Autores: Fernando Sebastião e Helena Silva

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1 Apontamentos de Estatística Descritiva Unidade Curricular: Estatística Aplicada Área Científica: Matemática Ano Lectivo: 2007/2008 Curso: Contabilidade e Finanças Regime: Diurno + Pós-Laboral Escola: Superior de Tecnologia e Gestão do Instituto Politécnico de Leiria Docentes: Miguel Felgueiras, José Martins, Rui Paiva Autores: Fernando Sebastião e Helena Silva

2 Conteúdos Programáticos Noções básicas: População. Amostra. Unidade estatística. Atributo. Modalidades. Quadros de frequências: Frequências absolutas. Frequências relativas. Frequências acumuladas. Dados agrupados em classes. Representação gráfica de frequências: Diagrama de barras. Diagrama de sectores. Histograma. Polígono de frequências. Redução dos dados: Medidas de tendência central. Medidas de dispersão. Medidas de assimetria. Medidas de achatamento. Medidas de concentração. Estatística Descritiva 2

3 Gerais: Objectivos/resultados de aprendizagem Explorar a informação contida num conjunto de dados. Usar espírito crítico na análise dos resultados obtidos quer em termos numéricos quer em termos computacionais. Específicos: No fim deste capítulo da unidade curricular o estudante deverá saber: Noções básicas: Identificar a população em estudo. Identificar a amostra em análise. Identificar a unidade estatística. Identificar o atributo em estudo na população. Distinguir atributos qualitativos e quantitativos. Caracterizar as modalidades para um determinado atributo. Estatística Descritiva 3

4 Objectivos/resultados de aprendizagem Específicos (continuação): Quadros de frequências: Determinar e interpretar as frequências absolutas. Determinar e interpretar as frequências relativas. Determinar e interpretar as frequências acumuladas. Distinguir os vários tipos de frequências (absolutas, relativas e acumuladas). Agrupar os dados em classes para um determinado atributo. Representação gráfica de frequências: Representar e interpretar o diagrama de barras para atributos qualitativos e quantitativos. Representar e interpretar o diagrama de sectores para atributos qualitativos e quantitativos. Representar e interpretar o histograma. Distinguir as várias representações gráficas. Identificar as representações gráficas mais adequadas a cada tipo de atributo. Representar e interpretar o polígono de frequências. Estatística Descritiva 4

5 Objectivos/resultados de aprendizagem Específicos (continuação): Redução dos dados: Definir, determinar e interpretar as medidas de tendência central: média aritmética, mediana e moda. Definir, determinar e interpretar as medidas de dispersão, nomeadamente amplitude total, amplitude interquartis, desvio padrão e variância. Definir e determinar os percentis, nomeadamente os quartis. Definir e identificar outliers. Representar e interpretar diagramas de extremos e quartis. Definir as medidas de assimetria. Interpretar as medidas de assimetria através das medidas de tendência central assim como através do coeficiente de assimetria. Distinguir a simetria da assimetria negativa e da assimetria positiva. Definir as medidas de achatamento. Interpretar as medidas de achatamento através do coeficiente de achatamento. Distinguir os tipos de achatamento (leptocúrtica, mesocúrtica e platicúrtica). Definir as medidas de concentração. Interpretar as medidas de concentração no contexto dos problemas em análise. Estatística Descritiva 5

6 Bibliografia [1] Murteira, B. (1993) Análise Exploratória de Dados Estatística Descritiva, McGraw Hill [2] Murteira, B., Ribeiro, C., Silva, J. e Pimenta, C. (2002) Introdução à Estatística, McGraw Hill [3] Pereira, A. (2004) SPSS Guia Prático de Utilização, Edições Sílabo [4] Reis, Elizabeth (2000) Estatística Descritiva, Edições Sílabo Estatística Descritiva 6

7 Estatística Noções básicas Descritiva Indutiva Tem como objectivo resumir a informação Tem como objectivo mais importante tirar conclusões sobre contida num conjunto as características da de dados, permitindo população a partir da assim facilitar a sua informação contida compreensão e numa amostra. interpretação. Estatística Descritiva 7

8 Noções básicas Indivíduo ou unidade estatística Unidade base sobre a qual o observador realiza as observações. População ou universo Conjunto formado por todos os indivíduos em estudo. Amostra Subconjunto finito da população que seja representativo desta. Atributo ou variável Característica em estudo na população. Modalidades ou categorias Resultados possíveis para um determinado atributo. Estatística Descritiva 8

