Física Geral - Laboratório. Organização e descrição de dados
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- Maria do Loreto Alcântara
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1 Física Geral - Laboratório Organização e descrição de dados 1
2 Física Geral - Laboratório A nota de laboratório de Física Geral será composta dos resultados das provas e atividades de laboratório: Média P1 + P2: 50% da nota final Atividades de Laboratório: 50% da nota final Sala do professor: 3018A (Bloco A) Horário preferencial para dúvidas e questões relacionadas ao curso: 3a-feira 15:00-18:00 e 4a-feira 15:00-18:00 Contato por antonio.pereira@uerj.br Página do curso de Física Geral: 2
3 Física Geral Bibliografia: Estimativas e Erros em Experimentos de Física (EdUERJ) 3
4 Dados e medidas Dados: Valores ou qualificações de atributos dos elementos de um conjunto Medidas: Dados numéricos associados a grandezas que descrevem um fenômeno ou sistema físico 4
5 Dados brutos Exemplo de conjunto de dados: 1) Valores das idades de um grupo de estudantes de Física Geral Estudante 1: 18 anos Estudante 2: 19 anos Estudante 3: 18 anos Unidade: Anos 5
6 Dados brutos Exemplo de conjunto de dados: 2) Valores das massas de um grupo de estudantes de Física Geral Estudante 1: 60,2 Kg Estudante 2: 72,4 Kg Estudante 3: 65,6 Kg Unidade: Quilograma (Kg) 6
7 Dados brutos Exemplo de conjunto de dados: 3) Valores das alturas de um grupo de estudantes de Física Geral Estudante 1: 172 cm Estudante 2: 168 cm Estudante 3: 180 cm Unidade: Centímetro (cm) 7
8 Dados e medidas Representação do conjunto de dados: Idades dos estudantes = {18; 19; 18} (anos) Massas dos estudantes = {60,2; 72,4; 65,6} (Kg) Alturas dos estudantes = {172; 168; 180} (cm) Em geral: {x1, x2, x3,..., xn} = {valor n o 1, valor n o 2, valor n o 3,..., valor n o N } 8
9 Dados e medidas Outros exemplos: Medidas do comprimento de uma mesa: {150,3; 152,0; 150,4; 151,8} (cm) Medidas de temperatura de uma sala: {29,3; 28,6; 30,4} ( o C) Medidas da tensão da rede elétrica: {115,2; 124,5; 128,3; 121,1} (V) Tipo sanguíneo dos estudantes de FG (exemplo de categoria): { O- ; A- ; O+ } 9
10 Organizando um conjunto de dados: Tabelas Tabelas: arranjos, ordenados ou não, de dados Estudante de FG Idade (anos) Massa (Kg) Altura (cm) , , ,6 180 Mesa Comprimento (cm) 1 150, , , ,8 10
11 Organizando um conjunto de dados: Classes e Histogramas Classes: Intervalos em que um conjunto de dados é agrupado Histogramas: Número de ocorrências ou frequência das classes de agrupamento de um conjunto de dados 11
12 Organizando um conjunto de dados: Classes e Histogramas Classes: Intervalos em que um conjunto de dados é agrupado Histogramas: Número de ocorrências ou frequência das classes de agrupamento de um conjunto de dados Passo n o 1: Definir classes de agrupamento de dados Passo n o 2: Computar frequências para cada classe de dados Passo n o 3: Representar graficamente frequências em forma de histogramas 11
13 Organizando um conjunto de dados: Classes e Histogramas Classes: Intervalos em que um conjunto de dados é agrupado Histogramas: Número de ocorrências ou frequência das classes de agrupamento de um conjunto de dados Passo n o 1: Definir classes de agrupamento de dados Passo n o 2: Computar frequências para cada classe de dados Passo n o 3: Representar graficamente frequências em forma de histogramas Que tamanho de intervalo devemos usar para cada classe de frequência? 11
14 Organizando um conjunto de dados: Classes e Histogramas Classes: Intervalos em que um conjunto de dados é agrupado Histogramas: Número de ocorrências ou frequência das classes de agrupamento de um conjunto de dados Exemplo: Um conjunto maior de dados (idades): {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) 24 elementos 12
15 Organizando um conjunto de dados: Classes e Histogramas Um conjunto maior de dados (idades): {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) 13
