Medidas Descritivas de Posição, Tendência Central e Variabilidade

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1 Medidas Descritivas de Posição, Tendência Central e Variabilidade Prof. Gilberto Rodrigues Liska UNIPAMPA 29 de Agosto de 2017 Material de Apoio gilbertoliska@unipampa.edu.br Local: Sala dos professores (junto ao administrativo) Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

2 Introdução Sumário 1 Introdução 2 Medidas de Tendência Central 3 Medidas de Variabilidade Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

3 Introdução O que fazemos com as observações que coletamos. Etapa inicial Resumo dos dados = Estatística Descritiva. Primeiro passo: Tabelas (distribuição de frequência) e Gráficos Segundo passo: Cálculo de medidas descritivas. Um número que resume toda a informação da distribuição do conjunto de dados. Ex.: tendência central, posição, variabilidade. OBS.: Assim como no primeiro passo, a medida descritiva a ser utilizada depende do tipo da variável aleatória. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

4 Introdução Retornando ao exemplo 1 da aula anterior Histograma - Exemplo 1 Figura 1: Histograma das frequências absolutas da altura de 40 alunos de uma turma da UNIPAMPA, câmpus Itaqui. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

5 Introdução Retornando ao exemplo 1 da aula anterior Histograma - Exemplo 1 Figura 2: Histograma da altura de 40 alunos da UNIPAMPA, câmpus Itaqui. X = 1.794; Md = ; Mo = Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

6 Introdução Resumo de dados Por que utilizamos medidas descritivas? Para expressar alguma característica dos elementos da amostra (população). Vantagem Utilizar um único número para: resumir dados representar características importantes Desvantagem Perda de informação. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

7 Medidas de Tendência Central Sumário 1 Introdução 2 Medidas de Tendência Central 3 Medidas de Variabilidade Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

8 Medidas de Tendência Central Moda (M o ) Definição É o valor (ou atributo) que ocorre com maior frequência. Exemplo 1 Considere os valores de peso (em Kg): 4, 5, 4, 6, 5, 8, 4 e 4. Mo = 4 Kg OBS.1: Um conjunto de dados pode não ter moda ou ter mais do que uma moda. OBS.2: Para variáveis quantitativas contínuas, a moda é dada pelo ponto médio da classe de maior frequência (classe modal). Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

9 Medidas de Tendência Central Média Aritmética Simples ( X) Definição É o ponto de equíbrio de uma distribuição de dados. Matematicamente é definida por n Exemplo 3 X = x i i=1 n = x 1 + x x n n Considere os valores de peso (em Kg): 2, 5, 3, 7 e 8. X = = 5 Kg Na calculadora (Casio fx-82ms ou similares): (mode) (2) 2 (M+) 5 (M+) 3 (M+) 7 (M+) 8 (M+) (shift) (2) (1) (=) Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

10 Medidas de Tendência Central Média Ponderada ( X p ) Definição Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as observações têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. Diz-se então que elas têm o mesmo peso relativo. No entanto, existem casos onde as observações têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada. X p = n p i x i i=1 n p i i=1 Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

11 Medidas de Tendência Central Média Ponderada ( X p ) Exemplo 4 Para um aluno ser aprovado em uma disciplina, foi determinado que se a média ponderada entre suas notas das 3 avaliações e de 2 trabalhos for maior ou igual a 6, ele será aprovado. Para tal, o professor atribuiu peso 6 para as provas e peso 4 para os trabalhos. Suponha que o aluno obteve as notas a seguir. O aluno foi aprovado? Nota Avaliação Trabalho 1 o 2 o 3 o 1 o 2 o SOLUÇÃO: X p = n p i x i i=1 = n p i i=1 6 7, , = = 6, 6 pontos Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

