidade Prof. Gilberto Rodrigues Liska UNIPAMPA 27 de Março de 2017 Material de Apoio

2 Sumário 1 Introdução 2 3

3 O que fazemos com as observações que coletamos. Etapa inicial Resumo dos dados = Estatística Descritiva. Primeiro passo: Tabelas (distribuição de frequência) e Gráficos Segundo passo: Cálculo de medidas descritivas. Um número que resume toda a informação da distribuição do conjunto de dados. Ex.: tendência central, posição, variabilidade. OBS.: Assim como no primeiro passo, a medida descritiva a ser utilizada depende do tipo da variável aleatória.

4 Retornando ao exemplo 1 da aula anterior Histograma - Exemplo 1 Figura 1: Histograma da altura de 40 alunos da UNIPAMPA, câmpus Itaqui.

5 X = 1.794; Md = ; Mo = Retornando ao exemplo 1 da aula anterior Histograma - Exemplo 1 Figura 2: Histograma da altura de 40 alunos da UNIPAMPA, câmpus Itaqui.

6 Resumo de dados Por que utilizamos medidas descritivas? Para expressar alguma característica dos elementos da amostra (população). Vantagem Utilizar um único número para: resumir dados representar características importantes Desvantagem Perda de informação.

7 Sumário 1 Introdução 2 3

8 Moda (M o ) Definição É o valor (ou atributo) que ocorre com maior frequência. Exemplo 1 Considere os valores de peso (em Kg): 4, 5, 4, 6, 5, 8, 4 e 4. Mo = 4 Kg OBS.1: Um conjunto de dados pode não ter moda ou ter mais do que uma moda. OBS.2: Para variáveis quantitativas contínuas, a moda é dada pelo ponto médio da classe de maior frequência (classe modal).

9 Média Aritmética Simples ( X) Definição É o ponto de equíbrio de uma distribuição de dados. Matematicamente é definida por n Exemplo 3 X = x i i=1 n = x 1 + x x n n Considere os valores de peso (em Kg): 2, 5, 3, 7 e 8. X = = 5 Kg Na calculadora: (mode) (2) 2 (M+) 5 (M+) 3 (M+) 7 (M+) 8 (M+) (shift) (2) (1) (=)

10 Mediana (M d ) Definição A mediana é o valor da variável que ocupa a posição central de um conjunto ordenado de n dados. Para encontrar a mediana: 1 Posição da mediana é (n + 1)/2 2 Se a posição for um número inteiro, a mediana é o elemento correspondente a essa posição. Caso contrário, a mediana é a média dos elementos cujas posições correspondem aos dois números inteiros mais próximos. Ou seja, M d = x ( n 2) +x ( n+2 2 ) x ( n+1 2 ) 2 ; se n for par ; se n for impar

11 Mediana Exemplo 4 Considere os valores de peso (em Kg): 2, 5, 3, 7 e 8. Dados ordenados: 2, 3, 5, 7 e 8 Posição: (5 + 1)/2 = 3 Md = 5Kg. Exemplo 5 Considere os valores de peso (em Kg): 3, 5, 2, 1, 8 e 6. Dados ordenados: 1, 2, 3, 5, 6, 8 Posição: (6 + 1)/2 = 3, 5 Md = x 3+x 4 2 = = 4 Kg.

12 Quantis (Q) Definição O quantil de ordem p em um conjunto de dados de tamanho n é o valor da variável que ocupa a posição p (n + 1) do conjunto ordenado de dados. Casos particulares: Quantil 0, 5 (ou 50%) = Mediana (Md) ou segundo quartil. Quantil 0, 25 (ou 25%) = primeiro quartil (Q1). Quantil 0, 75 (ou 75%) = terceiro quartil (Q3). Interpretações: Md: 50% dos valores do conjunto de dados estão abaixo da mediana. Q1: 25% dos valores estão abaixo de Q1.

13 Quantis Exemplo 6 Considere o conjunto de dados: 1,9; 2,0; 2,1; 2,5; 3,0; 3,1; 3,3; 3,7; 6,1; 7,7. Mediana: 0, 5 (n + 1) = 0, 5 11 = 5, 5 Md = x 5+x 6 = 3,0+3,1 = 3, 05 u.m. 2 2 Q1: 0, 25 (11) = 2, 75 Q1 = x 2+x 3 = 2,0+2,1 = 2, 05 u.m. 2 2 Q3: 0, 75 (11) = 8, 25 Q3 = x 8+x 9 = 3,7+6,1 = 4, 9 u.m. 2 2 Exemplo 7 Considere o conjunto de dados: 0,9; 1,0; 1,7; 2,9; 3,1; 5,3; 5,5; 12,2; 12,9; 14,0; 33,6. Mediana: 0, 5 (11 + 1) = 0, 5 12 = 6 Md = x 6 = 5, 3 u.m. Q1: 0, 25 (12) = 3 Q1 = x 3 = 1, 7 u.m. Q3: 0, 75 (12) = 9 Q3 = x 9 = 12, 9 u.m.

14 Medidas Descritivas - Exemplo Exemplo 8 Considere as notas (pontos) de um teste de 3 grupos de alunos: Grupo 1 (3, 4, 5, 6, 7); Grupo 2 (1, 3, 5, 7, 9) e Grupo 3 (5, 5, 5, 5, 5). Note que: X1 = X 2 = X 3 = 5; Md 1 = Md 2 = Md 3 = 5

15 Sumário 1 Introdução 2 3

16 (ou Dispersão) Finalidade Encontrar um valor que resuma a variabilidade (dispersão) de um conjunto de dados. Interpretação Quanto maior o valor da medida, maior é a variabilidade do conjunto de dados, ou seja, mais heterogêneo é o conjunto, e vice-versa. Medidas Amplitude, Variância, Desvio-padrão, Coeficiente de Variação, entre outros.

