Física Geral - Laboratório. Aula 2: Organização e descrição de dados e parâmetros de dispersão e correlação

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1 Física Geral - Laboratório Aula 2: Organização e descrição de dados e parâmetros de dispersão e correlação 1

2 Física Geral - Objetivos Ao final do período, o aluno deverá ser capaz de compreender as principais características do método científico; realizar medições de comprimentos com instrumentos de escala direta; construir tabelas e histogramas; caracterizar, do ponto de vista da estatística descritiva, quaisquer conjuntos de medidas diretas. 2

3 Física Geral Bibliografia: Estimativas e Erros em Experimentos de Física (EdUERJ) Organizar e descrever conjuntos genéricos de dados (cap 2.); Estimar erros em medidas diretas (cap. 3) e indiretas (cap. 4) Determinar parâmetros físicos a partir de ajustes lineares (cap. 4) 3

4 Resumo: conjuntos de dados Idades dos estudantes: {18; 19; 18} (anos) Medidas do comprimento de uma mesa: {150,3; 152,0; 150,4; 151,8} (cm) Tipo sanguíneo dos estudantes de FG:... { O- ; A- ; O+ } Mesa Comprimento (cm) 1 150, , , ,8 4

5 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) 5

6 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Escolha 1: Classe de idades (anos) Frequências

7 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Escolha 1: Classe de idades (anos) Frequências Classe de idades (anos) Frequências [6, 7) 1 [7, 8) 3 [8, 9) 3 [9, 10) 3 [10, 11) 6 [11, 12) 1 [12, 13) 3 [13, 14) 1 [14, 15) 2 [15, 16) 1 5

8 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): Escolha 1: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) 6 7 Classe de idades (anos) Frequências Classe de idades (anos) Frequências [6, 7) 1 [7, 8) 3 [8, 9) 3 [9, 10) 3 [10, 11) 6 [11, 12) 1 [12, 13) 3 [13, 14) 1 [14, 15) 2 [15, 16) 1 5

9 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): Escolha 1: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) 7 8 Classe de idades (anos) Frequências Classe de idades (anos) Frequências [6, 7) 1 [7, 8) 3 [8, 9) 3 [9, 10) 3 [10, 11) 6 [11, 12) 1 [12, 13) 3 [13, 14) 1 [14, 15) 2 [15, 16) 1 5

10 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): Escolha 1: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) 8 9 Classe de idades (anos) Frequências Classe de idades (anos) Frequências [6, 7) 1 [7, 8) 3 [8, 9) 3 [9, 10) 3 [10, 11) 6 [11, 12) 1 [12, 13) 3 [13, 14) 1 [14, 15) 2 [15, 16) 1 5

11 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Escolha 1: Classe de idades (anos) Frequências [6, 7) 1 [7, 8) 3 [8, 9) 3 [9, 10) 3 [10, 11) 6 [11, 12) 1 [12, 13) 3 [13, 14) 1 [14, 15) 2 [15, 16) 1 6

12 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): Escolha 1: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Escolha 2: Classe de idades (anos) Frequências [6, 7) 1 [7, 8) 3 [8, 9) 3 [9, 10) 3 [10, 11) 6 [11, 12) 1 [12, 13) 3 Classe de idades (anos) Frequência [6, 8) 4 [8, 10) 6 [10, 12) 7 [12, 14) 4 [14, 16) 3 [13, 14) 1 [14, 15) 2 [15, 16) 1 6

13 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Conjunto de idades: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Classe de idades (anos) Frequência [6, 8) 4 [8, 10) 6 [10, 12) 7 [12, 14) 4 [14, 16) 3 7

14 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Conjunto de idades: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Classe de idades (anos) Frequência [6, 8) 4 [8, 10) 6 [10, 12) 7 [12, 14) 4 [14, 16) 3 7