16 Organizando um conjunto de dados: Classes e Histogramas Um conjunto maior de dados (idades): {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Escolha 1: Classe de idades (anos) Frequências
17 Organizando um conjunto de dados: Classes e Histogramas Um conjunto maior de dados (idades): {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Escolha 1: Escolha 2: Classe de idades (anos) Frequências Classe de idades (anos) Frequência [6-8) 4 [8-10) 6 [10-12) 7 [12-14) 4 [14-16)
18 Organizando um conjunto de dados: Classes e Histogramas Conjunto de idades: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Classe de idades (anos) Frequências
19 Organizando um conjunto de dados: Classes e Histogramas Conjunto de idades: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Classe de idades (anos) Frequências
20 Organizando um conjunto de dados: Classes e Histogramas Conjunto de idades: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Classe de idades (anos) Frequência [6-8) 4 [8-10) 6 [10-12) 7 [12-14) 4 [14-16) 3 15
21 Organizando um conjunto de dados: Classes e Histogramas Conjunto de idades: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Classe de idades (anos) Frequência [6-8) 4 [8-10) 6 [10-12) 7 [12-14) 4 [14-16) 3 15
22 Organizando um conjunto de dados: Classes e Histogramas Conjunto de idades: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Outra representação gráfica: % % % % % 16
23 Organizando um conjunto de dados: Histogramas Que tamanho de intervalo devemos usar para cada classe de frequência? Maior valor de intervalo 17
24 Parâmetros de posição i) Média: Valor médio de um conjunto de dados {x1, x2, x3,..., xn} x x 1 + x 2 + x x N N = 1 N NX i=1 x i 18
25 Parâmetros de posição i) Média: Valor médio de um conjunto de dados {x1, x2, x3,..., xn} Símbolo x x 1 + x 2 + x x N N = 1 N NX i=1 x i 18
26 Parâmetros de posição i) Média: Valor médio de um conjunto de dados {x1, x2, x3,..., xn} Símbolo x x 1 + x 2 + x x N N = 1 N NX i=1 x i Cada elemento do conjunto de dados 18
27 Parâmetros de posição Média: Valor médio de um conjunto de dados agrupados em M classes de frequência Cada classe possui ponto médio {x1, x2,..., xm} e frequência {n1, n2,..., nm}: 19
28 Parâmetros de posição Média: Valor médio de um conjunto de dados agrupados em M classes de frequência Cada classe possui ponto médio {x1, x2,..., xm} e frequência {n1, n2,..., nm}: x n 1x 1 + n 2 x n M x M N = 1 N MX n j x j j=1 19
29 Parâmetros de posição Média: Valor médio de um conjunto de dados agrupados em M classes de frequência Cada classe possui ponto médio {x1, x2,..., xm} e frequência {n1, n2,..., nm}: x n 1x 1 + n 2 x n M x M N = 1 N MX j=1 n j x j M: número de classes de frequência N: número total de elementos 19
30 Parâmetros de posição Média: Valor médio de um conjunto de dados agrupados em M classes de frequência Cada classe possui ponto médio {x1, x2,..., xm} e frequência {n1, n2,..., nm}: x n 1x 1 + n 2 x n M x M N = 1 N MX j=1 n j x j M: número de classes de frequência N: número total de elementos MX n j = n 1 + n n M = N j=1 19
31 Parâmetros de posição ii) Moda: Valor mais frequente de um conjunto de dados {x1, x2, x3,..., xn} Símbolo: x mod Para dados agrupados em classes de frequências a moda é o ponto médio da classe de maior frequência 20
32 Parâmetros de posição ii) Moda: Valor mais frequente de um conjunto de dados {x1, x2, x3,..., xn} Símbolo: x mod Para dados agrupados em classes de frequências a moda é o ponto médio da classe de maior frequência Moda 20
33 Parâmetros de posição iii) Média quadrática: raiz quadrada da média dos quadrados dos dados: x rms r x x x x2 N N = = v u t 1 N p x 2 NX i=1 x 2 i 21
34 Parâmetros de posição iii) Média quadrática: raiz quadrada da média dos quadrados dos dados: Símbolo x rms r x x x x2 N N = = v u t 1 N p x 2 NX i=1 x 2 i 21
35 Parâmetros de posição iv) Mediana: valor que divide uma distribuição ordenada de dados de forma que metade dos dados está acima, e metade abaixo deste valor: N(ímpar)! x med = x (N+1)/2 N(par)! x med = x N/2 + x (N/2+1) 2 22
