Bioestatística. Luiz Ricardo Nakamura Cristiane Mariana Rodrigues da Silva. Ciências biológicas a USP ESALQ. Estatística

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1 Bioestatística Luiz Ricardo Nakamura Cristiane Mariana Rodrigues da Silva Ciências biológicas a USP ESALQ LR Nakamura Estatística ESALQ 1 / 67

2 Estatística e o método científico Circularidade do método científico Formulação de hipóteses LR Nakamura Estatística ESALQ 2 / 67

3 Estatística e o método científico Circularidade do método científico Formulação de hipóteses Planejamento estatístico LR Nakamura Estatística ESALQ 2 / 67

4 Estatística e o método científico Circularidade do método científico Formulação de hipóteses Planejamento estatístico Observação dos dados LR Nakamura Estatística ESALQ 2 / 67

5 Estatística e o método científico Circularidade do método científico Formulação de hipóteses Planejamento estatístico Observação dos dados Análise estatística LR Nakamura Estatística ESALQ 2 / 67

6 Estatística e o método científico Circularidade do método científico Formulação de hipóteses Planejamento estatístico Verificação das hipóteses formuladas Observação dos dados Análise estatística LR Nakamura Estatística ESALQ 2 / 67

7 Estatística e o método científico Circularidade do método científico Formulação de hipóteses Desenvolvimento da teoria Planejamento estatístico Verificação das hipóteses formuladas Observação dos dados Análise estatística LR Nakamura Estatística ESALQ 2 / 67

8 Estatística e o método científico Circularidade do método científico Formulação de hipóteses Desenvolvimento da teoria Planejamento estatístico Verificação das hipóteses formuladas Observação dos dados Análise estatística LR Nakamura Estatística ESALQ 2 / 67

9 Estatística e o método científico Campos ou funções da estatística 1 Função Descritiva: 2 Função Indutiva: Inferência Estatística A ligação entre as duas funções é feita por meio da teoria de modelos de probabilidade LR Nakamura Estatística ESALQ 3 / 67

10 Estatística e o método científico Estatística Descritiva Inferência Metodologia para efetuar síntese do fenômeno em estudo Metodologia para tomada de decisões e grau de confiabilidade nas decisões Descrição do fenômeno em estudo Processo de generalização dos resultados LR Nakamura Estatística ESALQ 4 / 67

11 Conceito de Definição A estatística descritiva é um ramo da estatística que aplica várias técnicas para descrever e sumarizar um conjunto de dados. Geralmente utilizada na etapa inicial da análise, no momento em que se tem o primeiro contato com os dados. Permite tirar conclusões dde modo informal e direto acerca dos dados. LR Nakamura Estatística ESALQ 5 / 67

12 Variáveis As Variáveis podem ser classificadas como: Variável LR Nakamura Estatística ESALQ 6 / 67

13 Variáveis As Variáveis podem ser classificadas como: Qualitativa Variável Quantitativa LR Nakamura Estatística ESALQ 6 / 67

14 Variáveis As Variáveis podem ser classificadas como: Nominal Qualitativa Variável Ordinal Quantitativa LR Nakamura Estatística ESALQ 6 / 67

15 Variáveis As Variáveis podem ser classificadas como: Nominal Qualitativa Variável Ordinal Discreta Quantitativa Contínua LR Nakamura Estatística ESALQ 6 / 67

16 Variáveis Qualitativas Variável Qualitativa Nominal:não apresenta ordenação possível. Exemplos: Sexo, cor dos olhos, fumante/não fumante etc. Variável Qualitativa Ordinal: existe uma ordenação natural nas possíveis realizações Exemplos: escolaridade, estágio de uma doença etc. LR Nakamura Estatística ESALQ 7 / 67

