PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA DESCRITIVA

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1 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA DESCRITIVA Prof.ª Sheila Regina Oro Projeto Recursos Educacionais Digitais Autores: Bruno Baierle e Maurício Furigo

2 ESTATÍSTICA DESCRITIVA A Estatística Descritiva fornece um resumo dos dados experimentais: Medidas centrais: média, moda e mediana; Medidas de dispersão: variância, desvio padrão e coeficiente de variação, assimetria e curtose; Medidas de posição: Percentis, Quartis e Boxplot.

3 MÉDIA ARITMÉTICA AMOSTRAL(x) Considera todos os elementos da amostra e o número de elementos. Onde: x = i=1 n x i : cada observação na amostra; n: número de observações da amostra. n xi A média é influenciada por dados extremos (valores máximos e mínimos).

4 MÉDIA ARITMÉTICA POPULACIONAL(μ) A média aritmética da população é a soma dos valores na população, dividida pelo tamanho da população; Onde: μ = N: tamanho da população; i=1 N N x i : i-ésimo valor da variável x; x i

5 MODA A Moda é o valor que mais se repete em uma amostra; Conjuntos de dados com uma moda são denominados unimodais; Se o conjunto possuir duas modas, é denominado bimodal; Nem todo conjunto de dados possui moda, quando isso ocorre, o conjunto é denominado amodal;

6 MODA Ex: Encontre a moda nos seguintes conjuntos de dados: A: 2, 6, 4, 9, 13, 2, 4, 9, 8, 2; B: 2, 9, 8, 6, 4, 6, 3, 2; C: 2, 6, 8, 4, 9, 10, 1, 5.

7 MEDIANA A Mediana é o valor que ocupa a posição central; Ex: Determine a mediana dos seguintes conjunto: A: 2, 6, 8, 4, 9, 13, 6, 8, 12; A: 2, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 12, 13; B: 2, 6, 3, 4, 13, 15, 18, 14; B: 2, 3, 4, 6, 13, 14, 15, 18; mediana= 6+13 = 9,5 2

8 AMPLITUDE A amplitude dos dados é igual ao maior valor menos o menor valor; Amplitude = X maior X menor

9 VARIÂNCIA AMOSTRAL(s 2 ) Fornece a unidade do valor apresentado como o seu quadrado, o que dificulta, ou impossibilita interpretação lógica, sendo usadas apenas para comparação entre conjuntos de dados. Para fins interpretativos usa-se o desvio padrão. Onde: s 2 = 1 (x n 1 i x) 2 i=1 x i : i-ésimo valor da variável x; x: média aritmética; n: tamanho da amostra; n

10 DESVIO PADRÃO AMOSTRAL(s) Apresenta quanto o valor da média está distante dos dados do conjunto; Tanto para a variância como para o desvio padrão, quanto menor seu valor, mais concentrados estão os dados, e mais representativo é o valor da média; Onde: S 2 : variância dos dados. s = 2 s 2

11 DESVIO PADRÃO AMOSTRAL(s) Considerando os resultados a seguir, qual dos dois conjuntos de dados são mais concentrados? x A = 2,97 x B = 0,67 s B = 1,20 s B = 0,5

12 VARIÂNCIA POPULACIONAL(σ²) É usada quando não se conhece todas as observações da amostra; N σ²= 1 N i=1 (x i μ)² Onde: N: tamanho da população; x: observação na amostra; μ: média populacional.

13 DESVIO PADRÃO POPULACIONAL(σ) O desvio padrão da população é a raiz quadrada da variância da população; σ = i=1 N (x i μ)² N, ou σ = σ² Onde: N: tamanho da população; μ: média aritmética da população; x: observação na amostra.

14 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO(CV) Representa a dispersão real do conjunto de dados. CV = s x 100 Onde: s: desvio padrão; x: média aritmética.

15 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Se CV 30%: os dados são homogêneos; Se CV 30%: os dados são heterogêneos; Dados homogêneos: concentração aceitável (podese realizar comparações entre médias e demais estudos estatísticos); Dados heterogêneos: dispersão considerável (os demais estudos estatísticos ficam comprometidos).

16 ASSIMETRIA A assimetria representa a concentração dos valores em um dos extremos da distribuição; Neste caso, a distribuição se comporta de forma simétrica, onde x = Moda = Mediana.

17 ASSIMETRIA Assimetria positiva; x > Mediana > Moda.

18 ASSIMETRIA Assimetria negativa; x < Mediana < Moda.

19 ASSIMETRIA O coeficiente de assimetria pode ser calculado da seguinte maneira: Assimetria = x Mo s Onde: x: média amostral; Mo: moda; s: desvio padrão.