36 Parâmetros de dispersão i) Amplitude: Diferença entre os valores máximo e mínimo de uma coleção de dados {x1, x2,..., xn}: A = x max x min 23
37 Parâmetros de dispersão ii) Desvio médio: Média dos módulos dos desvios, em relação à média: x = 1 N NX i=1 x i = 1 N NX i=1 x i x = x 1 x x N x N 24
38 Parâmetros de dispersão iii) Variância: Média dos quadrados dos desvios (δxi): 2 x = 1 N NX i=1 ( x i ) 2 = 1 N NX i=1 (x i x) 2 = (x 1 x) (x N x) 2 N Note que a expressão para a variância pode ser simplificada por: 2 x = 1 N NX i=1 x 2 i 1 N NX i=1 x i! 2 = x 2 x 2 25
39 Parâmetros de dispersão iv) Desvio padrão: Raiz quadrada da variância, ou média quadrática dos desvios: x = v u t 1 N NX i=1 ( x i ) 2 = s (x 1 x) (x N x) 2 N x = q x 2 x 2 26
40 Parâmetros de dispersão v) Largura a meia altura: Comprimento do intervalo limitado pelos valores (x1,x2) correspondentes à metade da frequência máxima: Símbolo: f max = x 2 x 1 f max /2 Γ x1 x2 x 27
41 Exemplo: Medida do comprimento de uma mesa N medidas do comprimento de uma mesa Medida L (cm)
42 Medida L (cm)
43 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere N = 1 um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) (x1, y1) 30
44 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere N =3 (x3, y3) um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) (x1, y1) (x2, y2) 31
45 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N = 6 32
46 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N = 12 33
47 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N = 20 34
48 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N = 50 35
49 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N =
50 Parâmetros de correlação i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi) xy = 1 N NX i=1 x i y i = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) = (x 1 x)(y 1 ȳ)+... +(x N x)(y N ȳ) N 37
51 Parâmetros de correlação i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi) xy = 1 N NX i=1 x i y i = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) = (x 1 x)(y 1 ȳ)+... +(x N x)(y N ȳ) N Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por: xy = xy xȳ 37
52 Parâmetros de correlação i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi) xy = 1 N NX i=1 x i y i = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) = (x 1 x)(y 1 ȳ)+... +(x N x)(y N ȳ) N Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por: xy = xy xȳ e que não importa a ordem das variáveis: xy = yx 37
53 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) 38
54 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 x 0 38
55 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 xy > 0 x 0 38
56 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) 39
57 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 x 0 39
58 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX i=1 (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 xy < 0 x 0 39
59 Parâmetros de correlação ii) Coeficiente de correlação linear de Pearson: covariância entre duas variáveis, dividida por seus desvios padrão r = x xy y 1 apple r apple 1 Correlação linear, perfeita e positiva: r =1 Correlação linear, perfeita e negativa: r = 1 40
60 Ferramentas para análise de dados É possível utilizar pacotes como Excel e similares para representação, análise e visualização de dados. Como veremos, há outras ferramentas com mais recursos, incluindo as linguagens de programação Python e R, e suas bibliotecas e extensões. Podemos listar como vantagens em utilizar tais linguagens de programação como ferramenta para análise de dados: - São grátis (possuem licença livre). - São intuitivas e de rápida aprendizagem. - Integram uma vasta biblioteca para computação científica e análise de dados. - São "portáteis": o código escrito nestas linguagens pode ser processado em qualquer sistema ou plataforma. 41
61 Atividade de aula - Idade, massa e altura Estudante Idade (anos) Massa (kg) Altura (cm)
62 Extras 43
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