15 Resumo: parâmetros de posição i) Média: Valor médio de um conjunto de dados {x1, x2,..., xn} ou de dados agrupados em M classes (intervalos) com ponto médio {x1, x2,..., xm} e frequência {n1, n2,..., nn} x = 1 N ii) Moda: Valor mais frequente de um conjunto de dados {x1, x2, x3,..., xn} (ponto médio da classe de maior frequência) v u iii) Média quadrática: raiz quadrada da média x rms = t 1 NX N dos quadrados dos dados i=1 NX i=1 x i x = 1 N MX j=1 x j n j x 2 i iv) Mediana: valor que divide uma distribuição ordenada de dados de forma que a metade dos dados está acima, e metade está abaixo deste valor. 8 x med = x (N+1)/2 x med = x N/2 + x (N/2+1) 2

16 Resumo: parâmetros de dispersão 9

17 Resumo: parâmetros de dispersão i) Amplitude: Diferença entre os valores máximo e mínimo de uma coleção de dados {x1, x2,..., xn} A = x max x min 9

18 Resumo: parâmetros de dispersão i) Amplitude: Diferença entre os valores máximo e mínimo de uma coleção de dados {x1, x2,..., xn} A = x max x min ii) Desvio médio: Média dos módulos dos desvios, em relação à média x = 1 N NX x i = 1 N i=1 NX i=1 x i x = x 1 x x N x N 9

19 Resumo: parâmetros de dispersão i) Amplitude: Diferença entre os valores máximo e mínimo de uma coleção de dados {x1, x2,..., xn} A = x max x min ii) Desvio médio: Média dos módulos dos desvios, em relação à média x = 1 N NX x i = 1 N i=1 iii) Variância: Média dos quadrados dos desvios (δxi) Note que a expressão para a variância pode ser simplificada por: 2 x = 1 N NX i=1 x i x = x 1 x x N x N NX ( x i ) 2 = 1 N i=1 2 x = 1 N NX i=1 x 2 i NX (x i x) 2 = (x 1 x) (x N x) 2 N i=1 1 N! 2 NX x i = x 2 x 2 i=1 9

20 Resumo: parâmetros de dispersão iv) Desvio padrão: Raiz quadrada da variância, v ou média quadrática dos desvios u x = x = q x 2 x 2 u t 1 N NX ( x i ) 2 = i=1 s (x 1 x) (x N x) 2 N 10

21 Resumo: parâmetros de dispersão iv) Desvio padrão: Raiz quadrada da variância, v ou média quadrática dos desvios u x = x = q x 2 x 2 u t 1 N NX ( x i ) 2 = i=1 s (x 1 x) (x N x) 2 N v) Largura a meia altura: Comprimento do intervalo limitado pelos valores (x1,x2) correspondentes à metade da frequência máxima f max Símbolo: = x 2 x 1 f max /2 Γ 10 x1 2 Física x Geral x Aula 2

22 Atividade de aula 1- Obtenha as coleções de dados das idades, massas e alturas de todos os estudantes da turma de Física Geral 2- Construa uma tabela com os dados ordenados 3- Defina as classes de agrupamento (intervalos) dos dados relativos a cada atributo (idade, massa, altura) 4- Construa tabelas com as frequências de cada classe de agrupamento e para cada atributo 5- Em um papel milimetrado, construa os histogramas para a partir das tabelas de frequências 6- Compute o valor máximo, o valor mínimo, a média, a moda, a média quadrática e a mediana para cada coleção de dados 11

23 Atividade - Aula 1 Estudante Idade (anos) Massa (Kg) Altura (cm)

24 Atividade - Aula 1 Estudante Idade (anos)

25 Atividade - Aula 1 Estudante Idade (anos)

26 Atividade - Aula 1 Estudante Massa (Kg)

27 Atividade - Aula 1 Estudante Massa (Kg)

28 Atividade - Aula 1 Estudante Altura (cm)

29 Atividade - Aula 1 Estudante Altura (cm)

30 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere N = 1 um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) (x1, y1) 19

