Estimativas e Erros. Propagação de erros e Ajuste de funções

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1 Estimativas e Erros Propagação de erros e Ajuste de funções 1

2 Algumas referências Estimativas e Erros em Experimentos de Física - Vitor Oguri et al (EdUERJ) Fundamentos da Teoria de Erros - José Henrique Vuolo Statistical Data Analysis - Glen Cowan (Inglês) 2

3 Valor esperado de uma grandeza Valor esperado: valor hipotético, μ, de uma grandeza, equivalente ao valor médio de medições repetidas indefinidamente 3

4 Valor esperado de uma grandeza Valor esperado: valor hipotético, μ, de uma grandeza, equivalente ao valor médio de medições repetidas indefinidamente Fazemos uma estimativa para o valor esperado, a partir de um conjunto finito de medidas da grandeza Chamamos esse conjunto finito de uma amostra de todos os possíveis valores para as medidas, ou população 3

5 Estimativa do valor esperado 4

14 Erro da média 5

15 Erro da média 5

16 Erro da média 5

17 Erro da média 5

18 Erro da média Distribuição das médias de 100 experimentos, cada um com 100 medidas Note que o erro da média é menor que o erro da medida 6

19 Estimativa do erro da medida e da média Podemos também estimar o erro da média a partir de uma única bateria de N medidas diretas. Vamos estimar primeiramente o erro de cada medida como: s x = v ux N t (x i x) 2 N 1 = r N N 1 x O erro da média pode ser aproximado por: x = s x p N 7

20 Estimativa do erro da medida e da média Podemos também estimar o erro da média a partir de uma única bateria de N medidas diretas. Vamos estimar primeiramente o erro de cada medida como: s x = v ux N t desvio padrão experimental ou amostral (x i x) 2 N 1 = r N N 1 x O erro da média pode ser aproximado por: x = x = s x p N v u t 1 N NX ( x i ) 2 = desvio padrão s (x 1 x) (x N x) 2 N 7

21 Estimativa do erro da medida e da média Podemos também estimar o erro da média a partir de uma única bateria de N medidas diretas. Vamos estimar primeiramente o erro de cada medida como: s x = v ux N t desvio padrão experimental ou amostral (x i x) 2 N 1 = r N N 1 x O erro da média pode ser aproximado por: x = s x p N desvio padrão Note: O desvio padrão experimental (sx) será comumente representado igualmente por σx dependendo do contexto. 8

22 Estimativa do erro da medida e da média Para um número grande de medidas: N!1)s x x x x p N 9

23 Estimativa do erro da medida e da média Para um número grande de medidas: N!1)s x x x x p N Quanto maior o número de medidas em um experimento, menor o erro estimado da média 9

24 Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas estimativa do valor esperado ± incerteza (unidade) 10

25 Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas estimativa do valor esperado ± incerteza (unidade) x 10

26 Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas estimativa do valor esperado ± incerteza (unidade) x x = s x p N 10

27 Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas estimativa do valor esperado ± incerteza (unidade) x x = s x p N Note que aqui estamos estimando o que definimos antes como incertezas aleatórias. Incertezas aleatórias podem ser reduzidas por repetição (maior número N de medidas). Incertezas sistemáticas, no entanto, não podem em geral ser reduzidas por mera repetição. Elas dependem do entendimento do instrumento e das técnicas de medição. A partir de um número suficientemente grande de medidas, elas passam a ser dominantes. 10

28 Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas estimativa do valor esperado ± incerteza (unidade) x x = s x p N Exemplo: x = 10,0835 x = 10,08 ± 0,07(unid.) x =0,072 11

29 Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas estimativa do valor esperado ± incerteza (unidade) x x = s x p N Exemplo: x = 10,0835 x = 10,08 ± 0,07(unid.) x =0,072 Número de algarismos significativos determinado pelo valor da incerteza 11