17 Variáveis Qualitativas Variável Qualitativa Nominal:não apresenta ordenação possível. Exemplos: Sexo, cor dos olhos, fumante/não fumante etc. Variável Qualitativa Ordinal: existe uma ordenação natural nas possíveis realizações Exemplos: escolaridade, estágio de uma doença etc. LR Nakamura Estatística ESALQ 7 / 67

18 Variáveis Qualitativas Variável Qualitativa Nominal:não apresenta ordenação possível. Exemplos: Sexo, cor dos olhos, fumante/não fumante etc. Variável Qualitativa Ordinal: existe uma ordenação natural nas possíveis realizações Exemplos: escolaridade, estágio de uma doença etc. LR Nakamura Estatística ESALQ 7 / 67

19 Variáveis Quantitativas Variável Quantitativa Discreta: Os possíveis valores formam um conjunto finito ou infinito e enumerável (contagens). Exemplos: número de filhos, número de irmãos, número de bactérias por litro de leite, número de cigarros fumados por dia etc.; Variável Quantitativa Contínua: Os possíveis valores formam um intervalo de números reais (mensurações). Exemplos: peso, altura, tempo, pressão arterial, idade. LR Nakamura Estatística ESALQ 8 / 67

20 Variáveis Quantitativas Variável Quantitativa Discreta: Os possíveis valores formam um conjunto finito ou infinito e enumerável (contagens). Exemplos: número de filhos, número de irmãos, número de bactérias por litro de leite, número de cigarros fumados por dia etc.; Variável Quantitativa Contínua: Os possíveis valores formam um intervalo de números reais (mensurações). Exemplos: peso, altura, tempo, pressão arterial, idade. LR Nakamura Estatística ESALQ 8 / 67

21 Variáveis Quantitativas Variável Quantitativa Discreta: Os possíveis valores formam um conjunto finito ou infinito e enumerável (contagens). Exemplos: número de filhos, número de irmãos, número de bactérias por litro de leite, número de cigarros fumados por dia etc.; Variável Quantitativa Contínua: Os possíveis valores formam um intervalo de números reais (mensurações). Exemplos: peso, altura, tempo, pressão arterial, idade. LR Nakamura Estatística ESALQ 8 / 67

22 Quais Ferramentas podemos utilizar para descrever e sumarizar o conjunto dados? Tabelas Gráficos Medidas de resumo LR Nakamura Estatística ESALQ 9 / 67

23 Quais Ferramentas podemos utilizar para descrever e sumarizar o conjunto dados? Tabelas Gráficos Medidas de resumo LR Nakamura Estatística ESALQ 9 / 67

24 Tabela Dados Brutos Resumo da Informação Gráfico LR Nakamura Estatística ESALQ 10 / 67

25 Dados Brutos São dados na forma como foram obtidos. LR Nakamura Estatística ESALQ 11 / 67

26 Tabelas Construção de Tabelas Uma tabela deve conter: Título Corpo Cabeçalho Coluna indicadora LR Nakamura Estatística ESALQ 12 / 67

27 Tabelas Construção de Tabelas O título explica o conteúdo da tabela O corpo da tabela é composto pelos dados, organizados em linhas e colunas que se cruzam Célula é a interseção de uma linha com uma coluna Linha é uma série de células organizadas horizontalmente Coluna é uma série de células organizadas verticalmente O cabeçalho especifica o conteúdo das colunas A coluna indicadora especifica o conteúdo das linhas LR Nakamura Estatística ESALQ 13 / 67

28 Tabelas Construção de Tabelas Tabela: Título da Tabela Rótulo Coluna 1 Rótulo Coluna 2... Rótulo Coluna k.... LR Nakamura Estatística ESALQ 14 / 67

29 Tabelas Tabela de Distribuição de Frequências Exemplo: Foram entrevistados 250 brasileiros, com 18 anos ou mais, para saber a opinião deles sobre determinadas marcas de cervejas. Os resultados estão apresentados na tabela a seguir. LR Nakamura Estatística ESALQ 15 / 67

