Incertezas de Medição

Transcrição

1 Incertezas de Medição Prof. Marcos Antonio Araujo Silva Dep. de Física "I can live with doubt and uncertainty and not knowing. I think it is much more interesting to live not knowing than to have answers that might be wrong." Richard Feynman

2 Sumário Histórico Importância de medidas Incertezas nas medições: Tipo A Avaliação Estatística Tipo B Bom senso Algarismos significativos Propagação de Incertezas Conclusões Bibliografia Agradecimentos

3 Histórico Pela primeira vez na história de humanidade alguém realizou medidas de um fenômeno natural, ou seja, realizou um experimento como é entendido hoje. Foi Cláudio Ptolomeu (85 165) quem realizou medidas e registrou numa tabela os dados do ângulo de incidência e ângulo de refração da luz ao passar pela interface do ar para a água. Resultado Experimental Incidência no Ar (graus) de Ptolomeu Refração na Água (graus) 10 8, , , , ,

4 Histórico Hoje, sabemos que esse fenômeno é regido pela conhecida Lei de Snell:. Em que ni é o índice de refração do meio pelo qual a luz incide com ângulo θi e nr é o índice de refração do meio no qual a luz refrata com ângulo θr.

5 Importância Medidas: dão suporte a Teorias que podem prever resultados futuros. Medir: é um processo experimental em que o valor de uma grandeza é determinado em termos de uma unidade estabelecida por um padrão. Resultado da medida deve conter: o valor numérico da grandeza, a incerteza da medição e uma unidade.

6 No Brasil o sistema legal de unidades é o Sistema Internacional (SI), e as regras para a expressão dos resultados e das incertezas nas medições são definidas pela ABNT e pelo INMETRO. Toda MEDIDA está sujeita a incertezas! Pois, medir é um processo experimental sujeito a erros que causam incertezas que podem ser devidas: ao processo de medição, aos equipamentos utilizados, à influência de variáveis que não estão sendo medidas, e também, ao operador que realiza as medidas. Os ERROS são de dois tipos: Aleatórios: aumentando o número de medidas pode ser minimizado. Sistemáticos: têm que ser encontrados e eliminados.

7 Supomos que os erros grosseiros já foram evitados, tais como, imperícia ou desatenção da pessoa que está medindo, ajustes imperfeitos do aparelho, má leitura da escala, etc. É importante expressar o resultado de uma medida de modo que outras pessoas o entendam e saibam com que confiança o resultado foi obtido.

8 Exemplo 1: Ao se fazer muitas medidas com uma régua graduada em milímetros, obtem-se a distribuição de resultados mostrados na figura a seguir. Régua em graduada em milímetros

9 Exemplo 2: Ao se fazer muitas medidas com uma régua graduada em meio (1/2) milímetro, obtem-se a distribuição de resultados mostrados na figura a seguir. Régua em graduada em 1/2 milímetro

10 Os observadores que realizam as medidas não são capazes de afirmar com certeza o comprimento do objeto. As medidas se distribuem aproximadamente em torno de um mesmo valor médio para as duas réguas. Observa-se que as medidas realizadas com a régua com divisões de 1/2 milímetro apresenta uma maior dispersão. O parâmetro associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão de valores atribuídos à grandeza sob medição, é chamada de incerteza da medição. O modo mais comum de se expressar o resultado de uma medição é: (valor da grandeza ± incerteza da medição) [unidade] Esta e outras formas também utilizadas: (7,64 ± 0,02) mm 7,64(2) mm 7,64(0,02) mm

11 Como vimos, a incerteza no resultado de uma medição caracteriza a dispersão das medidas em torno da média. São duas categorias para essas incertezas, dependendo do método utilizado para estimar seu valor: Avaliação tipo A a incerteza é avaliada por meio de uma análise estatística. Avaliação tipo B a incerteza é avaliada por meios não estatísticos, por não se dispor de medidas repetidas.

12 Avaliação tipo B A incerteza é avaliada por meios não estatísticos, por não se dispor de medidas repetidas. Quando não é possível ou prático a realização de muitas medidas, utiliza-se o bom senso para estimar a incerteza duma medição. É uma avaliação bastante subjetiva. Deve-se utilizar todas as informações disponíveis, tais como, especificações do fabricante e dados de calibração do aparelho, dados de medições anteriores, experiência prévia do executor da medida sobre os instrumentos e materiais utilizados, etc. A imprecisão de um instrumento é a metade da menor divisão de sua escala. Alguns exemplos a seguir.

13 Avaliação tipo B Exemplo 3 Tem-se uma balança cuja única informação é erro máximo = 4 g, leu-se uma massa de 45 g. O resultado da medição é (45 ± 4) g. Exemplo 4 Quando se tem apenas a informação que o valor da medição é limitado pelo intervalo x+ e x-. Neste caso é aceitável supor que x pode assumir qualquer valor no intervalo com igual probabilidade. Assim, o valor mais provável da grandeza é dado por e a incerteza padrão, estimada como o desvio padrão dessa distribuição, é dada por O fator raiz de três no denominador vem da distribuição retangular de probabilidade.

14 Avaliação tipo B Exemplo 5 Numa medida de tensão alternada, o ponteiro do voltímetro analógico oscilava aproximadamente entre 12,5 V e 14,0 V. Usando-se esses valores como limites, como no exemplo anterior, obtémse e E o resultado dessa medição de voltagem é (13,3 ± 0,4) V. Exemplo 6 Numa medida de ph, o display do phmetro digital oscilava aproximadamente entre 4,9 e 5,0. Usando-se esses valores como limites, como no exemplo anterior, obtém-se e E o resultado dessa medição de ph vale (4,95 ± 0,03).