30 Exercício: Dado um conjunto de medidas da aceleração da gravidade g: {9,90; 9,68; 9,57; 9,72; 9,80} (m/s 2 ) Determine a estimativa padrão para a aceleração da gravidade 12

31 Exercício: Dado um conjunto de medidas da aceleração da gravidade g: {9,90; 9,68; 9,57; 9,72; 9,80} (m/s 2 ) Determine a estimativa padrão para a aceleração da gravidade i) A melhor estimativa para o valor esperado é a média: Média: 9,734 x = 1 N NX x i 12

32 Exercício: Dado um conjunto de medidas da aceleração da gravidade g: {9,90; 9,68; 9,57; 9,72; 9,80} (m/s 2 ) Determine a estimativa padrão para a aceleração da gravidade i) A melhor estimativa para o valor esperado é a média: Média: 9,734 ii) A estimativa padrão para a incerteza é dada por: Erro padrão: 0, x = x = 1 N v ux t N NX x i (x i x) 2 N(N 1) 12

33 Exercício: Dado um conjunto de medidas da aceleração da gravidade g: {9,90; 9,68; 9,57; 9,72; 9,80} (m/s 2 ) Determine a estimativa padrão para a aceleração da gravidade i) A melhor estimativa para o valor esperado é a média: Média: 9,734 ii) A estimativa padrão para a incerteza é dada por: Erro padrão: 0, x = x = 1 N v ux t N (x i x) 2 N(N 1) iii) Representamos o erro com um algarismo significativo e a medida com o mesmo número de casa decimais: Estimativa padrão para o resultado da medição: (9,73 ± 0,06) m/s 2 NX x i 12

34 Distribuição Gaussiana f (x; µ, x) =A e (x µ) x Fração de occorrências σx μ σx 13

35 Distribuição Gaussiana 14

36 Distribuição Gaussiana σx σx 14

37 Distribuição Gaussiana σx σx 2σx 2σx 14

38 Distribuição Gaussiana 68,3% da área entre (μ - σx) e (μ + σx) 95,5% da área entre (μ - 2σx) e (μ + 2σx) 99,7% da área entre (μ - 3σx) e (μ + 3σx)... σx σx 2σx 2σx 14

39 Lei dos Erros Lei dos Erros : Para um número indefinidamente grande de medidas a distribuição das frequências das médias se aproxima de uma distribuição Gaussiana Frequencia f (x; µ, x) =A e (x µ) x x (u.a.)

40 Intervalo e nível de confiança (Dist. Gaussiana) Intervalo de Confiança Nível de Confiança (cl) (x 0,67 x, x + 0,67 x ) 50,0% (x 1,00 x, x + 1,00 x ) 68,3% (x 1,65 x, x + 1,65 x ) 90,0% (x 1,96 x, x + 1,96 x ) 95,0% (x 2,00 x, x + 2,00 x ) 95,5% (x 3,00 x, x + 3,00 x ) 99,7% Intervalo de confiança a nível de confiança de 68,3% Intervalo de confiança a nível de confiança de 95,5% Em geral para um intervalo de confiança [a,b], o nível de confiança pode ser interpretado como a fração de ocorrências em que o valor esperado μ se encontra neste intervalo, se o experimento for repetido um grande número de vezes. 16

41 Propagação de erros Propagação de erros u = f (x) Estimativa da grandeza associada (medida indireta) Medidas diretas de uma grandeza x: {x 1,x 2,...,x N } 17

42 Propagação de erros u = f (x) x 18

43 Propagação de erros u = f (x) ū + u ū x x + x x 18

44 Propagação de erros u = f (x) x 19

45 Propagação de erros u = f (x) ū + u ū x x + x x 19

46 Propagação de erros u = f (x) ū + u u = df dx x ū x x + x x 19

47 Propagação de erros u = x 2 = f (x) u =( x +(x x)) 2 =( x + x) 2 u = x 2 +2 x (x x)+ x 2 u x 2 +2 x (x ) ū x 2 x) u 2 x x 2 (x x) 2 +4 x 3 (x x) ) u 2 ū 2 +4 x 2 2 x ) 2 u =4 x 2 2 x $ u =2 x x 20