20 ASSIMETRIA Caso trate-se de uma amostra amodal, o coeficiente de assimetria pode ser determinado utilizando a mediana: Onde: Md: mediana; x: média amostral; s: desvio padrão. Assimetria = 3 ( x Md) s

21 ASSIMETRIA A assimetria pode ser determinada também considerando-se os quartis: Onde: Q 3 e Q 1 : 3º e 1º quartis; Md: mediana. As = Q 3 + Q 1 2Md Q 3 Q 1

22 ASSIMETRIA Equação de simetria usada pelos softwares Minitab e Excel: As = Onde: n (n 1)(n 2) s i=1 n: tamanho da amostra; x i : i-ésima observação da amostra; x: média amostral; s: desvio padrão amostral. n x i x 3

23 ASSIMETRIA Nas distribuições considera-se: Simétrica: As < 0,15; Assimétrica moderada: 0,15 As < 1; Fortemente Assimétrica: As 1.

24 CURTOSE A curtose representa o grau de achatamento da distribuição; É determinado por: Onde: Q 3 e Q 1 : 3º e 1º quartis; k = 1 2 (Q 3 Q 1 ) P 90 P 10 P 90 e P 10 : 10º e 90º percentis.

25 CURTOSE O coeficiente de curtose para a distribuição normal é 0,263. A curva de distribuição normal é denominada Mesocúrtica.

26 CURTOSE Quando o coeficiente de curtose k < 0,263, a curva é mais alongada, denominada Leptocurtica.

27 CURTOSE Quando o coeficiente de curtose k > 0,263, a distribuição é mais achatada, denominada Platicurtica.

28 QUARTIS Os Quartis dividem os dados em quatro partes iguais; Primeiro Quartil: 25% dos valores são menores ou iguais a Q 1, e 75% são maiores ou iguais a Q 1. Terceiro Quartil: 25% dos valores são maiores ou iguais a Q 3, e 75% dos valores são menores ou iguais a Q 3.

29 QUARTIS 50% dos dados 25% dos dados Q 1 Q 2 mediana Q 3 75% dos dados

30 QUARTIS Q 1 = x n ,75 x n x n+1 4 Onde: Q 3 = x 3n+3 4 n: tamanho da amostra; x: + 0,25 x 3n x 3n+3 4 O Segundo Quartil Q 2 = Mediana.

31 AMPLITUDE INTERQUARTIL A amplitude interquartil corresponde a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil; Amplitude interquartil = Q 3 Q 1

32 PERCENTIL Para determinar o percentil podemos encontrar a posição que ele ocupa dentro do conjunto de dados; p(n + 1) posição = 100 Ex. P 90 = 90(37+1) = 34,2 100 P 90 = 0,9 1,57 + 0,1 1,6 = 1,573

33 BOXPLOT É um gráfico desenhado a partir dos valores de Q 1, Q 3, mediana, máximo e mínimo; É útil para avaliar concentração dos dados entre estas medidas e para identificar valores atípicos ao conjunto de dados (ponto discrepante); É usado também para analisar a variabilidade e a simetria dos dados.

34 BOXPLOT

35 BOXPLOT

36 BOXPLOT Percebe-se a existência de um ponto discrepante no gráfico, que pode influenciar os resultados estatísticos.

37 EXEMPLO (Landim) Os dados para este exemplo provém de uma jazida de carvão, localizada no município de Sapopema-PR, na qual foram obtidos valores para as variáveis espessura da camada de carvão, teor de enxofre, teor de cinzas e rendimento para a obtenção de um produto lavrado com 20% de cinzas. Como descrito por Cava (1985) e Landim et al. (1988), esse depósito situa-se a cerca de 20 km a noroeste de Figueira, no noroeste do Estado do Paraná, em sedimentos da parte inferior do Membro Triunfo da Formação Rio Bonito.