9 Atributos ou Variáveis Noções básicas Qualitativas Quando assumem um conjunto de categorias que, embora possam ser representadas por números, não tem significado transformá-las através de operações usuais, tais como, adições ou subtracções. Quantitativas Quando assumem um conjunto de valores numéricos. Estatística Descritiva 9

10 Variáveis Qualitativas Noções básicas Nominais Não se pode estabelecer uma relação de ordem entre as categorias. Exemplo: o sexo, feminino ou masculino, pode ser codificado por 0 ou 1. Ordinais Pode-se estabelecer uma relação de ordem entre as categorias. Exemplo: ograudesatisfação relativamente a um serviço, pode ser codificado por insatisfeito (1), pouco satisfeito (2), satisfeito (3) ou muito satisfeito (4). Estatística Descritiva 10

11 Noções básicas Variáveis Quantitativas ou de Escala Discretas As categorias definem-se no conjunto dos números inteiros. Exemplos: Nº de clientes; Nº de animais de estimação; Nº de livros editados. Contínuas As categorias definem-se no conjunto dos números reais. Exemplos: Altura; Peso; Lucro anual. Estatística Descritiva 11

12 Quadros de Frequências Definição de Frequências Seja p o número total de modalidades distintas, nas n observações válidas. Frequências absolutas - n i : número de observações que pertencem à modalidade i, com i = 1, 2,, p. Verifica-se que: p i=1= n i = n. Frequências relativas - f i : percentagem de observações que pertencem à modalidade i, com i = 1, 2,, p. Verifica-se que: p ni fi = 100 e fi = 100. n n i= 1 Estatística Descritiva 12

13 Quadros de Frequências Frequências relativas acumuladas - F i : percentagem de observações que pertencem à modalidade i e anteriores, com i = 1, 2,, p. Notas: Verifica-se que: i Fi = fj e Fp = 100. Para o caso em que as variáveis são qualitativas nominais não faz sentido determinar as frequências relativas acumuladas, uma vez que as modalidades não são ordenáveis. Para o caso em que as variáveis são qualitativas ordinais pode fazer sentido determinar as frequências relativas acumuladas, uma vez que as modalidades são ordenáveis. j=1 Estatística Descritiva 13

14 Quadros de Frequências Variáveis Qualitativas O ficheiro SegSocial.sav contém informações de algumas características pessoais, profissionais, familiares, sociais, etc., que se obtiveram através de um inquérito efectuado a 1500 indivíduos inscritos na Segurança Social. Considere-se a seguinte variável: Estado civil Valid Missing Total Frequency (ni) Percent Valid Percent (fi) Casado ,0 53,0 Viúvo ,0 11,0 Divorciado ,2 14,2 Separado 40 2,7 2,7 Solteiro ,11 19,11 Total ,9 100,0 NA 1, ,00 Estatística Descritiva 14

15 Quadros de Frequências Variáveis Quantitativas - Dados Não Agrupados em Classes As idades seguintes obtiveram-se através de um inquérito realizado a alguns alunos inscritos no 2º ano de um determinado curso da ESTG. Idade do indivíduo (em anos) Cumulative Frequency Percent Valid Percent Percent Valid ,9 6,9 6, ,7 39,7 46, ,0 31,0 77, ,1 12,1 89, ,6 8,6 98, ,7 17 1,7 100,00 Total ,0 100,0 Interpretação: 23 alunos dos 58 inquiridos têm 19 anos; 31% dos alunos inquiridos têm 20 anos; 89,7% dos alunos têm 21 anos ou menos. Estatística Descritiva 15

16 Quadros de Frequências Variáveis Quantitativas - Dados Agrupados em Classes Notas: Para o caso em que as variáveis são quantitativas discretas e o número de modalidades é relativamente elevado, os dados são agrupados em classes. Para o caso em que as variáveis são quantitativas contínuas os dados são agrupados em classes. Estatística Descritiva 16

17 Quadros de Frequências Variáveis Quantitativas - Dados Agrupados em Classes Quantas classes deverão ser utilizadas? O número de classes, p, a utilizar é o menor inteiro 2 p n tal que. Nota: Sempre que possível o número de classes deverá ser entre 5 e 20 inclusive. i Seja x i, (i = 1,..., n) cada uma das observações da variável. Amplitude total dos dados: I T = max(x i ) min(x i ) Para o caso em que as classes têm a mesma amplitude: Amplitude de cada classe: I C C = I T p Estatística Descritiva 17