48 Propagação de erros u = x 2 = f (x) u =( x +(x x)) 2 =( x + x) 2 u = x 2 +2 x (x x)+ x 2 u x 2 +2 x (x ) ū x 2 x) u 2 x x 2 (x x) 2 +4 x 3 (x x) ) u 2 ū 2 +4 x 2 2 x ) 2 u =4 x 2 2 x $ u =2 x x (x x) = 1 N NX NX (x i x) =0 (x x) 2 = 1 N (x i x) 2 = 2 x 20

49 Propagação de erros u = x 2 = f (x) u =( x +(x x)) 2 =( x + x) 2 u = x 2 +2 x (x x)+ x 2 u x 2 +2 x (x ) ū x 2 x) u 2 x x 2 (x x) 2 +4 x 3 (x x) ) u 2 ū 2 +4 x 2 x 2 ) u 2 =4 x 2 x 2 $ u =2 x x u = df dx x= x x =2 x x (x x) = 1 N (x x) 2 = 1 N NX NX (x i x) =0 (x i x) 2 = 2 x 20

50 Propagação de erros u = f (x) ū + u ū α x x + x x 21

51 Propagação de erros u = f (x) ū + u u = tan x tan = f (x + x) f (x) x x!0! df (x) dx ū α x x + x x 21

52 Propagação de erros u = f ( x)+ u f ( x)+ df (x) dx x= x (x x) u 2 [f ( x)] 2 + ) u 2 [f ( x)] 2 + ) 2 u = u = 2 df dx df dx x= x 2 df dx 2 df dx x= x x 2 x x= x x= x (x x) 2 +2f ( x) df dx x= x (x 2 x x) 22

53 Propagação de erros u = f ( x)+ u f ( x)+ df (x) dx x= x (x x) u 2 [f ( x)] 2 + ) u 2 [f ( x)] 2 + ) 2 u = u = 2 df dx df dx x= x 2 df dx 2 df dx x= x x 2 x x= x x= x (x x) 2 +2f ( x) df dx x= x (x 2 x (x x) = 1 N (x x) 2 = 1 N NX NX (x i x) =0 (x i x) 2 = 2 x x) 22

54 Propagação de erros Estimativa padrão da incerteza Exemplo: u = x ) ū = x u = x ) ū = x 2 x 23

55 Propagação de erros Propagação de erros u = f (x, y) Estimativa da grandeza associada (medida indireta) Medidas de duas grandezas x e y: {(x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),...,(x N,y N )} 24

56 Propagação de erros Propagação de erros u = f (x, y) Estimativa da grandeza associada (medida indireta) Medidas de duas grandezas x e y: {(x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),...,(x N,y N )} Queremos obter: ū ± ū 24

57 Propagação de erros u = x ± y = f (x, y) u =( x ± ȳ)+(x x) ± (y ȳ) ) ū =( x ± ȳ) =f ( x, ȳ) u 2 =[f ( x, ȳ)] 2 +(x x) 2 +(y ȳ) 2 ± 2(x x)(y ȳ)+ +2f ( x, ȳ)[(x x) ± (y ȳ)] ) u 2 =[f ( x, ȳ)] 2 + x 2 + y 2 ± 2 xy (x x)(y ȳ) = 1 N NX (x i x)(y i ȳ)= xy ) 2 u = 2 x + 2 y ± 2 xy 2ū = 2 x + 2 ȳ ± 2 N xy 25