30 Tabelas Tabela de Distribuição de Frequências Exemplo: Foram entrevistados 250 brasileiros, com 18 anos ou mais, para saber a opinião deles sobre determinadas marcas de cervejas. Os resultados estão apresentados na tabela a seguir. LR Nakamura Estatística ESALQ 15 / 67

31 Tabelas Tabela de Distribuição de Frequências Tabela: Distribuição de frequências da opinião dos consumidores de cerveja Marcas de cerveja (x i ) Frequência absoluta (n i ) Itaipava 45 Skol 63 Bohemia 130 Bavaria 12 Total 250 LR Nakamura Estatística ESALQ 16 / 67

32 Tabelas Tabela de Distribuição de Frequências Nas Tabelas de distribuição de frequências, geralmente, são fornecidas informações adicionais, tais como: Frequência relativa Frequência acumulada Frequência relativa acumulada Frequência relativa f i = n i Total LR Nakamura Estatística ESALQ 17 / 67

33 Tabelas Tabela de Distribuição de Frequências Tabela: Distribuição de frequências da variável qualidade do trabalho realizado pelos funcioários Cerveja Freq. abs. Freq. relat. Freq. Acum. Freq. Acum. relat. (x i ) (n i ) (f i ) (N i ) (F i ) Itaipava 45 Skol 63 Bohemia 130 Bavaria 12 Total 250 LR Nakamura Estatística ESALQ 18 / 67

34 Tabelas Agrupamento de dados em classes Características: As classes devem abranger todas as observações O extremo superior de uma classe é o extremo inferior da classe subsequente Cada valor observado de estar presente em apenas uma classe Procedimento para construção de uma tabela em classes de frequências Número de classes (K): A escolha do número de classes é arbitrária, existindo, no entanto, regras que podem ser utilizadas: K= n Fórmula de Sturges: K = 1 + 3, 22 log(n) LR Nakamura Estatística ESALQ 19 / 67

35 Tabelas Agrupamento de dados em classes Características: As classes devem abranger todas as observações O extremo superior de uma classe é o extremo inferior da classe subsequente Cada valor observado de estar presente em apenas uma classe Procedimento para construção de uma tabela em classes de frequências Número de classes (K): A escolha do número de classes é arbitrária, existindo, no entanto, regras que podem ser utilizadas: K= n Fórmula de Sturges: K = 1 + 3, 22 log(n) LR Nakamura Estatística ESALQ 19 / 67

36 Tabelas Agrupamento de dados em classes Características: As classes devem abranger todas as observações O extremo superior de uma classe é o extremo inferior da classe subsequente Cada valor observado de estar presente em apenas uma classe Procedimento para construção de uma tabela em classes de frequências Número de classes (K): A escolha do número de classes é arbitrária, existindo, no entanto, regras que podem ser utilizadas: K= n Fórmula de Sturges: K = 1 + 3, 22 log(n) LR Nakamura Estatística ESALQ 19 / 67

37 Tabelas Tabela: Distribuição de frequências para os dados referentes à uma determinada substância Substância Freq. Freq. relat. Freq. Acum. Freq. Acum. relat (psi) (n i ) (f i ) (N i ) (F i ) [70 90) 2 0, ,0250 [90 110) 3 0, ,0625 [ ) 6 0, ,1375 [ ) 14 0, ,3125 [ ) 22 0, ,5875 [ ) 17 0, ,8000 [ ) 10 0, ,9250 [ ) 4 0, ,9750 [ ) 2 0, ,0000 Total 80 LR Nakamura Estatística ESALQ 20 / 67

38 Tabelas Cálculo das Amplitudes Ao se agrupar os dados em classes de frequências encontra-se as Amplidute total (A) e a Amplitude das classes(h) Amplitude Total (A) Limite Inferior: X min Limite Superior: X max Amplitute Total: A = X max -X min Amplitude das classes (h) h = A k LR Nakamura Estatística ESALQ 21 / 67