31 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere N =3 (x3, y3) um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) (x1, y1) (x2, y2) 20

32 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N = 6 21

33 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N = 12 22

34 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N = 20 23

35 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N = 50 24

36 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N =

37 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Outro exemplo: dados de altura e massa de uma lista de estudantes: 26

38 Parâmetros de correlação i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi) xy = 1 N NX i=1 x i y i = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) = (x 1 x)(y 1 ȳ)+... +(x N x)(y N ȳ) N 27

39 Parâmetros de correlação i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi) xy = 1 N NX i=1 x i y i = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) = (x 1 x)(y 1 ȳ)+... +(x N x)(y N ȳ) N Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por: xy = xy xȳ 27

40 Parâmetros de correlação i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi) xy = 1 N NX i=1 x i y i = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) = (x 1 x)(y 1 ȳ)+... +(x N x)(y N ȳ) N Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por: xy = xy xȳ e que não importa a ordem das variáveis: xy = yx 27

41 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) 28

42 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 x 0 28

43 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 xy > 0 x 0 28

44 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) 29

45 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 x 0 29

46 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 xy < 0 x 0 29

47 Parâmetros de correlação ii) Coeficiente de correlação linear de Pearson: covariância entre duas variáveis, dividida por seus desvios padrão r = x xy y 1 r apple 1 Correlação linear, perfeita e positiva: r =1 Correlação linear, perfeita e negativa: r = 1 30

48 Atividade - Aula 1 Idade Massa (Kg) Altura (cm)

49 Atividade - Aula 1 Idade Massa (Kg) Altura (cm)

50 Atividade - Aula 1 Idade Massa (Kg) Altura (cm)

51 Atividade de aula 1- Com as coleções de dados das idades, massas e alturas dos estudantes da turma de Física Geral, determine: i) Obtenha a variância e o desvio-padrão para cada atributo ii) Covariância de todos os pares de variáveis (massa x idade, altura x idade, altura x massa) e respectivo coeficiente de correlação 2- Exercícios do livro Estimativas e erros em Experimentos de Física 34

52 Experimentos: medidas diretas Experimento de medidas diretas de uma grandeza: Aquisição de um conjunto de dados através de medições repetidas e independentes de uma mesma grandeza Medições independentes realizadas nas mesmas condições experimentais, ambientais, etc. Objetivo: Estimativa do valor esperado da grandeza sendo medida 35

53 Experimentos: medidas diretas Experimento de medidas diretas de uma grandeza: Aquisição de um conjunto de dados através de medições repetidas e independentes de uma mesma grandeza Medições independentes realizadas nas mesmas condições experimentais, ambientais, etc. Objetivo: Estimativa do valor esperado da grandeza sendo medida No processo de medição de uma grandeza, há inevitavelmente incertezas Imperfeições instrumentais, limitações observacionais, condições ambientais, etc. Hipóteses, modelos teóricos Natureza possivelmente aleatória do fenômeno 35

54 Valor esperado de uma grandeza Valor esperado: valor hipotético, μ, de uma grandeza, equivalente ao valor médio de medições repetidas indefinidamente 36

55 Valor esperado de uma grandeza Valor esperado: valor hipotético, μ, de uma grandeza, equivalente ao valor médio de medições repetidas indefinidamente É claro que não podemos repetir uma medição infinitamente.. Dessa forma, fazemos uma estimativa para o valor esperado, a partir de um conjunto finito de medidas da grandeza Chamamos esse conjunto finito de uma amostra de todos os possíveis valores para as medidas, ou população 36

56 Resultado de uma medição estimativa do valor esperado ± erro (unidade) x ± x (unidade) 37

57 Estimativa do valor esperado A partir de medições de uma grandeza, com instrumentos bem calibrados e procedimentos apropriados, e para um grande número de medidas diretas, a média da distribuição de frequência dos dados tende ao valor esperado da grandeza A distribuição de frequência dos dados é chamada de distribuição amostral Ou seja, a melhor estimativa para o valor esperado de uma grandeza, x, a partir de uma amostra {xi} de dados, é a média x! µ (Podemos pensar no limite para um número grande de medidas, ou seja, N ) 38