58 Propagação de erros u = xy = f (x, y) u =[ x +(x x)] [ȳ +(y ȳ)] = ( x + x)(ȳ + y) u = xȳ +ȳ (x x)+ x (y ȳ)+ x y u xȳ +ȳ (x x)+ x (y ȳ) ) ū xȳ = f ( x, ȳ) u 2 [f ( x, ȳ)] 2 +ȳ 2 (x x) 2 + x 2 (y ȳ) 2 +2ȳ x (x x)(y ȳ)+ +2f ( x, ȳ)[ȳ (x x)+ x (y ȳ)] ) u 2 ū 2 +ȳ 2 x 2 + x 2 y 2 +2ȳ x xy ) u 2 =ȳ 2 x 2 + x 2 y 2 +2ȳ x xy 26

59 Propagação de erros u = xy = f (x, y) u =[ x +(x x)] [ȳ +(y ȳ)] = ( x + x)(ȳ + y) u = xȳ +ȳ (x x)+ x (y ȳ)+ x y u xȳ +ȳ (x x)+ x (y ȳ) ) ū xȳ = f ( x, ȳ) u 2 [f ( x, ȳ)] 2 +ȳ 2 (x x) 2 + x 2 (y ȳ) 2 +2ȳ x (x x)(y ȳ)+ +2f ( x, ȳ)[ȳ (x x)+ x (y ȳ)] ) u 2 ū 2 +ȳ 2 2 x + x 2 2 y +2ȳ x xy ) 2 u =ȳ 2 2 x + x 2 2 y +2ȳ x xy r = x xy y 2 u ū 2 = 2 x x y xy +2 ȳ2 xȳ = 2 x x y y ȳ 2 +2r x xȳ 26

60 u = x/y = f (x, y) u = u ( x + x +(x x) ȳ +(y ȳ) x) 1 ȳ ( x + x) = (ȳ + y) y ȳ 1 u x ȳ + 1 ȳ (x x) x (y ȳ) ȳ2 Propagação de erros ) ū x ȳ = f ( x, ȳ) u 2 [f ( x, ȳ)] ȳ 2 (x apple 1 +2f ( x, ȳ) x)2 + x2 ȳ 4 (y ȳ)2 2 x (x x)(y ȳ)+ ȳ3 ȳ (x x) x (y ȳ) ȳ2 ) u 2 ū ȳ 2 2 x + x2 ȳ 4 2 y 2 x ȳ 3 xy ) 2 u = 1 ȳ 2 2 x + x2 ȳ 4 2 y 2 x ȳ 3 xy 27

61 Propagação de erros u = x/y = f (x, y) u = u ( x + x +(x x) ȳ +(y ȳ) x) 1 ȳ ( x + x) = (ȳ + y) y ȳ 1 u x ȳ + 1 ȳ (x x) x (y ȳ) ȳ2 1 1+x 1 x (x 1) ) ū x ȳ = f ( x, ȳ) u 2 [f ( x, ȳ)] ȳ 2 (x apple 1 +2f ( x, ȳ) x)2 + x2 ȳ 4 (y ȳ)2 2 x (x x)(y ȳ)+ ȳ3 ȳ (x x) x (y ȳ) ȳ2 ) u 2 ū ȳ 2 2 x + x2 ȳ 4 2 y 2 x ȳ 3 xy ) 2 u = 1 ȳ 2 2 x + x2 ȳ 4 2 y 2 x ȳ 3 xy 27

62 Propagação de erros u = x/y = f (x, y) u = u ( x + x +(x x) ȳ +(y ȳ) x) 1 ȳ ( x + x) = (ȳ + y) y ȳ 1 u x ȳ + 1 ȳ (x x) x (y ȳ) ȳ2 1 1+x 1 x (x 1) ) ū x ȳ = f ( x, ȳ) u 2 [f ( x, ȳ)] ȳ 2 (x apple 1 +2f ( x, ȳ) x)2 + x2 ȳ 4 (y ȳ)2 2 x (x x)(y ȳ)+ ȳ3 ȳ (x x) x (y ȳ) ȳ2 ) u 2 ū ȳ 2 2 x + x2 ȳ 4 2 y 2 x ȳ 3 xy ) 2 u = 1 ȳ 2 2 x + x2 ȳ 4 2 y 2 x ȳ 3 xy 2 u ū 2 = 27 2 x x y ȳ 2 2 xy xȳ = 2 x x y ȳ 2 2r x y xȳ