39 Tabelas Exemplo: Os dados da tabela a seguir referem-se aos rendimentos médios, em kg/ha, de 32 híbridos de milho recomendados para a Região Oeste Catarinense. Tabela: Rendimentos médios, em kg/ha, de 32 híbridos de milho, região Oeste, 1987/ LR Nakamura Estatística ESALQ 22 / 67

40 Gráficos Representação Gráfica Elementos Gráficos Título e escala coerente Nomes das variáveis nos respectivos eixos Tipos de Gráficos para variáveis qualitativas Gráfico de barras Gráfico de setores Diagrama de Pareto LR Nakamura Estatística ESALQ 23 / 67

41 Gráficos Representação Gráfica Elementos Gráficos Título e escala coerente Nomes das variáveis nos respectivos eixos Tipos de Gráficos para variáveis qualitativas Gráfico de barras Gráfico de setores Diagrama de Pareto LR Nakamura Estatística ESALQ 23 / 67

42 Gráficos Gráfico de barras Gráfico de Barras Bom Regular Ruim Não Sabe Figura: Gráfico de barras para qualidade do serviço dos funcionários de uma linha de produção LR Nakamura Estatística ESALQ 24 / 67

43 Gráficos Gráfico de barras horizontais Gráfico de Barras horizontais Qualidade de Serviço Bom Regular Ruim Não Sabe Total de Funcionários Figura: Gráfico de barras horizontais para qualidade do serviço dos funcionários de uma linha de produção LR Nakamura Estatística ESALQ 25 / 67

44 Gráficos Gráfico de setor Gráfico de setor (Pizza) Bom (52%) Regular (18%) Ruim (5%) Não sabe (25%) Figura: Gráfico de setor para qualidade do serviço dos funcionários de uma linha de produção LR Nakamura Estatística ESALQ 26 / 67

45 Gráficos Gráfico de Pareto Gráfico de Pareto Bom Não Sabe Regular Ruim Frequência % 25% 50% 75% 100% Porcentagem Acumulativa Figura: Gráfico de Pareto para qualidade do serviço dos funcionários de uma linha de produção LR Nakamura Estatística ESALQ 27 / 67

46 Gráficos Gráfico para Variáveis Contínuas Tipos de Gráficos para variáveis contínuas Gráfico de pontos Diagrama de ramos e folhas Histograma e polígono de frequência Ogiva de Galton LR Nakamura Estatística ESALQ 28 / 67

47 Gráficos Gráfico de Pontos Gráfico de Pontos rendimentos Máquina Figura: Gráfico de pontos para total de peças produzidas por máquinas LR Nakamura Estatística ESALQ 29 / 67

48 Gráficos Diagrama de ramos e folhas LR Nakamura Estatística ESALQ 30 / 67

49 Gráficos Histograma Histograma para total de peças produzidas Frequencias absolutas rendimentos Figura: Histograma para total de peças produzidas por máquinas LR Nakamura Estatística ESALQ 31 / 67

50 Gráficos Histograma e polígonos de frequência Histograma com polígnos de frequência Frequência Rendimento médio Figura: Histograma e polígnos de frequências para total de peças produzidas por máquinas LR Nakamura Estatística ESALQ 32 / 67

51 Gráficos Histograma e polígonos de frequência Histograma com polígnos de frequência Frequência Rendimento médio Figura: Histograma e polígnos de frequências para total de peças produzidas por máquinas LR Nakamura Estatística ESALQ 32 / 67

52 Gráficos Histograma e polígonos de frequência Histograma com polígnos de frequência Frequência Rendimento médio Figura: Histograma e polígnos de frequências para total de peças produzidas por máquinas LR Nakamura Estatística ESALQ 32 / 67

53 Gráficos Ogiva de Galton Ogiva de Galton (Curva de frequências acumuladas) Frequência absoluta acumulada Rendimento médio Figura: Ogiva de Galton para o total de peças produzidas por máquinas LR Nakamura Estatística ESALQ 33 / 67