18 Quadros de Frequências Variáveis Quantitativas - Dados Agrupados em Classes No ficheiro SegSocial.sav, considere-se a variável quantitativa discreta horas1 (Número de horas trabalhadas na semana passada) cujo número de modalidades é relativamente elevado, pelo que as observações foram agrupadas em classes e apresentadas no seguinte quadro de frequências: Número de horas trabalhadas na semana passada (Binned) Valid Missing Total < Total NAP DK NA Total ni fi (%) Fi (%) 20 2,2 2,2 44 4,9 7,1 78 8,7 15,8 80 8,9 24, ,0 66, ,9 81, ,9 93,4 37 4,1 97,6 20 2,2 99,8 2,2 100, , Notas: n = 900 (válidos) p = 10 classes max(x i ) = 89 min(x i ) = 2 I T = 89 2 = 87 I C = 87 / 10 = Estatística Descritiva 18

19 Quadros de Frequências Variáveis Quantitativas - Dados Agrupados em Classes Notas: Se ao agrupar os dados em classes, existir alguma classe que não contenha observações então não faz sentido usar classes de igual amplitude!!!... Neste caso usam-se classes de diferentes amplitudes! Estatística Descritiva 19

20 Representação Gráfica de Frequências Variáveis Qualitativas Diagrama de Barras ( Bar Chart ) Formado por rectângulos separados com a mesma largura e com altura igual à frequência (quer seja absoluta ou relativa) correspondente a cada modalidade ou categoria. Estatística Descritiva 20

21 Representação Gráfica de Frequências Variáveis Qualitativas Diagrama de Sectores ou Circular ( Pie Chart ) Círculo constituído por sectores, cuja área de cada sector é proporcional à frequência (quer seja absoluta ou relativa) de cada uma das modalidades ou categorias. Estatística Descritiva 21

22 Representação Gráfica de Frequências Variáveis Quantitativas - Dados Não Agrupados em Classes Diagrama de Barras ( Bar Chart ) Diagrama de Sectores ou Circular ( Pie Chart ) ) Estatística Descritiva 22

23 Representação Gráfica de Frequências Variáveis Quantitativas - Dados Agrupados em Classes Histograma ( Histogram ) Formado por rectângulos adjacentes com largura igual à amplitude da classe correspondente e área proporcional à frequência da respectiva classe. 10 classes 1 < Estatística Descritiva 23

24 Representação Gráfica de Frequências Polígono de Frequências Variáveis i Quantitativas É a linha poligonal que une os pontos médios superiores de cada rectângulo do diagrama de barras ou do histograma. Estatística Descritiva 24

25 Representação Gráfica de Frequências Variáveis Quantitativas Notas: Para o caso em que as variáveis i são discretas e o número de modalidades é relativamente elevado, os dados são agrupados em classes e consequentemente representados em histogramas. Para o caso em que as variáveis são contínuas, os dados também podem ser representados em diagramas de sectores. Estatística Descritiva 25

26 Redução dos Dados A redução dos dados tem por objectivo resumir a informação neles contida, isto é, representar as observações através de alguns resultados numéricos que analisam as características mais importantes. Medidas de tendência central Medidas de dispersão Medidas de assimetria Medidas de achatamento Medidas de concentração Estatística Descritiva 26

27 Medidas de Tendência Central As medidas de tendência central representam a localização do centro das observações. Média Aritmética Mediana Moda Média Aritmética ( Mean ) Indica o valor em torno do qual se distribuem as observações. Sejam x i, i = 1, 2,, p, as diferentes modalidades do atributo. Interpretação: Então, x = A média indica o valor que cada observação deveria ter para que a soma de todas as observações fosse igual à verificada. 1 n p i= 1 n i x. i Estatística Descritiva 27

28 Mediana ( Median ) Medidas de Tendência Central É o valor que divide ide as observações em duas partes iguais. Consideremos as observações ordenadas por ordem crescente: x x... x x. x ( 1) ( 2) ( 3) (n 1) (n) Então, Interpretação: x 1, se n é ímpar n Me = x + x n n , se n é par 2 50% das observações têm valor superior ou igual à mediana e 50% das observações têm valor inferior ou igual à mediana. a Estatística Descritiva 28