63 Propagação de erros Em geral: u = f (x, y) f ( ( x,ȳ) ( x,ȳ) (y ȳ) 28

64 Propagação de erros Em geral: u = f (x, y) f ( ( x,ȳ) ( x,ȳ) (y ȳ) Derivada parcial de f (x, y) em função de x, com y constante, aplicada no ponto ( x, ȳ) 28

65 Propagação de erros Em geral: u = f (x, y) f ( ( x,ȳ) ( x,ȳ) (y ȳ) Derivada parcial de f (x, y) em função de x, com y constante, aplicada no ponto ( x, ȳ) ) ū f ( x, ȳ) 28

66 u 2 [f ( x, ȳ)] 2 +2f ( x, ȳ) + Propagação de ( x,ȳ) N ( x,ȳ) 1 N NX (x ( x,ȳ) 1 N (x i x) " 1 N ( x,ȳ) 2 ( x,ȳ) NX 1 N NX NX (y i ȳ) # (y i ȳ) 2 (x i x)(y i ȳ) # ) u 2 [f ( x, ȳ)] 2 + ) 2 ( 2 x x y +2 ( x,ȳ) 2 ( x,ȳ) xy ( x,ȳ) xy 29

67 Propagação de erros Em geral: u = f (x, y) 2 u ( x,ȳ) 2 2 ( x,ȳ) 2 ( x,ȳ) xy 2ū ( x,ȳ) 2 2 ( x,ȳ) 2ȳ + ( x,ȳ) xy 30

68 Ajuste de funções Ajuste de funções y = f (x; a 1,a 2,...,a p ) Medidas de duas grandezas x e y: {(x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),...,(x N,y N )} Estimativa dos parâmetros (a partir de uma relação funcional postulada) 31

69 Ajuste de funções Ajuste de funções y = f (x; a 1,a 2,...,a p ) Medidas de duas grandezas x e y: {(x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),...,(x N,y N )} Estimativa dos parâmetros (a partir de uma relação funcional postulada) Queremos obter: a 1 ± a1,...,a p ± ap 31

70 Método dos Mínimos Quadrados: Ajuste linear Queremos minimizar a soma dos quadrados das distâncias entre a medidas observadas e os valores previstos pela relação funcional entre y e x: S (a, b) = NX (y i y (x i )) 2 = NX [y i (ax i + b)] 2 Medida observada y = f (x i ; a, b) =ax i + b 32

71 Método dos Mínimos Quadrados: @b = 2 N X 2 N X x i (y i ax i b)=0 (y i ax i b)=0 N xy ax 2 b x =0 N (ȳ a x b) =0 ) a = b =ȳ xy xȳ x 2 x 2 = xy 2 x a x 33

72 Método dos Mínimos Quadrados: Ajuste linear As estimativas dos parâmetros e suas incertezas são dadas por: a = r y x b =ȳ = xy 2 x a x a = 1 x b = y p N a p x 2 y = v ux t N [y i (ax i + b)] 2 N 2 = y r N N 2 (1 r2 ) 34

73 Método dos Mínimos Quadrados: Ajuste linear y y(x) = ax + b ε i y i y(x ) i y i y(x ) i x x 2 i x 35

74 Método dos Mínimos Quadrados: Ajuste linear No caso anterior assumimos que as incertezas nas medidas de y são desconhecidas. Em geral consideramos o erro em cada medida (σi): NX yi y (x i ) 2 = NX apple yi (ax i + b) 2 S (a, b) = i i Erro em cada medida Questões: Deduza as expressões para as estimativas dos parâmetros segundo o Método dos Mínimos Quadrados. Como incertezas de medição da variável x podem ser incluídas no método? 36