54 Medidas Medidas Podemos sumarizar os dados por meio das medidas: Tendência Central Dispersão Posição Tendência Central Média Moda Mediana LR Nakamura Estatística ESALQ 34 / 67

55 Medidas Medidas Podemos sumarizar os dados por meio das medidas: Tendência Central Dispersão Posição Tendência Central Média Moda Mediana LR Nakamura Estatística ESALQ 34 / 67

56 Medidas Conceitos Básicos de somatório Definição O Somatório de x i,..., x n variáveis é definido por n x i = x 1 + x x n i=1 Propriedades de somatório Sejam k, a e b constantes LR Nakamura Estatística ESALQ 35 / 67

57 Medidas Propriedades de Somatório 1) 2) 3) 4) n k = nk i=1 n kx i = k i=1 n i=1 n (x i ± k) = i=1 x i n x i + nk i=1 n (a ± bx i ) = na + b n i=1 i=1 x i 5) 6) 7) ( n n ) 2 (xi 2 ) x i i=1 i=1 n (x i x) = 0, x = 1 n i=1 i=1 i=1 n i=1 n n (x i x) 2 = xi 2 n x 2 x i LR Nakamura Estatística ESALQ 36 / 67

58 Medidas Duas variáveis Definition O somátorio que depedende de x 1,..., x n e y 1,..., y n é definido por: n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y x n y n i=1 LR Nakamura Estatística ESALQ 37 / 67

59 Medidas Propriedades para duas variáveis 1) 2) 3) n n kx i y i = k x i y i i=1 i=1 n (x i y i ± k) = i=1 n x i y i ± nk i=1 n (ax i ± by i ) = a n x i ± b n i=1 i=1 i=1 y i LR Nakamura Estatística ESALQ 38 / 67

60 Medidas Dados não Agrupados Média A medida de tendência central mais conhecida e mais utilizada é a media aritimética A média aritmética de um conjunto de dados numéricos é obtida somando todos os dados e dividindo o resultado pelo número deles. A média, que denotamos por x (lê-se x-barra), é definida por x = n i=1 x i n = x x n n Moda É o valor que ocorre com maior frequência no conjunto de dados LR Nakamura Estatística ESALQ 39 / 67

61 Medidas Dados não Agrupados Média A medida de tendência central mais conhecida e mais utilizada é a media aritimética A média aritmética de um conjunto de dados numéricos é obtida somando todos os dados e dividindo o resultado pelo número deles. A média, que denotamos por x (lê-se x-barra), é definida por x = n i=1 x i n = x x n n Moda É o valor que ocorre com maior frequência no conjunto de dados LR Nakamura Estatística ESALQ 39 / 67

62 Medidas Exemplo Suponha que os parafusos que são utilizados em tomadas elétricas são emabaldos em caixas rotuladas com 100 unidades. Em uma construção, 10 caixas de um lote tiveram o número de parafusos contados. Os valores encontrados foram: 98, 102, 100, 100, 99, 97, 96, 95, 99, 100 Qual o número médio de parafusos do lote? x = = = 98, 6 Qual a moda dos parafusos? Mod = 100 LR Nakamura Estatística ESALQ 40 / 67

63 Medidas Exemplo Suponha que os parafusos que são utilizados em tomadas elétricas são emabaldos em caixas rotuladas com 100 unidades. Em uma construção, 10 caixas de um lote tiveram o número de parafusos contados. Os valores encontrados foram: 98, 102, 100, 100, 99, 97, 96, 95, 99, 100 Qual o número médio de parafusos do lote? x = = = 98, 6 Qual a moda dos parafusos? Mod = 100 LR Nakamura Estatística ESALQ 40 / 67