12 Medidas de Tendência Central Mediana (M d ) Definição A mediana é o valor da variável que ocupa a posição central de um conjunto ordenado de n dados. Para encontrar a mediana: 1 Posição da mediana é (n + 1)/2 2 Se a posição for um número inteiro, a mediana é o elemento correspondente a essa posição. Caso contrário, a mediana é a média dos elementos cujas posições correspondem aos dois números inteiros mais próximos. Ou seja, M d = x ( n 2) +x ( n+2 2 ) x ( n+1 2 ) 2 ; se n for par ; se n for impar Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

13 Medidas de Tendência Central Mediana (M d ) Exemplo 4 Considere os valores de peso (em Kg): 2, 5, 3, 7 e 8. Dados ordenados: 2, 3, 5, 7 e 8 Posição: (5 + 1)/2 = 3 Md = 5Kg. Exemplo 5 Considere os valores de peso (em Kg): 3, 5, 2, 1, 8 e 6. Dados ordenados: 1, 2, 3, 5, 6, 8 Posição: (6 + 1)/2 = 3, 5 Md = x 3+x 4 2 = = 4 Kg. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

14 Medidas de Tendência Central Quantis (Q) Definição O quantil de ordem p em um conjunto de dados de tamanho n é o valor da variável que ocupa a posição p (n + 1) do conjunto ordenado de dados. Casos particulares: Quantil 0, 5 (ou 50%) = Mediana (Md) ou segundo quartil. Quantil 0, 25 (ou 25%) = primeiro quartil (Q1). Quantil 0, 75 (ou 75%) = terceiro quartil (Q3). Interpretações: Md: 50% dos valores do conjunto de dados estão abaixo da mediana. Q1: 25% dos valores estão abaixo de Q1. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

15 Medidas de Tendência Central Quantis Exemplo 6 Considere o conjunto de dados: 1,9; 2,0; 2,1; 2,5; 3,0; 3,1; 3,3; 3,7; 6,1; 7,7. Mediana: 0, 5 (n + 1) = 0, 5 11 = 5, 5 Md = x 5+x 6 = 3,0+3,1 = 3, 05 u.m. 2 2 Q1: 0, 25 (11) = 2, 75 Q1 = x 2+x 3 = 2,0+2,1 = 2, 05 u.m. 2 2 Q3: 0, 75 (11) = 8, 25 Q3 = x 8+x 9 = 3,7+6,1 = 4, 9 u.m. 2 2 Exemplo 7 Considere o conjunto de dados: 0,9; 1,0; 1,7; 2,9; 3,1; 5,3; 5,5; 12,2; 12,9; 14,0; 33,6. Mediana: 0, 5 (11 + 1) = 0, 5 12 = 6 Md = x 6 = 5, 3 u.m. Q1: 0, 25 (12) = 3 Q1 = x 3 = 1, 7 u.m. Q3: 0, 75 (12) = 9 Q3 = x 9 = 12, 9 u.m. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

16 Medidas de Tendência Central Medidas Descritivas - Exemplo Exemplo 8 Considere as notas (pontos) de um teste de 3 grupos de alunos: Grupo 1 (3, 4, 5, 6, 7); Grupo 2 (1, 3, 5, 7, 9) e Grupo 3 (5, 5, 5, 5, 5). Note que: X 1 = X 2 = X 3 = 5; Md 1 = Md 2 = Md 3 = 5 Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

17 Medidas de Variabilidade Sumário 1 Introdução 2 Medidas de Tendência Central 3 Medidas de Variabilidade Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

18 Medidas de Variabilidade Medidas de Variabilidade (ou Dispersão) Finalidade Encontrar um valor que resuma a variabilidade (dispersão) de um conjunto de dados. Interpretação Quanto maior o valor da medida, maior é a variabilidade do conjunto de dados, ou seja, mais heterogêneo é o conjunto, e vice-versa. Medidas Amplitude, Variância, Desvio-padrão, Coeficiente de Variação, entre outros. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