75 Método dos Mínimos Quadrados: Ajuste linear NX yi y (x i ) 2 = NX apple yi (ax i + b) 2 S (a, b) = i i N X 2 (x i x) y i = xy x y a = 1 2 x NX i 2 y i 2 x b = i ax 37

76 Método dos Mínimos Quadrados: Ajuste linear N X 2 (x i x) y i = xy x y a = 1 2 x NX i 2 y i 2 x b = i ax x = 2 x = NX NX i i 2 x i = NX w i x i w i = 2 (x i x) 2 = x 2 x = N X i 2! 1 2 i NX w i =1

77 Método dos Mínimos Quadrados: Ajuste linear N X 2 (x i x) y i = xy x y a = 1 2 x NX i 2 y i 2 x b = i ax 2 a = 2 4 x 2 b = x 2 NX 2 a 2 2 i (x i x) 2 = 2 2 x a = b = x a p x 2 39

78 Método dos Mínimos Quadrados: Ajuste linear y (u.a.) 100 Ajuste linear simples Ajuste linear com peso x (u.a) 40

79 Método dos Mínimos Quadrados: Ajuste linear y (u.a.) 100 Ajuste linear simples Ajuste linear com peso y (u.a.) 100 Ajuste linear simples Ajuste linear com peso x (u.a) x (u.a) 41

80 y (u.a.) 100 Ajuste linear simples Ajuste linear com peso y (u.a.) 100 Ajuste linear simples Ajuste linear com peso y (u.a.) Ajuste linear simples Ajuste linear com peso x (u.a) y (u.a.) Ajuste linear simples Ajuste linear com peso x (u.a) x (u.a) x (u.a) 42

81 Reta de calibração e interpolação y reta de ajuste y obs x obs! y ± y Interpolação direta x = y a y obs! x ± x Interpolação indireta 8 >< > x obs (y obs b) a x 43

82 Faixa de confiança y y = ax + b ε y y obs 40 ε x 30 y obs! x ± x (y obs b) a x = y a x 44

83 Exemplo: dinamômetro de mola F (gf) l (mm) l F 3 9,2 4 12,2 5 15, , , , ,1 45

84 Exemplo: dinamômetro de mola F (gf) l (mm) 3 9,2 4 12,2 5 15, , , , ,1 l (mm) F(gf) 46

85 Exemplo: dinamômetro de mola O comportamento ideal de uma mola nos diz que a sua elongação é relacionada com a magnitude da força aplicada na mesma: l = a F + b Equação de uma reta y = f (x; a, b) =a x + b Queremos obter estimativas para os parâmetros da reta (a e b). Para isso utilizamos o Método dos Mínimos Quadrados. 47

86 Exemplo: dinamômetro de mola F (gf) l (mm) a =(2.983 ± 0.013) mm/gf 3 9,2 4 12,2 5 15, , , , ,1 b =(0.14 ± 0.18) mm y = l =0.27 mm Equação da reta: l (mm) = F (gf)

87 Exemplo: Lei de Ohm I V + - R V = RI I = V R = 1 R V +0 49

88 Exemplo: Lei de Ohm I V + - R V = RI I = V R = 1 R V +0 y = f (x; a, b) =a x + b 49

89 Exemplo: Lei de Ohm x y I V (Volts) I (ma) VI + - R V Medida 1 Medida 2 Medida 3 Medida 4 Medida 5 50

90 Exemplo: Lei de Ohm x y I V (Volts) I (ma) VI + - R V Medida 1 1,98 2,02 Medida 2 3,87 3,99 Medida 3 5,82 6,00 Medida 4 7,76 8,02 Medida 5 9,70 10,05 51