15 Avaliação tipo A Uma medida repetida n vezes nas mesmas condições. Obtemos os resultados { x 1, x 2,..., x n }. A melhor estimativa para a medida é dada pela média aritmética <x> dos valores obtidos: e a incerteza padrão da medição é identificada como o desvio padrão, u, da média dos resultados:

16 Avaliação tipo A Observações As distribuições das medidas dos exemplos 1 e 2 são exemplos de uma distribuição normal ou gaussiana. Ela é descrita pela função onde <x> é o valor central ou médio de x e u é o desvio padrão da média da distribuição. Neste tipo de distribuição, aproximadamente 68% dos valores encontram-se no intervalo (<x> ± u); cerca de 95% dos valores estão dentro do intervalo (<x> ± 2u); e cerca de 99,7% estão dentro do intervalo (<x> ± 3u). Esses intervalos são chamados de intervalos de confiança.

17 Observações (cont.) Avaliação tipo A Essa estimativa é confiável quando o número de medidas é muito grande (n > 200). No caso de n pequeno, deve-se multiplicar o desvio padrão por um fator de correção conhecido como coeficiente t-student, cujo valor depende do número de medições e do intervalo de confiança desejado.

18 Exemplo 7 Em um grupo de oito medidas de ph obteve-se os resultados apresentados na tabela a seguir. i phi O valor médio do ph é 1 11,31 0, ,09 0, ,10 0, ,27 0, ,18 0, ,32 0, ,24 0, ,15 0,06 <ph> = 11,21 A incerteza no ph como o desvio padrão da média é dado por Portanto, o valor mais provável do ph é ph = (11,21 ± 0,03).

19 Algarismos Significativos Ao expressar os resultados experimentais medidos é importante escrever o número correto de algarismos significativos. Regras: os algarismos significativos de uma medida apresenta apenas o último algarismo duvidoso; o algarismo duvidoso é o que é afetado pela incerteza da medição; zeros à esqueda não são significativos; zeros à direita do primeiro número não nulo são significativos; usar potência de 10 não altera o número de algarismos significativos.

20 Algarismos Significativos Comentários: Operações com algarismos significativos: o adição ou subtração observa-se a parcela com menor número de casas decimais; o Multiplicação ou divisão observa-se a parcela mais pobre, com menor número de algarismos significativos. Na medição do comprimento do objeto com uma régua graduada em milímetros do exemplo 1 estimamos a incerteza do tipo A como (7,6 ± 0,1) cm. O seis é o algarismo duvidoso e temos corretamente 2 algarismos significativos. Seria errado expressar esse resultado como: (7,6385 ± 0,1) cm ou (7 ± 0,1) cm ou (7,6385 ± 0,1178) cm. É importante observar que o número de algarismos significativos no resultado é determinado apenas pela incerteza. A incerteza é inerente ao processo de medição.

21 Propagação da Incerteza. Quase sempre medimos indiretamente uma grandeza. Consideremos que uma grandeza Y que não pode ser medida diretamente e que é uma função f de N outras grandezas X 1, X 2,..., X N. Ou seja, Y = f(x 1, X 2,..., X N ). Sejam x 1 ± u(x 1 ), x 2 ± u(x 2 ),..., x N ± u(x N ) os resultados independentes das medições das grandezas X 1, X 2,..., X N. O resultado y da medição da grandeza Y é dado por y = f(x 1, x 2,..., x N ).

22 A incerteza padrão da medição de uma grandeza obtida por meio de uma medição indireta é chamada de incerteza padrão combinada, e é determinada pela equação Ou seja, a incerteza padrão combinada da variável y é igual à raiz quadrada positiva da soma dos quadrados das incertezas das medições das outras grandezas, ponderadas pela derivada parcial ao quadrado,.

23 Exemplo 8 Deseja-se medir a potência elétrica P dissipada por um chuveiro elétrico ligado à rede elétrica. São feitas várias medições da resistência elétrica R do chuveiro e da tensão elétrica V da rede. Determinou-se assim, os valores médio e as incertezas padrão dessas grandezas. Os resultados são R = (2,5 ± 0,3) Ω e V = (127 ± 1) Volts. Avaliação tipo B A potência elétrica dissipada no resistor é dada por P = V 2 /R, ou seja, P = /2,5 = 6451,6 Watt. Como as incertezas em R e em V afetam o resultado da medição de P? Vejamos, P = P(R, V) e a incerteza padrão combinada u c (P) da potência é dada por

24 Como P = V 2 /R, então,, e levando os valores numéricos em u c (P) u c (P) = 781 W. Então, o resultado para a medição da potência é P = (6,5 ± 0,8) x 10 3 W.

25 Princípio da Incerteza de Heisenberg No mundo quântico o simples ato de olhar pode alterar completamente o sistema sob observação. Por exemplo, se quisermos determinar a posição e o momento (a componente paralelo à posição) de um elétron, temos que vê-lo. E para vê-lo precisamos interagir com ele através de fótons. Essa interação altera o momento do elétron, de modo que você jamais conseguirá determinar simultaneamente a posição e o momento do elétrom. Esse princípio foi elaborado por Heisenberg no final da década de 20 do século passado, quando a mecânica quântica estava sendo construída.

26 Bibliografia CAMPOS, A.A.G.; Alves, E.S.; Speziali, N.L., Física Experimental Básica na Universidade, 2ª. Ed., Belo Horizonte, Editora UFMG, ISNB: VUOLO, J.H. Fundamentos da Teoria dos Erros, 2ª. Ed., São Paulo, Editora Edgard Blücher, Incerteza de Medição, Professora Márcia Russman Gallas, IF-UFRGS, Acessado em 13/10/2014.

27 Obrigado!!