17 Amplitude (A) Definição Definido como sendo a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados A = x max x min OBS.: A unidade da amplitude é a mesma dos dados! Exemplo 8 (cont.) Para os grupos anteriores, temos: Grupo 1 A 1 = x max x min = 7 3 = 4 pontos Grupo 2 A 2 = x max x min = 9 1 = 8 pontos Grupo 3 A 3 = x max x min = 5 5 = 0 pontos

18 Variância amostral (S 2 ) Variância Amostral (S 2 ) Definida como a soma do quadrado dos desvios em relação à média. S 2 = n (X i X) 2 i=1 S 2 = 1 n 1 n 1 n i=1 X 2 i ( X1 X ) 2 + ( X2 X ) ( Xn X ) 2 = ( n ) 2 X i i=1 n n 1 OBS.: A unidade da variância fica elevada ao quadrado!

19 Desvio-padrão amostral (S) Desvio padrão amostral (S) A grande vantegem do desvio-padrão é que ele é expresso na mesma unidade de medida dos dados. S = n (X S 2 i X) 2 i=1 = n 1 OBS.: A unidade do desvio-padrão não fica elevada ao quadrado!

20 Variância Amostral (S 2 ) - Exemplo Exemplo 8 (cont.) Vimos que X = 5. Então, para os grupos anteriores, temos: S 2 1 = (3 5)2 + (4 5) 2 + (5 5) 2 + (6 5) 2 + (7 5) Na calculadora: = 2, 5 pontos 2 S 2 : (mode) (2) 3 (M+) 4 (M+) 5 (M+) 6 (M+) 7 (M+) (shift) (2) (3) (=) (x 2 ) (=) Da mesma forma calcula-se para os outros grupos. S 2 2 = 10 pontos 2 S 2 3 = 0 pontos 2

21 Desvio-padrão amostral (S)- Exemplo Exemplo 8 (cont.) Vimos que X = 5. Então, para os grupos anteriores, temos: Na calculadora: S 1 = 2, 5 = 1, 58 pontos S: (mode) (2) 3 (M+) 4 (M+) 5 (M+) 6 (M+) 7 (M+) (shift) (2) (3) (=) Da mesma forma calcula-se para os outros grupos. S 2 = 3, 16 pontos S 3 = 0 pontos

22 Coeficiente de Variação (CV) Definição É uma medida de dispersão relativa; Elimina o efeito da magnitude dos dados; Exprime a variabilidade em relação a média. CV = S X 100% OBS.: A unidade do CV é em porcentagem!

23 Coeficiente de Variação - Exemplo Exemplo 8 (cont.) CV 1 = S 1 1, % = 100% = 31, 6% X 1 5 Da mesma forma obtém-se os outros CV s. Grupo Média Desvio-padrão Coeficiente de Variação 1 5 1,58 31, 60% 2 5 3,16 63, 20% % Na calculadora: CV : (mode) (2) 3 (M+) 4 (M+) 5 (M+) 6 (M+) 7 (M+) (shift) (2) (3) (=) (Ans) ( ) (shift) (2) (1) (=) ( ) 100 (=)

24 Resumo Tabela 1: Resumo da aplicabilidade das medidas descritivas Variável Posição Dispersão Qualitativa Nominal Moda Não faz sentido Qualitativa Ordinal Moda, Mediana, Quartis Amplitude Moda, Média, Amplitude, Variância, Quantitativa Mediana, Desvio-padrão, Quartis Coeficiente de Variação.

25 Propriedades das Medidas Descritivas Problema Com referência à situação do exemplo 8, suponha duas situações: Situação 1: Foi constatado um erro em uma questão que os alunos não tinham feito e por isso o professor decidiu anular a questão e somar o valor dessa questão (1 ponto) à nota de cada aluno. Qual é a nova média dos grupos de alunos? Situação 2: O professor decidiu embutir uma nota de participação à nota da prova. Para isso, decidiu acrescentar um percentual de 25% na nota de cada aluno. Qual a nova nota média dos grupos?

26 Propriedades das Medidas Descritivas Sejam X, M d e M o e V (X), a média, mediana, moda e variância, respectivamente, de n observações e seja k uma constante qualquer: (i) Se cada observação é acrescido (ou subtraído) de um valor k, ou seja, Y = X + k, as novas medidas descritivas serão respectivamente: Ȳ = X ± k. M d (Y ) = M d (X) + k. M o (Y ) = M o (X) + k. V (Y ) = V (X). (ii) Se cada observação é multiplicada por um valor k, ou seja, Y = X k, as novas medidas descritivas serão respectivamente: Ȳ = X k. M d (Y ) = M d (X) k. M o (Y ) = M o (X) k. V (Y ) = k 2 V (X).

27 Propriedades das Medidas Descritivas - Exemplo Problema Com referência à situação do exemplo 8, suponha duas situações: Situação 1: Foi constatado um erro em uma questão que os alunos não tinham feito e por isso o professor decidiu anular a questão e somar o valor dessa questão (1 ponto) à nota de cada aluno. Qual é a nova média dos grupos de alunos? Grupo 1 Ȳ = X + k Ȳ = = 6 pontos Situação 2: O professor decidiu embutir uma nota de participação à nota da prova. Para isso, decidiu acrescentar um percentual de 25% na nota de cada aluno. Qual a nova nota média dos grupos? Grupo 1 Ȳ = X k Ȳ = 5 1, 25 = 6, 25 pontos

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