91 Extras 52

92 Parâmetros de posição i) Média: Valor médio de um conjunto de dados {x1, x2,..., xn}: x x 1 + x 2 + x x N N = 1 N NX x i Dados em M classes (intervalos) com ponto médio {x1, x2,..., xm} e frequência {n1, n2,..., nm}: x n 1x 1 + n 2 x n M x M N = 1 N MX j=1 n j x j ii) Moda: Valor mais frequente de um conjunto de dados {x1, x2, x3,..., xn} iii) Média quadrática: x rms r x x x x2 N N = v u t 1 N NX x 2 i iv) Mediana (Mesma quantidade de dados abaixo e acima da mediana): N(ímpar)! x med = x (N+1)/2 N(par)! x med = x N/2 + x (N/2+1) 2 53

93 Parâmetros de dispersão Variância: Média dos quadrados dos desvios (δxi) 2 x = 1 N NX ( x i ) 2 = 1 N NX (x i x) 2 = (x 1 x) (x N x) 2 N Note que a expressão para a variância pode ser simplificada por: 2 x = 1 N NX x 2 i 1 N NX x i! 2 = x 2 x 2 54

94 Parâmetros de dispersão Desvio padrão: Raiz quadrada da variância, ou média quadrática dos desvios x = v u t 1 N NX ( x i ) 2 = s (x 1 x) (x N x) 2 N x = q x 2 x 2 55

95 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere N = 1 um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) (x1, y1) 56

96 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere N =3 (x3, y3) um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) (x1, y1) (x2, y2) 57

97 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N = 6 58

101 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N =

102 Parâmetros de correlação i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi) xy = 1 N NX x i y i = 1 N NX (x i x)(y i ȳ) = (x 1 x)(y 1 ȳ)+... +(x N x)(y N ȳ) N 63

103 Parâmetros de correlação i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi) xy = 1 N NX x i y i = 1 N NX (x i x)(y i ȳ) = (x 1 x)(y 1 ȳ)+... +(x N x)(y N ȳ) N Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por: xy = xy xȳ 63

104 Parâmetros de correlação i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi) xy = 1 N NX x i y i = 1 N NX (x i x)(y i ȳ) = (x 1 x)(y 1 ȳ)+... +(x N x)(y N ȳ) N Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por: xy = xy xȳ e que não importa a ordem das variáveis: xy = yx 63

105 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX (x i x)(y i ȳ) 64

106 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 x 0 64

107 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 xy > 0 x 0 64

108 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX (x i x)(y i ȳ) 65

109 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 x 0 65

110 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N NX (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 xy < 0 x 0 65

111 Parâmetros de correlação ii) Coeficiente de correlação linear de Pearson: covariância entre duas variáveis, dividida por seus desvios padrão r = x xy y 1 r apple 1 Correlação linear, perfeita e positiva: r =1 Correlação linear, perfeita e negativa: r = 1 66

112 Propagação de erros Estimativa padrão da incerteza Exemplo: Adição ou subtração de variáveis u = x ± y 2ū = 2 x + 2 ȳ ± 2 N xy ū = r ou 2 x + ȳ 2 ± 2 N xy ū = q 2 x + 2 ȳ ± 2r x ȳ 67

113 Propagação de erros Estimativa padrão da incerteza Exemplo: Adição ou subtração de variáveis u = x ± y 2ū = 2 x + 2 ȳ ± 2 N xy ū = r ou 2 x + ȳ 2 ± 2 N xy ū = q 2 x + 2 ȳ ± 2r x ȳ q Se x e y são independentes (correlação nula) ū = 2 x + 2 ȳ 67

114 Propagação de erros Estimativa padrão da incerteza Exemplo: Multiplicação ou divisão de variáveis Se x e y são independentes (correlação nula): u = xy ou ū ū = s x x 2 + ȳ ȳ 2 u = x/y Se a correlação não é nula: ū ū = s x x 2 + ȳ ȳ 2 ± 2r x x ȳ ȳ 68