64 Medidas Mediana A mediana (M e ) é o valor que ocupa a posição central do conjunto dos dados ordenados. A mediana divide a amostra em duas partes: uma com números menores ou iguais à mediana, outra com números maiores ou iguais à mediana. Quando o número de dados é ímpar, existe um único valor na posição central. Quando o número de dados é par, existem dois valores na posição central. A mediana é a média desses dois valores. { x[ n+1 2 A mediana é definida por: M e = ], x [ n 2 ] +x [ n 2 +1] 2 LR Nakamura Estatística ESALQ 41 / 67

65 Medidas Dados Agrupados Média: Variável quantitativa discreta A média aritmética de dados agrupados em uma tabela de distribuição de frequências, isto é, de x 1,..., x k que se repetem n 1,..., n k vezes na amostra, x = k x i n i i=1 n LR Nakamura Estatística ESALQ 42 / 67

66 Medidas Dados Agrupados Média: Variável quantitativa contínua A média aritmética de dados agrupados em uma tabela de distribuição de frequências é dada por: x = 1 n k i=1 n i X i = n 1X n k X k n em que k é o número de classes e X i é a marca de classe, LR Nakamura Estatística ESALQ 43 / 67

67 Medidas Tabela de frequência com marca (X i ) Tabela: Distribuição de frequências para os dados referentes à uma determinada substância Intervalos Marca(X i ) (n i ) (f i ) (N i ) (F i ) [x 11, x 12 ) [x 21, x 22 ) [x 31, x 32 ). [x k1, x k2 ) Total (x 11 x 12 ) 2 n 1 f 1 N 1 F 1 (x 21 x 22 ) 2 n 2 f 2 N 2 F 2 (x 31 x 32 ) 2 n 3 f 3 N 3 F 3... (x k1 x k2 ) 2 n k f k N k = n F k = 1 n LR Nakamura Estatística ESALQ 44 / 67

68 Medidas Exemplo: Quantitativa Discreta Para calcular a média do número de filhos em idade escolar que têm os funcionários de uma empresa, a psicóloga que trabalha em Recursos Humanos obteve uma amostra de 20 funcionários. Os dados estão apresentados em seguida. 1, 0, 1, 5, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 2, 0, 2, 0 Qual a média de filhos em idade? LR Nakamura Estatística ESALQ 45 / 67

69 Medidas Exemplo: Quantitativa Discreta Tabela: Número de filhos em idade escolar de 20 funcionários. Referência: Vieira(2008) Total de filhos n i n i x i Total x =????? LR Nakamura Estatística ESALQ 46 / 67

70 Medidas Tabela: Rendimentos médios Rendimentos Médios X i n i f i N i F i [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) Total 32 1 x =????? LR Nakamura Estatística ESALQ 47 / 67

71 Medidas Dados Agrupados Mediana A mediana para dados agrupados é calculada da seguinte forma ( n 2 M e = LI Me + N ) M e 1 α Me n Me LI Me :Limite inferior da classe mediana n: Tamanho da amostra N Me 1: Frequência absoluta acumulada anterior à classe M e α Me : Amplitude da classe M e LR Nakamura Estatística ESALQ 48 / 67

72 Medidas Tabela: Rendimentos médios Rendimentos Médios X i n i f i N i F i [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) Total 32 1 ( n 2 M e = LI Me + N ) M e 1 32/2 13 α Me = n Me LR Nakamura Estatística ESALQ 49 / 67

73 Medidas Tabela: Rendimentos médios Rendimentos Médios X i n i f i N i F i [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) Total 32 1 ( n 2 M e = LI Me + N ) M e 1 32/2 13 α Me = n Me LR Nakamura Estatística ESALQ 49 / 67

74 Medidas Dados Agrupados Moda A moda para dados agrupados é calculada da seguinte forma. ( ) 1 M o = LI Mo + α Mo LI Mo : Limite inferior da classe modal. 1 = n (Mo) n (Mo1) e 2 = n (Mo) n (Mo+1). n (Mo) : Frequência absoluta da classe modal. n (Mo1): Frequência absoluta anterior à classe modal. n (Mo+1): Frequência absoluta posterior à classe modal. α Mo : Amplitude da classe M o. LR Nakamura Estatística ESALQ 50 / 67