38 TABELA DE DADOS Pontos X Y Espessura Cinzas Enxofre Rendimento a 20% ,8 38,6 15,2 0, ,72 22,6 6,1 0, , ,9 0, ,5 0,8 37,1 10,1 0, ,5 4,5 0,73 40,8 4,9 0, ,5 4 1,19 34,1 7,21 1, ,5 4 0, ,79 1, ,5 4 0,96 29,3 7,92 1, ,5 4 1, ,03 1, ,32 29,7 7,32 1, ,5 1,02 33,7 8,1 0, ,5 1,2 26,13 7,4 1, ,5 1,1 25,41 8,6 1, ,5 1,18 22,8 6 1, ,5 1,3 19,1 8,1 2, ,5 3 1,55 35,1 7,93 1, ,5 3 1,57 16,9 6,31 1,9 44 3,5 3 1,3 20,5 6,27 1,89

39 TABELA DE DADOS Pontos X Y Espessura Cinzas Enxofre Rendimento a 20% 49 0,5 2,5 1,18 39,1 5,74 1,3 2 1,5 2,5 1,4 38,6 8,68 1, ,5 1,3 27,5 7,75 1,55 3 2,5 2,5 1,5 25,4 6,87 2, ,5 1,4 24,3 6,9 1,59 5 1,5 2 1,85 57,4 5,6 1,15 4 2,5 2 1,2 22 7,46 1, , ,99 1, ,3 32,1 8,07 1, ,5 1,5 1,62 36,8 5,24 1, ,5 1,5 2,09 19,5 5,34 1, ,5 1,6 47,8 5,93 1,44 7 2,5 1,5 1,4 43,1 5,6 1, ,5 1,41 36,6 8,17 1, ,5 1,5 1,38 39,6 5,12 1, ,5 1,04 31,1 6,39 1, ,31 64,8 5,71 1, ,5 1 1,28 43,24 5,4 1, ,5 0,5 0,55 27,2 9,01 0,82

40 EXERCÍCIO Realize um teste estatístico completo dos dados da coluna de Espessura.

41 RESULTADOS Média: x = 1 n i=1 n x i x = 0,18+0,72+0,69+ +1,28+0,55 37 Mediana Moda Md = 1,28 Mo = 1,3 Amplitude Amplitude = 2,09 0,55 = 1,54 = 1,2286

42 RESULTADOS Variância s² = 1 n 1 i=1 n (x i x)² s² = ,8 1, ,55 1, = 0,1059 Desvio Padrão s = s² = 0,1059 = 0,3254 Observando o desvio padrão podemos afirmar que os dados possuem uma variabilidade alta.

43 RESULTADOS Coeficiente de variação CV = s x 100 = 0,3254 1, = 26,48 Como o coeficiente de variação calculado foi menor que 30%, os dados podem ser considerados homogêneos, sendo possível a realização de comparações entre médias e os demais testes estatísticos.

44 RESULTADOS QUARTIS Q 1 = x n+1 4 Q 1 = 1,04+1, ,75 x n x n+1 4 = 1,03 Q 3 = x 3n+3 4 Q 3 = 1,4+1, ,25 x 3n x 3n+3 4 = 1,4

45 RESULTADOS ASSIMETRIA As = x Mo s = 1,2286 1,3 0,3254 = 0,2194 As = 3 ( x Md) s = 3 (1,2286 1,28) 0,3254 = 0,47 As = Q 3+Q 1 2Md Q 3 Q 1 = 1,4+1,03 (2 1,28) 1,4 1,03 = 0,35

46 RESULTADOS Histograma para a variável Espessura Normal Mean 1,229 StDev 0,3254 N 37 Frequency ,6 0,8 1,0 1,2 1,4 Espessura 1,6 1,8 2,0

47 RESULTADOS CURTOSE P 90 = p(n+1) 100 = 90(37+1) 100 = 34,2 P 10 = 10(37+1) = 3,8 100 P 90 = 0,9 1,57 + 0,1 1,6 = 1,573 P 10 = 0,9 0,73 + 0,1 0,72 = 0,729 k = 1 2 Q 3 Q 1 P 90 P 10 = 1 2 1,4 1,03 1,573 0,729 = 0,22 Como k = 0,22 < 0,263, a curva de distribuição é denominada Leptocurtica.

48 BOXPLOT ESPESSURA DA CAMADA DE CARVÃO No gráfico pode ser observado um outlier, podemos também confirmar a assimetria moderada dos dados, pois o valor da média é menor que a mediana.

49 REFERÊNCIAS BARBETTA, Pedro A.; REIS, Marcelo. M.; BORNIA, Antonio C. Estatística para cursos de engenharia e informática. 3 ed. São Paulo: Editora Atlas, SPIEGEL, Murray R. Estatística. 3 ed. São Paulo: Pearson Makron Books, LEVINE, David M. et al. Estatística, Teoria e Aplicações. 6 ed. Rio de Janeiro: LTC, LANDIM, Paulo M. B. Análise estatística de dados geológicos. 2 ed. São Paulo: Editora UNESP, 2003.

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