58 Estimativa do valor esperado 39

59 Estimativa do valor esperado 39

60 Estimativa do valor esperado 39

61 Estimativa do valor esperado 39

62 Estimativa do valor esperado 39

63 Estimativa do valor esperado 39

64 Estimativa do valor esperado 39

65 Estimativa do valor esperado 39

66 Estimativa do valor esperado 39

67 Incertezas aleatórias e sistemáticas Incertezas aleatórias: devido a flutuações inevitáveis no processo de medição, que provocam a dispersão das medidas em torno da média Incertezas sistemáticas: desvios em geral regulares, devido a imperfeições instrumentais, observacionais, ou do modelo teórico As incertezas aleatórias estão associadas à precisão do experimento, enquanto as incertezas sistemáticas, com a sua exatidão 40

68 Medições: precisão e exatidão 41

69 Medições: precisão e exatidão preciso 41

70 Medições: precisão e exatidão exato preciso 41

71 Erro da média 42

72 Erro da média 42

73 Erro da média 42

74 Erro da média 42

75 Erro da média Distribuição das médias de 100 experimentos, cada um com 100 medidas Note que o erro da média é menor que o erro da medida 43

76 Estimativa do erro da medida e da média Podemos também estimar o erro da média a partir de uma única bateria de N medidas diretas. Vamos estimar primeiramente o erro de cada medida como: s x = v ux N t i=1 (x i x) 2 N 1 = r N N 1 x O erro da média pode ser aproximado por: x = s x p N 44

77 Estimativa do erro da medida e da média Podemos também estimar o erro da média a partir de uma única bateria de N medidas diretas. Vamos estimar primeiramente o erro de cada medida como: s x = v ux N t i=1 desvio padrão experimental ou amostral (x i x) 2 N 1 = r N N 1 x O erro da média pode ser aproximado por: x = s x p N desvio padrão 44

78 Estimativa do erro da medida e da média Podemos também estimar o erro da média a partir de uma única bateria de N medidas diretas. Vamos estimar primeiramente o erro de cada medida como: s x = v ux N t i=1 desvio padrão experimental ou amostral (x i x) 2 N 1 = r N N 1 x O erro da média pode ser aproximado por: x = s x p N desvio padrão O desvio padrão experimental (sx) será comumente representado igualmente por σx 44

79 Estimativa do erro da medida e da média Para um número grande de medidas: N!1)s x x x x p N 45

80 Estimativa do erro da medida e da média Para um número grande de medidas: N!1)s x x x x p N Quanto maior o número de medidas em um experimento, menor o erro estimado da média 45

81 Medidas diretas Em medidas diretas o valor desconhecido da grandeza é comparado com o valor padrão Sem levar em conta a medida do erro experimental, qual o comprimento do pedaço de madeira? L = 4,54 cm 46

82 Medidas indiretas Já em medidas indiretas as mesmas são realizadas efetuandose operações matemáticas com os resultados das medidas diretas. Sem levar em conta a medida do erro experimental, qual a área do pedaço de madeira? Ela é calculada a partir das medidas de comprimento e largura do mesmo. 47

83 Medidas indiretas Já em medidas indiretas as mesmas são realizadas efetuandose operações matemáticas com os resultados das medidas diretas. A = L H L = 4,54 cm H = 0,43 cm A = 4,54 cm x 0,43 cm = 1,9522 cm 2 A = 2,0 cm 2 Individualmente, as medidas de L e H apresentam erros. Consequentemente, a medida indireta da área A também possui erros!!! 48

84 Algarismos significativos Todos os números obtidos em uma medida, acompanhados de um último duvidoso são chamados de algarismos significativos. Na prática, algarismos significativos de uma medida são aqueles que temos plena certeza, mais um duvidoso. O algarismo duvidoso está diretamente ligado à escala do instrumento de medida logo, algarismo duvidoso é um indicativo da escala do instrumento de medida 49