19 Medidas de Variabilidade Amplitude (A) Definição Definido como sendo a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados A = x max x min OBS.: A unidade da amplitude é a mesma dos dados! Exemplo 8 (cont.) Para os grupos anteriores, temos: Grupo 1 A 1 = x max x min = 7 3 = 4 pontos Grupo 2 A 2 = x max x min = 9 1 = 8 pontos Grupo 3 A 3 = x max x min = 5 5 = 0 pontos Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

20 Medidas de Variabilidade Variância amostral (S 2 ) Variância Amostral (S 2 ) Definida como a soma do quadrado dos desvios em relação à média. S 2 = n (X i X) 2 i=1 S 2 = 1 n 1 n 1 n i=1 X 2 i ( X1 X ) 2 + ( X2 X ) ( Xn X ) 2 = ( n ) 2 X i i=1 n n 1 OBS.: A unidade da variância fica elevada ao quadrado! Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

21 Medidas de Variabilidade Desvio-padrão amostral (S) Desvio padrão amostral (S) A grande vantegem do desvio-padrão é que ele é expresso na mesma unidade de medida dos dados. S = n (X S 2 i X) 2 i=1 = n 1 Assim como a variância, o desvio padrão mensura a variabilidade dos dados ao redor da média. Quanto maior o valor, mais disperso estarão os dados ao redor da média. OBS.: A unidade do desvio-padrão não fica elevada ao quadrado! Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

22 Medidas de Variabilidade Variância Amostral (S 2 ) - Exemplo Exemplo 8 (cont.) Vimos que X = 5. Então, para os grupos anteriores, temos: S 2 1 = (3 5)2 + (4 5) 2 + (5 5) 2 + (6 5) 2 + (7 5) Na calculadora: = 2, 5 pontos 2 S 2 : (mode) (2) 3 (M+) 4 (M+) 5 (M+) 6 (M+) 7 (M+) (shift) (2) (3) (=) (x 2 ) (=) Da mesma forma calcula-se para os outros grupos. S 2 2 = 10 pontos 2 S 2 3 = 0 pontos 2 Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

23 Medidas de Variabilidade Desvio-padrão amostral (S)- Exemplo Exemplo 8 (cont.) Vimos que X = 5. Então, para os grupos anteriores, temos: Na calculadora: S 1 = 2, 5 = 1, 58 pontos S: (mode) (2) 3 (M+) 4 (M+) 5 (M+) 6 (M+) 7 (M+) (shift) (2) (3) (=) Da mesma forma calcula-se para os outros grupos. S 2 = 3, 16 pontos S 3 = 0 pontos Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

24 Medidas de Variabilidade Coeficiente de Variação (CV) Definição É uma medida de dispersão relativa; Elimina o efeito da magnitude dos dados; Exprime a variabilidade em relação a média. CV = S X 100% Vantagem: Pode ser usada para comparar variabilidade de variáveis diferentes. OBS.: A unidade do CV é em porcentagem! Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

25 Medidas de Variabilidade Coeficiente de Variação - Exemplo Exemplo 8 (cont.) CV 1 = S 1 1, % = 100% = 31, 6% X 1 5 Da mesma forma obtém-se os outros CV s. Na calculadora: Grupo Média Desvio-padrão Coeficiente de Variação 1 5 1,58 31, 60% 2 5 3,16 63, 20% % CV : (mode) (2) 3 (M+) 4 (M+) 5 (M+) 6 (M+) 7 (M+) (shift) (2) (3) (=) (Ans) ( ) (shift) (2) (1) (=) ( ) 100 (=) Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26

26 Medidas de Variabilidade Resumo Tabela 1: Resumo da aplicabilidade das medidas descritivas Variável Posição Dispersão Qualitativa Nominal Moda Não faz sentido Qualitativa Ordinal Moda, Mediana, Quartis Amplitude Moda, Média, Amplitude, Variância, Quantitativa Mediana, Desvio-padrão, Quartis Coeficiente de Variação. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 29 de Agosto de / 26