29 Moda ( Mode ) Medidas de Tendência Central É a modalidade ou categoria mais frequente na amostra e representa-se por Mo. A moda não tem de ser única, pois pode haver mais do que uma modalidade com igual frequência, sendo essa frequência máxima. Nesse caso, o SPSS devolve o menor valor da moda. Observação: Para variáveis i qualitativas ti a única medida de tendência central que faz sentido determinar é a moda. Estatística Descritiva 29

30 Exemplo: Medidas de Tendência Central Idade do indivíduo (em anos) Statistics Valid Total Cumulative Frequency Percent Valid Percent Percent 4 6,9 6,9 6, ,7 39,7 46, ,0 31,0 77,6 7 12,1 12,1 89,7 5 8,6 8,6 98,3 1 1,7 1,7 100, ,0 100,0 Idade do indivíduo (em anos) N Mean Valid Missing ,81 Median 20,00 Mode 19 Sum 1149 Se todos os indivíduos tivessem a mesma idade, para que a soma de todas as idades fosse igual a 1149, essa idade teria que ser 19,81 anos. 50% dos indivíduos têm idade inferior A idade mais ou igual a 20 anos e os restantes 50% frequente entre os dos indivíduos têm idade superior ou indivíduos é 19 igual a 20 anos. anos. Estatística Descritiva 30

31 Medidas de Dispersão As medidas de dispersão analisam o grau de variabilidade das observações de um conjunto de dados em torno das medidas de tendência central. Amplitude Total ( Range ) É a diferença entre o valor observado mais elevado e o valor observado mais baixo: I T = max (x i ) min (x i ). Quartis ( Quartiles ): Os três quartis (q 1, q 2 e q 3 ) são os valores que dividem id os dados d em 4 partes iguais em termos de percentagem de observações. 25 % obs. 25 % obs. 25 % obs. 25 % obs. min (x i ) q 1 q 2 q 3 max (x i ) i q 2 Estatística Descritiva 31

32 Medidas de Dispersão Consideremos as observações ordenadas por ordem crescente: Os valores dos 1º, 2º e x ( 1) x( 2)... x(n 1 ) x(n) 3º quartis com r = 1, 2 e 3, respectivamente, são dados por: Nota: q r x + x r r n n , se r = n é natural 2 4 x r ( m ), se n não é natural 4 m é o menor número inteiro superior. a r 4 n. Existem diferentes formas de definir os quartis, podendo surgir valores ligeiramente diferentes para o mesmo quartil. Uma possível definição é a apresentada anteriormente. Estatística Descritiva 32

33 Percentis ou Quantis ( Percentiles ): Medidas de Dispersão São os valores Q p tais que p% das observações da amostra são inferiores ou iguais a Q p. Amplitude Interquartis q 1 - percentil 25 (Q 25 ) q 2 - percentil 50 (Q 50 ) - Mediana q 3 - percentil 75 (Q 75) ) É a amplitude do intervalo que contém 50% das observações centrais: I q = q 3 q % de observações min (x i ) q 1 q 2 q 3 max (x i ) Estatística Descritiva 33

34 Outliers : Medidas de Dispersão Se alguma observação ficar fora do intervalo [q 1 15*I 1,5 q ; q *I] 1,5 q considera-se uma observação suspeita e denomina-se por outlier, isto é, fica fora do suporte usual da distribuição dos dados, afastando-se portanto do padrão geral dos mesmos. Outliers moderados: Observações pertencentes ao intervalo [q 1 3 * I q ; q 1-1,5 * I q ] ou [q 3 + 1,5 * I q ; q * I q ]. Outliers severos ou valores extremos: Observações inferiores a q 1 3 * I q ou superiores a q 3 + 3*I q. Estatística Descritiva 34

35 Medidas de Dispersão Diagrama de Extremos e Quartis ou Caixa de Bigodes ( Boxplot ) Sem outliers max (x i ) q 3 Me q 1 min (x i ) Outlier severo Outlier moderado max (x i ) não outlier min (x i ) não outlier Com outliers Quanto menor for a distância entre 2 destas medidas em relação às restantes, menor é a dispersão das observações nesse intervalo e vice-versa. versa Estatística Descritiva 35