85 Algarismos significativos Exemplos de algarismos significativos: medidores analógicos 50

86 Algarismos significativos Exemplos de algarismos significativos: medidor digital 51

87 Algarismos significativos Qual o comprimento da barra abaixo? 1) 4,5 cm 2) 4,54 cm 3) 4,547 cm 52

88 Algarismos significativos Qual o comprimento da barra abaixo? 1) 4,5 cm 2) 4,54 cm 3) 4,547 cm 52

89 Algarismos significativos Quantos são os algarismos significativos nos números abaixo??? 1) 0,030 m 2) 4050 litros 3) 0,0008 g 4) 3,00 m 5) 0,

90 Algarismos significativos Quantos são os algarismos significativos nos números abaixo??? 1) 0,030 m 1) 0,030 m 2) ) 4050 litros litros 3) 0,0008 g 3) 0,0008 g 4) 3,00 m 4) 3,00 m 5) 0,8340 5) 0,

91 Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas estimativa do valor esperado ± erro (unidade) 54

92 Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas estimativa do valor esperado ± erro (unidade) x 54

93 Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas estimativa do valor esperado ± erro (unidade) x x = s x p N 54

94 Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas estimativa do valor esperado ± erro (unidade) x x = s x p N Note que aqui estamos estimando o que definimos antes como incertezas aleatórias. Incertezas aleatórias podem ser reduzidas por repetição (maior número N de medidas). Incertezas sistemáticas, no entanto, não podem em geral ser reduzidas por mera repetição. Elas dependem do entendimento do instrumento e das técnicas de medição. A partir de um número suficientemente grande de medidas, elas passam a ser dominantes. 54

95 Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas estimativa do valor esperado ± erro (unidade) x x = s x p N Exemplo: x = 10, 0835 x = 10, 08 ± 0, 07(unid.) x =0,

96 Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas estimativa do valor esperado ± erro (unidade) x x = s x p N Exemplo: x = 10, 0835 x = 10, 08 ± 0, 07(unid.) x =0, 072 Número de algarismos significativos determinado pelo valor do erro 55

97 Exemplo Média Calcule a média da idade dos alunos da tabela ao lado, utilizando as diferentes classes. 56

98 Exemplo Média Calcule a média da idade dos alunos da tabela ao lado, utilizando as diferentes classes. Dados em M classes (intervalos) com ponto médio {x1, x2,..., xm} e frequência {n1, n2,..., nm}: x n 1x 1 + n 2 x n M x M N = 1 N MX j=1 n j x j 56

99 Exemplo Média Calcule a média da idade dos alunos da tabela ao lado, utilizando as diferentes classes. Dados em M classes (intervalos) com ponto médio {x1, x2,..., xm} e frequência {n1, n2,..., nm}: x n 1x 1 + n 2 x n M x M N = 1 N MX j=1 n j x j 56

100 Exemplo Média Calcule a média da idade dos alunos da tabela ao lado, utilizando as diferentes classes. Dados em M classes (intervalos) com ponto médio {x1, x2,..., xm} e frequência {n1, n2,..., nm}: x n 1x 1 + n 2 x n M x M N = 1 N MX j=1 n j x j 56

101 Exemplo Média Calcule a média da idade dos alunos da tabela ao lado, utilizando as diferentes classes. Dados em M classes (intervalos) com ponto médio {x1, x2,..., xm} e frequência {n1, n2,..., nm}: x n 1x 1 + n 2 x n M x M N = 1 N MX j=1 n j x j Conclusão: A média calculada a partir de uma tabela de frequências agrupada em classes é uma estimativa do valor real. Na prática, SEMPRE calcule a média com os dados originais. 56

102 Média - Mediana - Moda Distribuição assimétrica para a esquerda, Distribuição assimétrica para a direita, Distribuição simétrica 57