75 Medidas Tabela: Distribuição de frequências Intervalos Marca(X i ) (n i ) (f i ) (N i ) (F i ) [0.61; 1.31) [1.31; 2.01) [2.01; 2.71) [2.71; 3.41) [3.41; 4.11) [4.11; 4.81) [4.81; 5.51) Calcule a moda ( 1 M o = LI Mo ( = ) α Mo 12 6 (12 6) + (12 9) ) 0.70 LR Nakamura Estatística ESALQ 51 / 67

76 Medidas Tabela: Distribuição de frequências Intervalos Marca(X i ) (n i ) (f i ) (N i ) (F i ) [0.61; 1.31) [1.31; 2.01) [2.01; 2.71) [2.71; 3.41) [3.41; 4.11) [4.11; 4.81) [4.81; 5.51) Calcule a moda ( 1 M o = LI Mo ( = ) α Mo 12 6 (12 6) + (12 9) ) 0.70 LR Nakamura Estatística ESALQ 51 / 67

77 Medidas: Medidas de Posição Medidas de Posição São Utilizados como medidas de Posição: Quartis Decis Percentis Quartis Dividem os dados em 4 conjuntos iguais (Q 1, Q 2, Q 3 ). Q 2 representa a mediana. Decis Dividem os dados em 10 conjuntos iguais (D 1,..., D 9 ). D 5 repre senta a mediana. Percentis Dividem os dados em 100 conjuntos iguais (P 1,..., P 99 ). P 50 representa a mediana. LR Nakamura Estatística ESALQ 52 / 67

78 Medidas: Medidas de Posição Percentis O percentil P i para dados não agrupados é definido como { x[i+1], f > 0 P i = x [i] +x [i+1] 2, f = 0 O percentil P i para dados agrupados é definido como P i = LI k + ( n i 100 N ) k 1 α k n k A forma de calcular o percentil é a seguinte: n p = i + f, em que i representa a parte inteira e f a parte decimal do produto n p LR Nakamura Estatística ESALQ 53 / 67

79 Medidas: Medidas de Dispersão dados não agrupados Medidas de Dispersão dados não agrupados As medidas de dispersão São estatísticas descritivas que visam fornecer o grau de variabilidade das observações em relação a um valor central (geralmente a média aritmética). São elas: Amplitude Amplitude Interquartílica Variância Desvio Padrão Coeficiente de Variação LR Nakamura Estatística ESALQ 54 / 67

80 Medidas: Medidas de Dispersão dados não agrupados Amplitute Uma medida da variabilidade é a amplitude, que é obtida subtraindo o valor mais baixo de um conjunto de observações do valor mais alto, isto é, Amplitude = máximo - mínimo fácil de ser calculada e suas unidades são as mesmas que as da variável, não utiliza todas as observações (só duas delas) e pode ser muito afetada por alguma observação extrema. A amplitude interquartílica é dada por IQR = Q 3 Q 1 LR Nakamura Estatística ESALQ 55 / 67

81 Medidas: Medidas de Dispersão dados não agrupados Desvios O desvio padrão é uma medida de variabilidade ou dispersão e é medida na mesma dimensão que as das obervações. Desvio de uma observação em relação a uma constante: d i = x i k Desvio de uma observação em relação à média: e i = x i x LR Nakamura Estatística ESALQ 56 / 67

82 Medidas: Medidas de Dispersão dados não agrupados Variância Estimador da variância populacional (Variância Amostral) sx 2 = 1 n (ei 2 ) n 1 i=1 Desvio Padrão s x = s 2 X LR Nakamura Estatística ESALQ 57 / 67