36 Variância ( Variance ) Medidas de Dispersão A variância é a média dos quadrados dos desvios das observações em relação à média aritmética e é dada por: s 2 p 2 p = 1 n i= 1 i= 1 2 n ( x x) 1 2 i i = ni xi x. n Alguns autores (e o SPSS) ) utilizam a variância corrigida em vez da variância usual, que é dada por: s 2 c = 1 n-1 p 2 i= 1 n ( x x). Quanto maior for o valor da variância mais afastadas estão as observações da média e logo existe uma maior dispersão das observações, evice-versa vice-versa. i i Estatística Descritiva 36

37 Desvio Padrão ( Standard Deviation ) Medidas de Dispersão O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e é dado por: E o desvio padrão corrigido é dado por: s s = c = Quanto maior for o valor do desvio padrão mais afastadas estão as observações da média e logo existe uma maior dispersão das observações, e vice-versa. Nota: 2 n 2 n = s e s = s. s 2 s sc n-1 c n-1. 2 c. Estatística Descritiva 37

38 Medidas de Assimetria As medidas de assimetria i servem para analisar se as frequências estão ou não distribuídas simetricamente em torno das medidas de tendência central. Tipo de assimetria Simétrica EQUENCY FR Exemplos Comparação das Coeficiente medidas de de assimetria tendência central ( Skewness ) Mo = Me = x = 0 C s Assimétrica negativa FREQUEN NCY x < Me < Mo x = Me < Mo x < Me = Mo C <0 C s Assimétrica positiva FREQUENCY Mo < Me < Mo = Me < Mo < Me = x x x C s >0 Estatística Descritiva 38

39 Medidas de Achatamento As medidas de achatamento t servem para analisar a intensidade das frequências em torno das medidas de tendência central. Exemplos Tipo de Achatamento Coeficiente de achatamento ( Kurtosis ) Menos achatada que a distribuição Normal (Leptocúrtica) Tão achatada como a distribuição Normal (Mesocúrtica) Mais achatada que a distribuição Normal (Platicúrtica) C >0 C = 0 < 0 k k C k Estatística Descritiva 39

40 Medidas de Concentração As medidas de concentração analisam o modo como o atributo está distribuído pelos indivíduos. Curva de Lorenz Índice de Gini Notas: Só faz sentido analisar a concentração desde que possam ocorrer as duas situações seguintes: concentração máxima do atributo num só indivíduo; concentração mínima de igual distribuição do atributo por todos os indivíduos. Estatística Descritiva 40

41 Curva de Lorenz Medidas de Concentração É a linha poligonal que une os pontos da forma (Fi,F i) Fi) com i = 0, 1,, p, onde: Fi frequências relativas acumuladas das observações F i frequências relativas acumuladas do atributo F ' i F ' i F ' i F i F i F i Concentração fraca Concentração intermédia Concentração forte Interpretação: Quanto mais afastada estiver a curva de Lorenz da recta de igual distribuição ição maior será a concentração do atributo. to Estatística Descritiva 41

42 Medidas de Concentração Exemplo: Classes ni fi Fi xi ni*xi i f'i F'i Os dados referentes aos salários saá líquidos qudos mensais, sas, em euros, dos trabalhadores de uma empresa encontram-se resumidos na tabela. [400 ; 600[ ,31 4,31 [600 ; 800[ ,66 13,97 [800 ; 1000[ ,41 26,38 [1000 ; 1200[ ,33 38,71 [1200 ; 1400[ ,45 52,16 [1400 ; 1600[ ,22 66,38 [1600 ; 1800[ ,52 86,90 [1800 ; 2000] ,10 100,00 Total F ' i Vencimentos mensais (em euros) líquidos dos trabalhadores de uma empresa F i Curva de Lorenz Recta de igual distribuição Interpretação: A curva está pouco afastada da recta de igual distribuição, logo a concentração do atributo é fraca. Estatística Descritiva 42

43 Índice de Gini Medidas de Concentração Mede o grau de concentração do atributo num conjunto de dados e é dado por: IG = 1 p 1 1 i= 1 p 1 i = 1 Exemplo: F 'i Fi ; 0 IG 1 Concentração mínima (Fi = F i) Concentração máxima (F i = 0, i = 1,, p-1) Para os dados dos salários do exemplo anterior mostre que o valor do Índice de Gini é aproximadamente igual a 0,22. Estatística Descritiva 43