83 Medidas: Medidas de Dispersão dados não agrupados Exemplo Utilizando o Exemplo visto anteriormente sobre as caixas parafusos Calcule as medidas de dispersão: Variância amostral Desvio Padrão amostral Sabendo que: n i=1 x i = 986 e n i=1 x 2 i = LR Nakamura Estatística ESALQ 58 / 67

84 Medidas: Medidas de dispersão dados agrupados Medidas de dispersão dados agrupados Seja s 2 e s = s 2, a variância e desvio padrão, respectivamente, então para dados agrupados temos que ( k ) s 2 = 1 n i (X i x) 2 n 1 i=1 LR Nakamura Estatística ESALQ 59 / 67

85 Medidas: Medidas de dispersão dados agrupados Coeficiente de variação Definição O coeficiente de variação se define por CV = s x 100% O coeficiente de variação é: é uma medida de dispersão relativa elimina o efeito da magnitude dos dados exprime a variabilidade em relação à média LR Nakamura Estatística ESALQ 60 / 67

86 Medidas: Medidas de dispersão dados agrupados Gráficos de Dispersão Gráfico de caixas-e-bigodes (boxplot) Determinar valor mínimo dos dados. Determinar valor máximo dos dados. Determinar Q 1, Q 2 e Q 3. Determinar se há pontos atípicos Q IQR ou Q IQR, em que IQR =Q 3 Q 1 é a amplitude interquatilica. LR Nakamura Estatística ESALQ 61 / 67

87 Medidas: Medidas de dispersão dados agrupados Boxplot o x * Figura: Boxplot e seu siginificado LR Nakamura Estatística ESALQ 62 / 67

88 Medidas: Medidas de dispersão dados agrupados Boxplot o Q1 M e x Q3 * Figura: Boxplot e seu siginificado LR Nakamura Estatística ESALQ 62 / 67

89 Medidas: Medidas de dispersão dados agrupados Boxplot o Q1 M e IQR x Q3 * Figura: Boxplot e seu siginificado LR Nakamura Estatística ESALQ 62 / 67

90 Medidas: Medidas de dispersão dados agrupados Boxplot M e o x * 1.5*IQR Q1 IQR Q3 1.5*IQR 3*IQR 3*IQR Figura: Boxplot e seu siginificado LR Nakamura Estatística ESALQ 62 / 67

91 Medidas: Medidas de dispersão dados agrupados Boxplot Ponto Discrepante o M e x (outlier) * 1.5*IQR Q1 IQR Q3 1.5*IQR 3*IQR 3*IQR Figura: Boxplot e seu siginificado LR Nakamura Estatística ESALQ 62 / 67

92 Medidas: Medidas de dispersão dados agrupados Boxplot LR Nakamura Estatística ESALQ 63 / 67

93 Medidas: Medidas de dispersão dados agrupados Medidas de Simetria Tem por objetivo básico medir o quanto a distribuição de freqüências do conjunto de valores observados se afasta da condição de simetria. De acordo com Fonseca (2011) dá-se a nomenclatura de assimetria ao grau de afastamento de uma distribuição da unidade de assimetria. Tipos de Assimetria Distribuição simétrica Distribuição assimétrica negativa ou assimétrica à esquerda Distribuição assimétrica positiva ou assimétrica à direita LR Nakamura Estatística ESALQ 64 / 67

94 Medidas: Medidas de dispersão dados agrupados Distribuição Simetrica x = M e = M o Frequency x Figura: Distribuição simétrica LR Nakamura Estatística ESALQ 65 / 67

95 Medidas: Medidas de dispersão dados agrupados Distribuição assimétrica negativa ou assimétrica à esquerda x < M e < M o Frequency z Figura: Distribuição assimétrica à esquerda LR Nakamura Estatística ESALQ 66 / 67

96 Medidas: Medidas de dispersão dados agrupados Distribuição assimétrica positiva ou assimétrica à direita x > M e > M o Frequency y Figura: Distribuição assimétrica à direita LR Nakamura Estatística ESALQ 67 / 67

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